Equivalente de banda base

Equivalente de banda base
Notas de clase
Representación de señales pasabanda
función analítica
Representación de señales pasabanda-2
Donde
Otra forma
Representación de señales pasabanda-3
Representación de un sistema pasabanda lineal
Dado que h(t) es real, luego
Definimos
Luego
ya que
Respuesta de un sistema pasabanda a una señal
pasabanda
x(t)
y(t)
h(t)
Dado que
para
Entonces
y
Donde
f<0
Y
y
para
f>0
Energía de la señal equivalente de banda base
∞
∞
2
ℰ𝑥 =
−∞
∞
−∞
ℰ𝑥 =
1
2
1
4
∞
−∞
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡
∗ 2
∗
𝑥𝑏𝑏 2 𝑡 𝑒 +𝑗 4𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 𝑥𝑏𝑏
𝑡 𝑒 −𝑗 4𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 2𝑥𝑏𝑏 𝑡 𝑥𝑏𝑏
𝑡
∞
𝑥𝑏𝑏 𝑡
−∞
ℰ𝑥 =
2
+
1
𝑥 𝑡
2 𝑏𝑏
1 ∞
2 −∞
𝑥𝑏𝑏 𝑡
2
2 +𝑗 2𝜃 +𝑗 4𝜋𝑓𝑐 𝑡
𝑒
𝑑𝑡 +
𝑒
1 ∞
2 −∞
+ 𝑥𝑏𝑏 𝑡
𝑥𝑏𝑏 𝑡
ℰ𝑥 𝑏𝑏
2
𝑥𝑏𝑏 𝑡 ≜
1
1
2
𝑥𝑏𝑏 𝑡
ℰ𝑥 𝑏𝑏 = 2 ℰ𝑥 𝑏𝑏 = ℰ𝑥
𝑑𝑡
2 −𝑗 2𝜃 −𝑗 4𝜋𝑓𝑐 𝑡
𝑒
𝑒
cos(4𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 2𝜃) 𝑑𝑡
=0
1
ℰ𝑥 = ℰ𝑥 𝑏𝑏
2
Luego
2
−∞
1
∗
𝑥𝑏𝑏 𝑡 𝑒 +𝑗 2𝜋𝑓𝑐 𝑡 + 𝑥𝑏𝑏
𝑡 𝑒 −𝑗 2𝜋𝑓𝑐 𝑡
2
ℰ𝑥 =
ℰ𝑥 =
𝑅𝑒 𝑥𝑏𝑏 𝑡 𝑒 +𝑗 2𝜋𝑓𝑐 𝑡
𝑥 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑑𝑡
Equivalente de banda base del canal AWGN
𝑛 𝑡 = 𝑛𝐼 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑐 𝑡 + 𝑛𝑄 (𝑡)𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑐 𝑡
𝑛𝑏𝑏 𝑡 = 𝑛𝐼 𝑡 + 𝑗𝑛𝑄 (𝑡)
𝑆𝑁 =
𝑁0
2
∀𝜔
𝑆𝑁𝐴 = 2𝑁0
𝜔>0
𝑆𝑁𝑏𝑏 = 𝑆𝑁𝐴 𝜔 + 𝜔𝑐 = 2𝑁0 𝜔 > −𝜔𝑐
Si definimos
𝑛𝑏𝑏 𝑡 =
Luego
𝑆𝑁𝑏𝑏 =
1
2
𝑆𝑁 𝑏𝑏
2
2
𝑛𝑏𝑏 𝑡
=
2𝑁0
2
2
𝜎𝑏𝑏 2 = 𝑁0
𝜎𝑏𝑏 2 = 𝜎𝐼 2 + 𝜎𝑄 2
𝜎𝐼 2 = 𝜎𝑄 2 =
𝑁0
2
= 𝑁0
Representaciones equivalentes de una señal QAM
pasabanda
Sea una señal pasabanda
𝑥 𝑡 = 𝑥𝐼 𝑡 cos 2𝜋𝑓𝑐 𝑡 − 𝑥𝑄 (𝑡) sin 2𝜋𝑓𝑐 𝑡
𝑥𝑏𝑏 𝑡 = 𝑥𝐼 𝑡 + 𝑗𝑥𝑄 𝑡
Luego
𝑥𝐼 𝑡 = 𝑥𝑖 𝑔(𝑡)
Suponiendo además
𝑥𝑄 𝑡 = 𝑥𝑞 𝑔(𝑡)
𝑥𝑏𝑏 𝑡 = (𝑥𝑖 + 𝑗𝑥𝑞 )𝑔(𝑡)
Luego
𝑥 𝑡 = 𝑔 𝑡 (𝑥𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐 𝑡 − 𝑥𝑞 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑐 𝑡)
Por otra parte x(t) se puede representar en una BON como
𝑥 𝑡 = 𝑥1 ∅1 𝑡 + 𝑥2 ∅2 𝑡
∅1 𝑡 = 2𝑔(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐 𝑡
BON
Luego
∅2 𝑡 = − 2𝑔(𝑡)𝑠𝑒𝑛𝜔𝑐 𝑡
𝑥1 =
1
𝑥
2 𝑖
𝑥2 =
1
𝑥
2 𝑞
𝑥𝑏𝑏 𝑡 = (𝑥𝑖 + 𝑗𝑥𝑞 )𝑔 𝑡 = 2(𝑥1 + 𝑗𝑥2 )𝑔 𝑡
𝑥𝑏𝑏 𝑡 =
1
2
𝑥𝑏𝑏 𝑡 = (𝑥1 + 𝑗𝑥2 )𝑔 𝑡
Apéndice
Algunas relaciones útiles
𝑠𝑔𝑛 𝑓 ↔ 𝑗
𝑢 𝑓 =
1
1 + 𝑠𝑔𝑛 𝑓
2
1
𝜋𝑡
↔
1
1
𝛿 𝑡 +𝑗
2
𝜋𝑡
𝑥 ∗ 𝑡 ↔ 𝑋 ∗ (−𝑓)
Si x(t) es real
𝑋 ∗ −𝑓 = 𝑋 𝑓
(simetría hermitiana)
Transformada de Hilbert
𝑥 𝑡 ≜ 𝑕 𝑡 ∗ 𝑥(𝑡)
𝑋 𝑓 = 𝐻 𝑓 𝑋(𝑓)
Donde
𝐻 𝑓 = −𝑗 𝑠𝑔𝑛(𝑓)
𝐻 𝑓 ↔𝑕 𝑡 =
𝑥 𝑡 =
1
∗ 𝑥(𝑡)
𝜋𝑡
1
𝜋𝑡
0
𝑡≠0
𝑡=0