FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS RED NACIONAL UNIVERSITARIA UNIDAD ACADÉMICA DE SANTA CRUZ FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS CARRERAS INGENIERIA COMERCIAL AUDITORIA ADMINISTRACION MARKETING Y PUBLICIDAD PRIMER SEMESTRE SYLLABUS DE LA ASIGNATURA CALCULO I Elaborado por: Ing. Tomas Alberto Salazar. Gestión académica II/2012 U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 1 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS UDABOL UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01 VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD Ser la universidad líder en calidad educativa. MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD Desarrollar la educación superior universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad. Estimado (a) estudiante: El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas muchos más productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo. Aprobado por: U N I V E R S _____________________________ Fecha: Agosto del 2012 Firma y sello del jefe de Carrera. I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 2 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS SYLLABUS ASIGNATURA: CÓDIGO: REQUISITO: CARGA HORARIA: HORAS TEÓRICAS: HORAS PRACTICAS: CRÉDITOS: I. - CALCULO I MAT. 101 C ADMISIÓN 100 Horas 80 Horas 20 Horas 10 OBJETIVOS GENERALES. Resolver problemas abstractos simulados y reales relativos al cálculo matemático Determinar analítica y gráficamente el dominio y la imagen de las funciones Resolver adecuadamente los diferentes tipos de límite con eficiencia Aplicar adecuadamente los métodos y las tablas de derivación Aplicar adecuadamente los métodos y tablas de integración Analizar íntegramente las características de una función aplicando los criterios adecuados de crecimiento y decrecimiento, máximo y mínimo, intervalo de concavidad y crecimiento y punto de inflexión y continuidad II. PROGRAMA ANALÍTICO. TEMA I: GEOMETRÍA ANALÍTICA. 1.1 Distancia entre dos puntos 1.2 Pendiente 1.3 La recta 1.4 Ecuaciones de la recta 1.5 Paralelismo y perpendicularidad 1.6 Problemas de aplicación TEMA II: NÚMEROS REALES, DESIGUALDADES E INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO 2.1 Desigualdades o inecuaciones 2.2 Intervalos Finitos e Infinitos. 2.3 Representaciones Gráficas 2.4 Valor Absoluto TEMA III: FUNCIONES 3.1 Definición 3.2 Cálculo de Dominio y Dominio de Imagen 3.3 Clasificación de funciones 3.1.1. Funciones Polinómicas 3.1.2. Funciones Exponenciales 3.1.3. Funciones Logarítmicas 3.1.4. Funciones Valor Absoluto U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 3 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS 3.4 Aplicaciones de las funciones en el área económica TEMA IV: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 4.1 Definición de límite 4.2 Interpretación Geométrica 4.3 Indeterminaciones 4.4 Límites algebraicos 4.5 Análisis de continuidad TEMA V: LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES 5.1 Definición de Derivadas. 5.2 Interpretación Geométrica 5.3 Derivación con el uso de tablas 5.4 Derivada de las Funciones Compuestas. Regla de la Cadena 5.5 Derivadas de orden superior 5.6 Máximos y Mínimos TEMA VI: LA INTEGRAL: DEFINIDA E INDEFINIDAS Y SUS APLICACIONES 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Integral Indefinida: Definición y Propiedades. Integración por tablas: Uso de Tablas Integración por cambio de Variable Integrales definidas Aplicaciones: Cálculo de Área. III. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL La materia es del “TIPO B”, son materias que complementan el conocimiento del estudiante y no inciden en forma directa con la práctica profesional del estudiante. Diagnóstico de Situacional. De acuerdo con los datos obtenidos de la Brigadas Udabol realizadas en el distrito 1 de nuestra ciudad, se logro evidenciar la falta de conocimiento del manejo impositivo tanto de la Pymes como de las empresas constituidas en sociedad. Una de las causas principales es la falta de know how o conocimiento en temas de la gestión empresarial integral (marketing, administración, contabilidad, recursos humanos, presupuestos, planificación, comercialización, tributación, proyecto de inversión). Muy aparte de lo mencionado anteriormente, no han se han establecidos políticas claras que fomenten el sector de las PyME´s en el desarrollo de las gestión empresarial. Nombre del Proyecto: CONSULTORÍA: Prestación de servicios para las PyME´s. La ejecución de diferentes programas de interacción social y la elaboración e implementación de una Consultoría de la Carrera de Ingeniería Comercial en el desarrollo comunitario, ayuda al estudiante en su formación profesional integral de la carrera y de la asignatura en particular quienes son los beneficiados con esta iniciativa. La materia aportara al proyecto de la siguiente manera. U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 4 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS Al estudiante: Desarrollar prácticas Pre -profesionales en condiciones reales guiados por sus docentes con procesos académicos de enseñanza y aprendizaje de Brigadas y de “aula abierta”. Trabajar en equipos habituándose a ser parte integral de un todo que funciona como unidad, desarrollando un lenguaje común, criterios y opiniones comunes y planteándose metas y objetivos comunes para dar soluciones en común a los problemas. Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento histórico en que la ciencia atraviesa una etapa de diferenciación y que en los avances tecnológicos conllevan a la aparición de nuevas y más delimitadas especialidades. Desarrollar una mentalidad crítica y solidaria con plena conciencia de nuestra realidad nacional y local. Visitar a instituciones recabar información referente al funcionamiento de las PyME´s. A la comunidad. Asesorar en la creación de pequeñas y medianas empresas. Realizar consultarías y asesoramiento a las PyME´s Realizar cursos de capacitación y actualización. Realizar investigaciones de mercado. Realizar estudios de técnico, económicos y financieros. Trabajo a realizar por los estudiantes Levantamiento datos las PYMES. Localidad, Aula o Laboratorio Incidencia Social Fecha de En diversos lugares Contribuir en levantar los de la ciudad. datos iniciales para implementación de la consultora de apoyo. Apoyo e el En los mercados y Contribuir en la levantamiento de supermercados. implementación de la datos e información canasta básica a bajo costo Evaluación datos U N de I V E los En aula y laboratorio de Internet. R S I D A D D E Tabular datos y evaluar datos crudos para realizar toma de decisiones. A Q U I N O B O L I V I A 5 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS IV. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA. PROCESUAL O FORMATIVA. Actividad de aula abierta (Servicio de consultaría). Las vinculadas a la actividad de aula abierta “Servicios de Consultaría” formaran parte de las evaluaciones procesuales, cada una de estas se evaluarán de la siguiente manera: Resultados de la visita a Pymes (de 0 a 50 puntos) 1. Informaciones obtenidas (folletos, Propagandas). 10 puntos. 2. Exposición y conocimiento de lo investigado. 15 puntos. 3. Defensa del trabajo realizado con conclusiones y Bibliografía incluida. 25 puntos. Resultados de visitas dirigidas al mercado. Información y censo (de 0 a 50 puntos). 1. Encuestas informativas y escritas (bajo formulario especial diseñado por el docente) realizadas por los estudiantes. 25 Puntos. 2. Relevamiento de la información obtenida. 25 puntos. Actividad Aula Cerrada. Constituyen parte de las evaluaciones de diagnóstico y procesuales, las mismas que serán evaluadas con las siguientes ponderaciones: Clases Teóricas y Exposiciones. (De 0 a 50 puntos). 1. Consistente en la exposición de temas específicos de investigación, la cuales se evaluarán el conocimiento, exposición y defensa del mismo. Repasos Cortos de diagnostico y de resultado. (De 0 a 50 puntos). 1. Cada uno de los cuales se evaluará cada semana sobre temas de avance realizados. 2. La resolución en forma individual o grupal de los Works Paper´s y DIF´s tendrán también una ponderación similar. Trabajos prácticos y/o ejercicios para resolución, (de 0 a 50 puntos). 1. Son trabajos que se dan a través del semestre con bibliografía incluida, o de elaboración propia del docente, cada uno tendrán una ponderación de 50 puntos. DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE O SUMATIVA (examen parcial o final). EVALUACIÓN DE RESULTADOS Se realizarán dos evaluaciones parciales y una evaluación final con un contenido práctico y teórico con la siguiente ponderación. Evaluaciones Parciales. 1. Se realizarán dos evaluaciones parciales cada con una ponderación final de 50 puntos. Evaluación Final (de 0 a 50 Puntos). Se realizara una sola evaluación final que tendrá la ponderación correspondiente mediante un examen teórico práctico. U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 6 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS V. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA. Ronald E. Larson - Robert P. Hostetler: Cálculo y geometría analítica. Ed. McGraw Hill México 1999. Sig. Top: 515.35. C47. CHUNGARA Víctor, Problemas y Apuntes de Cálculo. Ed. UMSA. LA Paz, Bolivia, 2003, Sig. Top. 515.35 C47 t.1. Gutiérrez P.A. –Moreno Luís: La práctica del cálculo diferencial e integral. Ed. Jisunú. Bolivia 2001 Sig. Top: 515.33 G97 v1. Deminovich 5000 Problemas de Análisis Matemático, Editorial Mir. Moscú, 1980. Sig. Top. 515 D39. Gutiérrez Pedro, Calculo Diferencial e Integral I, Editorial Universitaria, 1999. Sig. Top.: 515.33 G97 v.1, 515.33 G97 v.2. Callau José Luís, Geometría analítica, 2004. Sig. Top. 516.3 C13. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA. Lawrence D. Hoffmann – Gerald L. Bradley: Cálculo aplicado a la administración McGraw Hill Colombia 1994. Figueroa R.G. : cálculo 1 Editorial América . Perú. 1997. Espinoza Ramos Eduardo: Análisis matemático 1. Perú. 1995. U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 7 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS VI. PLAN CALENDARIO SEMANA ACTIVIDADES ACADÉMICAS 1ra. Avance de materia Tema I 2da. Avance de materia Tema I 3ra. Avance de materia Tema I 4ta. Avance de materia 5ta. Avance de materia 6ta. Avance de materia 7ma. Avance de materia 8va. Avance de materia 9na. Avance de materia 10ma. Avance de materia 11ra. Avance de materia Tema IV 12da. Avance de materia Tema IV 13ra. Avance de materia 14ta. Avance de materia 15ta. Avance de materia 16ta Avance de materia 17ta. Avance de materia 18va. Avance de materia 19na. Avance de materia Tema II Tema II Tema III Tema III Tema III Tema IV Tema IV . Tema V Tema V Tema V Tema VI Unidad VI Unidad VI Repaso General Segunda instancia. 20va. U N OBSERVACIONES I V E R S I D A D D E A Q U I N O . B O L I V I A 8 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS VII. WORKS PAPER´S PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 1 UNIDAD O TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA TITULO: La línea recta FECHA DE ENTREGA: 1er Parcial La línea recta La línea recta es la sucesión de puntos entre los cuales se mantiene constante la misma pendiente, es decir la misma inclinación, gráficamente la línea recta, al tener la misma inclinación en todas sus partes se puede graficar mediante el uso de una regla, la línea recta analíticamente se puede expresar mediante varias ecuaciones, entre las más importantes tenemos: Ecuación pendiente y ordenada en el origen: y mx b Ecuación general: ax by c 0 Ecuación punto – punto: y y1 y2 y1 x x1 x2 x1 Ecuación punto pendiente: y y1 mx x1 U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 9 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS CUESTIONARIO DEL WORK PAPER 1 LA RECTA 1. a) Graficar los puntos A (-2, 3) B(1,-1) C(0,3) D(2,4) E(-2,0) F(-1,4) G(0,-2) H(0,0) I(3,-1) J(2,3) b) Hallar la pendiente para los segmentos: AB AE AD CH JC DI EG CF IB 2. Hallar la ecuación general de la recta y graficar: a) Que pase por (-2,1) y (-1,-1) b) Que pase por (5,0) y (-1,-1) c) Que pase por (-3,-2) y (3,4) d) Que pase por (2,1) y la pendiente sea 2 e) Que pase por (-2,-1) y la pendiente sea f) Que pase por (0,0) y m= 1 2 2 3 g) Que pase por (-1,-1) y m=0 h) Que tenga m= 3. Graficar la recta 2 3 y b= 5 2 a) 2 x 3 y 4 b ) 5x 1 y7 3 c) y 2 x 3 d) y 3 x 1 2 U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 10 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS 4. Dada la ecuación de la recta hallar la pendiente, la ordenada en el origen y la gráfica a) 4 y 2 x 3x 3 y 1 b) 3x 2 3 y c) 6 x 9 y 3 d) 2 1 y 3x 0 2 5. Hallar la ecuación de la recta: a) Que pase por el pto. (0,-2) y sea paralela a la recta y 2 x 3 b) Que pase por el pto. (-2,2) y sea paralela a la recta 3x 2 y 4 c) Que pase por el pto. (1,-3) y sea paralela a otra que pase por (-1,3) y (2,-1) 6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la recta que pasa por el punto de intercepción de las rectas 3x 5 y 9 0 y 4 x 7 y 28 0 y cumple con la condición siguiente. a) Pasa por el punto (-3,-5) b) Pasa por el punto (4,2) c) Es paralela a la recta 2 x 3 y 5 0 d) Es perpendicular a la recta 4 x 5 y 20 0 U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 11 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 2 UNIDAD O TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA TITULO: La parábola FECHA DE ENTREGA: 1er Parcial La parábola. La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a un punto fijo (foco) es igual a la distancia a una recta fija (directriz) El vértice. El vértice de la parábola es la punta que esta presenta, tiene como coordenadas V(h,k) La distancia del vértice al foco se denomina “a” La distancia del vértice a la directriz se denomina “a” Eje de la Parábola. El eje de la parábola es el eje sobre el cual está alineado esta, y puede ser eje “x” ó eje “y” El lado recto (LR) Es una línea recta perpendicular al eje de la parábola y se sitúa a la altura del foco Ecuaciones de la parábola. Las ecuaciones de la parábola dependen del eje sobre el cual se encuentre la parábola, así tenemos Parábola sobre el eje “x” y k 2 4ax h y 2 4ax U N (Con vértice fuera del origen, en el pto.(h,k)) (Con vértice en el origen) I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 12 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS y 2 bx cy d 0 (Ecuación general) Parábola sobre el eje “y” x h2 4a y k x 2 4ay (Con vértice fuera del origen, en el pto.(h,k)) (Con vértice en el origen) x2 bx cy d 0 (Ecuación general) CUESTIONARIO DEL WORKS PAPER 2 La parábola 1. Graficar mediante tabla de valores las siguientes parábolas: 1 2 x 1 2 b) y c) x 2 y 2 3 d) x a) y 1 2 x 2 2 1 2 y 4 2 2. Dadas las siguientes parábolas determinar: a) Las coordenadas del vértice b) Las coordenadas del foco c) La gráfica a) x 2 4 x 8 y 12 0 b) y 2 10x 4 y 26 0 c) 2 x 2 12x 24y 30 0 d) y 2 12x 4 y 20 0 e) y 2 20x 10y 75 0 f) 3x 2 12x 36y 60 0 3. Hallar la ecuación de la parábola y la grafica en los siguientes casos: a) Que tenga vértice en el pto (2,2) y foco en el pto (2, -1) b) Que tenga foco en el pto (1,1) y vértice en el pto (4,1) c) Que tenga foco en el origen y vértice en el pto (0,4) d) Que tenga vértice en (-2,-1) y foco en (0,-1) U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 13 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORKS PAPER # 3 UNIDAD O TEMA: NÚMEROS REALES, DESIGUALDADES, INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO TITULO: Desigualdades FECHA DE ENTREGA: 1er Parcial Intervalo en el eje real. Un intervalo es un rango de valores o subconjunto de los números reales Desigualdad. Una desigualdad en una variable es una expresión que contiene una variable y por lo menos una relación de desigualdad como ser: menor que, menor o igual que, mayor que, mayor o igual que. Conjunto solución. El conjunto solución de una desigualdad es el intervalo que contiene al conjunto de todos los valores que satisfacen la desigualdad inicial. Resolver las siguientes desigualdades 1. 3x 5 x 2 2. 7 x 9 14 x 3 3. 5 x 3 2 x 6 x 2 3x 4. 3 2 x 5. 2 4 5 6 x 2x 3 6. 5 3 2x 7. x2 x 0 8. x 2 3x 1 0 x 2 U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 14 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS 9. x x 2 0 x 3 10. x 2 x 3 0 2 x 3 11. x 2 5 x 24 0 12. 28 x 2 11x 0 13. x 2 5 x 36 14. 3x 2 5 x 3 0 15. 5x 2 2 x 1 0 16. 7 x 2 4x 2 0 2 17.- 2 x 3 1 2 2 x 1 x 3 2 2 3 3 resp. , 1 resp. 2, 18.- 2 x 2x 1 2 1 3 x 1 3 3 3 6 3 2 19.- 21 3x 4 2 x 3 2 x 2 3x 32 4 3 3 4 3 3 resp. 20.- 2x 1x 4 7 resp. ,3 21.- 2x 1x 1 3 resp. , 2, 2 22.- 3x 5x 2 8 resp. 23.- 3x 1x 1 7 resp. ,2 , 3 24.- x 3 1 x 2 x 25.- 1 2 I V E 1 2 ,1 3 4 resp. 1, 1 1 resp. ,2 ,3 3 1 2 x 1 3x 1 U N 2 3 , R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 15 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS 26.- x 2 x 1 x3 x resp. 3, 27.- x2 x 1 4 x 1 4 resp. 1, 1 28.- 3x 4 x 1 2 x2 3 x resp. ,23, 29.- 1 x 1 x 3x 2 2 x 2 x x 4 resp. 2,0U 2, 30.- 2 5 3 2 2 x 4x 3 x x 2 x x 6 resp. 3,2U 1,2 2 U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O 1 0, 2 L I V I A 16 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORKS PAPER # 4 UNIDAD O TEMA: FUNCIONES TITULO: Funciones en una variable FECHA DE ENTREGA: 1er Parcial Función. Una función es una correspondencia de elementos de una variable “x” con elementos de una variable “y” donde la “x” es la variable independiente y la “y” es la variable dependiente, por lo tanto se puede denotar y f x porque está en función de x . En una función se debe cumplir que para cada valor de la variable independiente x solo le debe corresponder un solo valor de la variable dependiente y, esto gráficamente se comprueba cuando trazando una línea vertical en cualquier punto de la función, debe cortar a esta en solo un punto. Toda función tiene: a) Dominio. El dominio de una función es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados de la función, es decir por todos los valores posibles de la variable independiente “x”. Analíticamente se puede determinar el dominio despejando la variable dependiente “y” y analizando las restricciones para la “x” b) Imagen. La imagen de una función es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados de la función, es decir todos los posibles valores de la variable dependiente “y”, la imagen también es conocida como “dominio de imagen” o como “rango”. Analíticamente se puede determinar la imagen despejando la variable independiente “x” y analizando las restricciones para la “y” Tipos de funciones Polinómicas Racionales Radicales a trozos Trascendentes U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 17 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS F U N C I O N E S P O L I N Ó M I C AS Son las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn e) Funciones constantes El criterio viene dado por un número real. f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. b) Funciones polinómicas de primer grado f(x) = mx +n Su gráfica es una recta, que queda definid a por dos puntos de la función. c) Funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. F U N C I O N E S R AC I O N AL E S El criterio viene dado por un cociente entre polinomio: El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. F U N C I O N E S R AD I C A L E S El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 18 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radic ando sea m ayor o igual que cero. F U N C I Ó N E X P O N E N C I AL f(x)= ax Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llam a función exponencial de base a y exponente x. F U N C I O N E S L O G AR Í T M I C AS La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. f(x)= loga x a>0, a ≠ 1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA Función seno f(x) = sen x Función coseno f(x) = cosen x U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 19 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS CUESTIONARIO DEL WORKS PAPER 4 Funciones 1. Hacer el gráfico, hallar el Dominio e imagen de las siguientes relaciones, indicar si es función o no. 1.- 2.- 4.- 5.- 7.- 8.- 9.- 10.- 3.6.9.11.- 12.- 13.- 14.- 15.- 16.- 17.- 18.- 19.- 20.- 21.- 22.- 23.- 24.- 25.- 26.- 27.- 28.- 29.- 30.- 31.- 32.- U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 20 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORKS PAPER # 5 UNIDAD O TEMA: FUNCIONES TITULO: Aplicaciones de las funciones FECHA DE ENTREGA: segundo parcial 1.- Supóngase que el costo total en dólares de la fabricación de q unidades de cierto articulo está dado por la función Cq q 3 30q 2 400q 500 a) Calcular el costo de fabricación de 20 unidades. b) Calcular el costo de fabricación de la vigésima unidad. 2.-Se estima que dentro de t años la población de cierta comunidad suburbana será pt 20 6 miles . t 1 a) ¿Cuál será la población de la comunidad dentro de 9 años? b) ¿Cuánto crecerá la población durante el noveno año? 3.- Se estima que el numero de horas-trabajador requeridas para distribuir nuevas guías telefónicas al x% de las familias en cierta comunidad rural esta dado por la función f x 600 x 300 x a) ¿Cuál es el dominio de la función f? b) ¿Para que valores de x tiene f x una interpretación practica en este contexto? c) ¿Cuántas horas-trabajador se necesitaron para distribuir las nuevas guías telefónicas al primer 50% de las familias? U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 21 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS d) ¿Cuántas horas-trabajador se necesitaron para la distribuir las nuevas guías telefónicas en toda la comunidad? e) ¿Qué porcentaje de familias habían recibido nuevas guías telefónicas cuando se completaron 150 horas-trabajador? 4.- Supóngase que durante un programa nacional para inmunizar a la población contra cierto tipo de gripe, los funcionarios de salud pública encontraron que el costo de vacunar al x% de la población era aproximadamente f x 150 x 200 x millones de dólares. a) ¿Cual es el dominio de la función ƒ? b) ¿Para que valores de x tiene f x una interpretación practica en este contexto? c) ¿Cuál fue el costo de la vacunación del primer 50% de la población? U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 22 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORKS PAPER # 6 UNIDAD O TEMA: LIMITES TITULO: El cálculo del límite de una función FECHA DE ENTREGA: 2do Parcial El límite. El límite de una función f x se denota “L”, es el valor en el eje de la variable dependiente “y” hacia el cual tiende la función cuando la variable independiente x tiende a un valor dado “a” y se denota: lim f x L xa Hallar el límite en los siguientes casos: 6 x 12 x2 2 x 4 Rta. 3 a ) lim x2 9 b) lim x 3 x 3 Rta 6 x2 6x 8 x 4 x 2 5x 4 c) lim 2 Rta 3 x2 2x 1 d ) lim x 1 x3 x Rta 0 8 x3 1 2 1 x 6 x 5x 1 Rta 6 e) lim 2 U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 23 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS f ) lim 1 x 3 1 x 0 Rta 3 x g ) lim x 1 x 1 h) lim 3 1 x 1 1 x 1 i) lim 3 x 8 x 4 x 1 x 0 x 64 Rta 3 Rta 2 Rta 3 j ) lim x 2 23 x 1 x 12 k ) lim 3 x 8 x 2 3 x 1 x 8 2 x 3 x 7 x 2 49 x 4 3 5 x 1 5 x U N I V E 1 9 1 Rta 56 1 x 1 x x x 0 n) lim Rta Rta 12 l ) lim m) lim 1 2 Rta 1 1 Rta 3 R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 24 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS o) lim x2 4 x 2 x 2 Rta 4 x3 1 p) lim x 1 x 1 Rta 3 x2 x 6 x 3 x3 Rta 5 r ) lim x 2 25 x 5 x 5 Rta 10 s) lim x2 4 t ) lim 2 x 2 x x 2 4 Rta 3 x2 4x 5 x 1 x 2 x 2 u ) lim x2 4 v) lim 2 x 2 x 6 x 8 x2 x2 x 4 x 4 w) lim 2 Rta 2 1 Rta 2 Rta 1. Hallar los siguientes límites: U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 25 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS a) lim x 2 x 6 x x b) lim x x 2 1 x x c) lim xx a x x 2x2 1 x x 3 x 6x 1 2x 1 f ) lim x 1 Rta 2 1 Rta 2 a Rta 2 Rta d ) lim e) lim Rta 3 x2 1 x 1 Rta 1 2 x 3 5 x 2 3x 2 g ) lim 3 x 4 x 2 x 2 5 x 3 2 3x 7 x 2 h) lim 2 x x 3x 4 U N I V E R S 1 Rta 2 Rta 7 I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 26 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS MAS LIMITES: U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 27 FACULTAD DE CIENCIAS ECON ÓMICAS Y FINANCIERAS U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 28 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 7 UNIDAD O TEMA: LIMITES TITULO: Determinación de asíntotas FECHA DE ENTREGA: 2do Parcial Asíntotas. Las asíntotas son líneas imaginarias hacia las cuales se acerca la función pero sin llegar a cortarlas 1. Para las siguientes funciones determinar Dominio, Imagen, grafico, Asíntota horizontal, Asíntota vertical, Asíntota oblicua. a) f x 3x 1 x b) f x 2x x 1 c) f x x 2x 1 x d ) f x x2 x2 4 e) f x 2x 3 x2 1 2 U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 29 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS f ) f x x3 x2 1 g ) f x x2 x x2 2 2. Dada las funciones, hallar Dominio, Imagen, asíntotas, gráfica, analizar continuidad a) f x x2 9 x3 b) f x x2 2 x2 x 2 c) f x 3 x2 d ) f x 5 3 x e) f x x2 x2 9 f ) f x x 1 x 3x 4 U N 2 I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 30 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS Aplicaciones de los límites 1.-El costo en (dólares) de eliminar x% de la polución del agua en cierto riachuelo esta dado por c x 75.000 x para 0 x100 100 x a) Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución. b) ¿Qué porcentaje de la polución puede eliminarse con US$20.000? c) Evaluar lim cx . Interpretar los resultados. x 100 2.-Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen en el mercado hoy en día. Suponer que dentro de x meses, el precio de cierto modelo será px 40 30 dólares. x 1 a) ¿Cuál será el precio dentro de 5 meses? b) ¿En cuanto bajara el precio en el quinto mes? c) ¿Cuándo será US$43 el precio? d) ¿Qué le sucederá al precio a largo plazo x ? 3.-Un estudio ambiental en cierta comunidad revela que el nivel medio diario de monóxido de p carbono en el aire será Q 0.5 p 19.4 unidades cuando la población sea p miles. Se estima que dentro de t año la población será pt 8 0.2t 2 miles. a) expresar el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función de tiempo. b) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono dentro de 3 años? c) ¿Cuándo llegara a 5 unidades el nivel de monóxido de carbono? 4.- El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función: 100x 2 px 2 x 0.05 0.03 Donde p(x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera cuando se utilicen x unidades de droga. Dibujar la grafica de p(x). ¿Qué le sucede a p(x) cuando U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O x B O L I V I A 31 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORKS PAPER # 8 UNIDAD O TEMA: DERIVADAS TITULO: El cálculo de las derivadas FECHA DE ENTREGA: 2do Parcial Concepto. La derivada de una función f x es otra función que representa la velocidad el grado de crecimiento o decrecimiento de la función original f x y se denota: f 1 x , Dx , dy . dx La derivada de una función f x por definición se puede determinar según la expresión siguiente: f 1 x lim x 0 f x x f x x Las derivadas también se pueden determinar mediante el uso de las tablas de derivación que se muestran a continuación: U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 32 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS Tabla de derivadas En esta tabla x es la variable independiente, u , v, w son funciones de x c, n, a, e son constantes 1. Dx c 0 2. Dx x 1 3. Dx u v w u'v'w' 4. Dx cv cv' 5. Dx uv uv'u' v 6. Dx v n nvn1v' 7. u u ' v uv' si v o Dx v2 v 8. u u' D x si c 0 c c 9. cnu' c Dx n n 1 u u 10. D x ln v U N v' v si I V E R S v 0 I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 33 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS 11. Dx log a v 12. Dx a v v' a v ln a 13. Dx e v v' e v 14. Dx u v vuv1u' ln uuv v' v' log a e v Derivadas de orden superior. Se llama derivadas de orden superior a las derivadas resultantes de U N derivar el producto de una función derivada, es así que tenemos: 2º derivada f " x 3º derivada f 111 x I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 34 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS CUESTIONARIO DEL WORKS PAPER 8 Derivadas 1. Derivadas por definición: Calcular la derivada en cada uno de los siguientes casos aplicando la definición: a) f x 7 x 99 b) f x 5x2 8x 89 2. Derivadas por tablas: Calcular la derivada en cada uno de los siguientes casos aplicando tablas de derivadas: b) f (x) a) f (x) 3x2 c) f (x) 7 4 d) f (x) x5 f ) f (x) e) f (x) x 2 3x 5 2 3 g) f (x) 2x 3 5 x4 5 2 25 x i) f (x) x x 8 3 7 k) f (x) 8 x 3 cos x 4 4 x5 4 e4 1 5 3 x 3 2x 2 x 5 x x3 h) f (x) x 5x 4 2 j) f (x) 2 x 3 x3 l) f (x) 2senx 5Lnx 3 ln x 4 m) f (x) 7 ln x x ln 7 n) f (x) 8senx xsen8 o) f (x) ln 5 p) f (x) x 7 senx U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 35 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS q) f (x) x 8 ln x r) f (x) x 4 7 x s) f (x) ex cos x t) f (x) x3 4 x2 1 senx x4 u) f (x) x4 1 x4 1 v) f (x) w) f (x) x6 Lnx x) f x y) f x 1 x2 x 3 27 z) f (x) 3x 2x 4 x 2 senx Lnx Dada la función f x hallar f ' ' x y f ' ' ' x 3. a) f x 5x 3 2x 2 1 1 b) f x x 4 x 3 4 3 c) f x 2e 4 x 2 d ) f x ln 3x U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 36 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORKS PAPER # 9 UNIDAD O TEMA: DERIVADAS TITULO: Intervalos de crecimientos y máximos FECHA DE ENTREGA: 2do Parcial Intervalos de crecimiento. Un intervalo de crecimiento se presenta cuando la función en ese intervalo es creciente, en este caso se cumple que f 1 x para cualquier x perteneciente a ese intervalo es positivo. Del mismo modo se presenta un intervalo de decrecimiento cuando se cumple que f 1 x para cualquier x perteneciente a ese intervalo es negativo. Máximos y mínimos f 1 x 1. Para las siguientes funciones calcular el Dominio, Asíntotas, Continuidad, Máximos y Mínimos, Intervalos de crecimiento, Imagen. a) f x 6 x 8 x 2 b) f x x 3 x 2 2x c) f x x 3 3x 2 9x 3 d ) f x x 3 9x 2 24x 15 e) f x x 3 12x U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 37 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Aplicaciones.1.- Supóngase que el costo total en dólares de fabricar q unidades es Cq 3q 2 q 500 a) Emplear el análisis marginal para estimar el costo de fabricación de la unidad 41 b) Calcular el costo real de fabricación de la unidad 41 2.- El costo total de de un fabricante es Cq 0.1q 3 0.5q 2 500q 200dólares, donde q es el numero de unidades producidas. a) Utilizar el análisis marginal para estimar el costo de fabricación de la cuarta unidad b) Calcular el costo real de fabricación de la cuarta unidad. 3.- El ingreso total mensual de un fabricante es Rq 240q 0.05q 2 dólares, cuando se producen y vende q unidades durante el mes. En la actualidad, el fabricante produce 80 unidades al mes y planea incrementar la producción mensual en 1 unidad a) Utilizar el análisis marginal para estimar el ingreso adicional que generara la producción y venta de la unidad 81. b) Emplear la función de ingreso para calcular el ingreso adicional real que generara la producción y venta de la unidad 81. 4- En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es Cq 0.2q 2 q 900dólares. Con base en la experiencia se ha determinado que próximamente qt t 2 100t unidades se producen durante las primeras t horas de uniforma de producción. Calcular la razón al la cual cambia el costo total de fabricación con respecto al tiempo 1 hora después de iniciada la producción. 5.- Cuando determinado artículo se venda a p dólares por unidad, los consumidores compraran D p 40.000 unidades al mes. Se estima que dentro de t meses el precio del articulo será p U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 38 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS pt 0.4t 3 / 2 6.8 dólares por unidad. ¿a que razón porcentual cambiaria la demanda mensual del articulo con respecto al tiempo dentro de cuatro meses? 6.- Se proyecta que dentro de t meses el precio medio por unidad de articulo en un determinado t t 3 7t 2 200t 300dólares. sector de la economía será P a) ¿a que tasa se incrementara el precio por unida con respecto al tiempo dentro de 5 meses? b) ¿A que tasa cambiara el incremento de la tasa de precio con respecto al tiempo dentro de 5 meses? c) Utilizar el cálculo para estimar el cambio en el incremento de la tasa de precio durante la primera mitad del sexto mes. d) Calcular el cambio real en el incremento de la tasa de precio durante la primera mitad de l sexto mes U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 39 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORKS PAPER # 10 UNIDAD O TEMA: INTEGRALES TITULO: Integrales indefinidas e integrales definidas FECHA DE ENTREGA: Evaluación Final Integrales Indefinidas: Dada una función f x se dice que la función F x es primitiva de f x siempre y cuando se cumpla que F1 x f x , entonces al conjunto de todas las primitivas de la función se llama integral indefinida y se la representa de la forma: f x dx F x C donde: Integral f x Función F x Primitiva C Constante Nota: A la integral también se la llama antiderivada Integral definida: Si se tiene una función continua, no negativa, integrable, el área de la porción del plano limitada por la gráfica de la función f x , el eje “x” y las rectas x=a y x=b , se denomina integral definida entre a y b de la función f x U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 40 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS Tablas de integrales CUESTIONARIO DEL WORKS PAPER I. Resolver las siguientes integrales: 1.- 5dx 2.- 2 x dx 3.- 9dx U N 6 I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 41 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS dx 2 4.- 5.- dx 6.- 83 x dx 5 7.- x 8.- x 7 9 x 2 dx 9.- x 6 x 3 dx dx 2 10.- x 11.- 3 dx 12.- 7 13.- 4 14.- 6 U N 2 x 1 dx x x 1 x e x dx dx 2 x I V E dx R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 42 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS 15.- 3 e dx x x 2. Resolver las siguientes integrales indefinidas: 6) 1) 3x x 3 x dx dx 2) 7 dx x 7) 3dx 5x 4 6 x 2dx 3x 2 2 x 7 7x 2 x5 dx 3) 2x 8) e 5 x dx x3 x3 5 dx 4) 5x 9) 5) x 2 3x 10 dx x5 11) ln xdx 12 ) xe x dx 10x 3 5x 2 10) 9 dx 1 x4 dx 1 x2 Rta xlnx 1 c Rta e x 1 c x Calcular las integrales definidas que se indican: 3 1. x dx 2 1 x 2 2. 2 1 dx 0 3 3. x 1dx U N I V E 1 R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 43 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS 1 4. 2xdx 0 7 3dc 5. 2 0 x 2dx 6. 1 5 3v 4dv 7. 2 t 1 8. 2 2 dt 1 3x 3 9. 2 x 2 dx 0 1 10. 2t 1 dt 2 0 t 1 11. 3 9t d t 1 2 12. 3 x 2 1 3x 1dx 1 13- 3 9 x 7 dx 0 Aplicaciones de las integrales 1.- Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiara a una razón de 4 5t 2 / 3 persona por mes. Si la población actual es 100.000 personas ¿Cuál será la población dentro de 8 meses? 2.- Los promotores de una feria estiman que t horas después de abrir la puertas a las 9am los visitantes entraran a una razón de N ̀ (t) personas por hora. Halla una expresión para determinar el numero de persona que entrara a las feria entre las 11:00am y la 1:00pm U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 44 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS 3.- Un fabricante estima que el costo marginal es 6q + 1 dólares por unidad cuando se producido q unidades. Si el costo total (incluido los costos fijos o indirectos) de producción de la primera unidad es US$130, ¿Cuál es el costo total de producción de las 10 primeras unidades? U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 45 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 1 UNIDAD O TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA TITULO: La línea recta FECHA DE ENTREGA: primer parcial Aplicando los conocimientos adquiridos sobre el tema de la línea recta, además de conceptos de la oferta y la demanda analizar los siguientes problemas y discutir sobre las soluciones al los mismos: 1. Una compañía de autobuses ha observado que cuando el precio de una excursión es de 50 $us se venden 30 puestos, si se sube el precio a 80 $us solo se venden 10 puestos. Considerando que la variación de la demanda es lineal. a) Obtener la ecuación de la demanda b) Graficar c) Hallar la cantidad demandada si el precio se baja a 40 $us d) Hallar la cantidad demandada si el precio es de 65 $us. 2. Suponga que los clientes demandan 40 unidades de un producto cuando el precio es de 12 $us y 25 unidades cuando el precio es de 18 $us cada uno, considerando que el comportamiento de la demanda con el precio es lineal a) Encontrar la ecuación de la demanda b) Encontrar analíticamente cual debería ser el precio para una demanda de 30 unidades requeridas 3. La siguiente tabla muestra los dividendos por acción ordinaria de General Mills durante los años 1987 y 1994. El tiempo en años se representa por t , correspondiendo t=0a 1990, y los dividendos se representan por y (fuente: General Mills 1994 report) T Y -3 1,25 f) -2 1,63 -1 2,53 0 2,32 1 2,87 2 2,99 3 3,10 4 2,95 Representar a mano los datos y unir mediante segmentos los puntos adyacentes. g) Usar la pendiente para determinar los años en los que los dividendos crecieron o decrecieron más rápidamente. U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 46 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 2 UNIDAD O TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA TITULO: La parábola FECHA DE ENTREGA: primer parcial 1. Utilizando lo aprendido construya los gráficos de las parábolas a) y x 2 b) y x 2 e 2 indique en que hace variar el valor de h en el ecuación de parábola x h 4a y k e indique los valores de h, k , a en las parábolas de los incisos a) y b) 2 2. Construya las gráficas de las parábolas y x 2 e y x2 determine en ambos casos el valor de a y emita una conclusión acerca de la influencia del signo del valor de a U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 47 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 3 UNIDAD O TEMA: FUNCIONES TITULO: Función composición FECHA DE ENTREGA: primer parcial La función composición. Sean las funciones f x y g x , la función composición f g es la función resultante de reemplazar la variable independiente x de la función f por la función g x La función composición nos permite expresar una variable z en función de otra x que influye en otra variable y que a su vez hace variar a la función Utilizando los conceptos aprendidos sobre la composición de funciones resuelva las siguientes interrogantes: 1. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana revela que el nivel medio diario de Monóxido de Carbono en el aire será c p 0,4 p 1 partes por millón cuando la población sea de p miles. Se estima que durante t años, la población de la comunidad será pt 8 0,2t 2 miles a) Exprese el nivel de monóxido de Carbono en el aire como función del tiempo b) ¿Cuál será el nivel de Monóxido de Carbono dentro de 2 años? c) ¿Cuándo alcanzará el nivel de Monóxido de Carbono 6,2 partes por millón? 2. En cierta industria, el costo total de producción de q unidades durante el periodo diario de producción es Cq q2 q 900 dólares. En un día normal de trabajo, se fabrican qt 25t unidades durante las primeras t horas de un periodo de producción a) Exprese el costo total de producción como una función de t b) ¿Cuánto se habrá gastado en producción al final de la tercera hora? c) ¿Cuándo alcanzará el costo total de producción de 11000 $us? U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 48 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 4 UNIDAD O TEMA: FUNCIONES TITULO: Funciones en una variable FECHA DE ENTREGA: primer parcial Un importador de café brasileño estima que los consumidores locales comprarán aproximadamente Q p 4,374 Kilogramos de café a la semana, cuando el precio sea p p2 dólares por kilogramos. Se estima que dentro de t semanas el precio será de pt 0,04t 2 0,2t 12 dólares por kilogramos. a) Exprese la demanda de consumo semanal de café como una función de t b) Dentro de 10 semanas ¿Cuántos kilogramos de café comprarán los consumidores al importador? c) ¿Cuándo alcanzará la demanda de café 30375 Kg? U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 49 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 5 UNIDAD O TEMA: FUNCIONES TITULO: Modelos funcionales FECHA DE ENTREGA: segundo parcial 1. Haciendo uso del sentido común y de los conocimientos del tema de funciones resolver el siguiente problema: Determinada agencia de alquiler de automóviles cobra 25 $us más 60 centavos por milla. Una segunda agencia cobra 30 $us más 50 centavos por milla. Realizar un análisis sobre en cuales situaciones las propuestas de cada una de la agencias es más ventajosa. 2. La oferta y la demanda de cierto producto se puede expresar en función del precio. Halle el punto de equilibrio y la cantidad correspondiente de unidades ofertadas y demandadas si la función de oferta para este producto es S p p2 3 p 70 y la función de demanda es D p 410 p U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 50 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 6 UNIDAD O TEMA: LIMITES TITULO: Determinación de límite de función FECHA DE ENTREGA: segundo parcial Aplicando los criterios aprendidos sobre los límites Analice los problemas planteados indicando la respuesta correcta en cada caso: Como resultado de los avances tecnológicos en la producción de calculadoras cada vez más poderosas y compactas, cae el precio de las que existen hoy en el mercado. Suponga que dentro de x meses, el precio de cierto modelo será P x 40 a) b) c) d) 30 dólares x 1 ¿Cuál será el precio dentro de 5 meses? ¿En cuanto bajará el precio en el quinto mes? ¿Cuándo el precio será 43 $us? ¿Qué le sucederá al precio a largo plazo? U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 51 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 7 UNIDAD O TEMA: DERIVADAS TITULO: Aplicación de la derivada FECHA DE ENTREGA: segundo parcial Aplicando la derivada por definición f , x f x x f x además aplicando el criterio del x máximo de una función resuelva la interrogante del siguiente caso: Suponga que la utilidad de un fabricante por la venta de radios está dada por la función: Px 4005 xx 2 , donde x es el precio al que se venden los radios. a) Halle el precio de venta que maximice las utilidades b) Resuelva el mismo problema derivando por tablas y compare resultados U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 52 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 8 UNIDAD O TEMA: DERIVADAS TITULO: Derivada como razón de cambio FECHA DE ENTREGA: examen final Aplicando los conceptos de la derivada como razón de cambio analizar el caso siguiente y responder a las interrogantes. Un estudio de productividad del turno matinal en cierta fábrica revela que un obrero medio que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habrá ensamblado f x x3 6 x2 15x radios x horas más tarde. a) Deduzca una formula para encontrar la razón a la cual un trabajador ensambla radios después de x horas b) ¿Cuántos radios ensamblará el trabajador realmente entre las 9:00 y las 10:00 hs? c) ¿A las 9:00 hs a que razón ensambla radios el trabajador? U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 53 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 9 UNIDAD O TEMA: DERIVADAS TITULO: La regla de la cadena FECHA DE ENTREGA: examen final Aplicando los conceptos de la derivada, además de la regla de la cadena para funciones responder a las interrogantes que se presentan en el siguiente caso: Un importador de café brasileño estima que los consumidores locales consumen aproximadamente D p 4,374 libras de café a la semana cuando el precio sea p Dólares p2 por libra. Se estima que dentro de t semanas, el precio del café brasileño será pt 0,02t 2 0,1t 6 Dólares por libra. a) ¿A qué ritmo cambiará la demanda semanal de café con respecto al tiempo dentro de 10 semanas? b) ¿Aumentará o disminuirá la demanda? U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 54 FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 10 UNIDAD O TEMA: INTEGRALES TITULO: La antiderivada FECHA DE ENTREGA: examen final La integral es también llamada la antiderivada es decir que es el proceso inverso de la derivada, por consiguiente al hallar la integral se encuentra la función primitiva de donde surgió la derivada, siguiendo este concepto utilizando tablas de derivadas y el razonamiento lógico determine la función primitiva conociendo la derivada en los siguientes casos: 1. f , x x 2 2. f , x x3 3. f , x 4 x 3 Nota. No utilizar tablas de integrales U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 55