Unidad 4 Gases Ideales en Procesos Simples de Compresión y

Unidad 4
Gases Ideales en Procesos Simples de Compresión y Expansión
Un análisis de procesos simples en sistemas cerrados, en los cuales participa un gas ideal son descritos
en esta unidad. Se incluye el concepto de gas perfecto, así como una breve descripción de su
comportamiento fisicoquímico y propiedades que lo identifican como un fluido de características
ideales. A través de un enfoque fenomenológico se introduce una nueva propiedad termodinámica de la
materia, capacidad calorífica, puntualizando su importancia en los procesos de transferencia de calor.
En el apartado final se analizan procesos simples de compresión y expansión, empleando las
herramientas entregadas en la unidad, destacando los procesos adiabáticos.
4.1 Gas Ideal
Un Gas Ideal es un fluido hipotético que está constituido de moléculas en movimiento al azar
constante, obedeciendo las leyes de la mecánica; el número total de moléculas es elevado, pero el
volumen de las moléculas es una fracción despreciable del volumen total ocupado por el gas (masas
puntuales). No hay presencia de fuerzas de tipo atractiva o repulsiva entre sus moléculas; cada partícula
viaja en línea recta a gran velocidad hasta que colisiona con otra partícula, o la pared del recipiente que
la contiene intercambiando cantidad de movimiento.
Un gas real presentará características similares a un gas ideal cuando se encuentra a baja presión; la
separación promedio entre partículas suele ser de varios órdenes de magnitud, superior a sus diámetros,
y por ello, las energías de atracción o repulsión, son pequeñas en comparación con las energías
cinéticas de cada partícula. Para aplicaciones prácticas de procesos, se puede considerar que a presiones
menores o iguales a 5 atmósferas el gas tienen un comportamiento similar al de un gas ideal.
lim [ Gas Real] = Gas Ideal
P →0
→∞
V
Para gases ideales se muestra, experimentalmente, o a través de herramientas de mecánica estadística,
que la temperatura absoluta, presión, volumen molar (Comportamiento PVT), se relacionan de acuerdo
a la Ecuación de Estado:
GI = RT
PV
( PV GI = nRT )
Asimismo, por sus características fisicoquímicas, se verifica que la energía interna sólo es una función
de la temperatura, y no del volumen o presión.
GI = U
(T)
U
Esto último lo diferencia de un gas real, donde la energía interna depende del valor de la temperatura y
=U
( T, V
).
el volumen molar: U
Gases Ideales en Procesos Simples de Compresión y Expansión
Una propiedad ampliamente utilizada, en vista que permite evaluar la energía total de un sistema, es
definida con el nombre de Entalpía (H). La entalpía es una combinación de funciones de estado;
energía interna, presión y volumen del sistema, por lo cual también es una función de estado.
≡U
+ PV
H
La entalpía tiene un sentido físico claramente establecido, i.e., la energía total del sistema. Considérese
un sistema cerrado, e.g., un gas dentro de un conjunto cilindro-pistón inmóvil, la energía total del
sistema está constituida por su energía interna, más, la energía adicional requerida por el sistema para
desplazar a los alrededores, y así tener su propio espacio (volumen) disponible. Para hacerse de un
lugar el sistema tiene que hacer una cantidad de trabajo que será almacenada, incrementando su energía
total. Si el sistema debe lograr vencer una presión P constante, el trabajo requerido para desplazar su
frontera, y establecer su volumen será:
V
W
Comp / Exp = − ∫ PdV = − PV
0
La entalpía para un gas ideal sólo depende de la temperatura, como queda demostrado. Por el contrario,
para gases reales, la entalpía es función de temperatura y presión H = H ( T, P ) .
GI = U
GI ( T ) + RT
H
GI = U
GI + PV
GI
H
GI = H
(T)
H
4.2 Capacidad Calorífica
La dependencia de la energía interna o la entalpía con la temperatura de todas las sustancias
(incluyendo los gases ideales), puede determinarse midiendo el incremento de temperatura que
acompaña una transferencia de calor a un sistema cerrado estacionario. Si suficientemente pequeñas
cantidades de calor, Q, son adicionados al sistema en el intervalo de tiempo t 2 − t1 , se observará que el
leve incremento de la temperatura, ∆T , será proporcional al flujo de calor, e inversamente
proporcional al numero de moles del sistema, n.
Q = C∆T
n
Q = C ⎡⎣T ( t 2 ) − T ( t1 ) ⎤⎦
n
, para pequeños
Una experiencia como la descrita tiene como objetivo cuantificar el parámetro C
incrementos de la temperatura del sistema, en vista que este parámetro también se modifica con la
temperatura.
Q
Sistema
Figura 4.1a Sistema cerrado
de volumen constante.
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Q
Sistema
Figura 4.1b Sistema cerrado de presión
constante P (proceso reversible).
24
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Cuando el experimento se realiza en un sistema de volumen constante, como el presentado en la Figura
4.1a, no existe trabajo termodinámico de compresión o expansión.
U ( t 2 ) − U ( t1 ) = Q
⎡T ( t ) − T ( t )⎤
U ( t 2 ) − U ( t1 ) = nC
V ⎣
2
1 ⎦
ha sido medida en un experimento
El subíndice V de la constante ha sido incluido para recordar que C
a volumen constante.
(t ) − U
(t )
U ( t 2 ) − U ( t1 )
U
2
1
C V =
=
n ⎡⎣ T ( t 2 ) − T ( t1 ) ⎤⎦ T ( t 2 ) − T ( t1 )
Cuando la experiencia se lleva a cabo para un intervalo de tiempo diferencial, el incremento de la
temperatura está en el límite del valor cero.
C V =
(t ) − U
( t ) ⎪⎫ ⎛ ∂U
⎞
⎪⎧ U
2
1
=⎜
⎨
⎬
⎟
T ( t 2 ) − T ( t1 ) → 0
⎩⎪ T ( t 2 ) − T ( t1 ) ⎭⎪ ⎝ ∂T ⎠ V
lim
( T, V
)⎞
⎛ ∂U
⎟
C V ( T, V ) = ⎜
⎜
⎟
∂T
⎝
⎠ V
De acuerdo al resultado anterior, se establece que el parámetro C V : Capacidad calorífica a volumen
constante, cuantifica la relación de incrementos de temperatura y energía interna cuando el proceso se
realiza a volumen constante. Esta propiedad del sistema presenta características de función de estado,
en vista que se origina de la combinación de funciones de estado.
Una experiencia similar a la mencionada en los párrafos anteriores puede ser llevada acabo en un
sistema cuya presión P se mantiene constante (ver Figura 4.1b).
⎡T ( t ) − T ( t )⎤ + W
U ( t 2 ) − U ( t1 ) = nC
P ⎣
2
1 ⎦
Comp / Exp
WComp / Exp = − P ⎡⎣ V ( t 2 ) − V ( t1 ) ⎤⎦
⎡T ( t ) − T ( t )⎤ − P ⎡ V ( t ) − V ( t )⎤
U ( t 2 ) − U ( t1 ) = nC
P ⎣
2
1 ⎦
2
1 ⎦
⎣
⎡⎣ U ( t 2 ) + PV ( t 2 ) ⎤⎦ − ⎡⎣ U ( t1 ) + PV ( t1 ) ⎤⎦ = nC P ⎡⎣ T ( t 2 ) − T ( t1 ) ⎤⎦
Empleando la definición de entalpía: ⎡⎣ U ( t 2 ) + PV ( t 2 ) ⎤⎦ − ⎡⎣ U ( t1 ) + PV ( t1 ) ⎤⎦ = H ( t 2 ) − H ( t1 )
⎡T ( t ) − T ( t )⎤ = H ( t ) − H ( t )
nC
P ⎣
2
1 ⎦
2
1
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Nuevamente se emplea un subíndice para indicar que el proceso evoluciona a través de una trayectoria
a presión constante: P = P ( t 2 ) = P ( t1 ) .
(t ) − H
(t )
H
2
1
C P =
T ( t 2 ) − T ( t1 )
Asimismo ha de considerarse que el tiempo del proceso es diferencial, en vista que el parámetro C P
depende de la temperatura.
C P =
(t ) − H
( t ) ⎪⎫ ⎛ ∂H
⎞
⎪⎧ H
2
1
=
⎨
⎬ ⎜
⎟
T ( t 2 ) − T ( t1 ) → 0 T ( t ) − T ( t )
⎪⎩
2
1 ⎪
⎭P ⎝ ∂T ⎠ P
lim
( T, P ) ⎞
⎛ ∂H
C P ( T, P ) = ⎜
⎟
∂T
⎝
⎠P
Esta última expresión, C P : Capacidad calorífica a presión constante, establece la relación de
incrementos de temperatura y entalpía cuando el proceso se realiza a presión constante. Como ha sido
mencionado, este parámetro termodinámico es una función de estado, debido a que cuantifica una
propiedad de la materia, y está determinada por la combinación de otras funciones de estado.
Si el sistema está constituido por un gas ideal, ambas capacidades caloríficas sólo dependen de la
temperatura.
GI
GI ( T ) = dU ( T )
C
V
dT
GI
GI ( T ) = dH ( T )
C
P
dT
Para un gas ideal hipotético, se puede emplear valores aproximados de ambas capacidades caloríficas,
volumen constante y presión constante, correspondientes a 5R 2 y, 7R 2 respectivamente. Asimismo
se establece una relación entre ambas capacidades para un gas ideal.
GI dT
GI = d ( U
GI + PV
GI ) = C
dH
P
GI dT
GI + d ( PV
GI ) = C
dU
P
GI dT + RdT = C
GI dT
C
V
P
GI + R = C
GI
C
V
P
De acuerdo a la definición de ambas capacidades caloríficas, el cálculo de variaciones en la entalpía y
energía interna para el gas ideal pueden ser realizado directamente.
T2
GI ( T ) = U
GI ( T ) + ∫ C GI ( T )dT
U
2
1
V
T1
T2
GI ( T )dT
GI ( T ) = H
GI ( T ) + ∫ C
H
2
1
P
T1
En el análisis de procesos el interés está centrado principalmente en los cambios que experimenta la
energía del sistema. Como se mencionó, intentar determinar valores absolutos de energía interna (o
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entalpía), no es posible debido a la complejidad de la naturaleza de la materia. Sin embargo, cuando es
necesario establecer valores absolutos se recurre a apropiados estados de referencia, los que deberán ser
considerados en la interpretación y análisis final de los resultados. Sea TR , una temperatura
arbitrariamente elegida, desconocida, que verifica un valor de entalpía cero.
GI ( T ) = H
GI = 0
H
R
R
T
GI
GI ( T ) = H
GI ( T ) + C
H
∫ P ( T )dT
R
TR
T
GI ( T )dT
GI ( T ) = ∫ C
H
P
TR
GI ( T ) = U
GI ( T ) + PV
GI = 0
H
R
R
GI ( T ) + RT = 0
U
R
R
GI ( T ) = − RT
U
R
R
T
GI ( T )dT − RT
GI ( T ) = ∫ C
U
V
R
TR
La dependencia de la capacidad calorífica en el estado de gas ideal, para diferentes especies químicas,
puede ser determinada a través de información obtenida en el laboratorio, o empleando conceptos de
mecánica estadística e información detallada de la estructura molecular. La funcionalidad más común
de la capacidad calorífica se identifica con polinomios en temperatura.
GI ( T ) = a + bT + cT 2 + dT −2
C
P
El Apéndice B entrega información de los parámetros del polinomio para un conjunto diverso de
sustancias comúnmente empleadas en procesos, orgánicas, inorgánicas, etc. Empleando la relación
entre ambas capacidades caloríficas, se determina el valor de capacidad calorífica a volumen constante
para gases ideales.
4.3 Procesos Simples de Compresión y Expansión
Considérese un sistema cerrado constituido por una gas ideal, el cual se somete a un cambio diferencial
en la energía interna originado por una modificación a través de diversos procesos de interés: volumen
constante; presión constante; adiabático; politrópico, etc.
4.3.1 Procesos a Volumen Constante
Con referencia a la Figura 4.1a, un gas ideal, constituido por n moles, permanece dentro del conjunto
cilindro-pistón con un volumen constante. En un intervalo de tiempo t 2 − t1 se adiciona o retira energía
a través del mecanismo de calor.
+ dW
GI = dQ
dU
= dW
dW
Comp / Exp = 0
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GI = dQ
dU
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La integración de la ecuación anterior, desde un estado inicial hasta el estado que finalmente alcanza el
sistema, permite determinar la cantidad de calor que participa en el proceso.
GI ( t )
U
2
t2
( t1 )
t1
U
∫ dQ = Q
GI
GI
∫ dU = ∆U
GI
T( t 2 )
GI
= ∆U
GI =
Q
∫ C V dT
T ( t1 )
Sólo para aquellos procesos que siguen una trayectoria a volumen constante, la energía transferida a
través del mecanismo de calor puede ser cuantificada por medio del cambio de la energía interna. Sin
embargo, en general para cualquier trayectoria, e.g., isobárica, isométrica, adiabática, etc., el cambio de
energía interna para un gas ideal puede ser calculado empleando la expresión en términos de capacidad
T(t )
calorífica: ∫T(t ) C GI
. Se debe recordar que la energía interna depende exclusivamente de la
V dT
2
1
temperatura cuando se trata de un gas ideal. Asimismo, en esta última expresión solamente hay
involucradas funciones de estado, por lo que puede ser utilizada de forma independiente si se trata de
una trayectoria reversible o irreversible.
Para trayectorias donde el volumen cambia a lo largo del proceso, aun cuando se verifique la condición
de igualdad de volumen en el estado inicial y final, i.e., V GI ( t 2 ) = V GI ( t1 ) , el calor involucrado en el
proceso no podrá ser cuantificado por la diferencia de energía interna del sistema, en vista que no se
verifica la condición de volumen constante para toda la trayectoria.
T( t 2 )
GI
GI =
∆U
∫ C V dT ≠ Q
T ( t1 )
4.3.2 Procesos a Presión Constante
Un gas ideal dentro de un cilindro retenido por un pistón libre de fricción (Figura 4.1b), constituido por
n moles, modifica su energía interna, a presión constante, en un intervalo de tiempo t 2 − t1 , a través de
un proceso reversible, intercambiando calor y/o trabajo con lo alrededores.
+ dW
GI = dQ
dU
Re v − PdV
GI = dQ
GI
dU
= dW
Re v
GI
dW
Comp Exp = − PdV
(
Re v = dU
GI + PdV
GI = d U
GI + PV
GI
dQ
)
Re v = dH
GI
dQ
GI ( t )
H
2
t2
( t1 )
t1
H
GI
GI
∫ dH = ∆H
GI
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∫ dQ
Re v
Re v
=Q
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T( t 2 )
GI
Re v = ∆H
GI =
Q
∫ C P dT
T ( t1 )
En vista que el proceso se lleva a cabo a presión constante, el trabajo termodinámico de
compresión/expansión puede ser determinado conociendo el efecto sobre la temperatura del sistema.
(t )
V
2
Re v
GI
W
Comp Exp = − ∫ PdV
Re v
GI
⎡ GI
⎤
W
Comp Exp = − P ⎣ V ( t 2 ) − V ( t1 ) ⎦
P = P ( t 2 ) = P ( t1 ) = PExterna = cte.
GI ( t ) = RT ( t ) P
V
1
1
(t )
V
1
Re v
W
Comp Exp = − R ⎡
⎣T ( t 2 ) − T ( t1 ) ⎤⎦
Para un sistema como el presentado en la Figura 4.1b que transita a través de una trayectoria reversible,
las fuerzas internas ejercidas sobre el gas son equivalentes a las fuerzas externas, e.g., presión
atmosférica y peso del pistón. Si por el contrario el sistema transita por un camino irreversible, las
fuerzas externas difícilmente serán constantes, en vista que incluirán aportes extras como la fuerza de
roce que se opone al desplazamiento del pistón y es dependiente de su velocidad.
Reversible
FExterna
= APAtm + mg
Irreversible
FExterna
= APAtm + mg + FRoce
Reversible
Irreversible
FExterna
≠ FExterna
En términos generales, para un proceso de compresión o expansión de un fluido por la acción del pistón
en un cilindro, o por cualquier otro artefacto, y aun para sistemas abiertos, se verificarán diferencias en
el trabajo termodinámico de compresión asociado al proceso, si este ocurre en una trayectoria
reversible o irreversible.
Irr e versible < W
Re versible
W
Exp
Exp
Irr e versible > W
Re versible
W
Comp
Comp
Sólo para aquellos procesos que siguen una trayectoria reversible y a presión constante, la energía
transferida a través del mecanismo de calor puede ser cuantificada por medio del cambio de la entalpía.
Sin embargo, en general para cualquier trayectoria, e.g., isobárica, isométrica, adiabática, etc., el
cambio de entalpía para un gas ideal puede ser calculado empleando la expresión en términos de
T(t )
capacidad calorífica: ∫T(t ) C GI
. Se debe recordar que la entalpía depende exclusivamente de la
P dT
2
1
temperatura cuando se trata de un gas ideal. Asimismo, en esta última expresión solamente hay
involucradas funciones de estado, por lo que puede ser utilizada de forma independiente si se trata de
una trayectoria reversible o irreversible. Para trayectorias reversibles donde la presión cambia a lo largo
del proceso, aun cuando se verifique la condición de igualdad de presión en el estado inicial y final,
i.e., P ( t 2 ) = P ( t1 ) , el calor involucrado en el proceso no podrá ser cuantificado por la diferencia de
entalpía del sistema, en vista que no se verifica la condición de presión constante para toda la
trayectoria.
T2
GI
GI = C
∆H
∫ P dT ≠ Q
T1
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4.3.3 Procesos Adiabáticos
Considérese un gas ideal dentro de un cilindro aislado, que no permite la transferencia de energía a
través del mecanismo de calor hacia/desde los alrededores (ver Figura 4.2). El sistema está constituido
por n moles, modifica su energía interna en un intervalo de tiempo t 2 − t1 , a través de un proceso
reversible, intercambiando trabajo con lo alrededores.
Re v + dW
GI = dQ
Rev
dU
Comp Exp
Re v = 0
dQ
Rev
GI
dW
Comp Exp = − PdV
GI = −PdV
GI
dU
GI dT
GI = C
dU
V
GI dT = −PdV
GI
C
V
GI
GI
dT
R dV
GI dT = − RT dV
GI dT = −R dV
GI
=
−
C
C
V
V
GI V
GI
GI
GI
T
C
T
V
V
V
La relación entre la capacidad calorífica es un parámetro útil, en vista de su comportamiento
aproximadamente constante con la temperatura, en particular cuando se trata con un gas ideal.
C
γ≡C
P
V
γ GI =
GI
R+C
V
GI
CV
GI
γ GI = C GI
C
P
V
γ GI − 1 =
R
C GI
V
GI
dT
dV
= (1 − γ GI ) GI
T
V
La modificación de temperatura y presión del sistema dentro del intervalo considerado se cuantifica por
medio de la integral respectiva, considerando el término γ GI − 1 constante.
GI (t )
V
2
GI
dT
dV
GI
=
1
−
γ
(
)
∫
∫ GI
GI (t ) V
T(t1 ) T
V
1
T(t 2 )
T2 = T ( t 2 ) ; T1 = T ( t1 )
ln
GI
T2
V
= (1 − γ GI ) ln 2GI
TI
V
1
P2 = P ( t 2 ) ; P1 = P ( t1 )
=V
(t ) ; V
=V
(t )
V
2
2
1
1
GI
GI ⎤ (1−γ )
T2 ⎡ V
2
= ⎢ GI ⎥
TI ⎣ V
1 ⎦
Para que esta última ecuación sea aplicable, se deben verificar tres condiciones: (i) El fluido es un gas
ideal; (ii) El proceso es reversible; (iii) El sistema se encuentra perfectamente aislado térmicamente,
i.e., adiabático.
Utilizando la relación PVT para gases ideales se derivan dos útiles expresiones.
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T2 ⎡ P2 ⎤
=⎢ ⎥
TI ⎣ PI ⎦
⎛ γ GI −1 ⎞
⎜⎜ GI ⎟⎟
⎝ γ
⎠
GI ⎤
P2 ⎡⎣ V
2 ⎦
γ GI
GI ⎤
= P1 ⎡⎣ V
1 ⎦
γGI
Un análisis de la relación entre la presión y el volumen para un proceso adiabático permite establecer el
, y su comparación con una trayectoria
tipo de trayectoria que describirá en un diagrama P vs. V
isotérmica. La Figura 4.3 describe ambos procesos.
GI = α
Trayectoria isotérmica: PV
GI ⎤
Trayectoria adiabática: P ⎡⎣ V
⎦
γ GI
=β
El trabajo termodinámico reversible de compresión o expansión se determina para procesos adiabáticos
que involucran gases ideales se determina a partir de la relación entre la presión y el volumen antes
indicada.
P
T2
P2
Q=0
2
T1
Adiabática
P1
Sistema
1
GI
V
2
Rev
W
Comp Exp
Rev
W
Comp Exp = −
GI
V
Figura 4.3 Comparación de trayectorias isotérmicas y adiabática.
Figura 4.2 Sistema aislado.
GI
GI ⎡⎛ P ⎞( γ −1)
P1V
= GI 1 ⎢⎜ 2 ⎟
γ − 1 ⎢⎝ P1 ⎠
⎣
GI
V
1
γ GI
⎤
⎡⎛ ⎞( γGI −1)
RT
P
− 1⎥ = GI 1 ⎢⎜ 2 ⎟
⎥ γ − 1 ⎢⎝ P1 ⎠
⎦
⎣
γ GI
⎤
− 1⎥
⎥
⎦
GI − P V
GI
P2 V
R
2
1 1
T
−
T
=
−
(
)
2
1
1 − γ GI
1 − γ GI
, puede ser
El trabajo de agitación recibido por un fluido por la acción de un eje, i.e., trabajo de eje: W
S
calculado a partir de las propiedades del fluido siempre que se verifique la condición que el proceso sea
reversible:
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P2
Re v = VdP
W
S
∫
P1
Si además el fluido es un gas ideal, se demuestra que el trabajo de eje puede ser establecido mediante
una relación similar a la obtenida para el trabajo de compresión o expansión del gas.
Re v
W
S
GI
γ GI P V
= GI1 1
γ −1
⎡⎛ ⎞( γGI −1)
⎢⎜ P2 ⎟
⎢⎝ P1 ⎠
⎣
γ GI
⎤
⎡⎛ ⎞( γGI −1)
GI
γ
RT
P
− 1⎥ = GI 1 ⎢⎜ 2 ⎟
⎥ γ − 1 ⎢⎝ P1 ⎠
⎦
⎣
GI
GI
Re v = − γ R ( T − T ) = − γ
GI − P V
GI
W
P2 V
S
2
1
2
1 1
1 − γ GI
1 − γ GI
(
γ GI
⎤
− 1⎥
⎥
⎦
)
Un proceso adiabático y además reversible, i.e., isoentrópico, se define como ideal (ID), valor
referencial empleado para el cálculo del trabajo de eje real. Para turbinas la diferencia entre ambos
trabajos de eje da origen al concepto de Eficiencia Isoentrópica de Expansión ( ηExp ≤ 1) :
ηExp =
W
S
ID
W
S
<W
ID
W
S
S
Para compresores y bombas la diferencia entre ambos trabajos de eje da origen al concepto de
Eficiencia Isoentrópica de Compresión ( ηComp ≤ 1) .
ηComp =
ID
W
S
W
S
>W
ID
W
S
S
La definición de procesos isoentrópico o ideal no tiene relación con el tipo de fluido que participe en el
proceso, sea éste gas ideal, gas real, líquido, etc.
4.3.4 Procesos Politrópicos
La compresión o expansión de un gas ideal, sin una restricción particular de la trayectoria excepto que
ésta sea reversible, se denomina Proceso Politrópico. Si se considera que el sistema es cerrado, y el
proceso se lleva a cabo en un intervalo de tiempo t 2 − t1 , su comportamiento puede ser representado en
un diagrama ln P vs. ln V , a través de una línea recta de pendiente constante y negativa n (ver Figura
4.4),
d ln P
= −n
GI
d ln V
n
GI ⎤ = P ⎡ V
GI ⎤
P1 ⎡⎣ V
1 ⎦
2 ⎣ 2 ⎦
GI = 0
d ln P + nd ln V
n
P2 = P ( t 2 ) ; P1 = P ( t1 )
=V
(t ) ; V
=V
(t )
V
2
2
1
1
En términos generales para un proceso politrópico se verifica una relación de la presión y volumen
similar a la encontrada en procesos adiabáticos.
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Gases Ideales en Procesos Simples de Compresión y Expansión
GI ⎤ n = α
P ⎡⎣ V
⎦
(α: constante)
El valor de la pendiente n puede tomar valores desde −∞ a +∞ , dependiendo de tipo de proceso del
cual se trate. La Tabla 4.1 detalla el valor de la constante para diferentes trayectorias.
Tabla 4.1 Valor de la constante n para diferentes procesos
Parámetro
Proceso
Valor de n
Isobárico
Isotérmico
Adiabático
Isométrico
n =0
n =1
n = γ GI
n=∞
Presión
Temperatura
Entropía
Volumen molar
Observaciones
(gas ideal)
(gas ideal)
La Figura 4.5 presenta una comparación del comportamiento de la presión en función del volumen para
tres condiciones de procesos: isotérmica, adiabática y politrópica. Se desprende de esta figura que las
trayectorias politrópicas y adiabáticas tienden a encontrarse razonablemente próximas, por lo cual la
mayoría de los cálculos de la operación industrial de equipos de compresión se realiza considerando
una operación adiabática del compresor. Asimismo, de la Figura 4.5 es claro que de tratarse de una
compresión del gas, la que menor cantidad de trabajo se consumirá, corresponde a aquella compresión
que se lleva a cabo isotérmicamente.
Relaciones análogas a las obtenidas para procesos adiabáticos se derivan para los procesos politrópicos.
⎛ n −1 ⎞
⎜
⎟
n ⎠
GI ⎤ (1− n )
T2 ⎡ V
= ⎢ 2GI ⎥
TI ⎣ V
1 ⎦
T2 ⎡ P2 ⎤ ⎝
=⎢ ⎥
TI ⎣ PI ⎦
n = ±∞
Isométrica
P
ln P
n = −2
n = −1
n = −0.5
n=0
Isobárica
–n
ln V
Figura 4.4 Proceso politrópico.
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n =1
Isotérmica
n = γ GI
Adiabática
GI
V
Figura 4.5 Comparación de trayectorias adiabática,
isométrica, isotérmicas, y politrópica.
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Gases Ideales en Procesos Simples de Compresión y Expansión
Las expresiones para el trabajo de compresión/expansión y de eje que experimenta un gas ideal a través
de una trayectoria reversible politrópica en un intervalo: t 2 − t1 , son idénticas a las obtenidas para un
proceso adiabático, excepto por el valor del parámetro n.
GI
V
2
Re v
GI
Trabajo de compresión/expansión: W
Comp Exp = − ∫ PdV
GI
V
1
W
Re v
Comp Exp
RT1 ⎡⎛ P2 ⎞
⎢⎜ ⎟
=
n − 1 ⎢⎝ P1 ⎠
⎣
( n −1)
n
⎤
GI − P V
GI
P2 V
2
1 1
⎥
−1 = −
1− n
⎥⎦
R
Re v
W
( T2 − T1 )
Comp Exp = −
1− n
P2
Re v = ∫ V
GI dP
Trabajo de eje: W
S
P1
( n −1) n
⎤
nRT1 ⎡⎛ P2 ⎞
nR
Re v
⎢⎜ ⎟
− 1⎥ = −
WS =
( T2 − T1 )
n − 1 ⎢⎝ P1 ⎠
1− n
⎥
⎣
⎦
Re v = − n P V
GI
GI .
W
S
2 2 − P1V1
1− n
(
)
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