- 17 - PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UNA DETER M INA DA SECUE NCIA DE OlAS HUMEDOS Y SECOS por Vicente lbañez Orts y Francisco Elías Castillo Ores. Ingenieros Agrónomos In t roducció n se dan unos listados de ordenador para calcular la prc,babilidad de una de terminada se- El exceso o falta de precipitación juega cuencia de días húmedos o secos en los meses un importante papel en muchas de las acti- de agosto, septiembre y octubre. Un día se vidades humanas. Así, por ejemplo, en cier- considera húmedo si la precipitación registra- tas labores agrícolas, ocurre que la presencia da es igual o superior a lmm. o ausencia de lluvia en una época determinada, puede suponer el éxito o el fracaso . ..Es A partir de los datos de los listados, se sabido que la fiabilidad de los pronósticos pueden dar respuestas a las siguientes pregun- del tiempo sobre la posibilidad de precipita- tas: ción disminuye a medida que aumenta el periodo de predicción, si bien a largo plazo, A) ¿Cuál es la probabilidad de que un es posible acercarse a la realidad mediante un día determinado sea seco o húmedo? estudio estadístico de las lluvias caídas en B) ¿Cuál es la probabilidad de que una el pasado; ello es de gran utilidad en la estra- determinada secuencia de días húmedos y / o secos se dé en un período de tegia de planificación de cultivos. tiempo concreto? Este artículo es un intento de describir C ) ¿Cuál es la probabilidad de un deter- las secuencias de días húmedos y secos en la minado número de días secos o hú- comarca arrocera de Sueca (Valencia), donde medos en un periodo de pueden presentarse dificultades para la reco- prefijado?. tiempo lección del arroz al coincidir con las borras- El modelo de cadena de Markov supone cas y aguaceros de los últimos días de sep- que existe persistencia, es decir, que dado un tiembre y primeros de octubre. El estudio d í a seco, la probabilidad de que el día siguien- se basa en las precipitaciones diarias registra- te sea seco es mayor que la que se obtiene si el das duran te el periodo de 30 años comprendi- primer día llueve. La probabilidad inicial do entre 1949 y 197 8. Al final del artículo en toda cadena de Markov se conoce como (*) En es te artíc ulo se ha seguido la metodología propuesta por !os siguientes au t ores: GABRIEL y N EUMA NN (1962), C ASKEY (196 3 ) , WE IS S ( 1964) y H E ERMANN et al(l9 71 ). - 18 - probabilidad absoluta. La probabilidad absoluta de que el segundo día sea seco (independientemente del primero), se encuentra comprendida entre la probabilidad de que el segundo esté seco, suponeinto que el día primero esté húmedo, y la probabilidad de que estando el primer día seco también lo esté el segundo. Estas dos últimas probabilidades condicionales reciben el nombre de probabilidades de transición. Las diferencias entre las probabilidades de transición entre sí, y de éstas respecto a la absoluta, reflejan la persistencia del modelo de precipitación. Un intervalo seto de longitud n se define como una secuencia de n días secos precedidos y seguidos por días húmedos. La probabilidad de un intervfn) secd de longitud n días del tipo SSS . , . ~ ... SH, suponiendo que las probabilidades relativas no varían en el intervalo considerado, e5: y la prob abilidad de un intervalo húmedo de longitud n será: (l El model o de probabil idad de las cadenas de Markov En 1962 GABRIEL y NEUMANN al estudiar las secuencias de días de lluvia ocurridas en Tel Aviv durante 27 años, encontraron que podían describirse bien mediante un modelo de probabilidad de cadena de Markov de primer orden. No se trataba de una explicación física de la ocurrencia de precipitación, sino de una aproximación estadística al fenómeno. El modelo asume que la probabilidad de un día de lluvia depende únicamente de las condiciones del día precedente. La cantidad de precipitación sólo se refleja en la definición previa de ocurrencia o no de lluvia. Este modelo de probabilidad es una cadena de Markov cuyos parámetros son las dos probabilidades condicionales P 0 y ( 1 - P 1 ) , don de P0 es la probabilidad de un día húmedo, si el día anterior fue seco, y ( 1 - P 1 ) es la probabilidad de un día seco, si el día ante rior fue húmedo. Por consiguiente : P 1 = P (H/ H) Po= P (H/S ) ( 1 - P 1 ) = P (S/H) (1- P 0 ) = P (S/S) d onde H y S son las abreviat uras de día h úm edo y seco . - p 1 ) pn-1 1 La probabilidad acumulada de que existan hasta n días secos en un cierto in tervalo, es : ya que se trata de una progresión geométrica . de razón 1- P0 • Lo mismo se puede obtener para secuen~ cias húmedas de hasta n días consecutivos : La probabilidad de una secuencia seca may or que n, dado que es el complemento de la anterior, será: y la prob ab ilid ad de secuencias húmedas mayores qu e n: P ~ . - 19 - En realidad basta con de terminar sola- Aplicación y ejemplos mente la probabilidad absoluta de que un dí a Para la estación de Sueca (Valencia ) esté seco (PSEC), y la probabilidad de transi- se han confeccionado las Tablas que se inclu- ción de un día seco al siguiente P(S / S), ya yen al final de este artículo utilizando los que a partir de es tas dos probabilidades se datos de lluvia diarios durante un período pueden calcular las restantes aplicando las de 30 años (agosto, septiembre y octubre). fórmulas siguientes: Estas tablas dan la siguiente información: P(H¡) = 1 -- P(S¡ ) A) Fijado el nivel de precipitación ( 1 mm), se muestra para los días del mes, aquellos en los que ha ocurrido o no precipitación (Ocurrencia= i ; no ocurrencia= 0). B) Seguidamente se da el total de días secos y húmedos (SECO; HUMD), que se han presentado en las fechas de cada mes, para los treinta años estudiados. C) A continuación se da la probabilidad absoluta para el carácter seco o húmedo de un día X determinado (PSEC y PHUM), que se calcula como el número de años en los cuales el día X está seco o húmedo, dividido por el número total de años ( 30). P(H¡/S¡_ 1 ) = 1- P(S¡/S¡_ 1 ) P(S¡)- P(S¡_ 1 ).P(S¡/S¡_ 1 ) P(S¡/H¡_ 1 ) = P(H¡_ 1 ) P(H¡/H¡.¡ ) = 1 - P(S¡/ H¡ _1 ) Ejemplo de aplicación Si se está interesado solamente en calcular la probabilidad de que un día determinado sea húmedo o seco, basta simplemente con leer en los listados el valor de la probabilidad absoluta que corresponde a la fecha que se busca. Para calcular la probabilidad de una determinada secuencia de días húmedos y secos, al primer día de la secuencia se le aso- D) Después se da la probabilidad de cia la probabilidad absoluta, y a los restantes, transición de que el día de hoy (X¡) las de transición. Esto se cumple por muy lar- esté seco si el día anterior (X¡_ 1 ) ga que se a la secuencia. fue también seco. Se calcula como el número de años en los cuales el Por ejemplo: ¿Qué probabilidad existe día X¡ y el día X¡_ 1 están secos , divididos por el número de años en de que del día 13 al 15 de septiembre, en la estación los que el día X¡.¡ (s eco-húmedo-seco)? está seco, va- riando el índice i entre 1 y 91 , de Sueca, la secuencia sea SHS (se a 1 bre tienen 31 día y septiembre 30. siguientes probabilidades. Análogamente se han calculado las tres mm) . En los listados buscamos las SUECA-ESTACION ARROCERA (1 mm ). Mes de septiembre. bilidad de que un día sea húmedo si el ante- P (S 1 3 ) = 0,83 rior fue seco P(H/ S), probabilidad de qu e P (H 14 / S 1 3 ) = 0,04 am bos días sean húmedos P( H/H), y la probabilidad de que el día de hoy esté seco cuando el anterior fue húmedo P(S / H ). de lluvia si la precipitación es mayor o igual ya que los meses de agosto y octu- probabilidades de transición restantes. Proba- considera día P (S 1 5 /H 14 ) = 0 ,33 por lo tanto - 20 - pregunta se formularía del ~odo sigueinte: ¿Cuál es la probabilidad de que exista al menos un día húmedo en el periodo que abarca del 13 al 1S de septiembre?. Para ello se recurre a la Tabla que nos da la lista de las posibles secuencias de días húmedos y secos para PsHs = P(Sl3)xP(Hl4/Sl3)xP(Sls/Hl4) = 0,83 X 0,04 X 0,33 = 0,01 y la probabilidad encontrada de que ocurra la secuencia SHS es del 1 por ciento. un periodo de longitud n = 2, 3, 4 y S días (permutaciones con repetición). La probabilidad de obtener O, 1, 2 ó 3 días húmedos es la siguiente: También se podría calcular el número de días húmedos que pueden producirse en el periodo estudiado de tres días. En este caso la P(O días húmedos)= P 585 = 0,83 x 0,06 x 0,8S =0,677 P(1díashúmedos)=PHss + PsHs + P 5 5 H = 0,09+0,01+0,12= 0,217 P(2 días húmedos)= P 8 H H + PH SH + PH H s = 0,02 + 0,02 + 0,02 = 0,060 P( 3 días húmedos) ~ P H H H= 0,17 x 0,40 x 0,67 = 0,046 Suma La suma de probabilidades para todas octubre . Las lluvias durante ese periodo pro-· las posibles secuencias deberá lógicamente ser igual a 1,00 (dentro del error de redondeo) La respuesta a la pregunta sería 1~ suma de las tres probabilidades de que exista 1, 2 ó 3 días húmedos, o bien el complemento a 1 de d ucen graves trastornos ya que impide n que las máquinas cosechadoras trabajen, y si las precipitaciones son muy intensas, los daños pueden ser cuantiosos. Nos proponemos calcular a partir del 1 de septiembre, y de 5 en 5 días, para la estación de Sueca y los niveles de precipitación de 2,5 y 25 mm, cuál es la probabilidad de que haya 5 días secos conse~ cutivos (*). ningún día húmedo (1 - 0,677 = 0,323). Por tanto, la probabilidad buscada es del 32,3 por ciento. Como un nuevo ejemplo de mayor aplicación práctica se propone el siguiente . La cosecha de arroz se suele recolectar en Levante entre el 15 de septiembre y el S de Fecha 1 - 5 sept. 6-10sept. 11-15 sept. 16-20 sept. 21-25 sept. 26-30 sept. 1 - 5 oct. 6 - 1 O oct. 11-15 oct. 16-20 oct. Probabilidad de 5 días secos consecutivos: P(S) Nivel de precipitación 2,S mm 0,93 X 0,97 X 1,00 X 0,87 X 0,87 X 0,90 X 0,97 X 0,83 X 0,83 X 0,80 X 0,89 0,90 0,90 0,92 0,96 0,93 0,90 0,88 0,88 0 ,92 X X X X X X X X X X 0,93 X 0,96 X 0,89 X 0,93 X 0,9 6 X 0,86 X 1,00 X 0,96 X 0,88 X 0,88 X 0,81 0,86 0,96 0,96 0,86 0,96 0,7S 0,96 0,88 0,9 2 1,00 X X X X X X X X X X 1,00 = 1,00 = 0,89 = 0,89 = 0,88 = 0,88 = 0,77 = 0,82 = 0,85 = 0,88 = (•) Se han elaborado ta m bién T ablas para los niveles de p recip it aci ón de 2 ,5 , S ; lO y 25 mm que no se incluyen en este art ícu lo. 0,69 0,72 0,68 0,64 Q, 61 0,61 0,50 0 ,55 0,48 0 ,52 X P(S/S) X P(S/S) X P(S/S) X P(S/S). Nivel de precipitación 25 mm 0 ,97 X 1,00 X 1,00 X 1,00 X 0 ,97 X 1,00 X 0, 97 X 0,97 X 0 ,93 X 0 ,97 X 1,00 X 1,00 X 0,93 X 1,00 X 1,00 X 1 ,00 X 0,97 X 0,97 X 0 ,9 6 X 0 ,9 0 X 1,00 X 0,97 X 0,9 3 X 0,97 X 1,00 X 1,00 X 1,00 X 1,00 X 0,9 7 X 0 ,93 X 1,00 X 1,00 X 1,00 X 1,00 X 0 ,97 X 1,00 X 1,00 X 1,00 X 0 ,9 3 X 1 ,00 X 1,00 = 1,00 = 0 ,97 = 1,00 = 1,00 = 1,00 = 1,00 = 1,00 = 1,00 = 0 ,97 = 0,97 0,97 0,84 0,97 0,94 1,00 0,94 0, 94 0,8 1 0, 79 - 21 - Se observa que para el nivel de 2,5 mm de precipitaci6n, la probabilidad de tener 5 días secos, que es el complemento a la unidad de que exista al menos algún día con lluvia, disminuye para el mes de septiembre desde aproximadamente 0,70 entre el día 1 y el 20, a 0,60 entre el 20 y el 30, y en octubre desciende hasta un valor paroximado de 0,50. Si se considera el nivel de precipitación de 25 mm, la probabilidad se sitúa prácticamente alrededor del 0,9 5 entre el 1 de septiembre y ellO de octubre, paradescenderal 0,80 a partir de esa fecha. Ambos casos reflejan estadísticamente la notable frecuencia de los aguaceros en el mes de octubre por comarcas de Levante. Los ejemplos son interesantes para planificar las faenas de recolección del arroz aprovechando la secuencia de días secos intercalados entre las épocas de aguaceros. BIBLIOGRAFIA Caskey, J.E. Jr. (1963). "A Markov chain model jor the probability of precipitation ocurrence in intervals of various length". Monthly Weather Review. pp. 298-301. Gabriel, K.R. & Neumann, J. (1962). "A Markov chain model for daily rainfall ocurrence at Tel. Aviv". Quaterly Journal of the Royal Meteorologícal Society. pp. 90-95. Heermann, D.F ., Finkner, M.D. & Hiler, E.A. ( 1971). "Probahility of secuences of wet and dry days fo r eleven western states and Te xas". Weiss, L. L. ( 1964). {{Secuences oj wet or dry days described by a Markov chain probability modezn. Monthly Weather Review. Vol. 92. pp. 169 -176. - 22 - TAB LA SECUENCIAS POSIBLES DE DIAS HUMEDOS O SECOS PARA PERIODOS DE LONGITUD n = 2, 3, 4 y S días Núm. de días húmedos Secuencias posibles Núm. de días húmedos n= 2 n = 5 o s,s o 1 H,S 1 2 Secuencias posibles S,S,S,S,S H,S,S,S,S S,H S,H,S,S,S H,H S,S,H,S,S S,S,S,H,S n=3 S,S,S,S ,H 2 H,H ,S,S, S o S,S ,S H,S,H, S,S 1 H S,S S,H,S H,S,S,H,S H,S,S,S,H S,H,H,S ,S 2 3 S,S,H H,H,S H ,S ,H S,H,H S ,H,S,H ,S S,H,S,S,H S,S,H,H,S H,H,H n=4 S,S ,H,S,H 3 S,S,S,H,H H,H,H,S,S H,H,S,H,S o S,S,S,S H,H,S,S,H 1 H,S,S,S H,S,H,H,S S,H,S,S H,S,H,S,H S,S,H,S H,S ,S,H,H 2 S,S,S ,H S ,H,H,H,S H,H,S,S S,H,H,S,H H,S,H,S S,H,S,H,H H,S,S,H S,S ,H,H,H S,H,H,S 3 H ,H,H,H,S H,H,H ,S ,H S,S ,H,H H,H,S,H ,H H,H,H,S H,S,H,H,H H ,H,S,H H,S,H,H S,H ,H,H 4 4 S,H,S,H H,H ,H ,H 5 S,H,H,H,H H,H ,H,H H - 23 - LISTADOS DE ORD E NADO R QUE D AN LA PROBABILID AD ABSOLUTA Y DE TRANSICION D E UN DIA SECO O HU MEDO EN EL OBSERVATO R IO D E SUECA (VALENCIA ), PARA UN NIVEL DE PRE CIPITACION DE 1 mm. - 24 - ~; :<"j [?'-. ;..,·; i'- j-; ¡- r-:; C> --: CJ --: C'-~ f"·- LiJ ¡-- CD C·.! ...!-; ;,..;.; .-- - ~ ¡;. co-:-""" ¡-----; f"- c..: :'-- y; ~ ~t") :--- y¡-..(; ce "-- -::.: ~!'".i !'- n-...o z ~ , e ([ > ~.r.: LO ~ ¡-.._ C'·i z o o o o e oc e:=: f'-r. o:=: Q--. c 8c ¡-- r<= e=: (]-. :> i"- i""'0 :J--. oc e:=. Ci ri e">" > ~= :1 :.-. oc o--C'- ~ ~c~N~~~~~~0=~N~~~~~~0c~N~~~~~~ ~~~~~G~0G~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~0~~00~~0-0~00~00~0~~~~~~~~~0 ~r.~~~~~~ ~ ~~r.~n~~~~~~r. ~~ ~~~~~M~ -n r--- i"'":l c-... ::= ~- ;:.-., e=: - 25 - U) o ·= ~ :;--.; f"'- :- >- ""="': ('·.! -...o ..:i" :"'- ;"<'. : -.;. CG ~ ..o -=- f'- {'<') CD .,-; C'·~ ~ !"'0 C'·.: o.. . "-:-! .=1".....0 o=.: i'- :" 0 :::::o ("'·.i Ü'· e·.: c-. ~. ~ .,.--; i"~: ~ ?-<": ·...:"'= ("·¿ co !"·.: ~ -...e =t- ,..._ r: ("'·i :..;.; .,...., u z = co ;-•: :'- e:-- ~ ('0·-:J :..0 f'- ~i ("'·.! i..:~· u e > ·•:I ~c~NM~~~~OO~o~N~~~~~G~o~NM~~~~G ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ 0 0 ~~ ~~ ~~~~~~~~~~r.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ¡_¡; ~ :'- ::"·~ :..;.; --.G::;r- f'-i'<) .....(;~ oo C ·~ e;::; ~ 2 o== -:-i ESTACION DE SUECA RESUMEN DIAS LLUVIA DEL 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 l956 l957 1958 1959 1960 1961 o () o () () 1 o o 1 o o o o o 1 o 1 J. l o o 1 1 o o o 1) o o o o 1 (1 o 1 1 o o D o o () o o o () o n o o () () 1 1 () o 1 ~::. FCD ;?7 :~~ó IIUi·íD 3 IJ , S' O , U/ . 10 .13 1 (_) t:'J I'H/~; .OLJ I' H/ H ¡o<; ; ¡¡ . • ~ ''j O o o o o o o o o 1 {) () o o () [1 (1 o o o o o o 1 o o o 1 o o () () o o o o o o () o o o ü 1 1 o o o o ' uD ' C) 6 , ()IJ =1 1 ~?7 ,/ 3 'IJ o .60 1 1 1 o o o o o o o () () l 1 ü o o o o o o o o o o e¡ 2 .OEl ul .:1.? 1 ,(,f) ' 'jo ' , IJ. () ' ~=.=_;o 1 ~~;~ ~.=.=_; - · . . , :; ' ::~ () . C) ¿ l 27 28 o o l o o o () () o [) [1 o () o o () o ü () () () 1 () o () o 1 :1. () o 1 1 [) o o o 1 o o o o 1 o o ü o () () o o O. o o () () o () (1 () o o () o o 1 () () o J o o o 2 J 15 o () :1. o [) :1. J () l o o o () o o o o o o o l () 1 1 (1 6 l o o 8 6 o () o 1 o u o o o o (1 o o 1_1 o o n () o o 3 8 o o o 4 () o o o 1 6 ll () o o o 1 6 4 o () l 1 o o o o () o o o 31 SUM o l 1 l o () J o o () () () o 1 o o o o 30 o o () () o o o o o 29 o () 1 26 o 1 o 25 () 1 1 1 24 o () o o 23 SECCl== O/HUMLDD "' 1 t'iii o () () o 22 1 () o o () 21 l () () o () o () () o o o :1. 1 [) o o 13 ~ u 9 6 () 6 o () o o 1 8 2 3 l[. () -~ () u 1 ;_:_> IJ :?3 "/ ~>IJ. 6 . u:.:~: . n~~~ . c.J o .HO . 77 . DO .ll ' :.~ ~-::; u'/ ' DB o n a::• .J ' 1 () o 1 .17 :l o o o ~> o o o () o o . 1:.: ' n ' :.? :~. o () ' u? ' "'? ~. .4 () () .:1.1 ,;:,(l 1 :l o o o o o o () . El O i 1 [ C D : P 1' D 1 f.l o ü o o u u . 00 .·· ·,¡::· 1 ?O o l o o o o o [1 . B7 '¡' o o o o ·o 19 (1 o o () o ü l 2~:_; 18 1 o o .17 .1/ .15 .13 . 20 1 l o o , 37 1 () 17 o o () o (l . r:.3 .6 3 . n::'· . n:r, , U7 77 ,'?3 l o o é~ . uü o 1 2 1+ .~'0 o [1 26 16 o o o o o o o o o 25 5 15 J o o o ó ~ o o o ~21+ ~~ Jl OC TL.l B RE o () 1 26 4 19 .!lb ~--} o ~ .17 .... o o J. () 14 () o o 2 ~~; o o o o o (J () , UJ o () 1 13 () o o o o 1 1 o () o o 1 l o o o o o o () o o o () 12 ME S D f () 1 1 o u? ' 9 :?. ::;o [1 11 o o o .l:l. 1 () o o () 1) {) o 1 10 o o o o l 978 o o o () o 9 () 1 D ~:; o 1949 197 & D o 1 () 1 1976 1977 p ~) / , ..1 o o 1 9 63 1 96 4 1965 1966 19 67 1968 l96 9 1970 19 71 197 2 1973 1974 1975 I' IIUr\ 7 6 --- o o o 19 62 P~>EC LJ. 3 ()¡;:¡m; PERIODO CVALENCIAl 3 .10 1 92 .OlJ. . :1. .J ? .OH , U3 . :?;:::; ':1. -? . ó 7 , IJ D . .so . UD , :'O .::'ü ' u~-=_; .1~; 1 (> "l . 33 :~:.'3 , H~~. . n:.-~~ . ;~ () ' H3 .:1.0' '?l H7 . u7 ,() ') .l ? .:1. ~ ·: .l/ , (. 7 • ~-=; '/ . llt . 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