Document

Lección 8
Circuitos de corriente alterna
1.
Características de las señales alternas.
1
2.
Respuesta de los elementos pasivos a una señal alterna.
4
2.1.
Resistencia.
4
2.2.
Autoinducción.
5
2.3.
Condensador.
6
3.
Tratamiento complejo de las señales alternas. Impedancias
4.
Respuesta en frecuencia de los circuitos de AC. Diagramas de Bode.
7
Filtros. Resonancia.
19
5.
Potencia en los circuitos de corriente alterna.
24
6.
Transformadores.
27
7.
Rectificación y amplificación.
30
1
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
8.1.- Introducción. Características de las señales alternas. Valor medio y
valor eficaz de una señal periódica.
En este tema estudiaremos la respuesta de los circuitos a señales alternas, es
decir, variables con el tiempo. Por comodidad nos restringiremos al estudio de las
señales alternas de tipo seno o coseno que son muy utilizadas en la electrónica.
Además, según el Teorema de Fourier, cualquier señal periódica se puede expresar
como una combinación lineal de señales armónicas (seno o coseno), de forma que
conociendo la respuesta de los circuitos ante funciones de este tipo podemos construir
–utilizando el principio de superposición– la respuesta a señales más complejas.
La forma general de una señal alterna sinusoidal es
x(t ) = X m cos(ωt + ϕ)
donde la función x(t) puede ser una corriente, una tensión o una potencia.
Xm es la amplitud de la señal y se corresponde con el valor máximo que
puede alcanzar (por lo que también se suele llamar valor de pico). El argumento del
coseno se denomina fase φ(t) de tal forma que:
φ(t ) = ωt + ϕ
en esta expresión ω es la frecuencia angular o pulsación (rad/s) y en los
circuitos lineales viene impuesta por el generador que suministra la tensión. Como las
funciones seno o coseno son periódicas con periodo 2π, la función x(t) es periódica
con periodo T, de tal forma que cada T segundos repite todos sus valores. Es decir:
ωT = 2 π ⇒ T =
2π
ω
el inverso del periodo es la frecuencia (f) y corresponderá al número de veces que se
repite la señal por unidad de tiempo. De esta forma:
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
2
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
f =
1 ω
=
⇒ ω = 2 πf
T 2π
la frecuencia se suele expresar en hercios (Hz) y en las aplicaciones industriales y
domésticas suele tener un valor de 50 Hz. Por último, ϕ es la fase inicial es decir el
valor φ(t=0). Es evidente que una señal alterna se podrá expresar, indiferentemente,
de forma seno o coseno con sólo redefinir la fase inicial, en efecto:
π

cos(ωt + ϕ) = sen ωt + ϕ +  = sen(ωt + ϕ' )
2

El valor medio de una señal periódica se define según la siguiente expresión:
1
x(t ) =
T
T
∫ x(t )dt
0
es evidente que el valor medio de una señal alterna sinusoidal es siempre cero, en
efecto:
1
x(t ) =
T
T
∫
0
T
∫
1
X m cos(ωt + ϕ)dt = X m
cos(ωt + ϕ)dt = X m cos(ωt + ϕ)
T
0
y como
T
∫
1
1
cos(ωt + ϕ) =
cos(ωt + ϕ)dt =
T
T
0
=
T
T
0
0
T
∫ (cos ωt cos ϕ − sen ωt sen ϕ)dt =
0
cos ϕ
sen ϕ
cos ωtdt −
sen ωtdt = cos ϕ cos ωt − sen ϕ(sen ωt ) = 0
T
T
∫
∫
ya que:
T
2π
ω
0
0
1
ω
cos ωt =
cos ωtdt =
T
2π
∫
sen ωt =
1
T
T
ω
∫
2π
ω
2π
ω
/  sen ωt  ω
cos ωtdt =
=0
2 π  ω
/  0
ω
/ 
∫ sen ωtdt = 2π ∫ sen ωtdt = 2π −
0
0
2π
cos ωt  ω
ω
/  0
=0
con lo cual concluimos que
1
x(t ) =
T
T
∫X
m
cos(ωt + ϕ)dt = 0; ∀t ∈ ℜ
0
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
3
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
Un problema característico de la corriente alterna –que no se presenta en la
corriente continua– cómo caracterizar la señal, ya que hay que tener en cuenta que
ésta varía de un instante a otro. Una posibilidad sería caracterizarla por su valor medio
pero éste es nulo (en el caso de la tensión o la intensidad, pero no en el de la
potencia, como veremos más adelante). Para resolver este problema, se emplean otro
tipo de promedios especiales, de los cuales el más utilizado es el valor medio eficaz
que matemáticamente se define como:
1
x 2 (t )
X ef =
 T
2
1
2
=
x (t )dt 
T

 0

∫
este promedio en algunos libros aparece denominado como "valor rms" (de Root Mean
Square) ya que corresponde al valor cuadrático medio de la señal. Calculemos este
valor para una señal alterna sinusoidal:
X ef2
1
= x (t ) =
T
2
T
∫
0
1
x (t )dt =
T
2
T
∫X
2
m
cos 2 (ωt + ϕ)dt = X m2 cos 2 (ωt + ϕ)
0
de forma que hemos de calcular el valor medio del coseno al cuadrado. Así:
T
∫
1
1
cos (ωt + ϕ) =
cos 2 (ωt + ϕ)dt =
T
T
2
0
T
+
T
∫(
0
1
2
+
1 cos 2
2
)
(ωt + ϕ) dt = 1
T
T
T
∫
1 dt
2
+
0
T
cos 2ϕ
sen 2ϕ
1 cos 2ϕ  sen 2ωt 
cos 2ωtdt −
sen 2ωtdt = +
+
2T
2T
2
2T  2ω  0
∫
∫
0
0
T
+
sen 2ϕ  sen 2ωt 
1
=


2T  2ω  0 2
de forma que:
X ef2 = X m2 cos 2 (ωt + ϕ) =
X m2
X
⇒ X ef = m
2
2
con lo que el valor eficaz es, para este tipo de señales, igual al valor máximo dividido
por la raíz de dos. La justificación del empleo extendido de los valores eficaces en el
análisis de circuitos eléctricos se encuentra en el concepto de potencia tal y como se
vera más adelante.
Una vez analizadas estas generalidades sobre las señales sinusoidales
alternas, pasaremos a analizar el comportamiento de los elementos pasivos de un
circuito (resistencia, autoinducción y condensador) cuando se les aplica una señal de
este tipo.
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
4
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
8.2.- Respuesta de los elementos pasivos a una señal alterna.
8.2.1.- Resistencia.
Consideremos una resistencia a la hemos conectado un generador de corriente
alterna. Supondremos que la fem proporcionada por el generador es del tipo
ε(t ) = ε m cos ωt
de forma que, sin pérdida e generalidad, consideramos nula la fase inicial del
generador.
Es evidente que en este caso la tensión vR a extremos de la
resistencia será igual a la fuerza electromotriz del generador
ε(t)
i(t)
R
y, así
v R = ε(t ) = R i (t ) ⇒ i (t ) =
ε(t ) ε m
=
cos ωt
R
R
ε
de forma que definiendo I m = m obtenemos que i R (t ) = I m cos ωt
R
Podemos concluir que al aplicar una tensión alterna sinusoidal a una
resistencia, aparece una intensidad también sinusoidal que varía en fase con la
tensión aplicada. Los valores máximos de la intensidad y tensión se relacionan
mediante la Ley de Ohm.
Otra cantidad importante es la potencia instantánea disipada en la resistencia
que vendrá dada por:
PR (t ) = Ri 2 (t ) = RI m2 cos 2 ωt = 21 RI m2 + 21 cos 2ωt
de forma que la potencia disipada en la resistencia es también variable pero en este
caso oscila con una frecuencia angular doble respecto de la de la fuente. Es frecuente
indicar la potencia media disipada en un resistencia cuyo valor es:
PR = Ri 2 (t ) =
1
2
RI m2 + 21 cos 2ωt = 21 RI m2 +
1
2
cos 2ωt = 21 RI m2
ya que, como hemos demostrado el valor medio de una función armónica es nulo. Es
fácil ver que este resultado se puede poner en función de los valores eficaces de la
tensión y la intensidad:
PR =
1
2
RI m2
=
RI ef2
=
2
ε ef
R
de forma que ahora queda claro la utilidad de las magnitudes eficaces ya que, a la luz
de este resultado, podemos definirlas como el valor de una corriente o tensión que
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
5
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
produce la misma disipación de energía por efecto Joule en una resistencia que una
corriente continua aplicada a la misma durante el mismo tiempo.
Cuando medimos una tensión o
Tensión
Potencia
intensidad alterna con un polímetro lo
que obtenemos es el valor eficaz. En
la figura mostramos simultáneamente
la tensión la intensidad y la potencia
en una resistencia. La tensión está en
Intensidad
voltios, la intensidad en miliamperios y
la potencia en milivatios. El tiempo
está
dado
en
milisegundos.
Es
importante recordar que la intensidad
Resistencia
tensión están en fase y tiene la misma
frecuencia.
8.2.2.- Autoinducción.
Supongamos, ahora, una autoinducción ideal sometida a una tensión alterna
del mismo tipo que en el caso anterior.
Ahora, la relación entre la tensión vL a la que está sometida la
ε(t)
bobina y la intensidad es:
i(t)
con lo cual
L
v L (t ) = ε(t ) = ε m cos ωt = L
di (t )
dt
ε
ε
diL (t ) ε m
cos ωt ⇒ i L (t ) = m ∫ cos ωtdt ⇒ i L (t ) = m sen ωt + C/ .
=
dt
L
L
ωL
La constante de integración que aparece se ha hecho cero considerando que nos hay
ninguna corriente inicialmente en la bobina. Si definimos
Im =
obtenemos que
εm
⇒ ε m = ωLI m
ωL
(
i L (t ) = I m sen ωt = I m cos ωt − π2
)
Vemos que en este caso, aparece un desfase entre la intensidad y la tensión
en la bobina. Como la tensión alcanza sus máximos un cuarto de periodo antes que la
intensidad, se dice que en la bobina la tensión está adelantada 90º respecto a la
intensidad. Se suele llamar reactancia inductiva χL a:
χ L = ωL ⇒ ε m = χ L I m
cuya unidad será, evidentemente, el ohmio.
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
6
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
La potencia instantánea en el
caso de la bobina es
Potencia
Tensión
PL (t ) = i (t )v L (t ) = I m ε m cos ωt sen ωt
que puede ponerse como:
PL (t ) = 21 I m ε m sen 2ωt
y de nuevo la potencia oscila con una
frecuencia doble. La potencia media en
un ciclo será nula ya que
PL (t ) = 21 I m ε m sen 2ωt
y hemos demostrado que la funciones
Intensidad
Bobina
armónicas tiene valor medio nulo.
En la figura mostramos simultáneamente la tensión la intensidad y la potencia
en una autoindución. Las unidades empleadas son las mismas que en caso anterior.
8.2.3.- Condensador
Por último analizaremos el comportamiento de un condensador sometido de a
una diferencia de potencial alterna.
En un condensador se cumple que q (t ) = Cvc (t ) de forma
ε(t)
i(t)
C
que derivando con respecto al tiempo:
ic (t ) =
dv
dq
=C c
dt
dt
Por tanto: vc (t ) = ε(t ) = ε m cos ωt ⇒ ic (t ) = −ωCε m sen ωt y definiendo, en este caso,
I m = ω Cε m ⇒ ε m =
Im
ωC
tendremos que
(
ic (t ) = − I m sen ωt = − I m cos ωt +
π
2
)
Vemos que aparece –como en el caso de la bobina– un desfase entre la
intensidad y la tensión. Como la tensión alcanza sus máximos un cuarto de periodo
después que la intensidad, se dice que en el condensador la tensión está retrasada
90º respecto a la intensidad. Se suele llamar reactancia capacitiva χC a:
χC =
1
⇒ ε m = χC I m
ωC
cuya unidad será, también, el ohmio.
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
7
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
La potencia instantánea en el
caso del condensador es
Tensión
Pc (t ) = i (t )vc (t ) = − I m ε m cos ωt sen ωt
Potencia
que puede ponerse como:
Pc (t ) = − 21 I m ε m sen 2ωt
y de nuevo la potencia oscila con una
frecuencia doble. La potencia media en
un ciclo será nula ya que
Pc (t ) = −
1I ε
2 m m
Intensidad
sen 2ωt
y hemos demostrado que la funciones
Condensador
armónicas tiene valor medio nulo.
En la figura mostramos simultáneamente la tensión la intensidad y la potencia
en un condensador. Las unidades empleadas son las mismas que en los dos casos
anteriores. Una consecuencia importante de todo lo anterior es que en un circuito con
un único generador de frecuencia angular ω todas las tensiones e intensidades en el
circuito variarán con la firma frecuencia angular.
8.3.- Tratamiento complejo de las señales alternas. Impedancias.
Al estudiar las repuestas transitorias de los circuitos RC, RL, LC y RLC fue
necesario platear y resolver las ecuaciones diferenciales que gobernaban dichos
circuitos. Para obtener la respuesta de un circuito ante una señal alterna sinusoidal
deberíamos proceder de la misma forma obteniendo –según indica la teoría general de
ecuaciones estacionarias– una solución con dos términos uno correspondiente a la
solución transitoria (que se anula transcurrido un cierto tiempo) y otro a la solución
estacionaria (que permanece una vez extinguido el comportamiento transitorio del
circuito). Dado que ya hemos estudiado la respuesta transitoria de los circuitos, en
este tema nos dedicaremos sólo a estudiar la respuesta estacionaria de los circuitos, y
para ello utilizaremos la técnica fasorial que explicaremos en este apartado.
La técnica consiste en asignar a la magnitud física correspondiente un número
complejo, de tal forma que dicha magnitud sea la parte real o imaginaria del mismo. Es
decir dada una señal (tensión o intensidad) real del tipo x(t ) = x m cos(ωt + ϕ) le
[
]
asignaremos una función compleja: x (t ) = x m cos(ωt + ϕ) + j sen(ωt + ϕ) de forma
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
8
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
[
]
que x(t ) = Re al x (t ) . Calculando la respuesta del circuito a la señal compleja y
tomando su parte real, obtendremos la respuesta del circuito a la señal original.
La justificación es este método está en el principio de superposición de
sistemas lineales. En efecto, si sobre un sistema lineal actúa una señal de entrada
alterna x1 (t ) = x m cos(ωt + ϕ) y se obtiene a la salida una respuesta y1 (t ) , la
solución del problema radica en obtener dicha señal de salida y1 (t ) .
x1 (t ) = xm cos(ωt + ϕ)
Sistema lineal
y1 (t )
Supongamos ahora que sobre el sistema actúa una señal de entrada
x2 (t ) = x m sen(ωt + ϕ) y el sistema responde dando una salida y 2 (t )
x2 (t ) = xm sen(ωt + ϕ)
Sistema lineal
y 2 (t )
En este caso, el principio de superposición nos dice que la respuesta del sistema a
una señal de entrada que sea una combinación lineal de las señales de entrada
anteriores, será la misma combinación lineal de las salidas individuales
α1 x1 (t ) + α 2 x2 (t )
Sistema lineal
α1 y1 (t ) + α 2 y 2 (t )
Este resultado, válido para cualquier valor de las constantes α1 y α2, será válido, en
particular, para α1 = 1 y α 2 =
x (t ) = x1 (t ) + jx2 (t )
−1 ≡ j
Sistema lineal
y (t ) = y1 (t ) + jy 2 (t )
De esta forma si deseamos calcular y1 (t ) , podemos suponer que sobre el sistema
[
]
actúa una combinación lineal x (t ) = x m cos(ωt + ϕ) + j sen(ωt + ϕ) obteniendo la
salida compleja y (t ) = y1 (t ) + jy 2 (t ) . La parte real de la salida compleja será la salida
y1 (t ) buscada. Es evidente que esto se debe hacer si la resolución del sistema con la
entrada compleja es más sencilla que utilizando la entrada real. La pregunta, por tanto
es ¿ por qué el formalismo complejo facilita la resolución de los circuitos de corriente
alterna?. La respuesta es que este formalismo nos permite trabajar con funciones
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
9
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
exponenciales en lugar de con funciones trigonométricas y las funciones de tipo
exponencial son más sencillas de manejar que las trigonométricas. Además el uso de
las funciones exponenciales nos permite separar, de forma sencilla, la dependencia
temporal de las funciones de la parte que es independiente del tiempo.
Para representar las señales complejas con funciones exponenciales, en lugar
de con funciones trigonométricas nos basamos la fórmula de Euler:
e jα = cos α + j sen α
de forma que
x (t ) = xm [cos(ωt + ϕ) + j sen(ωt + ϕ)] = xm e j (ωt +ϕ )
separando la dependencia temporal del resto, podemos expresar:
x (t ) = xm e j (ωt +ϕ ) = xm e jϕ e jωt = Xe jωt
123
Fasor X
en donde X = xm e
jϕ
es un número complejo llamado fasor que lleva información
acerca de la amplitud y fase de la señal. Analizaremos, a continuación, la respuesta de
los elementos de circuito a una señal exponencial compleja de este tipo. En concreto
supondremos una tensión compleja
v (t ) = ε m e jωt
cuya parte real se corresponde con una tensión alterna sinusoidal. El fasor de esta
señal es simplemente la amplitud εm
a) Resistencia
Si a una resistencia le aplicamos esta señal, obtenemos, aplicando la Ley de Ohm
que:
i R (t ) =
siendo I R =
v R (t ) ε m jωt
e = I R e j ωt
=
R
R
εm
el fasor de intensidad en este caso. Es lógico que sea un número
R
real ya que entre la tensión y la intensidad en una resistencia no hay ningún
desfase.
b) Bobina
En el caso de la bobina, aplicando la Ley de inducción de Faraday
i L (t ) =
ε
1
ε m e jωt dt = m e jωt = I L e jωt
∫
L
j ωL
el fasor de intensidad es, en este caso,
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)
10
Lección 8. Circuitos de corriente alterna.
π
π
ε
ε −j
ε −j
IL = m = m e 2 = m e 2
j ωL ωL
χL
π
−j
1
donde hemos utilizado que
= − j = e 2 . Como vemos el fasor incluye la
j
información sobre la amplitud de la señal de salida y el desfase entre lal tensión y
la intensidad en una bobina que como hemos visto es de −
π
2
. De hecho se cumple
que:
Re al [i L (t )] =
εm
cos(ωt − π2 )
ωL
que es el resultado que habíamos obtenido para una señal alterna sinusoidal.
c) Condensador
En el caso del condensador tenemos que
ic (t ) = C
dvc
= jωCε m e jωt = I C e jωt
dt
donde ahora el fasor de intensidad es
I C = j ωC ε m = ωC ε m e
en este caso hemos utilizado que j = e
j
π
2
j
π
2
π
j
ε
= me 2
χC
. Vemos como volvemos a obtener los
resultados correspondientes a una señal alterna sinusoidal.
Un parámetro útil para caracterizar los circuitos de corriente alterna que
trabajen con señales de tipo exponencial es la impedancia Z, que se define como el
cociente entre la tensión que existe entre dos puntos cualesquiera de un circuito y la
corriente que pasa a través de los elementos de circuito que los unen. Como
consecuencia de las propiedades de las funciones exponenciales. La impedancia de
cualquier circuito, o elemento de circuito, es independiente del tiempo:
 v (t ) 
Z = 
 ≠ f (t )
(
)
i
t


Puede parecer extraño que se haya definido la impedancia para señales de tipo
exponencial, pero nos permite dar una definición completamente general de este
parámetro. Obsérvese que las señales sinusoidales se pueden representar mediante
exponenciales, así mismo las magnitudes de los circuitos de corriente continua
corresponden a un valor nulo del exponente de la función.
Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática. (© Dr. J. García Rubiano)