Q-Q Plots

Q-Q Plots
El cuantil q de F(x) es el número xq tal que
F(xq) = q.
Si F-1 es la inversa de F, entonces
xq = F-1(q)
Un estimado razonable de la función de distribución F(x) de una variable
aleatoria X es F’n(x) definida una proporción de las muestras que son más
pequeñas que xi, es decir
F’(xi) = i/n.
No obstante, i/n, es igual a 1 cuando i = n, mientras que la mayoría de las
distribuciones teóricas tienden a 1 cuando x va a infinito. De modo que se
usa:
F’’(xi) = F’(xi) – 0.5/n = (i – 0.5)/n
Para n grande el ajuste es bastante pequeño.
?? Una forma fácil de ver si los datos (xi) se ajustan a una función de
distribución teórica determinada es graficando los puntos (x1, 0.5/n),
(x2,1.5/n), ...,(xn, (n-0.5)/n) y comparando este resultado con el gráfico
de la función de distribución teórica que creemos que se ajusta a
nuestros datos.
El problema es que muchas funciones de distribución
tienen forma de S y es muy difícil para el ojo humano ver qué tan
parecidas son las S´s
?? La segunda forma es usando un qqplot. Sea qi=(i-0.5)/n para i=1,2,....,n,
0< qi < 1. Para cualquier conjunto de datos continuo un qqplot es un
gráfico de los cuantiles de la función de distribución teórica xqiT que se
obtienen como: xqiT = F-1(qi), versus los cuantiles de la distribución
muestral F’’(x), llamados xqiM = F-1(qi), para i = 1, 2, ..., n.
Si las funciones de distribución tienen una inversa, es muy fácil
determinar los xqi. En otros casos, se tienen que usar tablas e interpolar
los valores si es necesario. Por ejemplo, para una normal (0,1), se usa
la siguiente aproximación:
xqi = 4.9[qi 0.14 – (1 - qi)
0.14
]
Ejemplo:
La diferencia entre los valores medidos y aquellos que predice un modelo
son llamados errores. Los errores para 8 predicciones de un modelo fueron:
-0.04, -0.19, 0.14, -0.09, -0.14, 0.19, 0.04 y 0.09. Compruebe que los
errores se distribuyen normal (0,1).
i
xi S
qi = (i - .5)/n
1
-0.19
.06
2
-0.14
0.19
3
-0.09
0.32
4
-0.04
0.44
5
0.04
0.56
6
0.09
0.69
7
0.14
0.81
8
0.19
0.94
Finalmente, usando una distribución teórica calculamos los cuantiles téoricos xqiT
i
xqi S
xqi t
qi = (i - .5)/n
1
-0.19
-1.54
.06
2
-0.14
-0.89
0.19
3
-0.09
-0.49
0.32
4
-0.04
-0.16
0.44
5
0.04
0.16
0.56
6
0.09
0.49
0.69
7
0.14
0.89
0.81
8
0.19
1.54
0.94
El qqplot queda como sigue:
QQPlot
Valores Medidos
0.3
0.2
0.1
0
-2
-1
-0.1 0
1
2
-0.2
-0.3
Valores Teóricos
Notas:
?? La distribución teórica es una normal (0, 1).
?? Si la línea no tiene intersección con 0 en el eje y, y pendiente 1, las funciones
de distribución son distintas. Si la línea tiene pendiente 1 (y no se intercepta
con 0 en el eje y), la diferencia de las dos distribuciones es constante.
?? Aunque las dos funciones de distribución sean iguales, la línea puede no ser
recta si se tienen pocas muestras.