Ejercicios de Derivación del Cálculo de Predicados

Unidad docente de Lógica y Filosofía de la Ciencia
Ejercicios del Cálculo de Predicados
Ejercicios de Derivación del Cálculo de Predicados
1. Todos los rinocerontes tienen un cuerno; todos los plantígrados son rinocerontes; así pues,
todos los plantígrados tienen un cuerno.
R: ser Rinoceronte
٨x (Rx →Ux)
U: tener Un cuerno
٨x (Px → Rx)
P: ser Plantígrado
٨x (Px → Ux)
1.- ٨x (Rx →Ux)
2.- ٨x (Px → Rx)
3.- Ra → Ua
E.٨. 1
4.- Pa → Ra
E. ٨. 2
5.- Pa
6.- Ra
E.I. 4,5
7.- Ua
E.I. 3,6
8.- Pa → Ua
I.I. 5-7
9.- ٨x (Px → Ux)
I. ٨. 8
2. Ningún fotógrafo pinta. Todos los que no son fotógrafos son escultores. Por tanto, todos los
pintores son escultores.
F: ser Fotógrafo
٨x (Fx → ¬Px)
P: Pintar
٨x (¬Fx → Ex)
E: ser Escultor
٨x (Px → Ex)
1.- ٨x (Fx → ¬Px)
2.- ٨x (¬Fx → Ex)
3.- Fa → ¬Pa
E.٨. 1
4.- ¬Fa → Ea
E. ٨. 2
5.- Pa
6.- ¬Fa
M.T. 3,5
7.- Ea
E.I. 4,6
8.- Pa → Ea
I.I. 5-7
9.- ٨x (Px → Ex)
I. ٨. 8
3. Todo aquel que ama apasionadamente es desgraciado. Quien oculta su desgracia muere
prematuramente. Por tanto, si todos los que son desgraciados ocultan su desgracia, todos
los que aman apasionadamente mueren de forma prematura.
A: Amar Apasionadamente
٨x (Ax → Dx)
D: ser Desgraciado
٨x (Ox → Mx)
O: Ocultar la Desgracia
٨x (Dx → Ox) →٨x (Ax → Mx)
M: Morir Prematuramente
Arantxa Martín Santos
1
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1.- ٨x (Ax → Dx)
2.- ٨x (Ox → Mx)
3.- Aa → Da
E. ٨. 1
4.- Oa → Ma
E. ٨. 2
5.- ٨x (Dx → Ox)
E. ٨. 5
6.- Da → Oa
7.- Aa
8.- Da
E.I. 3,7
9.- Oa
E.I. 6,8
10.- Ma
E.I. 4,9
11.- Aa → Ma
I.I. 7-10
12.- ٨x (Ax → Mx)
I. ٨. 11
13.- ٨x (Dx → Ox) →٨x (Ax → Mx)
I.I. 5-12
4. Ningún feo despierta pasiones; todos los atletas despiertan pasiones; por tanto, ningún
atleta es feo.
F: ser Feo
٨x (Fx → ¬Dx)
D: Despertar pasiones
٨x (Ax → Dx)
A: ser Atleta
٨x (Ax → ¬Fx)
1.- ٨x (Fx → ¬Dx)
2.- ٨x (Ax → Dx)
3.- Fa → ¬Da
E.٨. 1
4.- Aa → Da
E. ٨. 2
5.- Aa
6.- Da
E.I. 4,5
7.- ¬Fa
M.T. 3,6
8.- Aa → ¬Fa
I.I. 5-7
9.- ٨x (Ax → ¬Fx)
I. ٨. 8
5. Ningún caballo sabe silbar; ningún cerdo tiene alas; todos los que no saben silbar tienen
alas; por consiguiente, ningún caballo es cerdo.
C: Ser Caballo
٨x (Cx → ¬Sx)
S: saber Silbar
٨x (Dx → ¬Ax)
A: tener Alas
٨x (¬Sx → Ax)
D: Ser Cerdo
٨x (Cx → ¬Dx)
Arantxa Martín Santos
2
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1.- ٨x (Cx → ¬Sx)
2.- ٨x (Dx → ¬Ax)
3.- ٨x (¬Sx → Ax)
4.- Ca → ¬Sa
E.٨. 1
5.- Da → ¬Aa
E. ٨. 2
6.- ¬Sa → Aa
E. ٨. 3
7.- Ca
8.- ¬Sa
E.I. 4,7
9.- Aa
E.I. 6,8
10.- ¬Da
M.T. 5,9
11.- Ca → ¬Da
I.I. 7-10
12.- ٨x (Cx → ¬Dx)
I. ٨. 11
6. Si todas las mulas son híbridos y ningún híbrido es fértil, entonces ninguna mula es fértil.
M: ser Mula
٨x (Mx → Hx)
H: ser Híbrido
٨x (Hx → ¬Fx)
F: ser Fértil
٨x (Mx → ¬Fx)
1.- ٨x (Mx → Hx)
2.- ٨x (Hx → ¬Fx)
3.- Ma → Ha
E.٨. 1
4.- Ha → ¬Fa
E. ٨. 2
5.- Ma
6.- Ha
E.I. 3,5
7.- ¬Fa
E.I. 4,6
8.- Ma → ¬Fa
I.I. 5-7
9.- ٨x (Mx → ¬Fx)
I. ٨. 8
7. Todos los niños son traviesos, así pues, si Guillermo es un niño, entonces, si todos los
seres traviesos son adorables, Guillermo es adorable.
N: ser Niño
T: ser Travieso
٨x (Nx → Tx)
A: ser Adorable
Na →[٨x (Tx → Ax) → Aa]
a: Guillermo
Arantxa Martín Santos
3
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1.- ٨x (Nx → Tx)
2.- Na → Ta
E. ٨. 1
3.- Na
4.- ٨x (Tx → Ax)
5.- Ta → Aa
E.٨. 4
6.- Ta
E.I. 2,3
7.- Aa
E.I. 5,6
8.- ٨x (Tx → Ax) → Aa
I.I. 4-7
9.- Na →[٨x (Tx → Ax) → Aa]
I.I. 3-8
8. Todos los alcohólicos son unos borrachos. Todos los que sufren delirium tremens sufren
alucionaciones. Por consiguiente, si todos los borrachos sufren delirium tremens, todos los
alcohólicos sufren alucinaciones.
A: ser Alcohólico
٨x (Ax → Bx)
B: ser Borracho
٨x (Dx → Lx)
D: sufrir Delirium Tremens
٨x (Bx → Dx) →٨x (Ax → Lx)
L: sufrir Alucinaciones
1.- ٨x (Ax → Bx)
2.- ٨x (Dx → Lx)
3.- Aa → Ba
E.٨. 1
4.- Da → La
E.٨. 2
5.- ٨x (Bx → Dx)
6.- Ba → Da
E.٨. 5
7.- Aa
8.- Ba
E.I. 3,7
9.- Da
E.I. 6,8
10.- La
E.I. 4,9
11.- Aa → La
I.I. 7-10
12.- ٨x (Ax → Lx)
I.٨. 11
13.- ٨x (Bx → Dx) →٨x (Ax → Lx)
I.I. 5-12
9. Todo ejecutivo que sea un poeta es un hombre imaginativo. Todo hombre imaginativo es
amante del riesgo. Si algún amante del riesgo no gusta de la poesía, ningún poeta es
amante del riesgo. En conclusión, si hay algún hombre imaginativo al que no le guste la
poesía, entonces ningún ejecutivo es poeta.
E: ser Ejecutivo
P: ser Poeta
I: ser Imaginativo
A: ser Amante del riesgo
٨x [(Ex ∧ Px) → Ix]
٨x (Ix → Ax)
٧x (Ax ∧ ¬Gx) →٨x (Px → ¬Ax)
٧x(Ix ∧ ¬Gx) → ٨x(Ex → ¬Px)
G: Gustar de la Poesía
Arantxa Martín Santos
4
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Ejercicios del Cálculo de Predicados
1.- ٨x [(Ex ∧ Px) → Ix]
2.- ٨x (Ix → Ax)
3.- ٧x (Ax ∧ ¬Gx) →٨x (Px → ¬Ax)
4.- (Ea ∧ Pa) → Ia
E. ٨. 1
5.- Ia →Aa
E. ٨. 2
6.- ٧x(Ix ∧ ¬Gx)
7.- Ia ∧ ¬Ga
8.- Ia
E.C. 7
9.- Aa
E.I. 5,8
10.- ¬Ga
E.C. 7
11.- Aa ∧ ¬Ga
I.C. 9,10
12.- ٧x (Ax ∧ ¬Gx)
I. ٧. 11
13.- ٧x (Ax ∧ ¬Gx)
E. ٧. 6, 7-12
14.- ٨x (Px → ¬Ax)
E.I. 3, 13
15.- Pa → ¬Aa
E.٧. 14
16.- Ea
17.- Pa
18.- Ea ∧ Pa
I.C. 16,17
19.- Ia
E.I. 4, 18
20.- Aa
E.I. 5,19
21.- ¬Aa
E.I. 15,17
22.- Aa ∧ ¬Aa
I.C. 20,21
23.- ¬Pa
I.N. 17-22
24.- Ea → ¬Pa
I.I. 16-23
25.- ٨x (Ex → ¬Px)
I.٨. 24
26.- ٧x(Ix ∧ ¬Gx) → ٨x(Ex → ¬Px)
I.I. 6-25
10. Todos los detectives americanos pueden desentrañar asesinatos. Cualquier detective que
desentrañe un asesinato obtendrá una recompensa. Spencer es un detective americano.
Por tanto, Spencer obtendrá una recompensa.
D: ser Detective Americano
٨x (Dx → Tx)
T: desentrañar Asesinatos
٨x [(Dx ∧ Tx) → Rx]
R: obtener una Recompensa
Da
a: Spencer
Ra
1.- ٨x (Dx → Tx)
2.- ٨x [(Dx ∧ Tx) → Rx]
3.- Da
4.- Da → Ta
E. ٨. 1
5.- (Da ∧ Ta) → Ra
E. ٨. 2
6.- Ta
E.I. 3,4
7.- Da ∧ Ta
I.C. 3,6
8.- Ra
E.I. 5,7
Arantxa Martín Santos
5
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Ejercicios del Cálculo de Predicados
11. Ningún cuadrúpedo reina en Europa. Algunos mamíferos son cuadrúpedos. Por tanto, hay
mamíferos que no reinan en Europa.
C: ser Cuadrúpedo
٨x (Cx → ¬Rx)
R: Reinar en Europa
٧x (Mx ∧ Cx)
M: ser Mamífero
٧x (Mx ∧ ¬Rx)
1.- ٨x (Cx → ¬Rx)
2.- ٧x (Mx ∧ Cx)
E. ٨. 1
3.- Ca → ¬Ra
4.- Ma ∧ Ca
5.- Ma
E.C. 4
6.- Ca
E.C. 4
7.- ¬Ra
E.I. 3,6
8.- Ma ∧ ¬Ra
I.C. 5,7
9.- ٧x (Mx ∧ ¬Rx)
I.٧. 8
10.- ٧x (Mx ∧ ¬Rx)
E.٧. 2, 4-9
12. Las sustancias radiactivas tienen vida corta o un valor medicinal. Ningún isótopo del uranio
que sea radiactivo tiene una vida corta. Por tanto, si todos los isótopos del uranio son
radiactivos, todos los isótopos del uranio tienen un valor medicinal.
R: ser sustancia Radiactiva
٨x [Rx → (Cx ∨ Mx)]
C: tener vida Corta
٨x [(Ix ∧ Rx) → ¬Cx]
M: tener valor Medicinal
٨x (Ix → Rx) →٨x (Ix → Mx)
I: ser Isótopo de Uranio
1.- ٨x [Rx → (Cx ∨ Mx)]
2.- ٨x [(Ix ∧ Rx) → ¬Cx]
3.- Ra → (Ca ∨ Ma)
E. ٨. 1
4.- (Ia ∧ Ra) → ¬Ca
E. ٨. 2
5.- ٨x (Ix → Rx)
6.- Ia → Ra
E. ٨. 5
7.- Ia
8.- Ra
E.I. 6,7
9.- Ia ∧ Ra
I.C. 7,8
10.- ¬Ca
E.I. 4,9
11.- Ca ∨ Ma
E.I. 3, 8
12.- Ma
SIL. DISY. 11,10
13.- Ia → Ma
I.I. 7-12
14.- ٨x (Ix → Mx)
I. ٨. 13
15.- ٨x (Ix → Rx) →٨x (Ix → Mx)
I.I. 5-14
Arantxa Martín Santos
6
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Ejercicios del Cálculo de Predicados
13. Si existe algún genio, todos los grandes compositores son genios. Si alguien es
temperamental, todos los genios son temperamentales. Por tanto, si alguien es un genio
temperamental, todos los grandes compositores son temperamentales.
G: ser Genio
٧xGx → ٨x (Cx → Gx)
C: ser gran Compositor
٧xTx → ٨x (Gx → Tx)
T: ser Temperamental
٧x (Gx ∧ Tx) → ٨x (Cx → Tx)
Prueba A:
1.- ٧xGx → ٨x (Cx → Gx)
2.- ٧xTx → ٨x (Gx → Tx)
3.- ٧x (Gx ∧ Tx)
4.- Ga ∧ Ta
5.- Ga
E.C. 4
6.- Ta
E.C. 4
7.- ٧xGx
I.٧. 5
8.- ٧xTx
I.٧. 6
9.- ٨x (Cx → Gx)
E.I. 1,7
10.- ٨x (Gx → Tx)
E.I. 2,8
11.- Cb → Gb
E.٨. 9
12.- Gb → Tb
E.٨. 10
13.- Cb → Tb
TRANS. C. 11,12
14.- ٨x (Cx → Tx)
I. ٨. 13
15.- ٨x (Cx → Tx)
E.٧. 3, 4-14
16.- ٧x (Gx ∧ Tx) → ٨x (Cx → Tx)
I.I. 3-15
Prueba B:
1.- ٧xGx → ٨x (Cx → Gx)
2.- ٧xTx → ٨x (Gx → Tx)
3.- ٧x (Gx ∧ Tx)
4.- Ga ∧ Ta
5.- Ga
E.C. 4
6.- Ta
E.C. 4
7.- ٧xGx
I.٧. 5
8.- ٧xTx
I.٧. 6
9.- ٧xGx ∧ ٧xTx
I.C. 7,8
10.- ٧xGx ∧ ٧xTx
E.٧. 3, 4-9
11.- ٧xGx
E.C. 10
12.- ٧xTx
E.C. 10
13.- ٨x (Cx → Gx)
E.I. 1, 11
14.- ٨x (Gx → Tx)
E.I. 2,12
15.- Ca → Ga
E.٨. 13
16.- Ga → Ta
E.٨. 14
17.- Ca → Ta
TRANS. C. 15,16
18.- ٨x (Cx → Tx)
I. ٨. 17
19.- ٧x (Gx ∧ Tx) → ٨x (Cx → Tx)
I.I. 3 -18
Arantxa Martín Santos
7
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Ejercicios del Cálculo de Predicados
Prueba C:
1.- ٧xGx → ٨x (Cx → Gx)
2.- ٧xTx → ٨x (Gx → Tx)
3.- ٧x (Gx ∧ Tx)
4.- ٧xGx ∧ ٧xTx
D.P.C. 3
5.- ٧xGx
E.C. 4
6.- ٧xTx
E.C. 4
7.- ٨x (Cx → Gx)
E.I. 1, 5
8.- ٨x (Gx → Tx)
E.I. 2,6
9.- Ca → Ga
E.٨. 7
10.- Ga → Ta
E.٨. 8
11.- Ca → Ta
TRANS. C. 9,10
12.- ٨x (Cx → Tx)
I. ٨. 11
13.- ٧x (Gx ∧ Tx) → ٨x (Cx → Tx)
I.I. 3 -12
14. Ninguna persona insegura, es psicólogo. Todos los estudiosos de la conducta son
psicólogos. Por tanto, ningún estudioso de la conducta es una persona insegura.
I: ser persona Insegura
٨x (Ix → ¬Px)
P: ser Psicólogo
٨x (Ex → Px)
E: ser Estudioso de la Conducta
٨x (Ex → ¬Ix)
1.- ٨x (Ix → ¬Px)
2.- ٨x (Ex → Px)
3.- Ia → ¬Pa
E.٨. 1
4.- Ea → Pa
E.٨. 2
5.- Ea
6.- Pa
E.I. 4,5
7.- ¬Ia
M.T. 3,6
8.- Ea → ¬Ia
I.I. 5-7
9.- ٨x (Ex → ¬Ix)
I. ٨. 8
15. Algunas mansiones no tienen más de diez baños. Todas las mansiones son construcciones
lujosas. Luego, algunas construcciones lujosas no tienen más de diez baños.
M: ser Mansión
٧x (Mx ∧ ¬Dx)
D: tener más de 10 baños
٨x (Mx → Lx)
L: ser construcción lujosa
٧x (Lx ∧ ¬Dx)
Arantxa Martín Santos
8
Unidad docente de Lógica y Filosofía de la Ciencia
Ejercicios del Cálculo de Predicados
1.- ٧x (Mx ∧ ¬Dx)
2.- ٨x (Mx → Lx)
3.- Ma → La
E. ٨. 2
4.- Ma ∧ ¬Da
5.- Ma
E.C. 4
6.- ¬Da
E.C. 4
7.- La
E.I. 3,5
8.- La ∧ ¬Da
I.C. 7,6
9.- ٧x (Lx ∧ ¬Dx)
I.٧. 8
10.- ٧x (Lx ∧ ¬Dx)
E.٧. 1, 4-9
16. Los parapsicólogos no son conductistas. Ningún psicólogo es competente en cuestiones
extrasensoriales. Los que no son conductistas son competentes en cuestiones
extrasensoriales. Por tanto, los parapsicólogos no son psicólogos.
P: ser Parapsicólogo
٨x (Px → ¬Cx)
C: ser Conductista
٨x (Sx → ¬Ex)
S: ser Psicólogo
٨x (¬Cx → Ex)
E: ser competente en cuestiones Extrasensoriales
٨x (Px → ¬Sx)
1.- ٨x (Px → ¬Cx)
2.- ٨x (Sx → ¬Ex)
3.- ٨x (¬Cx → Ex)
4.- Pa → ¬Ca
E.٨. 1
5.- Sa → ¬Ea
E.٨. 2
6.- ¬Ca → Ea
E.٨. 3
7.- Pa
8.- ¬Ca
E.I. 4,7
9.- Ea
E.I. 6,8
10.- ¬Sa
E.I. 5,9
11.- Pa → ¬Sa
I.I. 7-10
12.- ٨x (Px → ¬Sx)
I.٨. 11
17. Si una cosa se extravía, entonces si toda persona valora su propiedad, eso será buscado.
Si alguna persona valora su propiedad, toda persona lo hace. Por tanto, si algo se extravía,
entonces, si alguna persona valora su propiedad, hay algo que será buscado.
E: ser una cosa Extraviada
P: ser una Persona
R: valorar la Propiedad
٧x Ex → [٨x (Px → Rx) → ٨x (Ex → Bx)]
٧x (Px ∧ Rx) → ٨x (Px → Rx)
٧x Ex → [٧x (Px ∧ Rx) →٧x (Ex ∧ Bx)]
B: ser Buscado
Arantxa Martín Santos
9
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Ejercicios del Cálculo de Predicados
1.- ٧x Ex → [٨x (Px → Rx) → ٨x (Ex → Bx)]
2.- ٧x (Px ∧ Rx) → ٨x (Px → Rx)
3.- ٧x Ex
4.- ٨x (Px → Rx) → ٨x (Ex → Bx)
E.I. 1,3
5.- ٧x (Px ∧ Rx)
6.- ٨x (Px → Rx)
E.I. 2,5
7.- ٨x (Ex → Bx)
E.I. 4,6
8.- Ea → Ba
E.٨. 7
9.- Ea
10.- Ba
E.I. 8,9
11.- Ea ∧ Ba
I.C. 9,10
12.- ٧x (Ex ∧ Bx)
I.٧. 11
13.- ٧x (Ex ∧ Bx)
E.٧. 3, 9-12
14.- ٧x (Px ∧ Rx) →٧x (Ex ∧ Bx)
I.I. 5-13
15.- ٧x Ex → [٧x (Px ∧ Rx) →٧x (Ex ∧ Bx)]
I.I. 3-14
Arantxa Martín Santos
10