La función de demanda, la curva de Engel y la ecuación de Slutsky

La función de demanda, la curva de Engel y la
ecuación de Slutsky
27 de octubre de 2011
4.1
1. Condiciones de óptimo:
(
2x1 = x2
p1 x1 + p2 x2 = m
p1 x1 + p2 2x1 = m
x1 (p1 + 2p2 ) = m
x1 (m, p1 , p2 ) =
m
p1 + 2p2
x2 (m, p1 , p2 ) =
2m
p1 + 2p2
2. La curva de Engel para la mercancía 2 es:
1
m = x2 · p2 + p1
2
|
{z
}
pendiente
1
4.2
1.
|RM S| =
p1
p2
p1
αxα−1
x1−α
1
2
−α =
p
(1 − α)xα
x
2
1 2
Simplicamos:
p1
αx2
=
(1 − α)x1
p2
(1 − α)x1 p1 = αx2 p2
x1 =
αx2 p2
(1 − α)p1
2
Lo sustituyo en la restricción presupuestaria:
p1 α x2 p2
+ p2 x2 = m
p1 (1 − α)
α
p 2 x2 1 +
=m
(1 − α)
m
x2 (m, p2 ) =
p2 1 +
α
(1−α)
=
m
(1 − α)
p2 [(1 − α) + α]
Entonces:
α
x1 (m, p1 ) =
(1−α)
m
p2 [(1−α)+α]
(1 − α)p1
p2
=
αm(1−α)
[(1−α)+α]
(1 − α)p1
=
m
αm(1 − α)
α
=
p1 [(1 − α) + α] (1 − α)
p1 (1 − α) + α
2.
m(x2 , p2 ) = x2 p2
|
3
[(1 − α) + α]
(1 − α)
{z
}
pendiente
α
3. El parámetro
nos indica que porcentaje de la renta se gastará el con-
sumidor en el bien 1 (por lo tanto
(1 − α)
nos dirá que porcentaje de renta
destinará al bien 2).
4.3
1. La forma general de estas funciones es:
u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 ; a, b ∈ (−∞, +∞)
Ejemplos de estas funciones:
u(x1 , x2 ) = 5x1 + 3x2 ,
la RMS será
u(x1 , x2 ) = 200x1 + 100x2 ,
u(x1 , x2 ) = 10x1 + 10x2 ,
− 53
la RMS será
la RMS será
−2
−1
(sustitutos perfectos)
u(x1 , x2 ) = x1 − 2x2 , la RMS será 21 (el bien 1 es un bien mientras
que el bien 2 es un mal)
u(x1 , x2 ) = −6x1 − 2x2 ,
la RMS será
3
(los dos bienes son males)
2. Utilizaremos una utilidad que represente bienes sustitutivos perfectos para
realizar la curva renta consumo. En el gráco que sigue vemos las curvas renta-
p1
p2 . El consumidor solo consume el
bien 1 (es más barato y los dos bienes son sustitutos perfectos).
consumo en el caso en el que la
RM S <
4
5
3. Representamos las curvas de Engel correspondientes a ambos bienes cuando
p1 < p2 :
6
4.
La ley de la demanda nos dice que los precios y las cantidades se mueven
en sentido contrario. Es decir que si aumenta el precio la demanda disminuye y
viceversa.
El bien no es Gien.
4.4
1. Un mapa de curvas de indiferencia homotético puede estar representado por sustitutivos perfectos, complementarios perfectos, preferencias CobbDouglas...
7
2.
3.
Condiciones de óptimo:
(
x1 = x2
p1 x1 + p2 x2 = m
x2 (p1 + p2 ) = m
m(x2 , p1 , p2 ) = x2 (p1 + p2 )
m(x1 , p1 , p2 ) = x1 (p1 + p2 )
Las curvas de Engel son líneas rectas con pendientes
8
(p1 + p2 ).
4.
En el caso del bien 1 si
1 no es Gien. Si
p2
x1 (m, p1 , p2 ) =
m
p1 + p2
x2 (m, p1 , p2 ) =
m
p1 + p2
p1
baja su demanda aumentará, por lo tanto el bien
baja, la demanda del bien 2 también aumentará: el bien 2
tampoco es Gien. Recordad que para ver si un bien es Gien hay que analizar
la variación del bien respecto a su propio precio.
4.5
1. Condiciones de óptimo:
|RM S| =
p1
p2
x2
p1
=
x1
p2
p1 x1 = p2 x2
Sustituimos en la restricción presupuestaria:
2p1 x1 = m
Si
m = 10 , p1 = 1
y
x1 (m, p1 ) =
m
2p1
x2 (m, p2 ) =
m
2p2
p2 = 1:
(
x1 = 5
x2 = 5
9
2.
¾A los nuevos precios cuanta m necesito para comprar la cesta original?
2 · 5 + 1 · 5 = m0
m0 = 15
Ahora calculamos la cesta articial con los nuevos precios y la nueva renta:
m0
15
=
= 3,75
2p1
4
00
x1 =
00
x2 =
m0
15
= 7,5
=
2p2
2
Entonces:
(
00
bien1 : x1 − x1 = 3,75 − 5 = −1,25
ES
00
bien2 : x2 − x2 = 7,5 − 5 = 2,5
3.
u(5, 5) = u
25 =
m0 m0
,
2·2 2
m0 m0
4 2
m02 = 200
m = 200 /2 ' 14,14
1
(
00
x1 =
00
x2 =
1
200 /2
2·2
1
200 /2
2
= 3,5355
= 7,071
(
00
bien1 : x1 − x1 = 3,5355 − 5 = −1,4645
ES
00
bien2 : x2 − x2 = 7,071 − 5 = 2,071
10
4. Descomposición gráca para Slutsky:
11
Descomposición gráca para Hicks:
12
4.6
1), 2) y 3)
Condiciones de óptimo:
(
x1 = x22
p1 x1 + p2 x2 = m
x2
+ p 2 x2 = m
2
1
x2
p1 + p2 = m
2
p1
x2 =
m
12
= 4,8
=
2,5
+ p2
(
x∗1 = 2,4
x∗2 = 4,8
1
2 p1
13
4).
(
x2 = 2x1
p1 x1 + p2 x2 = m
x1 (p1 + 2p2 ) = m
(
Para
p2 = 2
y
m
x1 (p1 , p2 , m) = p1 +2p
2
x2 (, p1 , p2 , m) = p12m
+2p2
m = 12:
x1 (p1 , 2, 12) =
14
12
p1 + 4
5).
∆p1 = 3 ⇒ p1 + 3 = 4
u(2,4, 4,8) = u
2,4 =
2m0
m0
,
4+2·2 4+2·2
m0
4+2·2
m0 = 19,2
4m = 19,2 − 12 = 7,2
15
4.7
1.
2.
16
3.
 α
si β >








si α <
β






si α =


 β
p1
p2
⇒ (x∗1 , x∗2 ) = ( pm1 , 0)
p1
p2
⇒ (x∗1 , x∗2 ) = (0, pm2 )
p1
p2
⇒ (x∗1 , x∗2 ) = cualquier punto en la recta presupuestaria
4.
p1
p2
|RM S| =
α
p1
=
β
p2
p1 = p2
α
β
Sustituimos en la restricción presupuestaria:
α
x1 + p2 x2 = m
p2
β
m
β
∗
x1 =
− x2
p2
α
Sustituimos
p2 = 1,m = 10
y
α=β=1
:
x∗1 = 10 − x2
La función de demanda está hallada en el apartado anterior:
 ∗
si α
x1 = pm1 ,

β >






x∗1 = 0,
si α
β <






x∗ = m−(p2 x2 ) , si α =
1
p1
β
17
p1
p2
p1
p2
p1
p2
h
i
∀ x2 ∈ 0, pm2
4.8
1.
Condiciones de óptimo:
|RM S| =
p1
p2
x2
p1
=
x1
p2
p1 x1 = p2 x2
Sustituimos en la restricción presupuestaria:
2p1 x1 = m
Si
m = 10 , p1 = 1
y
x1 (m, p1 ) =
m
2p1
x2 (m, p2 ) =
m
2p2
p2 = 1:
(
x1 = 5
x2 = 5
Con un IVA del 25 % sobre el bien 2 (vino)
(
p2
pasará a ser igual a
1,25:
0
x1 = 5
0
x2 = 4
(
0
bien1 : x1 − x1 = 5 − 5 = 0
ET
0
bien2 : x2 − x2 = 4 − 5 = −1
2.
¾A los nuevos precios cuanta m necesito para comprar la cesta original?
1 · 5 + 1,25 · 5 = m0
m0 = 11,25
Ahora calculamos la cesta articial con los nuevos precios y la nueva renta:
00
x1 =
00
11,25
m0
=
= 5,625
2p1
2
x2 =
m0
11,25
=
= 4,5
2p2
2,5
18
Entonces:
(
bien1 :
ES
bien2 :
(
bien1 :
ER
bien2 :
00
x1 − x1 = 5,625 − 5 = 0,625
00
x2 − x2 = 4,5 − 5 = −0,5
0
00
x1 − x1 = 5 − 5,625 = −0,625
0
00
x2 − x2 = 4 − 4,5 = −0,5
3.
u(5, 5) = u
m0 m0
,
2 2,5
m0 m0
2 2,5
25 =
m02 = 125
m = 125 /2 ' 11,18
1
( 00
x1 =
00
x2 =
(
bien1 :
ES
bien2 :
(
bien1 :
ER
bien2 :
1
125 /2
2
1
125 /2
2,5
= 5,590
= 4,472
00
x1 − x1 = 5,590 − 5 = 0,590
00
x2 − x2 = 4,472 − 5 = −0,528
0
00
x1 − x1 = 5 − 5,590 = −0,590
0
00
x2 − x2 = 4 − 4,472 = −0,472
4.
4m? =⇒ 4m = m0 − m
Slutsky : 4m = 11,25 − 10 = 1,25
Hicks : 4m =
√
125 − 10 = 1,18
5.
x1 p1 + x2 p2 (1 + 0,25) = m
19
x1 p1 + x2 p2 + x2 p2 · 0,25 = m
| {z }
recaudación
La recaudación es:
4 · 0,25 = 1.
6.
(
p1 = 1
p2 = 1,25
|RM S| =
p1
p2
x1 = 1,25x2
Sustituimos en la restricción presupuestaria:
x1 + 1,25x2 = 10 + 0,25x2
2,25x2 = 10
Entonces:
(
x∗1 =
x∗2 =
11
2 = 5,5
11
2,5 = 4,4
Sí se cumpliera el objetivo del gobierno.
7.
La medida es neutral desde el punto de vista de la hacienda, sin embargo
no es neutral desde el punto de vista del bienestar privado. La utilidad antes de
impuestos es mayor que la utilidad con impuestos más transferencia.
u(5, 5) = 25
u(5,5, 4,4) = 24,2
20
8.
Nuevos precios:
(
p1 = (1 − s)
p2 = 1,25
⇒ |RM S| =
p1
x2
(1 − s)
⇒
=
p2
x1
1,25
Restricciones presupuestarias:


consumidor ⇒ (1 − s)x1 + 1,25x2 = 10


hacienda ⇒ s x1 = 0,25x2
(1 − s)
x2
⇒ 1,25x2 = (1 − s)x1
=
x1
1,25
Restricción consumidor:
(1 − s)x1 + 1,25x2 = 10
1,25x2 + 1,25x2 = 10
x∗2 = 4
Restricción hacienda:
s x1 = 0,25 · 4 = 1
Restricción consumidor:
x1 − s x1 + 1,25x2 = 10
x1 − 1 + 1,25(4) = 10
x∗1 = 6
21
Entonces s es igual a:
s x∗1 = 1
s·6=1
s=
1
6
Comprobamos:
(1 − s)x∗1 + 1,25x∗2 = 10
5
· 6 + 1,25 · 4 = 5 + 5 = 10
6
La utilidad en este caso es:
u(x∗1 , x∗2 ) = u(6, 4) = 24
9.
La razón por la que la distorsión de precios empeora el bienestar del consumidor es el tipo de preferencias que tiene. Con
u(x1 , x2 ) = x1 x2
el consumidor
está peor con un impuesto sobre el vino y una subvención sobre el pan que
sin ninguna intervención gubernamental. Además ja-os que en el punto 6 y 8
el consumidor elige cestas que ya estaban disponibles en el principio (antes de
impuestos). Con unas preferencias del tipo
u(x1 , x2 ) = x1 + x2
ningún impues-
to sobre el vino afectaría a su bienestar (asumiendo precios unitarios tendría
siempre una utilidad de 10).
Finalmente, el conjunto presupuestario no se hace más grande, el aumento
del conjunto presupuestario depende de la elección del consumidor:
En 4,8,6
{(x, y) : x + (1 + t)y ≤ 10 + yt}
{(x, y) : x + y ≤ 10} ⇒ R.P. original
22
En 4,8,8
yt
(x, y) : x 1 −
x
+ y(1 + t) ≤ 10
{(x, y) : x − yt + y(1 + t) ≤ 10}
{(x, y) : x + y ≤ 10} ⇒ R.P. original
23