Guian°4_Matematica_LT_3Medio_Diferenciado

LICEO TAJAMAR
Providencia
SECTOR:
Matemática. Plan electivo.
PROFESOR(A): Lautaro Opazo
UNIDAD TEMÁTICA:
desigualdades e
inecuaciones.
CONTENIDO: Desigualdades e inecuaciones
OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Distinguir la diferencia entre ecuaciones e inecuaciones, resolver
inecuaciones en forma gráfica y algebraica, aplicar propiedades y conocer métodos de solución.
GUÍA DE APRENDIZAJE
INECUACIONES

Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad, , , , 
 Por ejemplo:
4  6  10 ; x 1 x  2  0 ; 1  4  8 , etc. ...
 Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o
falsas, así, en los ejemplos:
 la primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a x, y la
tercera es verdadera.
 Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan inecuaciones.


Propiedades de las desigualdades:
 Se denominan también transformaciones de equivalencia.
 Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una
misma expresión o cantidad, la desigualdad no varía:
 a  b ac  bc
 Transposición: consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una
misma cantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los
miembros desaparezca del mismo y aparezca en el otro miembro:
 a

b
c  a  b  b  c  b  a

c

b


Origen
Transposición
 Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una
cantidad positiva, la desigualdad no varia, pero si la cantidad es negativa,
entonces cambia el sentido de la desigualdad:
 a  b  a  b , al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido de la desigualdad.
 a  b, c  0  a  c  b  c , si la cantidad es positiva se conserva el
sentido original de la desigualdad.
 Simplificación: si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una
cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:
a  c b  c

ab
 a  c  b  c, y c  0 
c
c
 a  b  a  b , ya que  2  3  2  3

 
 , si el divisor
 7  a 7  b

a

b


7

a

7

b



a


b

 7
 7

es negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.

Inecuaciones: son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de los miembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas.
Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las variables
 Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son las
soluciones de la misma.
 Resolver una inecuación consiste en hallar los valores numéricos para los
cuales la desigualdad es verdadera.
 Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones.
 Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de
equivalencia:
 Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una
misma cantidad o expresión algebraica, la inecuación que resulta
es equivalente a la dada.
 Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación
por una misma cantidad positiva y no nula, la inecuación que
resulta es equivalente a la dada.
 Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación
por una misma cantidad negativa, la inecuación que resulta es
de sentido contrario a la dada.
 Ejemplos:
x  2  3x  5  x  2  x  5  3x  5  x  5  3  2x , es una inecuación equivalente
a la primera.
3
4
4
3


x  1  2x   6   x  1  6   2x   , operando nos queda, 9x  6  12 x  8 ,
2
3
3
2


que es equivalente a la dada, y por último  9x  6  12 x  8  12 x  9x  8  6 , y de
ahí pasaríamos a otras inecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución, en este caso
14
3x  14  x 
, que es la solución, es decir, todos los valores de la variable menores
3
que catorce tercios.
 Inecuaciones de primer grado: son aquellas en las que las variables que
intervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad.
 Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por expresión general ax  b  0 , y todas sus equivalentes.
ax  b  0 ; ax  b  0 ; ax  b  0 .
 Ejemplos:
109
109

, es decir, se
 x    ,
99
99 

cumple para todo valor de la variable x menor o igual que ciento
nueve noventa y nueveavos.
15
 15 
 E2.- 17x  15  0  x 
 x   ,   , es decir, se cumple
17
 17 
para todo valor de la variable estrictamente mayor que quince diecisieteavos.
 Luego para resolver una inecuación se sigue un proceso similar al de resolver ecuaciones.
 Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que
hay que hacer es llegar a obtener la expresión general de una inecuación
de 1er grado del apartado anterior aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos del cálculo en general:

E1.- 99x  109  0  x 
 Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.
 Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos
miembros a común denominador.
 Reducir términos semejantes en ambos miembros.
 Pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los
que no la contengan, y volver a reducir términos. (Aplicar los principios de equivalencia de inecuaciones)
 Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equivalencia de modo que la variable quede aislada en el 1er miembro y con
coeficiente la unidad, 1)
IMPORTANTE: si al aplicar los principios de equivalencia debemos dividir o
multiplicar por una cantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la
desigualdad, así:
 36  46 x  378 x  315  46 x  378 x  36  315  424 x  351
ya que hemos tenido que multiplicar por –1 ambos miembros por
ser éstos negativos, luego proseguiríamos de modo normal.
Ejemplos:
 E1.- 4x  7  x  2  4x  x  2  7  3x  9  x  3  x   ,3 ,la
solución son todos los valores de la variable menores estrictamente que 3.
3
4
9x  6 12 x  8

 9x  12 x  8  6 , como nos
 E2.- x  1  2x  
2
3
6
6
queda la variable negativa debemos multiplicar ambos miembros por –1, así
14
14 

 3x  14  3x  14  x 
 x    ,  , la solución son todos
3
3

los valores de la variable estrictamente menores que catorce tercios.
 Modo de dar las soluciones:
 Por intervalos, como en los ejemplos anteriores.
 Gráficamente, por su representación en la recta real.
 En los casos anteriores sería
-∞

E2.-
3
-∞
14/3
Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita:
son aquellos en los que la única variable que interviene en todas las ecuaciones está
elevada a un exponente igual a la unidad.
 Sistemas de dos ecuaciones, tienen por expresión general:
a 1x  b1
, y todas sus equivalentes

a 2 x  b 2
a 1x  b1 a 1x  b1
,
, etc. ...

a 2 x  b 2 a 2 x  b 2
 Técnicas de resolución: no existe más que un modo de resolverlos, independientemente del número de inecuaciones que compongan el sistema, se
resuelve cada inecuación por separado, y al final se busca la solución en la
intersección de todas ellas, es decir, el intervalo de solución común a todas.
 Ejemplos:
x  2  1
x  1
 E1.- 
, los intervalos de solución son

2x  5  x  4 x  9
 1,   para la primera y  ,9 para la segunda. Luego la solu-

ción común a ambas está en la intersección de ambos, es decir, en
 1,9 , gráficamente tal vez se vea mejor.
1
9
E2.- Sea x el largo de un rectángulo de 3 cm. de ancho, el lado de un triángulo
equilátero y el lado de un cuadrado. Determinar su valor para que el perímetro de
rectángulo sea superior al del triángulo e inferior al del cuadrado.
El planteamiento nos lleva a 3x  2x  6  4x . Esta es una
inecuación de primer grado que no podemos resolver direc3x  2x  6 x  6
tamente. Debemos pasar al sistema 
, la

2x  6  4x x  3
primera tiene por solución el intervalo  ,6 , y la segunda
3, , luego la solución común es la intersección de ambos, es
decir  3, 6  . Ver la solución gráfica.
3
6

Inecuaciones en valor absoluto: son aquellas en las que parte de la
inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma.
 x, x  0
 Definición. x  
 x , x  0


Definición. Sea
Definición. Sea
a  R , entonces x  R , x  a  a  x  a .
a  R , entonces x  R, x  a  x  a o x   a
 Expresión general: ax  b  c , o todas sus equivalentes ax  b  c , o
ax  b  c , etc. …
 Método de resolución: aplicamos la definición de valor absoluto de una
cantidad y pasamos a un sistema de dos ecuaciones cuya solución es la solución
de la inecuación.
ax  b  c
ax  b  c


 ax  b  c por definición 
, recuerda que al
  ax  b   c ax  b  c

multiplicar los dos miembros de una desigualdad por una cantidad, negativa, cambia el sentido de la desigualdad.
 Ejemplos
3

x

2x  3
2x  1  2

2 , para la primera la
E1.- 2x  1  2  



2x

1

2
2x

1


2


 
 x  1

2
solución es el intervalo , 3 y para la segunda 1 ,  , la solución de la
2
2
 1 3 
inecuación inicial será la intersección de ambos, es decir, el intervalo  ,  .
 2 2
x3

 3 , aplicando la definición
x2

x3
x3
x  3  3  x  2
x  3  3x  6
3
3 0
0
0
x2
x2
x2
x2
 2x  9
0
x2
Para determinar los x que satisfacen la última relación se hace lo
siguiente:
9
9
 2 x  9  0  2 x  9  x 
 x  , primer punto crítico.
2
2
x  2  0  x  2 , segundo punto crítico.
Utilizando la siguiente tabla se determina la solución.
9
2


2
 2x  9
+
+
x2
+
+
+
9


Por lo tanto la solución 1 es  ;2   ;
2



x3
x3
x  3  3 x  2
x  3  3x  6
 3 
3 0
0

x2
x2
x2
x2




4x  3
0
x2
Para determinar el valor de x que satisface la relación se hace lo siguiente:
3
( punto crítico)
4
x  2  0  x  2 (punto crítico. Utilizando la tabla, tenemos:
3
2

4
4x-3
+
x-2
+
4x  3  0  4x  3  x 
-∞
+
+
+
3

Solución 2 es   ;   2; solución final: solución 1, unión solución 2
4

3 9


  ; 4    2 ; .

 

Inecuaciones factorizadas o de grado mayor que 1: son inecua-

ciones en las que la variable está elevada a un exponente mayor que la unidad.
 Expresión general: son todas del tipo ax 2  bx  c  0 , o bien cualquier
otro polinomio de grado mayor y distinta desigualdad.
 Método de resolución: descomponer factorialmente el polinomio, aplicando Ruffini, completación de cuadrados de binomios, etc. … el método que
consideres más apropiado o que mejor te resulte.
 Ejemplos:
 E1.- 2x 2  3  5x , pasamos todos los término a un único miembro, el que
más te interese, en este caso lo haremos al primero,
2x  5x  3  0  x 
2
5  25  24
4
1

x1 

2  x  1 2   x  3 , y pasamos a la
x  3
 2



   x  3  0 .
Mirando la tabla, tenemos que:  x  1 
2
inecuación 2  x  1
1
2
3
x
1
—
—
+
—
x 3
Producto
+
No es solución
+
—
+
+
Solución
No es solución
2
2
toma valores positivos a la derecha de 1
 x  3 a la derecha de 3 , así:
2
y
Luego la solución será el intervalo indicado,
donde el signo del producto es negativo.
Como la desigualdad es estricta, el intervalo solución será abierto 3, 1 .
2


E2.- x3  2x 2  x 2  2x  x3  x 2  2x  0 , descomponiendo factorialmen x 3  x 2  2x  x   x 2  x  2   x   x  1   x  2  , y pasamos a la inecuación
x   x  1   x  2  0 . En este caso tenemos tres factores, y por lo tanto, haciendo lo
mismo de antes:
-1
0
2
+∞

x
+
+
X+1
+
+
+
x-2
+
+
+
Ahora la solución, además de los intervalos, por no ser una desigualdad estricta,
debemos incluir los extremos de los mismos, así, la solución será
 , 1  0,2 .

Inecuaciones fraccionarias: son inecuaciones en las que tenemos una
fracción algebraica formando parte de la misma.
 Expresión general: son
ax  b
 0 , o todas
cx  d
—
—
+
+
x
sus equivalentes
—
+
+
+
x2
ax  b
ax  b
—
—
—
+
 0, o
 0,
x 1
cx

d
cx

d
Producto
—
—
+
+
etc. … y de grados mayores
No es solución Solución No es solución Solución
que uno.
 Método de resolución: descomponer factorialmente los polinomios numerador y denominador, aplicando Ruffini, complitud de cuadrados, etc. … el
método que consideres más apropiado o que mejor te resulte. Una vez descompuestos nunca simplificar ya que podríamos perder soluciones. Posteriormente se procede como con las inecuaciones de grado mayor que uno, ya
que se trata en el fondo de averiguar el signo final que va a tener un cociente de
productos de binomios.
 Ejemplos:
x2
 0 , en este caso ya tenemos el numerador y el denomina E1.x   x  1
dor descompuestos en factores, solo hay que construir la tabla de los signos,
así:
0
1
2
Al tratarse de una desigualdad
—
—
+
+
x
estricta no se incluyen los
—
+
+
+
x 1
límites o extremos de los
—
—
—
+
x 2
intervalos en la misma, así pues
Producto
—
—
+
+
la solución será
Solución No es solución Solución No es solución
 2,0  1,  .
2
0
1
del tipo
x 1
2
x-1
2
x 1
1
x 1
 1  0 , ojo, si pasamos multiplicando el denomix 1
x 1
nador al otro miembro estaríamos cometiendo un error. Resuelve por tu
cuenta la inecuación x  1  x  1 y compara los resultados. Para nuestro
x 1
x 1 x 1
2
caso, operando
1  0 

 0 .Construyendo la
x 1
x 1
x 1
tabla, tenemos:
1

+
+
+
+
 E2.-
La solución es  ;1
Actividades de aplicación.
P1.- Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado:
a) 3  x  2  5x
b) 1  x  2  3x
d) 3  3  2x  2  3  x
f)
h)
c)
2  3x  3  6
e) 2  x  3  3  x  1  2  x  2
3x  3 4 x  8 x

  3x
5
2
4
g) 2  3  x  
8 x
3
x 1
1  5x
 3x 
4
2
3
x
5
3x 
2x  3
3 x
2
 2 k)
i)
1
2
x 1
3
1
2
3
3
x2
 x3

3  
 x 
 x  
 2

 4
  x  2   x  3
l)
3
2
2
P2.- Resolver las siguientes inecuaciones de grado mayor que uno o fraccionarias:
a)  5x 2  3x  8  0
b) 25x 2  101x  102  0
c) x  x  5  2x 2
d)
2x  5
0
x4
e)
5x  1
3 1
2x  3
f) 81 x  4  x  x  11
g) x  1  9
h) 2   x  1  2x 2  3
i) x 2  9  x  1  0
2

2



j) 1  x 2  x 2  9  0 
l)
2x  4
4
x3

x  4  x  2  1  x   0
x  3  x  1
 3x  2
  x 1 x   x 1 x 
m) 
 2  
 
 0
2  3
2
 2
  3
2
n) x 3  5 x 2  6 x  0

k)




o) x  1  x 2  4x  3  0
x2 1
0
r)
x3
p) x  1  x  1  0 q) x  x  4 x  4  0
2
2
3
2
s) x  1  x  1  x  2  0 t)
3
2
3x  1  x  2 x  8  0
x 2  9 2  5x  x  1
x2  9
0
x 1
x  3   x  2 
2
u)
x  4  x  2  1  x   0
w)
x  3  x  1
x  x  1  x  3
y)
x 2  4 x  5  0

4 x
v)
5
0
x 2  3x  2
0
x)
6  x2  x
z)
x  3  x  3  x  0
2  x   x  1
P3.- Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:
2 x  3  x  2
a) 
3x  7  x  1
x x
 3  5  8
b) 
 x  4x  5
 2 9
2 x  3  3 x  7

c)  2 x x 2
 5  4  3
 x 1 x  3
 3  2  x
 x  12   x  32  0
d) 
e) 
 x  3   x  1  3
 4x  2  x  1  x
 4
3
Instrucciones.
a) Leer con atención y desarrollar los ejemplos dados.
b) Desarrollar los ejercicios propuestos.
c) Se realizará una tutoría en día y fecha que se indicará.
d) los ejercicios propuestos deberán ser entregados en fecha y lugar que se indicará.