Combinacion lineal y espacio generador Span S

Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan
(Sección 6.3 pág. 291)
I.
Combinación Lineal
Definición: Sean v1, v2, v3, …, vn vectores en el espacio vectorial V. Entonces
cualquier expresión de la forma a1v1 + a2v2 + a3v3 + … + anvn donde a1, a2, a3, …,
an son escalares se llama una combinación lineal de v1, v2, v3, …, vn.
En ℝ2 y ℝ3 se puede visualizar geométricamente como el las figuras6.4-6.6 de las
páginas 283-284 del texto.
Ejemplos(para discusión):
1) Considera los vectores (1, 0)=i y (0, 1)= j de ℝ2. Entonces todo vector de ℝ2
es combinación lineal de ellos dos.
a) Sea (a, b) elemento de ℝ2, entonces (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1).
b) Sea (-5, 3) elemento de ℝ2, entonces (-5, 3) = -5i + 3j=-5(1, 0) + 3(0, 1).
Nota: El vector (1, 0) se puede representar con la letra i y al vector
(0, 1) con la letra j.
2) Considera los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) en ℝ3. Entonces todo
vector de ℝ3 es combinación lineal de estos tres vectores. Por ejemplo; el
vector (5, 1, -3) = 5i + j -3k= 5(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + -3(0, 0, 1).
Nota: El vector (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) se puede representar con
las letras i, j, k respectivamente.
3) Considera los vectores (1, 0) y (3, 0). Entonces el vector (0, 1) NO es
combinación lineal de (1, 0) y (3, 0). Observa que:
(0, 1) = a (1, 0) + b(3, 0)
= (a, 0) + (3b, 0)
= (a + 3b, 0)
Lo cual implica que 1 = 0, pero esto es imposible.
4)
  1
 5
 
 
 2  y   3
 4
 1
  ya que:
En ℝ3,
es una combinación lineal de  
 7
  1  5 
 
   
 7   2 2     3 
 7
 4  1 
 
   .
5)
Escribe el vector (1, -2, 5) como una combinación lineal de los vectores
(1, 1, 1), (1, 2, 3) y (2, -1, 1) para obtener el sistema de ecuaciones con
 7
 
 7
 7
 
variables: c1 , c2 , c3. (Verifica la solución: c1 = -6, c2 =3, c3= 2).
Herramienta para reducir matriz aumentada:
http://www.math.purdue.edu/~dvb/matrix.html
6)
¿Será el vector (2, -5, 3) de ℝ3 una combinación lineal de los vectores (1, -3,
2), (2, -4, -1) y (1, -5, 7)?
a) Halla el sistema de ecuaciones
b) Verifica que No tiene solución
7)
En Pn, todo polinomio se puede expresar como una combinación lineal de
los monomios 1, x, x2, x3, …, xn. Recuerda que los polinomios son de la
forma anxn + an-1xn-1 + … + ax + a0.
8)
Indica si el polinomio x2 + 4x – 3 es una combinación lineal de los
polinomios {x2 – 2x + 5, 2x2 – 3x, 6x – 8}.
9)
 3 1


1
1

 una combinación lineal de las siguientes matrices:
¿Será la matriz
1 1   0 0   0
2 
, 
. 


1 0  1 1   0  1  ? (solución del sistema de ecuaciones dado para
cada elemento de la matriz.)
Resumen: Para contestar los ejemplos se obtiene un sistema de ecuaciones de
forma Ac = b. El sistema de ecuaciones se obtiene conforme al espacio vectorial
V, por ejemplo:
 Para matrices (Mmn), el sistema de ecuaciones se obtiene de una ecuación
por cada elemento
 Para polinomios el sistema de ecuaciones se obtiene por términos
semejantes,
 Para vectores, una ecuación por componente.
Definición: Sean v1, v2, v3, …, vn vectores en el espacio vectorial V. Los vectores
son linealmente independientes cuando la combinación lineal: c1v1 + c2v2 + c3v3
+ …+ cnvn = 0, si y solo si c1=c2= c3= …= cn =0. De lo contrario si existen n
escalares c1, c2, c3, …, cn ,no todos ceros, tal que c1v1 + c2v2 + c3v3 + …+ cnvn = 0,
los vectores v1, v2, v3, …, vn son linealmente dependientes. (Geometría: ver
figuras de páginas 297 y 298 del Texto).
Procedimiento: Para determinar dependencia/independencia lineal se halla la
solución en (c1,…cn) a un sistema de ecuaciones homogéneo (Ac = 0) para cada
espacio vectorial. Si la solución es c1=…=cn = 0 (solución trivial) entonces el
conjunto es Linealmente Independiente. El sistema de ecuaciones se obtiene
conforme al espacio vectorial V, por ejemplo:



Para matrices (Mmn), el sistema de ecuaciones homogéneo (Ac=0) es una
ecuación por cada elemento
Para polinomios el sistema de ecuaciones se obtiene por términos
semejantes,
Para vectores, una ecuación por componente.
Ejemplos (para discusión):
2
1 0
 1 1 4 
  1 0 1






A

,
A

y
A

1
2
3
10)
3 1 1 
 2 3 0




 1 2 1 .
En M23 sea
Determina si A1, A2 y A3 son linealmente independientes o dependientes.
Usamos la combinación lineal: c1A1 + c2A2+ c3A3
a) de la posición a12 note que c2 = 0
b) de la posición a11 note que c1 = c3
c) de a21 note que 3c1 = c3 (contradicción ><)
11) Determina si los polinomios: 1, x, x2 y x3 en P3 son linealmente
independientes o dependientes. SI (un sistema de ecuaciones por término
es la identidad matriz identidad: Ic=0, por lo tanto c=0).
12) Determina si los siguientes polinomios : {x – 2x2, x2 – 4x, -7x + 8x2} en P2
son linealmente independientes o dependientes
Usamos la combinación lineal: c1p1 + c2p2+ c3p3
a) obtenemos una matriz aumentada 2 x 4
(reducir:
http://www.math.purdue.edu/~dvb/matrix.html )
b) Solución: c2 = (-6/7)c3, c1= (25/7) c3, entonces sea c3 = 7 verifica que
una solución es: c3 = 7, c2 = -6, c1 = 25
c) Como las constantes No son todas cero, es conjunto linealmente
dependiente. (i.e. puedes escribir uno de estos polinomios en
términos de los otros dos)
NOTA: Un conjunto linealmente independiente nunca incluye al vector 0 pues
c1v1+…+cnvn + cn+10 = 0, es linealmente dependiente ya que cn+1 ≠ 0 es solución.
Además todo vector que se expresa como combinación lineal de otros vectores es
linealmente dependiente de ésos.
II. S = SPAN de V
Definición: Los vectores S = {v1, v2, v3, …, vn} en un espacio vectorial V generan
a V si todo vector en V puede escribirse como una combinación lineal de ellos.
Esto es, para todo v V, existen a1, a2, a3, …, an tal que : v = a1v1 + a2v2 + a3v3 +
… + anvn.
Definición: Sea S={v1, v2, v3, …, vn} vectores en el espacio vectorial V. El espacio
generado por S, gen S, es el conjunto de vectores que son combinación lineal de
v1, v2, v3, …, vn . Esto es:
Gen S =Span {v1, v2, v3, …, vn} = {v│v= a1v1 + a2v2 + a3v3 + … + anvn}
donde a1, a2, a3, …, an son escalares.
Procedimiento para verificar si un grupo de vectores S genera V:
 Nombra un vector arbitrario x  V
 Expresa x = c1v1 + c2v2 + … + cnvn, (esto es, como un sistema de
ecuaciones Ac = b obtenido de la combinación lineal en el espacio V)
 Si el sistema tiene una solución, entonces S genera a todo vector v  V
Ejemplos (para discusión):
13) Los vectores i=(1, 0) y j= (0, 1) generan a ℝ2 ya que todo vector (a, b)
elemento de ℝ2 se puede expresar como combinación lineal de ellos dos.
Esto es,
(a, b) = ai + bj.
14) Los vectores i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0) y k=(0, 0, 1) generan a ℝ3. Todo vector
(a, b, c) elemento de ℝ3 se puede expresar como combinación lineal de ellos
tres. Esto es, (a, b, c) = ai + bj + ck.
15) Sean e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, …, 0), …, en
= (0, 0, 0, …, 0, 1), entonces los vectores e1, e2, e3, …, en generan a ℝn. Sea
a elemento de ℝn, entonces a = (a1, a2, a3, … , an). Luego podemos expresar
a = (a1, a2, a3, … , an) como:
(a1, 0, 0,…,0) + (0, a2, 0, …, 0) + (0, 0, a3, 0, …, 0) + … + (0, 0, …, 0, an) =
a1(1,0,0,…,0) + a2(0,1, 0,…,0) + a3(0, 0, 1,0, …,0) + … + an(0, 0, 0,…,0,1) =
a1e1 + a2e2 + a3e3 + … + anen.
16) Los vectores {(1, 0), (3, 0)} no generan a ℝ2. Podemos encontrar vectores
como (0, 1) ℝ2, del ejemplo 3, que no podemos expresar como
combinación lineal de (1, 0) y (3, 0). De manera general, sea v=(x, y)
elemento de ℝ2, notar que:
(x, y) = a(1, 0) + b(3, 0)
= (a, 0) + (3b, 0)
= (a + 3b, 0)
Lo cual indica que y = 0, pero no genera vectores que tienen y ≠ 0.
17) Los monomios 1, x, x2, x3, …, xn. generan a Pn, pues cualquier polinomio se
puede expresar como combinación lieal de estos monomios.
18)
Como
a b
1 0   0 1   0 0 
 0 0

  a
  b
  c
  d 

c d 
 0 0   0 0  1 0 
 0 1  vemos
que
las
1 0   0 1   0 0   0 0 
, 
, 
, 


0 0   0 0  1 0   0 1 


matrices
generan a M22.
Teorema: Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en ℝn
generan a ℝn.
Ejemplo (para discusión) :
19) Determina si el siguiente conjunto de vectores {(2, -1, 13), (1, 0, 2), (3, -1, 5)}
genera a ℝ3.
a) Verifica que es un conjunto de 3 vectores linealmente independientes
usando rref = Identidad.
Teorema: Span {v1, v2, v3, …, vn} es un subespacio de V. (Esto es, tiene las
propiedades de clausura de suma y producto por un escalar).
Ejercicios:
1)
Expresa (1, 7, -4) como combinación lineal de (1, -3, 2) y (2, -1, 1) en ℝ3.
2)
Escribe el polinomio 3x2 + 8x – 5 como combinación lineal de los polinomios
2x2 + 3x – 4 y x2 – 2x – 3.
3)
¿Se
podrá
expresar
1
1
1
1

 
 1  1 

, 
 y 

0  ?
 0  1   1 0   0
 3  1


1  2 
como
combinación
lineal
de
4)
Determina si el siguiente conjunto de vectores {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1, -1)
generan a ℝ3 . Esto es, que todo vector (a, b, c) en ℝ3 se puede escribir
como combinación lineal de los vectores dados.
5)
¿Cuál(es) de los siguientes conjuntos de vectores generan a ℝ2?
a) {(1, 2), (-1, 1)}
b) {(2, 4), (1, 2)}
Solución del ejemplo 12:
12) Verifica que : c1 = 3, c2 = -2, c3= -1.
Contestaciones:
1) c1 = -3, c2 = 2.
2) c1 = 2, c2 = -1.
3) Sí, pues c1 = 2, c2 = -1, c3= 2.
4) Sí, pues estos vectores son columnas linealmente independientes de una
matriz A (puedes usar el rref = Identidad). Para cualquier vector (a,b,c): c1 =a,
c2 = (b+c)/2 – a, y c3 =(b-c)/2
5) a. es linealmente dependiente, pero en b. el primer vector es 2 veces el
segundo.