  L DIFERENCIA

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD VALLES
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
PROBLEMAS RESUELTOS DE
CALCULO DIFERENCIAL
ING. ANTONIO MARBAN PAZ
AGOSTO DEL 2010
UNIDAD 1.- DESIGUALDADES LINEALES CON UNA VARIABLE
a)
2X  5  X 1
2 X  X  1  5
6
3
X  2
3X 
 2 ,  
b)
 3 X  4  X  16
 3 X  X  16  4
 4 X  12
12
X
4
 3 ,  
SE CAMBIA EL SIGNO DE RELACION
AL DIVIDIR POR UN NUMERO NEGATIVO
X  3
c)
X
5 4 X
2
X X
  45
2 1
X  2X
 1
2
3 X  2 1
X 
2

  ,  
3

2
3
2
d)
6  2X
 X  3
4
6  2 X  4 X  3
SE CAMBIO EL SIGNO DE
RELACION AL MULTIPLICAR
POR EL 4 QUE ES NEGATIVO
 1 ,  
6  2 X  4 X  12
 2 X  4 X  12  6
 6X  6
6
6
SE APLICA LA REGLA AL
X 
DIVIDIR ENTRE  6
X  1
e)
X
X
2  5
3
4
X X
  52
3 4
4 X  3X
7
12
X  712
X  84
84 ,  
3
f)
0  X  3  5 ESTA DESIGUALDAD CONTIENE DOBLE SIGNO DE RELACION
SE PUEDE RESOLVER CONSIDERANDO LA DESIGUALDAD DE
LA IZQUIERDA Y LA DE LA DERECHA.
LA DE LA IZQUIERDA
0  X 3
X 3 0
X  3
AL TRANSPONER TODOS LOS TERMINOS DE UNA DESIGUALDAD SE CAMBIA EL SIGNO DE RELACION.
LA DE LA DERECHA
X 35
X  53
X 2
LA SOLUCION FINAL LA CONFORMAN LAS DOS
 3 , 2
OTRA FORMA DE RESOLVER ES DEJAR LA VARIABLE X EN MEDIO PASANDO EL 3
TANTO A LA IZQUIERDA COMO A LA DERECHA
0 X 35
03 X  53
3 X  2
AQUÍ OBSERVAMOS QUE HAY DOS VALORES QUE ESTAN RELACIONADOS CON LA X
IZQUIERDA
3 X
X  3
DERECHA
X 2
AQUÍ AL TRANSPONER
CAMBIA EL SIGNO DE
RELACION
LA SOLUCION OBTENIDA COINCIDE CON LA ENCONTRADA DE LA FORMA ANTERIOR.
4
g)
 2X 1  X  6  X
ESTE TIPO DE PROBLEMA NO PERMITE UTILIZAR EL SEGUNDO METODO
SE TIENE QUE RESOLVER DIVIDIENDO EN DOS DESIGUALDADES
ESTO ES DEBIDO A QUE EN LOS EXTREMOS LOS COEFICIENTES DE LAS
VARIABLES SON DIFERENTES Y AL MOVERLOS AL TERMINO CENTRAL
LA RELACION SE ALTERA.
DESIGUALDAD DE LA IZQUIERDA
DESIGUALDAD DE LA DERECHA
 2X 1  X
 2 X  X  1
X  6 X
 3 X  1
1
X
3
1
X
3
2X  6
X X 6
6
2
X 3
X 
SOLUCION
1 
 3 , 3


h)
6 X  9  12 X  9  6 X  81
IZQUIERDA
DERECHA
6 X  9  12 X  9
12X  9  6 X  81
12X  6 X  81  9
6 X  12 X  9  9
 6 X  18
18
6
X  3
X
6 X  72
 3 , 12
72
6
X  12
X 
5
DESIGUALDADES CON VARIABLE EN EL DENOMINADOR
METODO
1.- AGRUPAR TODOS LOS TERMINOS EN EL PRIMER MIEMBRO
2.- EFECTUAR LA SUMA O RESTA OBTENIDA Y REDUCIR
3.- ENCONTRAR LOS VALORES POR SEPARADO QUE HAGAN CERO EL NUMERADOR Y EL
DENOMINADOR, CON ESTOS VALORES LA RECTA REAL QUEDARA DIVIDIDA EN VARIOS
INTERVALOS LOS CUALES DEBEN ANOTARSE ORDENADAMENTE.
4.- SELECCIONAR UN VALOR NUMERICO ARBITRARIO DE CADA INTERVALO Y
SUSTITUIRLO EN LA DESIGUALDAD PARA VER DONDE SE CUMPLE Y DONDE NO.
LAS SOLUCION SERA ALTERNADA, ES DECIR SI SON TRES INTERVALOS ENTONCES LA
SOLUCION PUEDE ESTAR EN LOS EXTREMOS O EN EL CENTRO, NUNCA SERA POSIBLE
QUE UNA DESIGUALDAD DE ESTE TIPO GENERE DOS INTERVALOS CONSECUTIVOS CON
SOLUCION O CON NO SOLUCION, SI ESTO SECEDE SE DEBE A QUE ESTAN MAL
CALCULADOS LOS NUMEROS QUE HACEN CERO EL NUMERADOR O EL DENOMINADOR Y
HAY QUE REVISAR.
5.- DEFINIR LA SOLUCION
a)
8
8
X 4
1.-
8
8
 
X 4 1
2.-
8  8 X  4 8  8 X  32  8 X  40 NUMERADOR


X 4
X 4
X 4
DENOMINADOR
3.- NUMERADOR
DENOMINADOR
 8 X  40  0
X 40
 40
8
X 5
X 4
X 
  , 4
4 , 5
5 ,  
4.-
X 0
X 
9
 4. 5
2
X 6
8
8
04
28
8
8
4.5  4
16  8
8
8
64
48
FALSO
CIERTO
FALSO
5.-LA SOLUCION ES X  4 PERO X  5
O LO QUE ES LO MISMO
QUE CORRESPONDE AL INTERVALO CENTRAL.
4 , 5
6
b)
1
X
X 
1.-
X 1
 
1 X
2.-
X 2 1

X
NUMERADOR
DENOMINADOR
3.-
NUMERADOR
DENOMINADOR
X 1  0
X 0
2
X 2 1
X  1
X  1
  ,  1
 1 , 0
0 , 1
1 ,  
COMO SE OBSERVA LA RECTA REAL QUEDO DIVIDIDA EN 4 INTERVALOS
4.-
X  2
2
1
2
1
2
FALSO
2 
1
2
1
1
 
1
2

2
1
  2
2
CIERTO
X 
X 
1
2
1 1

2 1
2
1
2
2
FALSO
X 2
2
1
2
CIERTO
5.LA SOLUCION ESTA ENTRE LOS NUMEROS  1 Y 0 ADEMAS LOS MAYORES A 1
QUE SE REPRESENTA ASI
 1 , 0
1 ,  
7
c)
5X  3
1

2X  6
2
1.-
5X  3 1
 
2X  6 2
2.-
5 X  3   X  3 5 X  3  X  3 6 X  6 NUMERADOR


2 X  3
2X  6
2 X  6 DENOMINADOR
3.-
NUMERADOR
6X  6  0
6X  6
6
X 
6
X 1
  , 1
DENOMINADOR
2X  6  0
2X  6
6
X 
2
X 3
1 , 3
3 ,  
4.-
X 0
50  3
1

20  6
2
3
1

6
2
1
1

2
2
FALSO
X 2
52  3
1

22  6
2
10  3
1

46
2
7
1
 
2
2
CIERTO
X 4
54  3
1

24  6
2
20  3
1

86
2
17
1

2
2
FALSO
5.- LA SOLUCION ESTA EN EL INTERVALO CENTRAL O SEA DESDE 1 HASTA 3
AQUÍ DEBEN USARSE PARENTESIS RECTANGULARES YA QUE LA SOLUCION INCLUYE
LOS NUMEROS DE LOS EXTREMOS POR EL SIGNO DE RELACION QUE ES DE 
 1 , 3
QUE ES LO MISMO QUE X  1
Y
X 3
8
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
a)
2X 1  5
ESTE TIPO DE PROBLEMAS SE RESUELVEN CONSIDERANDO DOS CASOS.
CASO I
QUITAR LAS BARRAS Y RESOLVER
2X 1  5
2X  5 1
2X  4
4
X 
2
X 2
CASO 2
QUITAR LAS BARRAS PERO MULTIPLICAR
POR (-1) LA EXPRESION Y RESOLVER
 12 X  1  5
 2X 1  5
 2X  5 1
6
X 
2
X  3
LAS DOS RESPUESTAS CONFORMAN LA SOLUCION FINAL QUE ES EL INTERVALO
ABIERTO ENTRE  3 Y 2 QUE TAMBIEN SE ESCRIBE ASI  3 , 2
COMO LA RELACION EN LA DESIGUALDAD ES DE < POR ESO SE USAN PARENTESISI
ORDINARIOS.
OTRA FORMA ES EXPRESAR LA DESIGUALDAD DE LA SIGUIENTE MANERA
 5  2X 1  5
RESOLVIENDO CON ALGUNO DE LOS DOS CRITERIOS INDICADOS ANTERIORMENTE,
PARA DESIGUALDADES QUE CONTIENEN DOBLE SIGNO DE RELACION
 5  1  2 X  5  1
 6  2X  4
6
4
X 
2
2
3 X  2
QUE FINALMENTE INDICA QUE EL VALOR DE X SE ENCUENTRA ENTRE  3 Y 2
Y QUE COINCIDE CON LA RESPUESTA OBTENIDA
 3
, 2
9
1
2X
1
3
1  1
2X
1
3
b)
REEXPRESANDO OBTENEMOS LA DESIGUALDAD EQUIVALENTE
2X
 11
3
 2X
2 
0
3
11  
3 2  2 X  30
 6  2 X  0
6
0
X 
2
2
3 X 0
AQUÍ 3  X ES LO MISMO QUE X  3 Y LA SEGUNDA DONDE X  0 ES OBVIA.
POR LO TANTO LA SOLUCION ES TODOS LOS NUMEROS COMPRENDIDOS ENTRE 0 Y 3
0
, 3 SOLUCION
c)
“P” DOLARES INVERTIDOS A UN “R” POR CIENTO DE INTERES SIMPLE DURANTE “T”
AÑOS SE CONVIERTE EN: A  P  PRT
SIENDO A= TOTAL DE DINERO A “T” AÑOS, P= CAPITAL Y R= INTERES.
PARA QUE UNA INVERSION DE 1000 DOLARES SE CONVIERTA EN AL MENOS 1250
DOLARES EN DOS AÑOS. ¿CUAL ES EL MINIMO INTERES AL QUE SE DEBE COLOCAR TAL
CAPITAL?
 1000 1000R 2   1250
1000 2000R  1250
1250 1000
R
2000
1
R
8
R  0.125

R  12.5%
10
d) EN LA FABRICACION Y VENTA DE UN PRODUCTO, LOS INGRESOS AL VENDER “X”
UNIDADES SON:
I  115 .95 X
SIENDO EL COSTO DE PRODUCCION DE ESTAS “X” UNIDADES
C  95 X  750
PARA OBTENER UTILIDAD DEBE DE SER I  C
¿PARA QUE VALORES DE “X” SE LOGRA ESTO?
115.95X  95X  750
115.95X  95X  750
20.95X  750
750
20.95
X  35.80
X 
 X  36 ARTICULOS
e) PARA QUE UN MOTOR FUNCIONE CORRECTAMENTE LA CANTIDAD DE ACEITE QUE
DEBE CONTENER, SATISFACE LA SIGUIENTE DESIGUALDAD
X 4
1
2
¿CUAL ES LA MINIMA Y MAXIMA CANTIDAD DE ACEITE QUE DEBE TENER?
X 4
1
2
2 1  X  4  21
1 
2 X 4 2
24 X  24
2 X 6
2  X ES LO MISMOQUE X  2 Y X  6 ES OBVIO
 2 , 6
LO CUAL INDICA QUE LA MINIMA CANTIDAD DE ACEITE QUE DEBE TENER PARA SEGUIR
FUNCIONANDO ES DE 2 LITROS Y LA MAXIMA ES DE 6 LITROS
11
DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO O CUADRATICAS CON UNA VARIABLE
METODO
1.- AGRUPAR LOS TERMINOS EN EL PRIMER MIEMBRO, REDUCIR E IGUALAR A CERO.
2.- RESOLVER LA ECUACION CUADRATICA GENERADA.
3.- LA RECTA REAL CON LAS DOS SOLUCIONES QUEDARA DIVIDIDA EN TRES
INTERVALOS.
4.- TOMAR UN VALOR DE PRUEBA DE CADA INTERVALO Y SUSTITUIRLO EN LA
DESIGUALDAD PARA VER DONDE SE CUMPLE Y DONDE NO.
5.- DEFINIR LA RESPUESTA. (LA SOLUCION SIEMPRE ESTARA EN EL INTERVALO
CENTRAL O EN LOS INTERVALOS DE LOS EXTREMOS, SI AL HACER LAS PRUEBAS
RESULTA FALSO O VERDADERO EN DOS INTERVALOS CONSECUTIVOS, ESTO INDICARA
QUE HAY ERROR EN LA OBTENCION O SOLUCION DE LA CUADRATICA, TAMBIEN PUEDE
SER QUE ESTEN MAL HECHAS LAS PRUEBAS).
a)
1.-
X 2 5  X 7
X 2  X 57  0
X 2  X  12  0
2.- FACTORIZANDO
TAMBIEN CON FORMULA GENERAL
X 
 X  4 X  3  0
 X 1  3 Y X 2  4
3.-
 
X 
,  3
 3
  1 
 12  41 12
21
1  1  48 1  7  X  4


2
2
 X  3
, 4
4
,  
4.-
CON X  5
 5
2
CON X  0
 5  5  7
0 5  07
2
25  5  2
5  7
20  2
CON X  6
62  5  6  7
36  5  13
31  13
CIERTO
FALSO
CIERTO
5.- LA SOLUCION ESTA EN LOS INTERVALOS DE LOS LADOS, QUE ES DONDE RESULTO
VERDADERA LA RELACION
   ,  3
Y
4
,  
QUE SE LEE ASI: X ES MENOR O IGUAL QUE -3 Y X ES MAYOR O IGUAL QUE 4
12
X 2  4 X  5  2 X
b)
X 2  4X  5  2X  0
1.-
X 2  6X  5  0
2.- FACTORIZANDO
 X  1 X  5  0
X1  1
 
3.-
X2  5
, 1
1
, 5
5
,  
4.-
CON X  2
CON X  3
 22  4 2  5  2 2
4  8  5  4
CON X  7
32  43  5  23
9  12  5  6
7 2  47   5  27 
49  28  5  14
12  9
3 1
21  9
FALSO
CIERTO
FALSO
5.- LA SOLUCION ESTA EN EL INTERVALO CENTRAL
1
, 5
QUE SE LEE ASI: X ESTA ENTRE 1 Y 5
O LO QUE ES LO MISMO X DEBE SER MAYOR QUE 1 PERO MENOR QUE 5
C)
X 2  X  6  3X  4
 
X  4X  2  0
AL HACER LAS PRUEBASL OS INTERVALOS
2
LA FACTORIZACION
NO FUNCIONA

X 
  4  
X 1  0.59
, 0.59
0.51
, 3.41
3.41 ,   
QUE SATISFACEN LA DESIGUALDAD SON
LOS DE LOS LADOS
 42  412
21
Y
X 2  3.41
13
DESIGUALDADES CON DOS VARIABLES
a) 2 X  Y  8
1.- CAMBIAR EL SIGNO DE RELACION POR UN =
2X  Y  8
2.- GRAFICAR LA ECUACION OBTENIDA
SI X  0  Y  8
SI Y  0  X  4
3.- SELECCIONAR UN PUNTO P (X, Y) ARBITRARIO QUE ESTEMOS SEGUROS QUE ESTE
ARRIBA O DEBAJO DE LA GRAFICA Y SUSTITUIRLO EN LA DESIGUALDAD PARA VER SI
SE CUMPLE O NO.
SI SE CUMPLE ENTONCES TODOS LOS PUNTOS QUE ESTEN DE ESE LADO TAMBIEN LO
HARAN.
SI NO SE CUMPLE, LA SOLUCION ESTARA DEL OTRO LADO.
POR EJEMPLO CON P 2 , 3 QUE ES UN PUNTO LOCALIZADO ARRIBA DE LA RECTA
ENCONTRAMOS QUE:
2 2  3  8
43 8
7 8
FALSO
4.- ENTONCES LA SOLUCION ESTARA EN LA OTRA REGION LO CUAL SE INDICARA CON
FLECHAS QUE INICIARAN EN LA GRAFICA DE LA ECUACION, SI EL SIMBOLO DE
RELACION ES DE  O 
NO TOCARAN LA GRAFICA CUANDO EL SIGNO SEA DE < O >
COMO 2 X  Y  8
ENTONCES LA SOLUCION DE ESTA DESIGUALDAD SON TODOS LOS PUNTOS DESDE LA
RECTA Y DEBAJO DE ELLA.
ASI MISMO LOS PUNTOS SOLO ARRIBA DE LA RECTA SE SATISFACEN PARA LA
DESIGUALDAD
2X  Y  8
14
b)
1.-
y 3 X 2
y 3  X 2
Y  X 2 3
2.- ESTO REPRESENTA UNA PARABOLA
CON VERTICE V 0 , 3
QUE CRECE HACIA  Y .
3.- EL PUNTO P5 ,
ENCONTRAMOS QUE:
 2 ESTA FUERA DE LA CURVA ENTONCES AL SUSTITUIR
Y 3 X 2
 2  3  5
 5  25
CIERTO
2
4.- LA SOLUCION EN ESTE CASO SON TODOS LOS PUNTOS DEBAJO DE LA CURVA SIN
TOCARLA.
Y LA REGION CONFORMADA POR LOS PUNTOS DESDE LA CURVA Y HACIA ADENTRO SE
DEFINE POR:
Y 3 X 2
15
SISTEMAS DE DESIGUALDADES
RESOLVER
 2X  8  X  4
5 X  1  11
HAY QUE RESOLVER POR SEPARADO Y GRAFICAR EN LA RECTA REAL
LAS SOLUCIONES EN FORMA PARALELA.
 2X  8  X  4
 2X  X  4  8
 3 X  12
12
X
3
X  4
5 X  1  11
5 X  11  1
5 X  10
10
X 
5
X 2
NOTE QUE EN LA PRIMERA SE APLICO LA REGLA Y AL DIVIDIR EL 12
ENTRE -3 SE CAMBIO EL SIGNO DE RELACION POR EL OPUESTO.
PRIMERA
SEGUNDA
 4 ,  
2 ,  
LA SOLUCION SON LOS NUMEROS QUE SATISFACEN A LAS DOS
DESIGUALDADES EN ESTE CASO ES LA SEGUNDA.
X>2
16
RESOLVER
 Y 2  X  1
 3 X  2Y  6
LA PRIMERA ES:
X  Y 2 1
UNA PARABOLA HORIZONTAL
QUE INICIA EN X=-1
Y CRECE HACIA LAS X POSITIVAS
LA SEGUNDA ES:
 3 X  2Y  6
UNA RECTA QUE CORTA EN
X=2 Y Y=-3
PARA LA PARABOLA PROBAMOS CON EL PUNTO P (0,0) QUE ESTA DENTRO
Y PARA LA RECTA TOMAMOS EL MISMO PUNTO, QUE EN ESTE CASO
QUEDA ARRIBA DE ELLA, OBTENIENDO LO SIGUIENTE:
 0 2  0  1
0  1
 30   20   6
0  6
FALSO  LA
CIERTO  LA
SOLUCION ESTA
SOLUCION ES
FUERA DE LA CURVA
DESDE LA RECTA
SIN TOCARLA.
Y ARRIBA DE ELLA
ENTONCES LA SOLUCION SON TODOS LOS PUNTOS DESDE LA RECTA
HACIA ARRIBA Y DESPUES DE LA CURVA SIN TOCARLA.
17