8 formas cuadraticas..

Archivo: FORMAS~1
Fecha: 19/11/2009
Hora: 11:54:35
REPRESENTACIÓN y CLASIFICACIÓN DE FORMAS
CUADRÁTICAS EN R2=RxR
w(x,y)= a x^2 + b y^2 + 2c xy.
Es interesante representar y clasificar una forma cuadrática
positiva w(x,y) ’ 0
negativa w(x,y) “ 0
indefinida w(x,y)“ 0 y w(x,y)’0
Representar la forma cuadrática w(x, y) := x ^2 + y^2 - 2·x·y ¿es positiva?
2
#1:
w(x, y) ≔ x
#2:
x·y
#3:
x
2
2
+ y
- 2·x·y
2
+ y
Página: 1
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2
w(x, y) ≔ x
#5:
w(x, y) ≔ x
#6:
w(x, y) ≔ - x
2
#4:
+ y
2
- 4·x·y
2
- y
+ 2·x·y
2
2
- 2·y
- 2·x·y
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#7:
⎡
2
2
2
2 ⎤
⎣√(x - y ), - √(x - y )⎦
#8:
(x - 1)
#9:
x
#10:
x
2
2
2
+ (y - 2)
2
- y
2
= 1 ∨ x
2
2
= 4 ∨ (x - 1)
2
- y
≤ 1
2
- y = 0 ∨ x
- y ≤ 0
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2
+ (y - 2)
≤ 4
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2
#11:
x = y
∨ y
#12:
SIN(x - 1)
#13:
SIN(x - 1)
#14:
SIN(x - 1)
≤ x
2
2
+ e·(y - 1)
2
2
+ 4·SIN(x - 1)
2
+ SIN(y - 2)
2
+ e·(y - 1)
2
2
+ 4·SIN(x)·(x - 1)
2
+ e·(y - 1)
≤ 4
+ 4·SIN(x - y) ≤ 4
Página: 4
2
+ SIN(y - 2)
< 4
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#15:
SIN(x - 1)
#16:
(x - 1)
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2
+ e·(y - 1)
2
+ 4·x·SIN(x - y) ≤ 4
2
2
+ e·(y - 1)
+ 4·SIN(x)·(x - 1)
2
+ SIN(y - 2)
< 4
2-clasificar las formas
cuadraticas:q1 y q2
2
2
+ 2·x·t - 6·y·z + 4·z
2
#17:
q1(x, y, z, t) ≔ - 2·x
+ 4·t·z + t
#18:
q2(x, y, z, t, u) ≔ 3·x·y + x·z + 2·x·t + x·u + 3·y
2
2
8·y·t + 5·y·u + 2·z
+ 7·y·z +
2
+ 5·z·t + 8·z·u + t
Página: 5
2
+ 5·t·u + 9·u
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#19:
#20:
#21:
#22:
⎡ -2
⎢
⎢ 0
s1 ≔ ⎢
⎢ 0
⎢
⎣ 1
⎡
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 3
⎢ ⎯⎯⎯
⎢ 2
⎢
⎢ 1
s2 ≔ ⎢ ⎯⎯⎯
⎢ 2
⎢
⎢
⎢ 1
⎢
⎢
⎢ 1
⎢ ⎯⎯⎯
⎣ 2
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0
0
0
-3
-3
4
0
2
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1 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥
2 ⎥
⎥
1 ⎦
3
⎯⎯⎯
2
1
⎯⎯⎯
2
1
3
7
⎯⎯⎯
2
4
7
⎯⎯⎯
2
2
5
⎯⎯⎯
2
4
5
⎯⎯⎯
2
1
5
⎯⎯⎯
2
4
5
⎯⎯⎯
2
1 ⎤
⎯⎯⎯ ⎥
2 ⎥
⎥
5 ⎥
⎯⎯⎯ ⎥
2 ⎥
⎥
⎥
4 ⎥
⎥
⎥
5 ⎥
⎯⎯⎯ ⎥
2 ⎥
⎥
⎥
9 ⎥
⎦
EIGENVALUES(s1)
[1, 6.22829376, -2.480972981, -1.747320778]
dos valores positivos y dos negativos por lo que la primera
forma cuadratica es indefinida
#23:
EIGENVALUES(s2)
#24:
[-2.215814448, 4.310655552, 14.26922849, -1.165351595,
-0.198718004]
dos positivos y tres negativos,esta forma cuadratica es
indefinida
2-clasificar las siguientes formas cuadraticas:q3 y q4
#25:
#26:
⎡ -1
⎢
q3(x) ≔ x·⎢ 1
⎢
⎣ 0
⎡ 1
⎢
q4(x) ≔ x·⎢ 1
⎢
⎣ 0
1
-1
0 ⎤
⎥ t
0 ⎥·x
⎥
2 ⎦
0
1
2
0
0 ⎤
⎥ t
0 ⎥·x
⎥
3 ⎦
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introducimos la matriz simetrica
#27:
#28:
#29:
⎡ -1
⎢
s3 ≔ ⎢ 1
⎢
⎣ 0
⎡ 1
⎢
s4 ≔ ⎢ 1
⎢
⎣ 0
1
-1
0 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥
2 ⎦
0
1
2
0
0 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥
3 ⎦
EIGENVALUES(s3)
#30:
[0, 2, -2]
uno positivo y otro negativo,forma cuadratica indefinida
#31:
EIGENVALUES(s4)
⎡
√5
3
3
√5 ⎤
⎢3, ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎥
⎣
2
2
2
2 ⎦
#32:
todos los autovalores son positivos por lo que esta forma
cuadratica es definida positiva
Ejercicio. Clasificar la forma cuadratica segun los valores de
a y b: q5
#33:
q5(x, y) ≔ a·x·2 + 2·b·x·y + 2·y·2
#34:
⎡ a
s(a, b) ≔ ⎢
⎣ b
#35:
DET(s(a, b))
b ⎤
⎥
2 ⎦
2
#36:
2·a - b
2
#37:
2·a = b
Si 2a = b2 entonces a es mayor o igual q 0
Si a=0 también b=0, en cuyo caso la matriz asociada es:
#38:
#39:
s(0, 0)
⎡ 0
⎢
⎣ 0
0 ⎤
⎥
2 ⎦
por lo que la forma cuadrática es semidefinida positiva.
Si a>0, como D1>0 y D2=0 será semidefinida positiva
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Si 2a-b2>0, entonces a>0. Por tanto, D1>0 y D2>0 y la forma cuadrática es definida
positiva.
Si 2a-b2<0, como 2a < b2 se tiene que D2<0 y por tanto, la forma cuadrática es
indefinida
Clasificar la siguiente forma cuadratica segun los valores de
a:q6
2
#40:
q6(x, y, z) ≔ a·x
#41:
⎡ a
⎢
s(a) ≔ ⎢ 2
⎢
⎣ 1
#42:
1
0
2
+ 2·x·z + z
1 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥
1 ⎦
DET(s(a))
#43:
#44:
2
2
+ 4·x·y + y
a - 5
a = 5
para a=5 la forma cuadrática es semidefinida positiva.
Si a es diferente a 5 estudiamos los menores principales que son: [a,a-4,a-5]
se tiene que:
- Si a>5, es claro que D3=det(S4)>0. En ese caso
D1=a>5>0 y
D2
=a-4>0
Por tanto si a>5 es definida positiva.
- Si a<5, resulta que D3<0. Además como
D1=a, si 0<a<5 entonces D1>0 y D2=a-4<0 luego indefinida.
y si a<0, entonces D1<0 y D2<0 y también es indefinida.
#45:
1
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