Matemática I (BUC)

Matemática I (BUC) / Cálculo I.
Matemática I (BUC) - Cálculo I
Práctica 6: ESTUDIO DE FUNCIONES
1. Determinar los intervalos incluidos en el dominio donde cada función es estrictamente
creciente/decreciente. Determine los extremos relativos.
a-
f ( x) = − x 2 + 2 x − 1
b- g ( x) =
c- h( x) = xe x
x
ln( x)
d- i ( x) =
x
1+ x2
2. Determine las constantes a, b, c, y d en la función g: IR→ IR, de modo que el punto (-2;3) sea un
máximo relativo y (1;0) un mínimo relativo. Con g ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d .
3. Encuentre los dos números positivos cuya suma es 20 y su producto es máximo.
4. Demuestre que entre todos los rectángulos de un perímetro dado el de mayor área es el cuadrado.
5. Demuestre que de todos los rectángulos que pueden inscribirse en un círculo dado el cuadrado es
el de mayor área.
6. Hallar el punto de la curva y = 3 x + 40 que está más cerca del origen.
2
7. Sea f ( x) = 9 x 3 + 16 x 2 . Hallar los intervalos en los que f es cóncava y los puntos de inflexión.
8. Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de la función g ( x) = xe
−
x2
6
e indicar los puntos
de inflexión.
9. ¿Para qué valores reales de a y b, el punto (1;3) es de inflexión, en la gráfica
de f ( x) = ax 3 + bx 2 ?
10. Hallar los valores de a para que la función f ( x) = x 4 + ax 3 + 24 x 2 + 1 sea cóncava en R.
1
11. Hallar todas las asíntotas de la función g ( x) = 5 xe x .
 2 x2 + 4 x − 6 
12. Hallar las ecuaciones de todas las asíntotas de la función f ( x) = ln 
.
2
 ( x − 1)

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13. Dibuje una gráfica posible de una función que satisfaga todas las siguientes condiciones y
escriba las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y/u oblicuas, si las hubiere.
◊ Dom f = IR - {0} ; f continua en todo su dominio
◊
lím f ( x) = 2
x → −∞
◊
lím f ( x) = ∞
x → +∞
◊
lím [ f ( x) − x ] = 0
x → −∞
◊
∀x ∈ (−∞;0) , f ( x) > 0
◊
∀x ∈ Dom f, f ``( x ) > 0
14. Realice el estudio completo de las siguientes funciones, analizando en cada caso:
a- dominio
b- discontinuidades
c- asíntotas verticales, horizontales y/u oblicuas
d- intervalos de crecimiento y decrecimiento
e- máximos y mínimos relativos
f- intervalos de concavidad y convexidad
g- puntos de inflexión
h- intersección con los ejes coordenados e imagen
i- gráfico aproximado
i.
f ( x) = 2 x 2 − x 4
v.
f ( x) = x 1 − x 2
ii.
x2
f ( x) =
x −1
vi.
f ( x) =
x2 +1
x2 −1
iii.
f ( x) =
iv.
f ( x) = x +
1
x
x− x
2
x −1
x +1
vii.
f ( x) =
viii.
f ( x) = e − x
2
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ix.
f ( x) = xe − x
x.
f ( x) = x 2 − 2
xi.
sen( x)
x
xiv.
f ( x) =
xv.
f ( x) = ln( x 2 − 1)
xvi.
f ( x) = x x 2 − 2
f ( x) = x ln( x)
xii.
f ( x) = x − ln( x)
xiii.
f ( x ) = ( x − 2) 2 / 3
15. Dada la función h( x) = (2 x 3 + 11x 2 + 25 x + 25)e − ( x + 2) , hallar los intervalos del dominio
donde la función es creciente.
16. Analizar la existencia de asíntotas verticales de la función g definida como:
x −2
g ( x) = e x +1
.
17. Hallar el valor de a ∈ R para que la recta y = x + 6 sea asíntota oblicua a derecha de la
función f ( x) = ( x + a)( x + 3) .
1
3sen 2 (ax) + b2 x 2 cos( )
x hallar todos los valores de a y b ∈ R
18. Dada la función f ( x) =
2x
para que la recta y = 2 x sea asíntota oblicua a derecha de la función.
19. Determinar a ∈ R para que la recta y = − x +
2
sea asíntota oblicua a derecha de la
3
función g ( x) = 3 x 2 (2a − x) .
20. Analizar las asíntotas de la función g ( x) =
sen( x) + 3x 2
1 + x2
 4 x2 + 2 
21. Sea f: R → R un función continua y derivable cuya derivada vale f '( x) = ln  2

 3x + 11 
a- Hallar los intervalos en los que f(x) es decreciente.
b- Hallar los intervalos en que f(x) es cóncava.
22. Hallar el dominio, intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento y extremos
−
x
e 4
locales de la función: f ( x) =
.
x−8
x2
, indicar el dominio, hallar conjunto de ceros, y los
23. Dada la función g ( x) = 2
x +1
intervalos de positividad, negatividad. Escribir las ecuaciones de las asíntotas.
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24. De todos los triángulos isósceles de perímetro 10, hallar el de menor superficie.
25. Dada la función g ( x) = x 1 − ax 2 , hallar el valor de a>0 para que la imagen de g(x) sea
[-2;2].
26. Dada la función h( x) = ( x + b)( x + 2) , hallar el valor de b para que la recta y = x + 3
sea asíntota oblicua a derecha de la función.
27. Sea f : [ 0, 2] → R, f ( x) = x 2 − 2 x + 3 . Determinar cual de los puntos del gráfico de f está
más cerca del punto (1,1) y cual está más lejos.
28. Sea g : [ −2, 6] → R, una función continua y derivable. El gráfico de su función derivada
g´(x) es el que se muestra a continuación. Para la función g(x) determine, si es posible:
a- Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b- Máximos y mínimos locales y absolutos.
c- Intervalos de concavidad y convexidad.
d- Puntos de inflexión.
e- Intervalos de positividad y negatividad.
f- Raíces.
g- Asíntotas.
Justifique sus respuestas.
5
g´(x)
4
3
2
1
0
x
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
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