circulo de Mohr

Dpto. Física y Mecánica
Círculo de Mohr
Elvira Martínez Ramírez
OCW-UPM
Justificación matemática
OCW-UPM
Dada una figura, de área A, se quiere
conocer las rectas R1 y R2 que
proporcionan el máximo y mínimo
valor del momento de inercia, así
como dichos valores de los momentos
de inercia
Y
X
α
R1
Una recta R que proporcione un máximo (o mínimo) del
momento de inercia forma con el eje OX un ángulo α
OCW-UPM
I R = I OX cos α + I OY s en α − 2 PXY senα cos α
2
2
sen 2α = 2 senα cos α
1
sen α = (1 − cos 2α )
2
2
1
cos α = (1 + cos 2α )
2
2
I OX + I OY I OX − I OY
IR =
+
cos 2α − PXY sen 2α
2
2
OCW-UPM
PR1R2 = PXY sen(α + β ) − I OX cos α cos β − I OY senα senβ
Si R1 es perpendicular a R2
β =α +π / 2
senβ = cos α
cos β = − senα
sen(α + β ) = cos 2α
PR1R2
 I OX − I OY 
= PXY cos 2α + sen2α 

2


OCW-UPM
Si el producto de inercia respecto a dos rectas R1 y R2 es
nulo, se verifica
 I OX − I OY
PXY cos 2α + sen2α 
2


=0

Una de las rectas formará con la horizontal un ángulo α de
forma que se cumple
2 PXY
tg 2α =
I OY − I OX
El momento de inercia respecto a dicha recta será máximo
o mínimo
OCW-UPM
Reordenando las ecuaciones anteriores
I OX + I OY I OX − I OY
IR −
=
cos 2α − PXY sen 2α
2
2
 I OX − I OY
=
2

PR1R2

 sen 2α + PXY cos 2α

Elevando al cuadrado cada ecuación
I OX + I OY   I OX − I OY 

 I OX − I OY
2
I
−
=
−
cos
2
α
2


 R
 
2
2
2

 


2
2
 I OX − I OY 
 I OX − I OY
2
=
 sen 2α + 2 PXY 
2
2



2
PR21R2

2
2
P
sen
+
P
sen
2
α
cos
2
α
2α
XY
 XY


2
2
sen
2
α
cos
2
α
+
P
cos
2α
XY


OCW-UPM
Sumando las dos ecuaciones
I OX + I OY 

 I OX − I OY 
2
2
−
+
=
+
I
P
P
R
R
R
XY




1 2
2
2




2
2
Ecuación análoga a la de una circunferencia de radio R y centro
C(a,b)
( x − a ) + ( y − b) = R
2
Donde
C
(
I OX + I OY
2
,0
)
2
y
R=
(
I OX − I OY
2
)
2
2
2
+ PXY
OCW-UPM
R=
(
) +P
I OX − I OY 2
2
2
XY
R
PXY
2α
O
C
I OX + I OY
2
I OX − I OY
2
Calculamos el radio por aplicación del teorema de Pitágoras
OCW-UPM
tg 2α =
PXY
I OX − IOY
2
2 PXY
=
I OX − I OY
R
PXY
2α
O
C
I OX − I OY
2
Calculamos la tangente del ángulo
OCW-UPM
Construcción geométrica
OCW-UPM
P
Elegir unos ejes y una escala apropiada para dibujar los
momentos y productos de inercia
Nombrar los ejes
I
Los momentos de inercia
son siempre positivos, los
productos
de
inercia
pueden ser positivos,
negativos o nulos .
OCW-UPM
P
P
• A(IOX, PXY)
• A(IOY, PXY)
PXY>0
I
I
• B(IOX, - PXY)
• B(IOY, - PXY)
P
P
IOX>IOY
• B(IOY, - PXY)
PXY<0
IOY>IOX
• B(IOX, - PXY)
I
• A(IOX, PXY)
I
• A(IOY, PXY)
OCW-UPM
P
Suponiendo Pxy positivo e IOX>IOY
•
Y
X
A(IOX, PXY)
I
O
•
B(IOY, - PXY)
Dibujar
los puntos
A(IOX, PXY) y B (IOy, PXY).
OCW-UPM
P
•
A(IOX, PXY)
C
O
•
B(IOY, - PXY)
Conectar los puntos A
y B, mediante una
línea recta.
I
El punto de corte con
el eje I es el centro de
la circunferencia, C.
OCW-UPM
Y
P
•
X
A(IOX, PXY)
PXY
C
O
I
I OX − I OY
2
•
(I
B(IOY, - PXY)
OX
− I OY
)
OCW-UPM
Dibujar la circunferencia con
centro en C y radio R=CA=CB
P
•
A(IOX, PXY)
R=
PXY
E•
•D
C
I OX − I OY
2
•
(I
B(IOY, - PXY)
OX
− I OY
)
(
I OX − I OY
2
)
2
+ PXY 2
I
Los puntos de corte de
la circunferencia con el
eje I, son los puntos D
yE
OCW-UPM
Los puntos de corte de
la circunferencia con el
eje I, son los puntos D
y E (D>E)
P
•
A(IOX, PXY)
O•E
•D
C
I OX − I OY
2
I OY
•
B(IOY, - PXY)
OD = I max = I OY +
IOX − IOY
2
+R
I
R
I max =
IOX + IOY
2
+R
OCW-UPM
OE = I min = OC − CE = OC − R
P
•
A(IOX, PXY)
O•E
•D
C
I OX − I OY
2
I OY
•
R
I
Imi x =
I OX + IOY
2
−R
B(IOY, - PXY)
OCW-UPM
La tangente del ángulo que forma CA con CD es
P
PXY
•
α
O•E
2α
C
I OX − I OY
2
A(IOX, PXY)
IOX − I OY
2
2 PXY
=
I OX − I OY
PXY
•D
I
Que coincide con 2α
•
B(IOY, - PXY)
OCW-UPM
Para que la recta CA
(IOX) llegue a la recta
CD (Imax) tiene que
girar un ángulo 2α en
sentido horario
P
•
A(IOX, PXY)
2α
E•
C
•
B(IOY, - PXY)
•D
I
Para que la recta CB
(IOY) llegue a la recta
CE (Imin) tiene que
girar un ángulo 2α en
sentido horario
OCW-UPM
Un ángulo 2α en el círculo de Mohr
en sentido horario, se corresponde
con un ángulo α en la figura real
P
•
A(IOX, PXY)
2α
E•
C
•
•D
I
B(IOY, - PXY)
OCW-UPM
Y
El eje OX tiene que girar un ángulo α
en sentido antihorario para obtener la
recta R1 que proporciona el máximo
valor del momento de inercia.
El eje OY tiene que girar un ángulo α
en sentido antihorario para obtener la
recta R2 que proporciona el mínimo
valor del momento de inercia.
R1
α
X
R2
OCW-UPM