¿Qué pide el ejercicio? => VARIABLES ¿Qué debemos optimizar

OPTIMIZACIÓN – EJEMPLO 1
Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 metros. Se quiere dividir dicho hilo
en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro y tal que al
construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres
cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo.
¿Qué pide el ejercicio?
=>
VARIABLES
Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 metros. Se quiere dividir dicho
hilo en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro y tal
que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres
cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo
llamaremos:
x= longitud del primer trozo
y= longitud del segundo trozo
z= longitud del tercer trozo
¿Qué debemos optimizar?
=>
FUNCIÓN OBJETIVO
Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 metros. Se quiere dividir dicho hilo
en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro y tal que al
construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los
tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo
Si con cada trozo construyo un cuadrado, los lados serán respectivamente:
1
1
1
x
y
z
4
4
4
En cuyo caso, la función a minimizar es la que determina el área total de los tres
1 
cuadrados: F(x, y, z) =  x 
4 
2
1 
+  y
4 
2
1
+ 
4

z

2
Como la función a optimizar depende de TRES variables, necesitaremos DOS (una
menos que el número de incógnitas) expresiones que permitan relacionar dos
incógnitas con la tercera:
¿Qué relaciones podemos emplear?
INCÓGNITA
=>
REDUCIR
A
UNA
1ª RELACIÓN:
Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 metros. Se quiere dividir
dicho hilo en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro y
tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los
tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo
x + y + z = 140
Los tres trozos han de medir juntos 140 m
2ª RELACIÓN:
Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 metros. Se quiere dividir dicho hilo
en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro y tal
que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres
cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo
Pongamos que el segundo ha de medir el doble que el primero (podemos elegir
cualesquiera, pues el ejercicio no dice cuales han de ser)
y = 2x
RESOLUCIÓN
x + y + z = 140
⇒ x + 2x + z = 140 ⇒ z = 140 − 3x

y = 2x

Con estas relaciones:
1 
F(x, y, z) =  x 
4 
2
1 
+  y
4 
2
1 
+  z
4 
1 
f(x) = F(x , 2x , 140 − 3x) =  x 
4 
2
2
1

+  2x 
4


2
1

+  (140 − 3x)
4


2
=
x2
4x 2
19600 − 840x + 9x 2
14x2 − 840x + 19600
7x 2 − 420x + 9800
+
+
=
=
16
16
16
16
8
Calculamos f’(x)
14x − 420
7x − 210
=
8
4
Calculamos sus extremos:
7x − 210
f'(x) = 0 ⇒
= 0 ⇒ 7x − 210 = 0 ⇒ x = 30
4
Calculamos f’’(x)
f'(x) =
f''(x) =
7
> 0 ; por lo que x=30 es un mínimo
4
CONCLUSIÓN
 y = 2 ⋅ 30 = 60
x = 30 ⇒ 
z = 140 − 3 ⋅ 30 = 50
Los trozos han de medir 30m, 50m y 60m
OPTIMIZACIÓN – EJEMPLO 2
Descomponer el número 16 en dos sumandos positivos tales que su producto sea
máximo.
¿Qué pide el ejercicio?
=>
VARIABLES
Descomponer el número 16 en dos sumandos positivos tales que su producto sea
máximo
llamaremos:
x= primer número
y= segundo número
¿Qué debemos optimizar?
=>
FUNCIÓN OBJETIVO
Descomponer el número 16 en dos sumandos positivos tales que su producto
sea máximo
La función a maximizar viene determinada por el producto de esos dos números
F(x, y) = x ⋅ y
Como la función a optimizar depende de DOS variables, necesitaremos UNA (una
menos que el número de incógnitas) expresión que permita relacionar la segunda
incógnita con la primera:
¿Qué relaciones podemos emplear?
INCÓGNITA
=>
REDUCIR
A
UNA
1ª RELACIÓN:
Descomponer el número 16 en dos sumandos positivos tales que su producto
sea máximo
Dos números que deben sumar 16;
x + y = 16
RESOLUCIÓN
x + y = 16 ⇒ y = 16 − x
Con estas relaciones:
F(x, y) = x ⋅ y
f(x) = F(x , 16 − x ) = x ⋅ (16 − x) = 16x − x 2
Calculamos f’(x)
f'(x) = 16 − 2x
Calculamos sus extremos:
f'(x) = 0 ⇒ 16 − 2x = 0 ⇒ 2x = 16 ⇒ x = 8
Calculamos f’’(x)
f''(x) = −2 < 0 ; por lo que x=8 es un máximo
CONCLUSIÓN
x = 8 ⇒ y = 16 − 8 = 8
Los dos números son iguales a 8