P1Jun09

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Examen Parcial de Fundamentos Fı́sicos de la Ingenierı́a
Primer Curso de Ingenierı́a Industrial.
30 de junio de 2009
PROBLEMA 1
Un calentador de agua convencional consta de una tuberı́a (serpentı́n) por la que fluye el agua
mientras es calentada por una llama. Suponga un calentador por el que fluye un caudal de agua
de 0.1 litros por segundo de forma que en el estado estacionario el agua entra por un extremo del
serpentı́n a 10o C y sale por el otro extremo a 40o C. Se pide:
a) Calcular el calor que está siendo absorbido por el agua por unidad de tiempo.
b) El agua que sale del calentador se deja caer durante 8 segundos en un recipiente de capacidad
o
calorı́fica Cr = 50 cal
K que contiene 500 gramos de hielo a -20 C. Luego la mezcla se retira y se la
deja alcanzar el equilibrio. Suponiendo despreciables las pérdidas de calor al exterior, calcular el
estado final de la mezcla.
c) Suponga que, sin variar la llama ni la temperatura de entrada del agua, se hace funcionar
el calentador con un caudal que es un 50 % mayor que el supuesto en el apartado a). En el estado
estacionario ¿cuál será la nueva temperatura de salida del agua?
cal
. Calor latente de fusión: Lf =80 cal/g. Densidad:
Datos para el agua: Calor especı́fico: ca =1 g·K
cal
ρ=1.0 kg
l . Calor especı́fico del hielo: ch =0.5 g·K .
SOLUCIÓN:
Apartado a)
Sea V̇a = 0,1 sl el caudal de agua que atraviesa la tuberı́a. En el estado estacionario se ha
de cumplir que en un tiempo ∆t la masa de agua que entra por un extremo (a la temperatura
Te = 10o C) es igual a la que sale por el otro lado1 (a Ts = 40o C). Esta masa puede expresarse
como:
ma = ρV̇a ∆t.
(1)
El calor necesario para provocar ese incremento de temperatura de esa masa de agua es, sencillamente:
Q = ma ca (Ts − Te ) = ρV̇a ca (Ts − Te )∆t.
(2)
Por tanto, el calor por unidad de tiempo absorbido por el agua es:
g
l
cal
cal
Q
= ρV̇a ca (Ts − Te ) = 103 0,1 1
30 K = 3000
∆t
l
s g·K
s
(3)
Apartado b)
La masa total de agua que se ha vertido en el recipiente al cabo de un tiempo ∆t = 8 s es:
ma = ρV̇a ∆t = 103
g
l
0,1 8 s = 800 g
l
s
(4)
Se trata por tanto de un tı́pico problema de calorimetrı́a en el que mezclamos estos 800 gramos
de agua lı́quida a Ts = 40 o C con los mh = 500 g de hielo a la temperatura Th = −20 o C en
un calorı́metro con una cierta capacidad calorı́fica. Para averiguar el estado final de la mezcla
1
Si no fuera ası́ la tuberı́a estarı́a acumulando agua o se estarı́a vaciando a medida que pasa el tiempo, lo que es
incompatible con la condición de estado estacionario: que ninguna variable del problema dependa del tiempo.
vamos a calcular en primer lugar el calor que necesitarı́a absorber la masa de hielo para derretirse
completamente, Qh . Para ello hemos de tener en cuenta tres términos. En primer lugar el calor
necesario para calentar el hielo desde Th = −20 o C hasta T0 = 0 o C es:
Q1 = mh ch (T0 − Th ) = 500 g 0,5
cal
20 o C = 5000 cal,
g oC
(5)
y el calor que necesita absorber para fundirse:
Q2 = mh Lf = 500 g 80
cal
= 40000 cal.
g
(6)
Por último, el calor absorbido por el recipiente en este proceso será:
Qr = Cr (T0 − Th ) = 50
cal o
20 C = 1000 cal.
oC
(7)
Con lo que tenemos que para que el hielo se derrita completamente el sistema hielo + recipiente
debe absorber: Qh = Q1 + Q2 + Qr = 46000 cal.
Por otro lado, el calor que puede ceder la masa de agua de que disponemos antes de alcanzar
una temperatura de 0 o C es, en módulo:
Qa = ma ca (Ts − T0 ) = 800 g 1
cal
(40 o C − 0 o C) = 32000 cal.
g oC
(8)
Como Q1 + Q2 + Qr > Qa se deduce que no puede darse la fusión de todo el hielo. Por otro lado
vemos que Qa > Q1 + Qr de donde se deduce que el agua sı́ es capaz de llevar al sistema hielo +
recipiente hasta 0o C antes de alcanzar ella misma esa temperatura y aún podrá ceder una cierta
cantidad de calor adicional para fundir parte del hielo. En consecuencia sabemos que el estado final
de la mezcla es agua + hielo en el recipiente a 0o C, pero aún no sabemos cuales son las masas de
agua y hielo finales. Entonces, supongamos que la masa de hielo que se funde es αmh , donde α
es un coeficiente entre 0 y 1 que es la incógnita que queremos determinar. Usando el principio de
conservación de la energı́a, es decir, que el calor absorbido por el hielo + el recipiente es igual al
que cede el agua tenemos:
mh ch (T0 − Th ) + Cr (T0 − Th ) + αmh Lf = ma ca (Ts − T0 ) → Q1 + Qr + αQh = Qa .
(9)
Donde se ha hecho uso de la expresiones (5-8). Ahora basta con sustituir:
α=
32000 cal − 5000 cal − 1000 cal
Qa − Q1 − Qr
=
= 0,65.
Qh
40000 cal
(10)
Esto significa que se funde el 65 % del hielo presente inicialmente en el recipiente.
Resumiendo, tenemos que el estado final de la mezcla es: (1 − α)mh = 0,35 × 500 g = 175 g de
hielo y ma + αmh = 800 g + 0,65 × 500 g = 1125 g de agua lı́quida a 0 o C.
Apartado c)
Suponemos ahora que el nuevo caudal de agua es V̇a′ = 1,5V̇a = 0,15 sl . Como la llama no ha
cambiado es evidente que el calor que ésta cede al agua por unidad de tiempo es el mismo y viene
dado por (3). Entonces solamente debemos imponer ahora la condición de que ese calor se cede a
una masa de agua que fluye con otro caudal y para la que la temperatura de salida, que llamaremos
Ts′ , es ahora una incógnita:
Q
= ρV̇a′ ca (Ts′ − Te ).
(11)
∆t
Donde hemos tenido en cuenta también que la temperatura de entrada no ha cambiado. Despejando
Ts′ en (11) obtenemos:
Ts′ =
Q
∆t
ρV̇a′ ca
+ Te = +
3000 cal
s
103 gl
l
s
0,15 1
cal
g oC
+ 10 o C = 30 o C.
(12)
Lógicamente, al pasar el agua más rápido absorbiendo el mismo calor por unidad de tiempo la
temperatura de salida disminuye.