CALCULO I-- - Udabol Virtual

FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
UNIDAD ACADÉMICA DE SANTA CRUZ
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
CARRERAS
INGENIERIA COMERCIAL
AUDITORIA
ADMINISTRACION
MARKETING Y PUBLICIDAD
PRIMER SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
CALCULO I
Elaborado por:
Ing. Tomas Alberto Salazar.
Gestión académica II/2012
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
1
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Ser la universidad líder en calidad educativa.
MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la educación superior universitaria con calidad y competitividad al servicio de la
sociedad.
Estimado (a) estudiante:
El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes
han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para
brindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que
organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas muchos más productivos. Esperamos
que sepas apreciarlo y cuidarlo.
Aprobado por:
U N
I V E
R S
_____________________________ Fecha: Agosto del 2012
Firma y sello del jefe de Carrera.
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
2
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
SYLLABUS
ASIGNATURA:
CÓDIGO:
REQUISITO:
CARGA HORARIA:
HORAS TEÓRICAS:
HORAS PRACTICAS:
CRÉDITOS:
I.
-
CALCULO I
MAT. 101 C
ADMISIÓN
100 Horas
80 Horas
20 Horas
10
OBJETIVOS GENERALES.
Resolver problemas abstractos simulados y reales relativos al cálculo matemático
Determinar analítica y gráficamente el dominio y la imagen de las funciones
Resolver adecuadamente los diferentes tipos de límite con eficiencia
Aplicar adecuadamente los métodos y las tablas de derivación
Aplicar adecuadamente los métodos y tablas de integración
Analizar íntegramente las características de una función aplicando los criterios adecuados
de crecimiento y decrecimiento, máximo y mínimo, intervalo de concavidad y crecimiento y
punto de inflexión y continuidad
II. PROGRAMA ANALÍTICO.
TEMA I: GEOMETRÍA ANALÍTICA.
1.1 Distancia entre dos puntos
1.2 Pendiente
1.3 La recta
1.4 Ecuaciones de la recta
1.5 Paralelismo y perpendicularidad
1.6 Problemas de aplicación
TEMA II: NÚMEROS REALES, DESIGUALDADES E INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO
2.1 Desigualdades o inecuaciones
2.2 Intervalos Finitos e Infinitos.
2.3 Representaciones Gráficas
2.4 Valor Absoluto
TEMA III: FUNCIONES
3.1 Definición
3.2 Cálculo de Dominio y Dominio de Imagen
3.3 Clasificación de funciones
3.1.1. Funciones Polinómicas
3.1.2. Funciones Exponenciales
3.1.3. Funciones Logarítmicas
3.1.4. Funciones Valor Absoluto
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
3
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
3.4 Aplicaciones de las funciones en el área económica
TEMA IV: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
4.1 Definición de límite
4.2 Interpretación Geométrica
4.3 Indeterminaciones
4.4 Límites algebraicos
4.5 Análisis de continuidad
TEMA V: LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES
5.1 Definición de Derivadas.
5.2 Interpretación Geométrica
5.3 Derivación con el uso de tablas
5.4 Derivada de las Funciones Compuestas. Regla de la Cadena
5.5 Derivadas de orden superior
5.6 Máximos y Mínimos
TEMA VI: LA INTEGRAL: DEFINIDA E INDEFINIDAS Y SUS APLICACIONES
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Integral Indefinida: Definición y Propiedades.
Integración por tablas: Uso de Tablas
Integración por cambio de Variable
Integrales definidas
Aplicaciones: Cálculo de Área.
III. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL
La materia es del “TIPO B”, son materias que complementan el conocimiento del
estudiante y no inciden en forma directa con la práctica profesional del estudiante.
Diagnóstico de Situacional.
 De acuerdo con los datos obtenidos de la Brigadas Udabol realizadas en el distrito 1 de
nuestra ciudad, se logro evidenciar la falta de conocimiento del manejo impositivo tanto de
la Pymes como de las empresas constituidas en sociedad.
 Una de las causas principales es la falta de know how o conocimiento en temas de la
gestión empresarial integral (marketing, administración, contabilidad, recursos humanos,
presupuestos, planificación, comercialización, tributación, proyecto de inversión).
 Muy aparte de lo mencionado anteriormente, no han se han establecidos políticas claras
que fomenten el sector de las PyME´s en el desarrollo de las gestión empresarial.
Nombre del Proyecto: CONSULTORÍA: Prestación de servicios para las PyME´s.
La ejecución de diferentes programas de interacción social y la elaboración e implementación de
una Consultoría de la Carrera de Ingeniería Comercial en el desarrollo comunitario, ayuda al
estudiante en su formación profesional integral de la carrera y de la asignatura en particular
quienes son los beneficiados con esta iniciativa. La materia aportara al proyecto de la siguiente
manera.
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
4
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
Al estudiante:
 Desarrollar prácticas Pre -profesionales en condiciones reales guiados por sus docentes
con procesos académicos de enseñanza y aprendizaje de Brigadas y de “aula abierta”.
 Trabajar en equipos habituándose a ser parte integral de un todo que funciona como
unidad, desarrollando un lenguaje común, criterios y opiniones comunes y planteándose
metas y objetivos comunes para dar soluciones en común a los problemas.
 Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento histórico en que la ciencia
atraviesa una etapa de diferenciación y que en los avances tecnológicos conllevan a la
aparición de nuevas y más delimitadas especialidades.
 Desarrollar una mentalidad crítica y solidaria con plena conciencia de nuestra realidad
nacional y local.
 Visitar a instituciones recabar información referente al funcionamiento de las PyME´s.
A la comunidad.





Asesorar en la creación de pequeñas y medianas empresas.
Realizar consultarías y asesoramiento a las PyME´s
Realizar cursos de capacitación y actualización.
Realizar investigaciones de mercado.
Realizar estudios de técnico, económicos y financieros.
Trabajo a realizar por
los estudiantes
Levantamiento
datos las PYMES.
Localidad, Aula o
Laboratorio
Incidencia Social
Fecha
de En diversos lugares Contribuir en levantar los
de la ciudad.
datos
iniciales
para
implementación de la
consultora de apoyo.
Apoyo
e
el En los mercados y Contribuir
en
la
levantamiento
de supermercados.
implementación de la
datos e información
canasta básica a bajo
costo
Evaluación
datos
U N
de
I V E
los En aula y
laboratorio de
Internet.
R S
I D A D
D E
Tabular datos y evaluar
datos
crudos
para
realizar
toma
de
decisiones.
A Q
U I N O
B O
L I V I A
5
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
IV. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA.
 PROCESUAL O FORMATIVA.
Actividad de aula abierta (Servicio de consultaría).
Las vinculadas a la actividad de aula abierta “Servicios de Consultaría” formaran parte de las
evaluaciones procesuales, cada una de estas se evaluarán de la siguiente manera:
 Resultados de la visita a Pymes (de 0 a 50 puntos)
1. Informaciones obtenidas (folletos, Propagandas).
10 puntos.
2. Exposición y conocimiento de lo investigado.
15 puntos.
3. Defensa del trabajo realizado con conclusiones y Bibliografía incluida.
25 puntos.
 Resultados de visitas dirigidas al mercado. Información y censo (de 0 a 50 puntos).
1. Encuestas informativas y escritas (bajo formulario especial diseñado por
el docente) realizadas por los estudiantes.
25 Puntos.
2. Relevamiento de la información obtenida.
25 puntos.
Actividad Aula Cerrada.
Constituyen parte de las evaluaciones de diagnóstico y procesuales, las mismas que serán
evaluadas con las siguientes ponderaciones:
 Clases Teóricas y Exposiciones. (De 0 a 50 puntos).
1. Consistente en la exposición de temas específicos de investigación, la cuales se evaluarán
el conocimiento, exposición y defensa del mismo.
 Repasos Cortos de diagnostico y de resultado. (De 0 a 50 puntos).
1. Cada uno de los cuales se evaluará cada semana sobre temas de avance realizados.
2. La resolución en forma individual o grupal de los Works Paper´s y DIF´s tendrán también
una ponderación similar.
 Trabajos prácticos y/o ejercicios para resolución, (de 0 a 50 puntos).
1.
Son trabajos que se dan a través del semestre con bibliografía incluida, o de
elaboración propia del docente, cada uno tendrán una ponderación de 50 puntos.
 DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE O SUMATIVA (examen parcial
o final).
EVALUACIÓN DE RESULTADOS
Se realizarán dos evaluaciones parciales y una evaluación final con un contenido práctico y
teórico con la siguiente ponderación.
 Evaluaciones Parciales.
1. Se realizarán dos evaluaciones parciales cada con una ponderación final de 50 puntos.
 Evaluación Final (de 0 a 50 Puntos).
Se realizara una sola evaluación final que tendrá la ponderación correspondiente mediante
un examen teórico práctico.
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
6
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
V. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA.


Ronald E. Larson - Robert P. Hostetler: Cálculo y geometría analítica. Ed. McGraw
Hill México 1999. Sig. Top: 515.35. C47.
CHUNGARA Víctor, Problemas y Apuntes de Cálculo. Ed. UMSA. LA Paz, Bolivia,
2003, Sig. Top. 515.35 C47 t.1.

Gutiérrez P.A. –Moreno Luís: La práctica del cálculo diferencial e integral. Ed. Jisunú.
Bolivia 2001 Sig. Top: 515.33 G97 v1.

Deminovich 5000 Problemas de Análisis Matemático, Editorial Mir. Moscú, 1980. Sig.
Top. 515 D39.

Gutiérrez Pedro, Calculo Diferencial e Integral I, Editorial Universitaria, 1999. Sig.
Top.: 515.33 G97 v.1, 515.33 G97 v.2.

Callau José Luís, Geometría analítica, 2004. Sig. Top. 516.3 C13.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA.



Lawrence D. Hoffmann – Gerald L. Bradley: Cálculo aplicado a la administración
McGraw Hill Colombia 1994.
Figueroa R.G. : cálculo 1 Editorial América . Perú. 1997.
Espinoza Ramos Eduardo: Análisis matemático 1. Perú. 1995.
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
7
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
VI. PLAN CALENDARIO
SEMANA
ACTIVIDADES ACADÉMICAS
1ra.
Avance de materia
Tema I
2da.
Avance de materia
Tema I
3ra.
Avance de materia
Tema I
4ta.
Avance de materia
5ta.
Avance de materia
6ta.
Avance de materia
7ma.
Avance de materia
8va.
Avance de materia
9na.
Avance de materia
10ma.
Avance de materia
11ra.
Avance de materia
Tema IV
12da.
Avance de materia
Tema IV
13ra.
Avance de materia
14ta.
Avance de materia
15ta.
Avance de materia
16ta
Avance de materia
17ta.
Avance de materia
18va.
Avance de materia
19na.
Avance de materia
Tema II
Tema II
Tema III
Tema III
Tema III
Tema IV
Tema IV
.
Tema V
Tema V
Tema V
Tema VI
Unidad VI
Unidad VI
Repaso General
Segunda instancia.
20va.
U N
OBSERVACIONES
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
.
B O
L I V I A
8
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
VII. WORKS PAPER´S
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA
TITULO: La línea recta
FECHA DE ENTREGA: 1er Parcial
La línea recta
La línea recta es la sucesión de puntos entre los cuales se mantiene constante la misma
pendiente, es decir la misma inclinación, gráficamente la línea recta, al tener la misma
inclinación en todas sus partes se puede graficar mediante el uso de una regla, la línea recta
analíticamente se puede expresar mediante varias ecuaciones, entre las más importantes
tenemos:
Ecuación pendiente y ordenada en el origen: y  mx  b
Ecuación general: ax  by  c  0
Ecuación punto – punto:  y  y1  
y2  y1
x  x1 
x2  x1
Ecuación punto pendiente: y  y1  mx  x1 
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
9
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
CUESTIONARIO DEL WORK PAPER 1
LA RECTA
1.
a) Graficar los puntos
A (-2, 3)
B(1,-1)
C(0,3)
D(2,4)
E(-2,0)
F(-1,4)
G(0,-2)
H(0,0)
I(3,-1)
J(2,3)
b) Hallar la pendiente para los segmentos:









AB
AE
AD
CH
JC
DI
EG
CF
IB
2.
Hallar la ecuación general de la recta y graficar:
a)
Que pase por (-2,1) y (-1,-1)
b)
Que pase por (5,0) y (-1,-1)
c)
Que pase por (-3,-2) y (3,4)
d)
Que pase por (2,1) y la pendiente sea 2
e)
Que pase por (-2,-1) y la pendiente sea
f)
Que pase por (0,0) y m=
1
2
2
3
g)
Que pase por (-1,-1) y m=0
h)
Que tenga m=
3.
Graficar la recta
2
3
y b=
5
2
a) 2 x  3 y  4
b ) 5x 
1
y7
3
c) y  2 x  3
d) y 
3
x 1
2
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
10
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
4.
Dada la ecuación de la recta hallar la pendiente, la ordenada en el origen y la gráfica
a) 4 y  2 x  3x  3 y  1
b) 3x  2  3 y
c) 6 x  9 y  3
d) 2 
1
y  3x  0
2
5.
Hallar la ecuación de la recta:
a)
Que pase por el pto. (0,-2) y sea paralela a la recta y  2 x  3
b)
Que pase por el pto. (-2,2) y sea paralela a la recta 3x  2 y  4
c)
Que pase por el pto. (1,-3) y sea paralela a otra que pase por (-1,3) y (2,-1)
6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la recta que pasa por el punto de intercepción de las
rectas 3x  5 y  9  0 y 4 x  7 y  28  0
y cumple con la condición siguiente.
a) Pasa por el punto (-3,-5)
b) Pasa por el punto (4,2)
c) Es paralela a la recta 2 x  3 y  5  0
d) Es perpendicular a la recta 4 x  5 y  20  0
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
11
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA
TITULO: La parábola
FECHA DE ENTREGA: 1er Parcial
La parábola. La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a un punto
fijo (foco) es igual a la distancia a una recta fija (directriz)
El vértice. El vértice de la parábola es la punta que esta presenta, tiene como coordenadas
V(h,k)
La distancia del vértice al foco se denomina “a”
La distancia del vértice a la directriz se denomina “a”
Eje de la Parábola. El eje de la parábola es el eje sobre el cual está alineado esta, y puede ser
eje “x” ó eje “y”
El lado recto (LR) Es una línea recta perpendicular al eje de la parábola y se sitúa a la altura
del foco
Ecuaciones de la parábola.
Las ecuaciones de la parábola dependen del eje sobre el cual se encuentre la parábola, así
tenemos
Parábola sobre el eje “x”
 y  k 2  4ax  h
y 2  4ax
U N
(Con vértice fuera del origen, en el pto.(h,k))
(Con vértice en el origen)
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
12
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
y 2  bx  cy  d  0
(Ecuación general)
Parábola sobre el eje “y”
x  h2  4a y  k 
x 2  4ay
(Con vértice fuera del origen, en el pto.(h,k))
(Con vértice en el origen)
x2  bx  cy  d  0
(Ecuación general)
CUESTIONARIO DEL WORKS PAPER 2
La parábola
1. Graficar mediante tabla de valores las siguientes parábolas:
1 2
x 1
2
b) y 
c) x  2 y 2  3
d) x  
a) y 
1 2
x 2
2
1 2
y 4
2
2. Dadas las siguientes parábolas determinar: a) Las coordenadas del vértice b) Las
coordenadas del foco c) La gráfica
a) x 2  4 x  8 y  12  0
b) y 2  10x  4 y  26  0
c) 2 x 2  12x  24y  30  0
d) y 2  12x  4 y  20  0
e) y 2  20x  10y  75  0
f) 3x 2  12x  36y  60  0
3. Hallar la ecuación de la parábola y la grafica en los siguientes casos:
a) Que tenga vértice en el pto (2,2) y foco en el pto (2, -1)
b) Que tenga foco en el pto (1,1) y vértice en el pto (4,1)
c) Que tenga foco en el origen y vértice en el pto (0,4)
d) Que tenga vértice en (-2,-1) y foco en (0,-1)
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
13
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORKS PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: NÚMEROS REALES, DESIGUALDADES,
INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO
TITULO: Desigualdades
FECHA DE ENTREGA: 1er Parcial
Intervalo en el eje real. Un intervalo es un rango de valores o subconjunto de los números
reales
Desigualdad. Una desigualdad en una variable es una expresión que contiene una variable y
por lo menos una relación de desigualdad como ser: menor que, menor o igual que, mayor que,
mayor o igual que.
Conjunto solución. El conjunto solución de una desigualdad es el intervalo que contiene al
conjunto de todos los valores que satisfacen la desigualdad inicial.
Resolver las siguientes desigualdades
1.
3x  5  x  2
2.
7 x  9  14 x  3
3.
5 x  3  2 x  6 x  2  3x
4.
3
2
x
5.
2 4 5

 6
x 2x 3
6.
5
3
2x
7.
x2  x   0
8.
x 2 3x  1
0
 x  2
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
14
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
9.
x x  2 
0
x  3
10.
x 2 x  3
0
2 x  3
11.
x 2  5 x  24  0
12.
28  x 2  11x  0
13.
x 2  5 x  36
14.
3x 2  5 x  3  0
15.
 5x 2  2 x  1  0
16.
7 x 2  4x  2  0
2
17.-
2 x 3
1 2
2 x  1     x   
3 2 2
3 3
resp.
 , 1
resp.
2,  
18.-
2  x  2x 1
2
1
  3  x  
1   
3 3 3 6
3
2
19.-
21
 3x 4 2 x 3  2 x 2 
   
  3x    
32
 4 3 3 4  3 3
resp.
20.-
2x  1x  4  7
resp.  ,3 
21.-
2x 1x 1  3
resp.   ,   2, 
2
22.-
3x  5x  2  8
resp.
23.-
3x 1x  1  7
resp.   ,2 ,  
3
24.-
x 3 1  x 2  x
25.-
1 
2 


I V E
1

 2 
  ,1
 3 


4


resp.  1,   1


1 

resp.   ,2 ,3
3
1
2

x  1 3x  1
U N
2 
3 , 


R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
15
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
26.-
x  2 x 1

x3
x
resp.   3,
27.-
x2
x
1


4
x 1 4
resp.  1,   1
28.-
3x  4
x 1
 2
x2
3 x
resp.  ,23, 
29.-
1 x 1 x
3x

 2
2 x 2 x x 4
resp.
 2,0U 2, 
30.-
2
5
3
 2
 2
x  4x  3 x  x  2 x  x  6
resp.
 3,2U  1,2


2
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
1
0, 
2

L I V I A
16
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORKS PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: FUNCIONES
TITULO: Funciones en una variable
FECHA DE ENTREGA: 1er Parcial
Función. Una función es una correspondencia de elementos de una variable “x” con elementos de una
variable “y” donde la “x” es la variable independiente y la “y” es la variable dependiente, por lo tanto se
puede denotar y  f x  porque está en función de x . En una función se debe cumplir que para cada
valor de la variable independiente x solo le debe corresponder un solo valor de la variable dependiente y,
esto gráficamente se comprueba cuando trazando una línea vertical en cualquier punto de la función,
debe cortar a esta en solo un punto. Toda función tiene:
a) Dominio. El dominio de una función es el conjunto formado por todas las primeras
componentes de los pares ordenados de la función, es decir por todos los valores posibles de la variable
independiente “x”. Analíticamente se puede determinar el dominio despejando la variable dependiente “y”
y analizando las restricciones para la “x”
b) Imagen. La imagen de una función es el conjunto formado por todas las segundas
componentes de los pares ordenados de la función, es decir todos los posibles valores de la variable
dependiente “y”, la imagen también es conocida como “dominio de imagen” o como “rango”.
Analíticamente se puede determinar la imagen despejando la variable independiente “x” y analizando las
restricciones para la “y”
Tipos de funciones
Polinómicas
Racionales
Radicales a
trozos
Trascendentes
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
17
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
F U N C I O N E S P O L I N Ó M I C AS
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn
e) Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
b) Funciones polinómicas de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta, que queda definid a por dos puntos de la función.
c) Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx +c
Son funciones
polinómicas
de segundo
grado, siendo
su gráfica una
parábola.
F U N C I O N E S R AC I O N AL E S
El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que
anulan el denominador.
F U N C I O N E S R AD I C A L E S
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
18
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los
valores que hacen que el radic ando sea m ayor o igual que cero.
F U N C I Ó N E X P O N E N C I AL
f(x)= ax
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace
corresponder la potencia ax se llam a función exponencial de base a y exponente
x.
F U N C I O N E S L O G AR Í T M I C AS
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en
base a.
f(x)= loga x
a>0, a ≠ 1
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cosen x
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
19
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
CUESTIONARIO DEL WORKS PAPER 4
Funciones
1.
Hacer el gráfico, hallar el Dominio e imagen de las siguientes relaciones,
indicar si es función o no.
1.-
2.-
4.-
5.-
7.-
8.-
9.-
10.-
3.6.9.11.-
12.-
13.-
14.-
15.-
16.-
17.-
18.-
19.-
20.-
21.-
22.-
23.-
24.-
25.-
26.-
27.-
28.-
29.-
30.-
31.-
32.-
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
20
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORKS PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: FUNCIONES
TITULO: Aplicaciones de las funciones
FECHA DE ENTREGA: segundo parcial
1.- Supóngase que el costo total en dólares de la fabricación de q unidades de cierto
articulo está dado por la
función
Cq   q 3  30q 2  400q  500
a) Calcular el costo de fabricación de 20 unidades.
b) Calcular el costo de fabricación de la vigésima unidad.
2.-Se estima que dentro de t años la población de cierta comunidad suburbana será
pt   20 
6
miles .
t 1
a) ¿Cuál será la población de la comunidad dentro de 9 años?
b) ¿Cuánto crecerá la población durante el noveno año?
3.- Se estima que el numero de horas-trabajador requeridas para distribuir nuevas
guías telefónicas al x% de las familias en cierta comunidad rural esta dado por la
función
f x  
600 x
300  x
a) ¿Cuál es el dominio de la función f?
b) ¿Para que valores de x tiene
f x 
una interpretación practica en este contexto?
c) ¿Cuántas horas-trabajador se necesitaron para distribuir las nuevas guías
telefónicas al primer 50% de las familias?
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
21
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
d) ¿Cuántas horas-trabajador se necesitaron para la distribuir las nuevas guías
telefónicas en toda la comunidad?
e) ¿Qué porcentaje de familias habían recibido nuevas guías telefónicas cuando se
completaron 150 horas-trabajador?
4.- Supóngase que durante un programa nacional para inmunizar a la población
contra cierto tipo de gripe, los funcionarios de salud pública encontraron que el costo
de vacunar al x% de la población era aproximadamente
f x  
150 x
200  x
millones
de dólares.
a) ¿Cual es el dominio de la función ƒ?
b) ¿Para que valores de x tiene
f x  una interpretación practica en este contexto?
c) ¿Cuál fue el costo de la vacunación del primer 50% de la población?
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
22
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORKS PAPER # 6
UNIDAD O TEMA: LIMITES
TITULO: El cálculo del límite de una función
FECHA DE ENTREGA: 2do Parcial
El límite. El límite de una función f x  se denota “L”, es el valor en el eje de la
variable dependiente “y” hacia el cual tiende la función cuando la variable
independiente x tiende a un valor dado “a” y se denota: lim f  x   L
xa
Hallar el límite en los siguientes casos:
6 x  12
x2 2 x  4
Rta.  3
a ) lim
x2  9
b) lim
x 3 x  3
Rta  6
x2  6x  8
x 4 x 2  5x  4
c) lim
2

 Rta  
3

x2  2x  1
d ) lim
x 1
x3  x
Rta  0
8 x3  1
2
1
x 6 x  5x  1
Rta  6
e) lim
2
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
23
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
f ) lim
1  x 3  1
x 0
Rta  3
x
g ) lim
x 1
x 1
h) lim 3
1 x 1
1 x 1
i) lim 3
x 8
x 4
x 1
x 0
x 64

 Rta 

3

 Rta  
2

Rta  3
j ) lim
x 2  23 x  1
x  12
k ) lim 3
x 8
x 2
3
x 1
x 8
2 x 3
x 7
x 2  49
x 4
3 5 x
1 5  x
U N
I V E
1

9
1

 Rta   
56 

1 x  1 x
x
x 0
n) lim

 Rta 

Rta  12
l ) lim
m) lim
1

2
Rta  1
1

 Rta   
3

R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
24
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
o) lim
x2  4
x 2 x  2
Rta  4
x3  1
p) lim
x 1 x  1
Rta  3
x2  x  6
x  3
x3
Rta  5
r ) lim
x 2  25
x 5 x  5
Rta  10
s) lim
x2  4
t ) lim 2
x 2 x  x  2
4

 Rta  
3

x2  4x  5
x 1 x 2  x  2
u ) lim
x2  4
v) lim 2
x 2 x  6 x  8
x2
x2 x  4 x  4
w) lim
2
Rta  2
1

 Rta   
2

Rta   
1. Hallar los siguientes límites:
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
25
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS

a) lim x 2  x  6  x
x 

b) lim x x 2  1  x
x 


c) lim xx  a   x
x 
2x2  1
x  x  3
x 
6x  1
2x  1
f ) lim
x 
1

 Rta   
2

1

 Rta  
2


a

 Rta  
2

Rta  
d ) lim
e) lim

Rta  3
x2  1
x 1
Rta  1
 2 x 3  5 x 2  3x  2 
g ) lim  3

x  4 x  2 x 2  5 x  3


 2  3x  7 x 2 
h) lim  2

x  x  3x  4


U N
I V E
R S
1

 Rta  
2

Rta  7
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
26
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
MAS LIMITES:
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
27
FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
28
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 7
UNIDAD O TEMA: LIMITES
TITULO: Determinación de asíntotas
FECHA DE ENTREGA: 2do Parcial
Asíntotas. Las asíntotas son líneas imaginarias hacia las cuales se acerca la función pero sin
llegar a cortarlas
1. Para las siguientes funciones determinar Dominio, Imagen, grafico, Asíntota horizontal,
Asíntota vertical, Asíntota oblicua.
a) f x  
3x  1
x
b) f  x  
2x
x 1
c) f  x  
x  2x  1
x
d ) f x  
x2
x2  4
e) f  x  
2x  3
x2  1
2
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
29
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
f ) f x  
x3
x2  1
g ) f x  
x2
x  x2
2
2. Dada las funciones, hallar Dominio, Imagen, asíntotas, gráfica, analizar continuidad
a) f x  
x2  9
x3
b) f  x  
x2  2
x2  x  2
c) f x  
3
x2
d ) f x  
5
3 x
e) f  x  
x2
x2  9
f ) f x  
x 1
x  3x  4
U N
2
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
30
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Aplicaciones de los límites
1.-El costo en (dólares) de eliminar x% de la polución del agua en cierto riachuelo esta dado
por c
x   75.000 x para 0  x100
100  x
a) Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución.
b) ¿Qué porcentaje de la polución puede eliminarse con US$20.000?
c) Evaluar
lim cx  . Interpretar los resultados.
x 100
2.-Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más
poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Suponer que
dentro de x meses, el precio de cierto modelo será
px   40 
30
dólares.
x 1
a) ¿Cuál será el precio dentro de 5 meses?
b) ¿En cuanto bajara el precio en el quinto mes?
c) ¿Cuándo será US$43 el precio?
d) ¿Qué le sucederá al precio a largo plazo
x   ?
3.-Un estudio ambiental en cierta comunidad revela que el nivel medio diario de monóxido de
 p 
carbono en el aire será Q
0.5 p 19.4 unidades cuando la población sea p miles. Se
estima que dentro de t año la población será
pt   8  0.2t 2 miles.
a) expresar el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función de tiempo.
b) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono dentro de 3 años?
c) ¿Cuándo llegara a 5 unidades el nivel de monóxido de carbono?
4.- El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función:
100x 2
px   2
x  0.05  0.03
Donde p(x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera cuando se utilicen x unidades de
droga. Dibujar la grafica de p(x). ¿Qué le sucede a p(x) cuando
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
x 
B O
L I V I A
31
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORKS PAPER # 8
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS
TITULO: El cálculo de las derivadas
FECHA DE ENTREGA: 2do Parcial
Concepto. La derivada de una función f x  es otra función que representa la velocidad el
grado de crecimiento o decrecimiento de la función original f x  y se denota:
f 1  x , Dx ,
dy
.
dx
La derivada de una función f x  por definición se puede determinar según la expresión
siguiente:
f 1 x   lim
x  0
f  x  x   f x 
x
Las derivadas también se pueden determinar mediante el uso de las tablas de derivación que
se muestran a continuación:
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
32
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Tabla de derivadas
En esta tabla x es la variable independiente, u , v, w son funciones de x
c, n, a, e son constantes
1.
Dx c  0
2.
Dx x  1
3.
Dx u  v  w  u'v'w'
4.
Dx cv  cv'
5.
Dx uv  uv'u' v
6.
Dx v n  nvn1v'
7.
 u  u ' v  uv'
si v  o
Dx   
v2
v
8.
 u  u'
D x    si c  0
c c
9.
cnu'
 c 
Dx  n    n 1
u
u 
10.
D x ln v  
 
U N
v'
v
si
I V E
R S
v  0
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
33
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
11.
Dx log a v  
12.
Dx a v   v' a v ln a
13.
Dx e v   v' e v
14.
Dx u v  vuv1u' ln uuv v'
v'
log a e
v
Derivadas de orden superior. Se llama derivadas de orden superior a las derivadas
resultantes de
U N
derivar el producto de una función derivada, es así que tenemos:
2º derivada
f " x 
3º derivada
f 111 x 
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
34
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
CUESTIONARIO DEL WORKS PAPER 8
Derivadas
1.
Derivadas por definición: Calcular la derivada en cada uno de los siguientes
casos aplicando la definición:
a) f x   7 x  99
b) f x  5x2  8x  89
2.
Derivadas por tablas: Calcular la derivada en cada uno de los siguientes casos
aplicando tablas de derivadas:
b) f (x) 
a) f (x)  3x2
c) f (x) 
7
4
d) f (x) 
x5
f ) f (x) 
e) f (x)  x 2  3x  5
2
3
g) f (x)  2x 
3
5
x4
5
2 25
x
i) f (x)  x 
 x 8
3
7
k) f (x)  8 x 
3
cos x
4
4
x5

4
e4
1 5 3
x  3  2x 2  x
5
x
x3
h) f (x)  x 
 5x
4
2
j) f (x)  2 x 
3
x3
l) f (x)  2senx 
 5Lnx
3
ln x
4
m) f (x)  7 ln x  x ln 7
n) f (x)  8senx  xsen8
o) f (x)    ln 5
p) f (x)  x 7 senx
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
35
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
q) f (x)  x 8 ln x
r) f (x)  x 4 7 x
s) f (x)  ex cos x
t) f (x) 
x3  4
x2  1
senx
x4
u) f (x) 
x4  1
x4  1
v) f (x) 
w) f (x) 
x6
Lnx
x) f x  
y) f x  
1  x2
x 3  27
z) f (x) 
3x
2x  4 x
2
senx
Lnx
Dada la función f x  hallar f ' ' x  y f ' ' ' x 
3.
a) f x  5x 3  2x 2
1
1
b) f  x    x 4  x 3
4
3
c) f x  2e 4 x
2
d ) f x   ln 3x
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
36
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORKS PAPER # 9
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS
TITULO: Intervalos de crecimientos y máximos
FECHA DE ENTREGA: 2do Parcial
Intervalos de crecimiento. Un intervalo de crecimiento se presenta cuando la función en ese
intervalo es creciente, en este caso se cumple que f 1  x  para cualquier x perteneciente a ese
intervalo es positivo. Del mismo modo se presenta un intervalo de decrecimiento cuando se
cumple que f 1  x  para cualquier x perteneciente a ese intervalo es negativo.
Máximos y mínimos f 1  x 
1.
Para las siguientes funciones calcular el Dominio, Asíntotas, Continuidad, Máximos y
Mínimos, Intervalos de crecimiento, Imagen.
a) f x  6 x  8  x 2
b) f x  x 3  x 2  2x
c) f x  x 3  3x 2  9x  3
d ) f x  x 3  9x 2  24x  15
e) f x  x 3  12x
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
37
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Aplicaciones.1.- Supóngase que el costo total en dólares de fabricar q unidades es
Cq  3q 2  q  500
a) Emplear el análisis marginal para estimar el costo de fabricación de la unidad 41
b) Calcular el costo real de fabricación de la unidad 41
2.- El costo total de de un fabricante es
Cq  0.1q 3  0.5q 2  500q  200dólares, donde q
es el numero de unidades producidas.
a) Utilizar el análisis marginal para estimar el costo de fabricación de la cuarta unidad
b) Calcular el costo real de fabricación de la cuarta unidad.
3.- El ingreso total mensual de un fabricante es
Rq   240q  0.05q 2 dólares, cuando se
producen y vende q unidades durante el mes. En la actualidad, el fabricante produce 80 unidades al
mes y planea incrementar la producción mensual en 1 unidad
a) Utilizar el análisis marginal para estimar el ingreso adicional que generara la producción y venta
de la unidad 81.
b) Emplear la función de ingreso para calcular el ingreso adicional real que generara la producción y
venta de la unidad 81.
4- En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es
Cq  0.2q 2  q  900dólares. Con base en la experiencia se ha determinado que
próximamente
qt   t 2  100t unidades se producen durante las primeras t horas de uniforma de
producción. Calcular la razón al la cual cambia el costo total de fabricación con respecto al tiempo 1
hora después de iniciada la producción.
5.- Cuando determinado artículo se venda a p dólares por unidad, los consumidores compraran
D p  
40.000
unidades al mes. Se estima que dentro de t meses el precio del articulo será
p
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
38
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
pt   0.4t 3 / 2  6.8
dólares por unidad. ¿a que razón porcentual cambiaria la demanda mensual
del articulo con respecto al tiempo dentro de cuatro meses?
6.- Se proyecta que dentro de t meses el precio medio por unidad de articulo en un determinado
t   t 3  7t 2  200t  300dólares.
sector de la economía será P
a) ¿a que tasa se incrementara el precio por unida con respecto al tiempo dentro de 5 meses?
b) ¿A que tasa cambiara el incremento de la tasa de precio con respecto al tiempo dentro de 5
meses?
c) Utilizar el cálculo para estimar el cambio en el incremento de la tasa de precio durante la primera
mitad del sexto mes.
d) Calcular el cambio real en el incremento de la tasa de precio durante la primera mitad de l sexto
mes
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
39
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORKS PAPER # 10
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES
TITULO: Integrales indefinidas e integrales definidas
FECHA DE ENTREGA: Evaluación Final
Integrales Indefinidas: Dada una función f x  se dice que la función F x  es primitiva de
f x  siempre y cuando se cumpla que F1 x  f x , entonces al conjunto de todas las
primitivas de la función se llama integral indefinida y se la representa de la forma:
 f x dx  F x   C
donde:

Integral
f x  Función
F x  Primitiva
C Constante
Nota: A la integral también se la llama antiderivada
Integral definida: Si se tiene una función continua, no negativa, integrable, el área de la
porción del plano limitada por la gráfica de la función f x  , el eje “x” y las rectas x=a y x=b , se
denomina integral definida entre a y b de la función f x 
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
40
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Tablas de integrales
CUESTIONARIO DEL WORKS PAPER
I. Resolver las siguientes integrales:
1.-
 5dx
2.-
 2 x dx
3.-
 9dx
U N
6
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
41
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
dx
2
4.-

5.-
 dx
6.-  83 x dx
5
7.-
x
8.-
 x
7
 9 x 2 dx
9.-
 x
6
 x 3 dx
dx
2


10.-
 x
11.-
 3 dx
12.-
 7
13.-
4
14.-
6
U N
2

 x  1 dx
x
x
1
x

 e x dx
dx
2  x 
I V E
dx
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
42
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
15.-
 3 e dx
x
x
2. Resolver las siguientes integrales indefinidas:


6) 
1)  3x  x 3  x dx
dx
2)  7 dx
x
7) 
3dx
5x  4
6 x  2dx
3x 2  2 x  7
 7x 2  x5 
dx
3)  


2x


8)  e 5 x dx
 x3  x3  5 
dx
4)  


5x


9) 
5) 
x 2  3x  10
dx
x5
11)  ln xdx
12 )  xe x dx
10x
3  5x 2
10) 9
dx
1 x4
dx
1 x2
Rta  xlnx  1  c 
Rta  e x  1  c 
x
Calcular las integrales definidas que se indican:
3
1.
 x dx
2
1
 x
2
2.
2

 1 dx
0
3
3.

x  1dx
U N
I V E
1
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
43
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
1
4.
 2xdx
0
7
 3dc
5.
2
0
 x  2dx
6.
1
5
  3v  4dv
7.
2
 t

1
8.
2
 2 dt
1
 3x

3
9.
2
 x  2 dx
0
1
10.
 2t  1 dt
2
0
 t

1
11.
3
 9t d t
1
2
12.
 3
  x
2
1
 3x

 1dx


1
13-
3
 9 x  7 dx
0
Aplicaciones de las integrales
1.- Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiara a una razón de
4  5t 2 / 3 persona por mes. Si la población actual es 100.000 personas ¿Cuál será la población
dentro de 8 meses?
2.- Los promotores de una feria estiman que t horas después de abrir la puertas a las 9am los
visitantes entraran a una razón de N ̀ (t) personas por hora. Halla una expresión para determinar el
numero de persona que entrara a las feria entre las 11:00am y la 1:00pm
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
44
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
3.- Un fabricante estima que el costo marginal es 6q + 1 dólares por unidad cuando se producido q
unidades. Si el costo total (incluido los costos fijos o indirectos) de producción de la primera unidad
es US$130, ¿Cuál es el costo total de producción de las 10 primeras unidades?
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
45
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 1
UNIDAD O TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA
TITULO: La línea recta
FECHA DE ENTREGA: primer parcial
Aplicando los conocimientos adquiridos sobre el tema de la línea recta, además de conceptos de la
oferta y la demanda analizar los siguientes problemas y discutir sobre las soluciones al los mismos:
1. Una compañía de autobuses ha observado que cuando el precio de una excursión es de 50
$us se venden 30 puestos, si se sube el precio a 80 $us solo se venden 10 puestos.
Considerando que la variación de la demanda es lineal. a) Obtener la ecuación de la demanda
b) Graficar c) Hallar la cantidad demandada si el precio se baja a 40 $us d) Hallar la cantidad
demandada si el precio es de 65 $us.
2. Suponga que los clientes demandan 40 unidades de un producto cuando el precio es de 12 $us
y 25 unidades cuando el precio es de 18 $us cada uno, considerando que el comportamiento
de la demanda con el precio es lineal a) Encontrar la ecuación de la demanda b) Encontrar
analíticamente cual debería ser el precio para una demanda de 30 unidades requeridas
3. La siguiente tabla muestra los dividendos por acción ordinaria de General Mills durante los
años 1987 y 1994. El tiempo en años se representa por t , correspondiendo t=0a 1990, y los
dividendos se representan por y (fuente: General Mills 1994 report)
T
Y
-3
1,25
f)
-2
1,63
-1
2,53
0
2,32
1
2,87
2
2,99
3
3,10
4
2,95
Representar a mano los datos y unir mediante segmentos los puntos adyacentes.
g) Usar la pendiente para determinar los años en los que los dividendos crecieron o
decrecieron más rápidamente.
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
46
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 2
UNIDAD O TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA
TITULO: La parábola
FECHA DE ENTREGA: primer parcial
1. Utilizando lo aprendido construya los gráficos de las parábolas a) y  x 2
b) y  x  2 e
2
indique en que hace variar el valor de h en el ecuación de parábola x  h  4a y  k  e
indique los valores de h, k , a
en las parábolas de los incisos a) y b)
2
2. Construya las gráficas de las parábolas y  x 2
e
y   x2 determine en ambos casos
el valor de a y emita una conclusión acerca de la influencia del signo del valor de a
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
47
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 3
UNIDAD O TEMA: FUNCIONES
TITULO: Función composición
FECHA DE ENTREGA: primer parcial
La función composición. Sean las funciones f x  y g x  , la función composición f  g es
la función resultante de reemplazar la variable independiente x de la función f por la función
g x 
La función composición nos permite expresar una variable z en función de otra x que influye en
otra variable y que a su vez hace variar a la función
Utilizando los conceptos aprendidos sobre la composición de funciones resuelva las siguientes
interrogantes:
1. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana revela que el nivel medio diario de
Monóxido de Carbono en el aire será c p   0,4 p  1 partes por millón cuando la
población sea de p miles. Se estima que durante t años, la población de la comunidad
será pt   8  0,2t 2 miles
a) Exprese el nivel de monóxido de Carbono en el aire como función del tiempo
b) ¿Cuál será el nivel de Monóxido de Carbono dentro de 2 años?
c) ¿Cuándo alcanzará el nivel de Monóxido de Carbono 6,2 partes por millón?
2. En cierta industria, el costo total de producción de q unidades durante el periodo diario
de producción es Cq   q2  q  900 dólares.
En un día normal de trabajo, se fabrican qt   25t unidades durante las primeras t
horas de un periodo de producción
a) Exprese el costo total de producción como una función de t
b) ¿Cuánto se habrá gastado en producción al final de la tercera hora?
c) ¿Cuándo alcanzará el costo total de producción de 11000 $us?
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
48
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 4
UNIDAD O TEMA: FUNCIONES
TITULO: Funciones en una variable
FECHA DE ENTREGA: primer parcial
Un importador de café brasileño estima que los consumidores locales comprarán
aproximadamente Q p  
4,374
Kilogramos de café a la semana, cuando el precio sea p
p2
dólares por kilogramos.
Se estima que dentro de t semanas el precio será de pt   0,04t 2  0,2t  12 dólares por
kilogramos.
a) Exprese la demanda de consumo semanal de café como una función de t
b) Dentro de 10 semanas ¿Cuántos kilogramos de café comprarán los
consumidores al importador?
c) ¿Cuándo alcanzará la demanda de café 30375 Kg?
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
49
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 5
UNIDAD O TEMA: FUNCIONES
TITULO: Modelos funcionales
FECHA DE ENTREGA: segundo parcial
1. Haciendo uso del sentido común y de los conocimientos del tema de funciones resolver el
siguiente problema:
Determinada agencia de alquiler de automóviles cobra 25 $us más 60 centavos por milla.
Una segunda agencia cobra 30 $us más 50 centavos por milla. Realizar un análisis sobre
en cuales situaciones las propuestas de cada una de la agencias es más ventajosa.
2.
La oferta y la demanda de cierto producto se puede expresar en función del precio. Halle
el punto de equilibrio y la cantidad correspondiente de unidades ofertadas y demandadas
si la función de oferta para este producto es S  p  p2  3 p  70 y la función de
demanda es D p   410  p
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
50
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 6
UNIDAD O TEMA: LIMITES
TITULO: Determinación de límite de función
FECHA DE ENTREGA: segundo parcial
Aplicando los criterios aprendidos sobre los límites Analice los problemas planteados indicando
la respuesta correcta en cada caso:
Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más
poderosas y compactas, cae el precio de las que existen hoy en el mercado. Suponga que
dentro de x meses, el precio de cierto modelo será P  x   40 
a)
b)
c)
d)
30
dólares
x 1
¿Cuál será el precio dentro de 5 meses?
¿En cuanto bajará el precio en el quinto mes?
¿Cuándo el precio será 43 $us?
¿Qué le sucederá al precio a largo plazo?
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
51
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 7
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS
TITULO: Aplicación de la derivada
FECHA DE ENTREGA: segundo parcial
Aplicando la derivada por definición f , x  
f x  x   f x 
además aplicando el criterio del
x
máximo de una función resuelva la interrogante del siguiente caso:
Suponga que la utilidad de un fabricante por la venta de radios está dada por la función:
Px  4005  xx  2 ,
donde x es el precio al que se venden los
radios.
a) Halle el precio de venta que maximice las utilidades
b) Resuelva el mismo problema derivando por tablas y compare resultados
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
52
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 8
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS
TITULO: Derivada como razón de cambio
FECHA DE ENTREGA: examen final
Aplicando los conceptos de la derivada como razón de cambio analizar el caso siguiente y
responder a las interrogantes.
Un estudio de productividad del turno matinal en cierta fábrica revela que un obrero medio que
llega al trabajo a las 8:00 a.m. habrá ensamblado f x    x3  6 x2  15x radios x horas más
tarde.
a) Deduzca una formula para encontrar la razón a la cual un trabajador ensambla
radios después de x horas
b) ¿Cuántos radios ensamblará el trabajador realmente entre las 9:00 y las 10:00 hs?
c) ¿A las 9:00 hs a que razón ensambla radios el trabajador?
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
53
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 9
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS
TITULO: La regla de la cadena
FECHA DE ENTREGA: examen final
Aplicando los conceptos de la derivada, además de la regla de la cadena para funciones
responder a las interrogantes que se presentan en el siguiente caso:
Un importador de café brasileño estima que los consumidores locales consumen
aproximadamente D p  
4,374
libras de café a la semana cuando el precio sea p Dólares
p2
por libra.
Se estima que dentro de t semanas, el precio del café brasileño será pt   0,02t 2  0,1t  6
Dólares por libra.
a) ¿A qué ritmo cambiará la demanda semanal de café con respecto al tiempo dentro de 10
semanas?
b) ¿Aumentará o disminuirá la demanda?
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
54
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 10
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES
TITULO: La antiderivada
FECHA DE ENTREGA: examen final
La integral es también llamada la antiderivada es decir que es el proceso inverso de la
derivada, por consiguiente al hallar la integral se encuentra la función primitiva de donde surgió
la derivada, siguiendo este concepto utilizando tablas de derivadas y el razonamiento lógico
determine la función primitiva conociendo la derivada en los siguientes casos:
1. f , x   x 2
2. f , x   x3
3. f , x   4 x  3
Nota. No utilizar tablas de integrales
U N
I V E
R S
I D A D
D E
A Q
U I N O
B O
L I V I A
55