Centroides - Facultad de Ingeniería

ESTÁTICA ESTRUCTURAL
TEMA V
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CIVIL Y GEOMÁTICA
DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS
ASIGNATURA:
TEMA:
ESTÁTICA ESTRUCTURAL
CENTROIDES
ESTÁTICA ESTRUCTURAL
TEMA V
CENTROIDES:
CENTRO DE GRAVEDAD.
CENTRO DE MASA.
CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
EJEMPLO.
INICIO
ESTÁTICA ESTRUCTURAL
TEMA V
CENTRO DE GRAVEDAD.
Considerando un sistema de n partículas fijo dentro del sistema de
referencia global XG , YG y ZG.
Los pesos de las partículas consisten en un sistema de fuerzas
paralelas al eje global ZG, cuyas coordenadas Xi y Yi se conocen.
Yn
Xn
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TEMA V
… CENTRO DE GRAVEDAD.
El sistema de fuerzas paralelas, se puede sustituir por un solo peso
resultante o equivalente en un punto definido de aplicación.
Este punto de aplicación se llama centro de gravedad.
El peso resultante o equivalente es igual a la suma de todos los
pesos:
ESTÁTICA ESTRUCTURAL
TEMA V
… CENTRO DE GRAVEDAD.
La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas respecto a
los ejes XG, y YG, es igual al momento que produce el peso resultante WR
respectivamente a esos ejes.
La sumatoria de momentos respecto al eje YG es:
La sumatoria de momentos respecto al eje XG es:
Donde xi y yi son las coordenadas de cada partícula Wi respecto
al sistema de referencia.
ESTÁTICA ESTRUCTURAL
TEMA V
… CENTRO DE GRAVEDAD.
Finalmente la fuerza resultante WR y sus coordenadas quedan de la
siguiente forma:
WR
yC
xC
G
Donde:
WR
xC y yC
es la suma de todos los pesos de todo el sistema de partículas.
son las coordenadas del centro de gravedad G del sistema de partículas.
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TEMA V
CENTRO DE MASA.
Considerando la 2ª Ley de Newton: F = ma que también se puede
escribir como: W = mg y suponiendo que la aceleración de la
gravedad g para cada partícula es constante, se tiene:
La suma de los momentos de las masas de todas las partículas
respecto a los ejes XG y YG, es igual al momento de la masa
resultante mR respectivamente a esos ejes:
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TEMA V
… CENTRO DE MASA.
La sumatoria de momentos respecto al eje YG es:
La sumatoria de momentos respecto al eje XG es:
Donde Xi y Yi son las coordenadas de cada partícula mi respecto
al sistema de referencia.
ESTÁTICA ESTRUCTURAL
TEMA V
… CENTRO DE MASA.
Finalmente la masa resultante mR y sus coordenadas del punto de
aplicación quedan de la siguiente forma:
mR
YC
XC
Donde:
mR
xC y yC
Cm
es la suma de todas las masas de todo el sistema de partículas.
son las coordenadas del centro de masas Cm del sistema de partículas.
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ESTÁTICA ESTRUCTURAL
TEMA V
CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
Considerando un sistema de referencia global XG, YG y ZG.
Si se tiene una superficie, ésta se puede dividir en n áreas o
elementos diferenciales de área, dA i, como se muestra en la figura.
Yn
Xn
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TEMA V
… CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
De las áreas de las n partículas se puede hacer una sumatoria de
momentos de primer orden respecto a los ejes en que está
contenida la superficie. De forma similar a un centro de gravedad se
puede calcular un punto donde se puede concentrar toda el área de
la superficie, o área resultante o equivalente.
A este punto de aplicación se llama centro geométrico.
El área total de la superficie se puede obtener de la siguiente forma:
ESTÁTICA ESTRUCTURAL
TEMA V
… CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
La sumatoria de momentos respecto al eje YG es:
La sumatoria de momentos respecto al eje XG es:
Donde xi y yi son las coordenadas de dAi respecto al sistema de
referencia.
ESTÁTICA ESTRUCTURAL
TEMA V
… CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
Finalmente las coordenadas del centro geométrico de la superficie
se obtiene con las siguientes expresiones:
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TEMA V
CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
Las coordenadas del centro geométrico (centroide) de la superficie
se obtiene con las siguientes expresiones:
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… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
Obtener el centroide de la figura de área triangular de base a y
altura b, que se muestra en la figura siguiente:
TEMA V
ESTÁTICA ESTRUCTURAL
TEMA V
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
En la figura, el elemento diferencial de base dx y altura y, recorre a
la figura desde un valor 0 hasta una distancia a, por lo que se tiene:
Su área es: dA = ydx , por lo que su área se calcula como:
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TEMA V
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
Calculando momentos de primer orden respecto al eje Y, se tiene:
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… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
Finalmente, la ordenada del centroide de la figura es:
TEMA V
ESTÁTICA ESTRUCTURAL
TEMA V
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
Calculando momentos de primer orden respecto al eje X, se tiene:
ESTÁTICA ESTRUCTURAL
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
Finalmente, la ordenada del centroide de la figura es:
TEMA V
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TEMA V
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
Sus coordenadas centroidales quedan de la siguiente forma:
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