3.5. Integración por Partes. - Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora
I.
INTEGRACIÓN POR PARTES.
Si la integración de una función no es posible encontrarla por alguna de las
fórmulas conocidas, es posible que se pueda integrar utilizando el método
conocido como integración por partes. Este método tiene como base la integración
de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones.
Sean u=u(x) y v=v(x). Entonces
duv
= udv + vdu
o
udv
= uv − vdu
Al integrar ambos miembros de esta ecuación obtenemos
∫ udv=
uv − ∫ vdu
(1.1)
Como se puede ver la Integración por partes es la contraparte de la regla del
producto de la diferenciación, ya que el integrando en cuestión es el producto de
dos funciones (por lo general). En resumen éste es el procedimiento:
Para aplicar la fórmula (1.1) en la práctica, se separa el integrando en dos partes;
una de ellas se iguala a u y la otra, junto con dx a dv. Por eso se llama integración
por partes. Es conveniente considerar los dos criterios siguientes.
(a) La parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable.
(b) La ∫ vdu no debe de ser más complicada que ∫ udv
Luego se aplica la fórmula de integración por partes. Este proceso convierte el
integrando original - que no se puede integrar - en un integrando que si se puede
integrar. Tan claro como el agua, ¿verdad?
Vas a aprender la técnica muy rápido si utilizas el acrónimo LIATE y el método del
ejemplo de abajo:
Para seleccionar la función u, sólo tienes que ir hacia abajo en la lista del
acrónimo, la primera función de la lista que coincida con una de tu integrando es
la función u. El acrónimo que te ayudará a escoger tu función u es el siguiente:
Logarítmica (como Lnx)
Inversa trigonométrica (como arcsenx)
Algebraica (como x3, o 2x+10 )
Trigonométrica (como sen2x)
Exponencial (como 72x, o e2x)
Calcular la integral
∫x
2
ln xdx
Tu primer reto en la integración por partes es decidir cuál es la función, (de tu
integrando original), que desempeñará el papel de la u en la fórmula. He aquí
cómo se hace
Dr. José Luis Díaz Gómez
Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora
El integrando contiene una función logarítmica (la primera en LIATE) así que lnx
es tu función u, el resto x2dx automáticamente es dv.
Así pues tienes los términos son:
=
u ln=
x, dv x 2 dx
Pero la integral por partes contiene cuatro términos, te faltan los siguientes: du, y
v. Estos los encuentras diferenciando u, e integrando dv, es decir:
1
dx
x
Si u ln=
=
x entonces du
Si =
dv x 2 dx entonces =
v
1 3
x Esto significa que v se encuentra
3
dv ∫ x =
dx
∫=
2
integrando dv.
Ahora, ya tenemos los cuatro elementos que aparecen en la fórmula de
integración por partes (1.1), sustituyendo estos valores ella entonces
1 1
1 
uv − ∫ vdu =
ln xdx =
(ln x)  x 3  − ∫ x 3 dx
3 x
3 
3
x ln x 1 2
− ∫ x dx
=
3
3
3
x ln x 1 1 3
−
x + C , de donde
=
3
33
x 3 ln x x 3
2
x
xdx
=
− +C
ln
∫
3
9
∫x
2
Problemas resueltos.
Ejemplo1. Calcular
∫x e
3 x2
dx
∫ x xe dx . Por LIATE hacemos
1
2 x, =
y v ∫=
)
dv ∫ e xdx
=
e (2 xdx
=
2∫
Primero reescribimos la integral así:
2
=
u x=
, y dv xe x ; de donde =
du
2
2
x2
x2
x2
1 x2
e
2
Bueno ya tenemos los elementos de la integral por partes.
2
=
u x=
dv e x xdx
2
=
du 2=
xdx v
1 x2
e
2
Por tanto aplicando la fórmula (1.1) se tiene
∫x e
3 x2
dx=
pero la última integral 1 2 x2 1 x2
2
1 2 x2
x e − ∫ xe x dx=
=
x e − e +C
ya se calculó es (v)
2
2
2
Ejemplo 2. Calcular
∫ x(senx)dx
Dr. José Luis Díaz Gómez
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Usando LIATE hacemos
=
u x=
, y dv ( senx)dx ; de donde
du = dx, y v =
∫ dv = ∫ (senx)dx =
− cos x
Aplicando la integración por partes obtenemos
x(− cos x) − ∫ (− cos x)dx =
− x cos x + ∫ (cos x) dx =
− x cos x + sex + C
∫ x(senx)dx =
Ejemplo 3. Calcular
∫ ln( x
2
+ 4)dx
Hacemos u =
ln( x 2 + 4), y dv =
dx ; por tanto diferenciado e integrando tenemos u, y
1
2 xdx
v. du
, v ∫=
=
d (=
x 2 + 4)
=
dx x
2
x +4
x2 + 4
Por tanto
2
dx x ln( x 2 + 4) − ∫ ( x)
∫ ln( x + 4)=
Ahora calculamos la integral
2 xdx
2 x 2 dx
2
x
x
=
+
−
ln(
4)
∫ x2 + 4
x2 + 4
2 x 2 dx
∫ x 2 + 4 . Recordar que
∫u
2
du
1
u
= arctan
2
+a
a
a
2 x 2 dx
2x2
6
6 
dx
1
x

=
2− 2
=
2 ∫ dx − 6 ∫ 2
=
2 x − 6 arctan
2− 2
 dx =
2
∫ x2 + 4 =
∫
x +4
x +4
x +4
x +4
2
2

De donde
∫ ln( x
2
x
x
+ 4)=
dx x ln( x 2 + 4) −(2 x − 6 arctan ) +=
C x ln( x 2 + 4) − 2 x + 3arctan + C
2
2
Ejemplo 4.
∫x
x + 2dx
x + 2dx ; tendremos du = dx , para obtener v hacemos lo
Haciendo =
u x, y dv
=
1
siguiente: v = ∫
∫x
x + 2dx=
∫ x x + 2dx=
( x + 2) 2
x + 2dx = ∫ ( x + 2) dx =
1
+1
2
1
2
+1
3
2
= ( x + 2) 2 . Por lo tanto
3
3
+1
2
2
2
2
2 ( x + 2)
x( x + 2) − ∫ ( x + 2) dx=
x( x + 2) −
3
3
3
3 3 +1
2
3
2
3
2
3
2
+ C . De donde
3
5
2
10
x( x + 2) 2 − ( x + 2) 2 + C
3
6
Ejemplo 5. Calcular
∫ xe
2x
dx
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Haciendo
=
u x=
, y dv e 2 x , encontramos
=
u 2=
x, du 2dx
1 u
1 2x
2x
u du
=
du x=
, y v ∫ e=
dx
= ∫ e=
e=
du
e . Aplicando la
du
∫
2 2
2
dx =
2
fórmula de integral por partes obtenemos
e2 x
e2 x
xe 2 x 1 2 x
xe 2 x 1 e 2 x
xe 2 x e 2 x
−∫
dx=
− ∫ e dx=
−
+ C=
−
+C
2
2
2
2
2
2 2
2
4
2x
∫ xe dx= x
Ejemplo 6.
∫x
2
cos 3 xdx . En este ejemplo se aplica la integral por partes dos
veces.
2
Hacemos
=
u x=
, y dv cos 3 xdx , por tanto
=
u 3=
x, du 3dx
du 1
1
=
du 2=
xdx, y v ∫ cos
=
3 xdx
cos u
=
cos udu
sen3 x . Por la
du = ∫ =
∫
3 3
3
dx =
3
integral por partes tenemos,
1
x 2 sen3 x 2
2
2 1
x
cos
3
xdx
x
sen
3
x
sen
3
x
(2
xdx
)
=
−
=
− ∫ xsen3xdx (1.2)
∫
∫3
3
3
3
Observa que en la integral
∫ xsen3xdx , ha bajado el exponente de la x (de 2 a 1), lo
cual sugiere volver a integrar por partes así que, hacemos aquí
=
u x=
, y dv senxdx ,
y en consecuencia
=
u 3=
x du 3dx
du 1
1
cos 3 x
du =
dx, y v= ∫ sen3 xdx =du
=
senu
=
senudu =
(− cos 3 x) =
−
∫
∫
3 3
3
3
dx =
3
de donde
x cos 3 x 1
 cos 3 x   cos 3 x 
−
− ∫ cos 3 xdx
− ∫−
 dx =
3  
3 
3
3
x cos 3 x 1 1
x cos 3 x 1
=−
− (− sen3x) =
−
+ sen3x
3
3 3
3
9
∫ xsen3xdx =x  −
Sustituyendo este último resultado en (1.2) tenemos
x 2 se3 x 2
2 xse3 x 2  x cos 3 x 1

− ∫ xsen3xdx
=
− −
+ sen3x 
3
3
3
3
3
9

2
=
∫ x cos 3xdx
=
x 2 sen3x 2 x cos 3x 2sen3x
+
−
+C
3
9
27
Ejemplo 7. Calcular
∫ x e dx
3 x
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3
El acrónimo LIATE nos sugiere tomar
=
u x=
, y dv e x , y por lo tanto
=
du 3 x 2 dx=
,yv
e dx
∫=
x
e x , así que aplicando la formula de integral por partes
obtenemos
x e − ∫ e (3 x dx) =
x e − 3∫ x e dx (1.3)
∫ x e dx =
3 x
3 x
x
2
3 x
2 x
Observa que hemos mejorado nuestra situación, el exponente de la x bajó de 3 a
2, lo cual nos sugiere aplicar de nuevo la integral por partes a la última integral, así
que hagámoslo
2
u x=
,
dv e x
=
2 x
x 2 e x − ∫ e x (2 xdx) =
x 2 e x − 2 ∫ xe x dx
=
∫ x e dx =
x
x
du 2 xdx=
, v ∫=
e dx e
=
Si reemplazamos éste último resultado en la ecuación (1.3) tenemos
∫ x e dx =x e − ∫ e (2 x dx) =x e
3 x
3 x
∫ x e dx =x e
3 x
3 x
x
2
3 x
{
}
− 3∫ x 2 e x dx) =
x3e x − 3 x 2 e x − 2 ∫ xe x dx
− 3∫ x 2 e x dx =x3e x − 3 x 2 e x + 6 ∫ xe x dx (1.4)
Observa que en la última integral de la derecha el exponente de la x ahora bajó de
2 a 1, así que aplicamos de nuevo la integración por partes.
u x=
dv e x
,
=
x
xe x − ∫ e x dx =
xe x − e x
=
∫ xe dx =
x
x
, v ∫=
du dx=
e dx e
=
Bueno parece que ya terminamos, observa que en la última integral ya no
apareció la x. Solo falta reemplazar el último resultado en la ecuación (1.4) y
finalizamos.
∫ x e dx =x e
3 x
∫ x e dx =
3 x
3 x
− 3 x 2 e x + 6 ∫ xe x dx =x 3e x − 3 x 2 e x + 6 { xe x − e x } + C . Por tanto
x3e x − 3 x 2 e x + 6 xe x − 6e x + C
Ejemplo 8. Calcular
∫ arcsenxdx
Hacemos las sustituciones
=
u arcsenx
=
,
dv dx
y tenemos,
dx
=
du
dx, =
v ∫=
dx x
2
1− x
=
∫ arcsenxdx
xarcsenx − ∫
xdx
1 − x2
Y ahora
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∫
u=
1 − x 2 , du =
−2 xdx
1
− 
xdx
du 
2
2
=
(1
−
x
)
xdx
=
=
xu
du
− 2 x 
∫
∫
2
dx = −


1− x
2x
−
1
2
1
1
1 u2
=
−
=
−u 2 =
− 1 − x2
2 1
2
= xarcsenx − (−
∫ arcsenxdx
Ejemplo 9. Calcular ∫ x arctan xdx .
Por lo tanto
2
1 − x=
) + C xarcsenx + 1 − x 2 + C
De acuerdo con el acrónimo LIATE =
tomamos u arc
=
tan x, dv xdx , así entonces
=
du
dx
, y=
v
1 + x2
xdx
∫=
1 2
x . Por lo tanto la integral por partes es
2
1 2
1 2 dx
x 2 arctan x 1
x2
x
arctan
xdx
(arctan
x
)
x
x
dx (1.5)
=
−
=
−
∫
∫ 2 1 + x2
2
2
2 ∫ 1 + x2
Ahora lo único que tenemos que hacer es calcular la integral
x2
∫ 1 + x 2 dx
x2
x2
1
1 
dx

=
1−
=
dx =
dx − ∫
=
x − arctan x
1 −
2
2
2 
∫ 1 + x 2 dx =
∫
∫
1+ x
1+ x
1 + x2
 1+ x 
En conclusión reemplazando el último resultado en (1.5) obtenemos
=
xdx
∫ x arctan
x 2 arctan x 1
x 2 arctan x x
− { x − arctan=
x} + C
− + arctan x + C
2
2
2
2
Ejemplo 10. Calcular
∫ sen xdx
2
2
=
=
integrar separamos
∫ sen xdx Para
∫ ( senx)( senx)dx
=
u senx
=
,
dv senxdx
Así
aplicando la integral por partes
du = cos xdx, v = ∫ senxdx = − cos x
∫ sen xdx =senx(− cos x) − ∫ (− cos x)(cos xdx) =−senx cos+ ∫ cos
2
Ahora nuestro problema es calcular la integral
∫ cos
2
2
xdx (1.6)
xdx , sin embargo recordemos
que cos 2 x = 1 − sen 2 x , así que
2
2
2
x − ∫ sen 2 xdx , es decir
∫ cos xdx =
∫ (1 − sen x)dx =
∫ dx − ∫ sen xdx =
∫ cos
2
xdx = x − ∫ sen 2 xdx , reemplacemos esta última ecuación en (1.6)
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− senx cos + ∫ cos
∫ sen xdx =
2
2
xdx =
− senx cos x + x − ∫ sen 2 xdx , observa que el último
término está restando, así que lo pasamos sumando al inicio de la ecuación y
tenemos
− senx cos x + x , sumamos y
∫ sen xdx + ∫ sen xdx =
2
2
2 ∫=
sen 2 xdx senx cos x + x , de donde el 2 pasa dividiendo
∫ sen xdx =
2
senx cos x + x
x senx cos x
+C = +
+C
2
2
2
Ejemplo 11. Calcular ∫ sec3 xdx
Como en el ejemplo anterior separamos sec3 x = sec 2 x sec x . Por tanto
3
2
∫ sec x =∫ sec x sec xdx . La parte más complicada del integrando que resulta fácil
de integrar porque conocemos una fórmula es sec2x, por tanto tomamos
=
u sec
=
x,
dv sec 2 xdx
sec 2 xdx tan x
∫=
=
du sec x tan=
xdx, v
∫ sec
3
Aplicando la integral por partes se tiene
xdx =
sec x tan x − ∫ tan x(sec x tan xdx) =
sec x tan x − ∫ sec x tan 2 xdx (1.7)
Así que sólo nos queda resolver la integral ∫ sec x tan 2 xdx . Manos a la obra
∫ sec x tan
2
xdx
=
=
∫ sec x(sec x − 1)dx
x − sec x)dx = ∫ sec xdx − ∫ sec xdx
tan 2=
x sec 2 x −=
1
∫ (sec
3
2
3
Este último resultado lo reemplazamos en la ecuación (1.7)
∫ sec
∫ sec
3
3
xdx =sec x tan x − ∫ sec x tan 2 xdx =sec x tan x −
{∫ sec
3
}
xdx − ∫ sec xdx de donde
xdx = sec x tan x − ∫ sec3 xdx + ∫ sec xdx = sec x tan x − ∫ sec3 xdx + ln sec x + tan x ,
observa que
∫ sec
3
xdx está restando, así que lo pasamos sumando al primer
término y tenemos
∫ sec
3
xdx + ∫ sec3 xdx= sec x tan x + ln sec x + tan x , sumando
2 ∫ sec3 xdx= sec x tan x + ln sec x + tan x y finalmente
3
xdx
∫ sec=
sec x tan x + ln sec x + tan x
sec x tan x ln sec x + tan x
=
+C
+
+C
2
2
2
Dr. José Luis Díaz Gómez