no.parcial Apellido, Nombre Firma PARTE VERDADERO O FALSO

no .parcial
Apellido, Nombre
Firma
PARTE VERDADERO O FALSO.
De las afirmaciones siguientes usted deberá decir si cada una de las mismas es verdadera o falsa.
Respuesta correcta
= 1 punto.
Respuesta incorrecta
= -1 punto.
No responde
= 0 puntos.
µ
¶
2α −β
10. Se considera la siguiente matriz A =
1
0
con
α
y
β
reales
positivos.
A
es
semejante
a
la
matriz
¶
µ
√
α 0
⇔α= β
1 α
1. Si T1 y T2 son dos transformaciones lineales sobre un espacio vectorial, λi valor propio de Ti para
i = 1, 2 ⇒ λ1 + λ2 es valor propio de T1 + T2 .
2. Si A es una matriz diagonalizable con un único valor
propio ⇒ A es diagonal.
11. Se considera el siguiente subconjunto de R4 , S =
{(x, y, z, t) ∈ R4 x + y + z + t = 1} entonces
dim(S ⊥ ) = 1.
3. Si A ∈ M2×2 (R) es tal que A2 − 5A + 6I =
0 ⇒ A es diagonalizable con valores propios 2 y 3.
(Aclaración: Aquı́ I es la matriz identidad 2 × 2)
4. Si T : R2 → R2 es una transformación lineal que
posee un subespacio invariante de dimensión 1 ⇒ 1
es valor propio de T .
12. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, y
S ⊂ V un subconjunto de V que no es un subespacio vectorial ⇒ S ⊂ (S ⊥ )⊥ y la inclusión siempre es
estricta.
5. Sean T y S dos tranformaciones lineales sobre un
mismo espacio
L vectorial de dimensión finita V tal
que Im(S) Im(T ) = V ⇒ S y T no pueden tener
ni valores ni vectores propios en común.
13. Sea V el espacio de polinomios de grado menor o
igual a 2. La operación h., .i : V × V → R , definida
por: [hp, qi = p(0)q 00 (0) + 2p(0)q(0) + p00 (0)q(0)] es
un producto interno.
6. Sea A ∈ Mn×n (R), las columnas de A son linealmente independientes ⇔ 0 no es un valor propio de
A.
14. Entre todos los polinomios de grado Rmenor o igual a
1
1, q(t) = t− 16 es el que hace mı́nimo 0 (p(t)−t2 )2 dt.
R1
1
y
(Puede serle útil el dato: 0 (t − 12 )2 dt = 12
R1
1
)dt
=
0
)
(t
−
2
0
7. Sea n ≥ 4 y A una matriz real n×n no diagonalizable
con polinomio caracterı́stico λn−1 (λ − 2) entonces la
dimensión del núcleo de A es n − 2.


3 1
i
0
 4i 8
1
1−i 
 no es in8. La matriz A = 
 0 1 1−i
0 
i 0
1
2+i
vertible.
15. Si A ∈ Mn×n (C) es simétrica ⇒ la transformación
lineal T : Cn → Cn tal que T (X) = AX es autoadjunta.
9. Si A ∈ Mn×n (R) verifica que las suma de los elementos de cualquiera de sus filas vale siempre λ ⇒ λ es
valor propio de A.
16. Sea A ∈ M5×5 (R) una matriz simétrica con polinomio caracterı́stico p(λ) = −λ5 +7λ4 −14λ3 +2λ2 +
+15λ − 9 ⇒ dimKer(A − 3I) = 2
1
no .parcial
Apellido, Nombre
Firma
PARTE MULTIPLE OPCION
De los siguientes ejercicios con cuatro opciones solo una de las mismas es correcta.
Respuesta correcta
= 4 puntos.
Respuesta incorrecta = -1 punto.
No responde
= 0 puntos.
1. Considere la transformación lineal T : R4 → R4
definida por:
3. En el espacio de polinomios de grado menor o igual
a 2, consideramos el producto interno :
ha1 x2 +b1 x+c1 , a2 x2 +b2 x+c2 i = a1 a2 +b1 b2 +c1 c2 .
Dados a, b número reales, sea S el espacio generado
por los polinomios ax2 + a − 1 y − x2 + bx + 1.
¿ Para qué valores de a y b , S ⊥ tiene dimensión
1 ?:
T (x, y, z, t) = (−x − ay, ax + y, 2z + t, z + 3t),
donde a es un número real.
a) Para a = 0 y b cualquiera.
Indique la opción correcta:
b) Para cualquier a y b.
c) Si a 6= 0.
a) T es diagonalizable si y sólo si −1 < a ≤ 1.
d) Si a = 1/2yb = 0.
b) T es diagonalizable si y sólo si a 6= 1 y a 6= −1.
4. Sea S ⊂ Rn , n ≥ 2 un subespacio vectorial de dimensión m ( Rn con el producto interno usual) y sea
T : Rn → Rn la simetrı́a respecto al subespacio S
(i.e T = PS − PS ⊥ ) y sea B una base ortonormal de
Rn . Indique la opción correcta:
c) T es diagonalizable si y sólo si −1 ≤ a ≤ 1.
d) T es diagonalizable si y sólo si −1 < a < 1.
e) T no es diagonalizable para todo real a.
a) detB (T )B = (−1)m (n − 1)
la siguiente matriz:
2. Se considera


λ1 0
0
0
0
 1 λ1 0
0
0 


0
1
λ
0
0 
A=
1


 0
0
0 λ2 0 
0
0
0
1 λ2
b) El valor del detB (T )B depende de la base B escogida.
c) detB (T )B = (−1)n−m
d) detB (T )B = −1 si n = m + 1 y 1 en otro caso
Indique la opción correcta:
a) ma(λ1 ) = 3
ma(λ2 ) = 2
mg(λ1 ) = 1 .
mg(λ2 ) = 1 .
b) ma(λ1 ) = 3
ma(λ2 ) = 2
mg(λ1 ) = 2 .
mg(λ2 ) = 1 .
c) ma(λ1 ) = 3
ma(λ2 ) = 2
mg(λ1 ) = 3 .
mg(λ2 ) = 1 .
d) ma(λ1 ) = 2
ma(λ2 ) = 2
mg(λ1 ) = 3 .
mg(λ2 ) = 1 .
2
5. Se considera el siguiente enunciado:
Teorema :
Todo conjunto
{v1 , v2 , . . . , vk }
ortonormal de vectores no nulos es linealmente independiente
y las siguientes posibles demostraciones
Demostración (2): Sean α1 , α2 , . . . , αk escalares
tales que
−
→
α1 v1 + α2 v2 + . . . + αk vk = 0
Como kvi k = 1 6= 0 ∀i = 1, . . . .k , se tiene que
−
→
vi 6= 0 ∀i = 1, . . . .k. Luego como todos los
vectores son no nulos, para que se cumpla (??)
necesariamente todos los escalares son nulos,
esto es
αi = 0 ∀i = 1, . . . , k
Demostración (1) : Sean α1 , α2 , . . . , αk escalares
−
→
tales que α1 v1 + α2 v2 + . . . + αk vk = 0
Por lo tanto
kα1 v1 + α2 v2 + . . . + αk vk k = 0
(3)
(1)
Esto prueba que {v1 , v2 , . . . , vk } es linealmente
independiente.
Por otro lado, como {α1 v1 , α2 v2 , . . . , αk vk } es
un conjunto ortogonal, pues
Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta
hαi vi , αj vj i = αi αj hvi , vj i = 0
(a) Sólo la demostración. (1) es correcta.
podemos aplicar el Teorema de Pitágoras en
(??), y como kvi k = 1 ∀i = 1, . . . .k se tiene
que
(b) Sólo la demostración. (2) es correcta
(c) Las dos demostraciones son correctas.
(d) Ninguna de las demostraciones es correcta.
2
kα1 v1 + α2 v2 + . . . + αk vk k =
2
2
2
2
2
2
|α1 | kv1 k + |α2 | kv2 k + . . . + |αk | kvk k =
2
2
|α1 | + |α2 | + . . . + |αk |
2
(2)
6. Sea A una matriz compleja n × n, n > 2, tal que
aii = 0, aij = aji , con 1 ≤ i, j ≤ n y Sλ , Sµ los
espacios propios de los valores propios λ 6= µ, respectivamente. Entonces, necesariamente,
De (??) y (??) se deduce que
2
2
2
|α1 | + |α2 | + . . . + |αk | = 0
a) dimSλ = dimSµ = 1
es decir que
b) λ ó µ = 0
αi = 0 ∀i = 1, . . . , k
c) Sλ y Sµ son ortogonales con el producto interno
usual de Cn
Esto prueba que {v1 , v2 , . . . , vk } es linealmente
independiente.
d) Sλ ⊕ Sµ = Cn
3
HOJA DEL ESTUDIANTE
Formulario de control y reclamaciones
o
n .parcial
Apellido, Nombre
Firma
Primera afirmación del Verdadero o Falso:
VERDADERO O FALSO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
MULTIPLE OPCION
1 2 3 4 5 6
Resultados de la prueba:
RECLAMACION
En la página web del curso se publicarán las fechas y plazos para la presentación de reclamos y publicación de
resultados.
4