Teoría de colas

Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Cómputo
Teoría de Colas
M. En C. Eduardo Bustos Farías
Objetivos del Capítulo
La distribución Poisson y exponencial.
Cumplimiento de las medidas de seguridad para los
modelos M/M/k, M/G/1, M/M/k/F y M/M/1/m.
Análisis económico de los sistemas de colas
Balance de líneas de ensamble
Introducción
Se estudian las filas de espera o colas.
El objetivo del análisis de colas es diseñar un sistema
que permita la organización óptima de acuerdo a
alguno criterios.
Criterios Posibles:
- Ganancia máxima
- Nivel de atención de deseado
El análisis de los sistemas de colas requiere de una
comprensión de la medida del servicio apropiada.
Posibles medidas del servicio
- Tiempo promedio de atención de clientes
- Largo promedio de la cola
- La probabilidad de que un cliente que llega deba esperar en
la cola para ser atendido.
Elementos del proceso de colas
Un sistema de colas consta de tres componentes
básicas:
- Quien llega: El cliente que llega a la cola para ser atendido de
acuerdo a un patrón de llegada.
-El que espera en la cola: El cliente que llega debe esperar en
una o más colas por el servicio.
-Servicio: El cliente recibe el servicio y abandona el sistema.
Proceso de llegada a la cola.
- Existen 2 tipos de procesos de llegada:
* Proceso de llegada deterministico.
* Proceso de llegada aleatoria.
- El proceso aleatorio es más común en la empresa.
- Bajo tres condiciones, una distribución Poisson puede
describir el proceso aleatorio.
Las tres condiciones necesarias para la existencia del
proceso de llegada Poisson :
* Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante
un intervalo de tiempo.
* Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la
probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para
todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.
* Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia
sobre la llegada de otro.
- Estas condiciones no restringen el problema y son satisfechas
en muchas situaciones.
Distribución de llegada Poisson
( λt) e
P( X = k ) =
k!
k
− λt
Donde:
λ = esperanza de llegada de un cliente por
unidad de tiempo
t = intervalo de tiempo.
e = 2.7182818 (base del logaritmo natural).
k! = k (k -1) (k -2) (k -3) … (3) (2) (1).
HARDWARE HANK’S
Un problema que ilustra la distribución Poisson.
- Los clientes llegan a Hank’s de acuerdo a una distribución
Poisson.
- Entre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes al
local comercial.
- ¿Cuál es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre
las 8:00 y las 8:30 de la mañana?
0
0
SOLUCION
0
0
0
„
0
Valores de entrada para la Dist. Poisson
λ= 6 clientes por hora.
t = 0.5 horas.
0 λ t = (6)(0.5) = 3.
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
( λ t) e
P( X =20
k) =
1
3
k0!!
1!
2!
3!
0k
321
−λ t
= 0.224042
0.049787
0.149361
0.224042
La fila de espera.
- Factores que influyen en el modelo de colas:
* Configuración de la fila
* Tramposos
* Contrariedades
* Prioridades
* Colas Tendem
* Homogeneidad.
- Configuración de la fila
* Una sola cola de servicio
* Múltiples colas de servicio con una sola fila de espera
* Múltiples colas de servicio con múltiples filas de espera.
* Colas Tendem (sistema de servicios múltiples)
- Tramposos
* Corresponden a clientes que se mueven a través de la cola sin
seguir los criterios de avance.
- Contrariedades
* Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque
perciben que esta es demasiada larga.
- Reglas de prioridad
* Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila.
* Estas reglas seleccionan el próximo cliente en ser atendido
* Criterios de selección comúnmente usados:
- Primero en entrar primero en salir (FCFS).
- Ultimo en entrar primero en salir (LCFS).
- Tiempo estimado de atención
- Atención de clientes aleatoria.
- Homogeneidad
* Una población homogénea de clientes es aquella en la cual
los clientes requieren esencialmente el mismo servicio.
* Una población no homogénea es aquella en la cual los
clientes pueden ser ordenados de acuerdo :
+ A los patrones de llegada
+ Al tipo de servicio requerido.
El proceso de servicio
- Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de
atención fijo.
- Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atención varía de
acuerdo a la cantidad de clientes.
- Cuando el tiempo de atención varía, este se trata como una
variable aleatoria.
- La distribución exponencial es usada, en algunos casos, para
modelar el tiempo de atención del cliente.
Distribución exponencial del tiempo de atención
f(X) = µe-µX
donde µ = es el número de clientes promedio
que pueden ser atendidos por período de tiempo.
Probabilidad que el tiempo de atención X sea menor que “t.”
P(X ≤ t) = 1 - e-µt
Ilustración esquemática de la distribución exponencial
f(X)
Probabilidad de que la atención sea completada
dentro de “ t “ unidades de tiempo
X=t
Medida del desempeño de los
sistemas de colas
El desempeño puede ser medido concentrandose en:
- Los clientes en la cola
- Los clientes en el sistema
Los períodos transitorios y estáticos complican el
análisis del tiempo de atención.
Un período transitorio ocurre al inicio de la operación.
- Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo
período de ejecución.
Un período estacionario sigue al período transitorio.
- En un período estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el
sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.
- De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que
suma de las tasas de atención efectiva.
λ< µ
λ< µ1 +µ2+…+µκ
Para un servidor Para k servidores
λ< kµ
Para k servidores
con tasa se serv. µ
cada uno
Medida del desempeño en períodos estacionarios.
= Probabilidad de que no existan clientes en el sist.
= Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.
= número de clientes promedio en el sistema.
= número de clientes promedio en la cola.
= Tiempo promedio de permanencia de un cliente en
el sistema.
Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en
la cola.
Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba
esperar para ser atendido.
ρ = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo
que cada servidor es ocupado).
P0
Pn
L
Lq
W
Formulas
- Las fórmulas representan las relaciones entre L, Lq, W, y Wq.
- Estas fórmulas se aplican a sistemas que cumplen con las
siguientes condiciones:
* Sistemas de colas simples
* Los clientes llegan según una tasa finita de llegada
* El sistema opera bajo las condiciones de períodos
estacionarios.
L=λW
Lq = λ Wq
L = Lq + λ / µ
Para el caso de una población infinita.
Clasificación de las colas.
- Los sistemas de colas pueden ser clasificados por:
+ Proceso de llegada de clientes
+ Proceso de atención
Ejempo:
Ejempo:
+ Número de servidores
+ Tamaño (lineas de espera finitas/infinitas)
+ Tamaño de la población
MM//MM//66//10
10//20
20
- Notación
+ M (Markovian)= Proceso de llegada Poisson o tiempo de
atención exponencial.
+D (Determinístico) = Tasa constante de llegada o de atención
+G (General)
= Probabilidad general de llegada o de
atención
Sistema de colas M/M/1
Características
- Proceso de llegada Poisson.
- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente
- Existe un solo servidor
- Cola de capacidad infinita
- Población infinita.
Medidas del Performance para la cola
M / M /1
P0 = 1- (λ / µ)
Pn = [1 - (λ / µ)] (λ/ µ)n
L = λ / (µ - λ)
Lq = λ 2 / [µ(µ - λ)]
W = 1 / ( µ - λ)
Wq = λ / [µ(µ - λ)]
Pw = λ / µ
ρ =λ/µ
La probabilidad de que
un cliente espere en
el sistema más de
“t” es P(X>t)= e-(µ - λ)t
Zapatería Mary’s
Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en
promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución
Poisson.
El tiempo de atención se distribuye exponencialmente
con un promedio de 8 minutos por cliente.
La gerencia esta interesada en determinar las
medidas de performance para este servicio.
SOLUCION
– Datos de entrada
λ = 1/ 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por
hora.
µ = 1/ 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5
por hora.
PP00==1(λ
//µ)
==11--(5
//7.5)
==0.3333
1(λ
µ)
(5
7.5)
0.3333
– Calculo del performance
nn
PPnn==[1[1--(λ
/
µ)]
(λ/
µ)
=
(0.3333)(0.6667)
(λ / µ)] (λ/ µ) = (0.3333)(0.6667)
LL ==λλ//(µ
Pw = λ / µ = 0.6667
(µ--λ)
λ)==22
LLqq ==λλ22//[µ(µ
[µ(µ--λ)]
λ)]==1.3333
1.3333
ρ = λ / µ = 0.6667
W
W ==11//(µ
(µ--λ)
λ)==0.4
0.4horas
horas==24
24minutos
minutos
W
Wqq==λλ//[µ(µ
[µ(µ--λ)]
λ)]==0.26667
0.26667horas
horas==16
16minutos
minutos
µ
Datos
Datosde
deentrada
entradapara
paraWINQSB
WINQSB
λ
Medidas
Medidas de
de performance
performance
Medidas
Medidas de
de performance
performance
Medidas
Medidas de
de performance
performance
Medidas
Medidas de
de performance
performance
Medidas
Medidas de
de performance
performance
Sistema de cola M/M/k
Características
- Clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una
esperanza
λ.
- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.
- Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de µ
clientes.
- Existe una población infinita y la posibilidad de
infinitas filas.
Medidas de performance
P0 =
Pn =
Pn =
1
1 ⎛ λ ⎞
⎜
⎟
∑
µ
⎠
n=0 n ! ⎝
k−1
⎛⎜ λ ⎞⎟
⎝ µ⎠
n!
⎛λ ⎞
⎜ µ⎟
⎝
⎠
k !k n−k
n
k
1 ⎛ λ ⎞ ⎛ kµ ⎞
⎜
⎟ ⎜
+
⎟
µ
⎠ ⎝ kµ − λ ⎠
k!⎝
n
P0
for n n<=
≤ k. k
Para
P0
Paran n>>k.k
for
n
k
⎛⎜ λ ⎞⎟ µ
⎝ µ⎠
1
W=
P +
2 0
µ
(k − 1) !(kµ−λ)
Las medidas del performance L, Lq, Wq,, pueden ser obtenidas
por las formulas.
1 ⎛ λ ⎞ ⎛ kµ ⎞
⎟ ⎜
Pw = ⎜
P0
⎟
k ! ⎝ µ ⎠ ⎝ kµ − λ ⎠
k
λ
ρ=
kµ
OFICINA POSTAL TOWN
La
Lagerencia
oficina desea
postal
Town las
atiende
púrelevantes
blico los al
Saláservicio
bados en
La
gerencia
deseaconocer
conocer
lasmedidas
medidas
relevantes
servicio
en
orden
entre
ordena:a:las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.
–– La
Laevaluación
evaluacióndel
delnivel
nivelde
deservicio
servicioprestado.
prestado.
Datos
.. oficina postal
efecto
en
– ElElpromedio,
efectode
dereducir
reducir
elpersonal
personal
enun
undependiente
dependiente
- –En
100 elclientes
por
hora
visitan la
durante este período. La oficina tiene tres dependientes.
- Cada atención dura 1.5 minutos en promedio.
- La distribución Poisson y exponencial describen la llegada de
los clientes y el proceso de atención de estos respectivamente.
SOLUCION
Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .
Datos de entrada
λ = 100 clientes por hora.
µ = 40 clientes por hora (60 / 1.5).
Existe un período estacionario (λ < kµ )?
λ = 100 < kµ = 3(40) = 120.
Sistemas de colas M/G/1
Supuestos
- Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con
esperanza λ.
− El tiempo de atención tiene una distribución general con
esperanza µ.
− Existe un solo servidor.
- Se cuenta con una población infinita y la posibilidad de
infinitas filas.
Formula para L de Pollaczek - Khintchine.
⎛⎜ λ ⎞⎟
+
λ
σ
( ) ⎝ µ⎠
2
L =
2 ⎛⎜ 1 − λ ⎞⎟
µ⎠
⎝
2
λ
+
µ
- Nota : No es necesario conocer la distribución particular del
tiempo de atención. Solo la esperanza y la desviación estándar
son necesarias.
TALLER DE REPARACIONES TED
Ted repara televisores y videograbadores.
Datos
- El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de
2.25 horas.
- La desviación estándar del tiempo de reparación es de 45
minutos.
- Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de
acuerdo a una distribución Poisson.
- Ted trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes.
- El compra todos los repuestos necesarios.
+ En promedio, el tiempo de reparación esperado debería
ser de 2 horas.
+ La desviación estándar esperada debería ser de 40
minutos.
Ted
Teddesea
deseaconocer
conocerlos
losefectos
efectosde
deusar
usarnuevos
nuevos
equipos
equipospara:
para:
1.1.Mejorar
Mejorareleltiempo
tiempopromedio
promediode
dereparación
reparación
de
delos
losartefactos;
artefactos;
2.2.Mejorar
Mejorareleltiempo
tiempopromedio
promedioque
quedebe
debeesperar
esperar
un
uncliente
clientehasta
hastaque
quesu
suartefacto
artefactosea
seareparado.
reparado.
SOLUCION
Se trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atención
no es exponencial pues σ 1/µ).
Datos
– Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)
λ = 1/ 2.5 = 0.4 clientes por hora.
µ = 1/ 2.25 = 0.4444 clientes por hora.
σ = 45/ 60 = 0.75 horas.
– Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos)
µ = 1/2 = 0.5 clientes por hora.
σ = 40/ 60 = 0.6667 horas.
Sistemas de colas M/M/k/F
Se deben asignar muchas colas, cada una de un
cierto tamaño límite.
Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de
cola infinito entrega un resultado exacto, aunquede
todas formas la cola debe ser limitada.
Cuando una cola es demasiado pequeña, se debe
estimar un límite para la fila en el modelo.
Características del sistema M/M/k/F
- La llegada de los clientes obedece a una distribución Poisson
con una esperanza λ.
- Existen k servidores, para cada uno el tiempo de atención se
distribuye exponencialmente, con esperanza µ.
− El número máximo de clientes que puede estar presente en el
sistema en un tiempo dado es “F”.
- Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra
completo.
Tasa de llegada efectiva.
- Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.
- La probabilidad de que el sistema se complete es PF.
- La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes
en el sistema (λe).
λe = λ(1 - PF)
COMPAÑÍA DE TECHADOS RYAN
Ryan atiende a sus clientes, los cuales llaman
ordenan su servicio.
Datos
- Una secretaria recibe las llamadas desde 3 líneas telefónicas.
- Cada llamada telefónica toma tres minutos en promedio
- En promedio, diez clientes llaman a la compañía cada hora.
Cuando una línea telefónica esta disponible, pero la
secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada,el
cliente debe esperar en línea hasta que la secretaria
este disponible.
Cuando todas las líneas están ocupadas los clientes
optan por llamar a la competencia.
El proceso de llegada de clientes tiene una
distribución Poisson, y el proceso de atención se
distribuye exponencialmente.
La gerencia desea diseñar el siguiente sistema con:
- La menor cantidad de líneas necesarias.
- A lo más el 2% de las llamadas encuentren las líneas ocupadas.
La gerencia esta interesada en la siguiente información:
El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.
EL número promedio de clientes que están es espera.
El tiempo promedio que los clientes permanecen en línea esperando ser atendidos.
El porcentaje actual de llamadas que encuentran las líneas ocupadas.
SOLUCION
Se sistema
trata
deMun
sistema
M/ M
/ sistema
M/ 1/ 1/ 5/ 4 M / M / 1 / 3
„ Datos de entrada
„
λ = 10 por hora.
µ = 20 por hora (1/ 3 por minuto).
– WINQSB entrega:
0.508,PP1P1=0=0.258,
0.254,
0.127,
0.063,
0.032
PP00==0.516,
PP22==0.129,
0.032
= 0.533,
P1 = PP
0.133,
P3PP=
33 ==0.065,
44==0.06
P5 = 0.016
6.7%
dede
encuentran
lasocupadas
líneas
1.6%
los
cltes.
laslas
linea
3.2%
delos
losclientes
clntes.encuentran
encuentran
líneas
ocupadas
ocupadas.
La
meta
2% puede
ser alcanzada.
Aúndel
se puede
alcanzar
la meta del 2%
Esto es alrededor de la meta del 2%.
„
Otros resultados de WINQSB
Con 5 líneas telefónicas
4 clientes pueden esperar
en línea
Datos
Datosde
deentrada
entradapara
paraWINQSB
WINQSB
Sistemas de colas M/M/1//m
En este sistema el número de clientes potenciales es
finito y relativamente pequeño.
Como resultado, el número de clientes que se
encuentran en el sistema corresponde a la tasa de
llegada de clientes.
Características
- Un solo servidor
- Tiempo de atención exponencial y proceso de llegada Poisson.
- El tamaño de la población es de m clientes (m finito).
CASAS PACESETTER
Casas Pacesetter se encuentra desarrollando cuatro
proyectos.
Datos
- Una obstrucción en las obras ocurre en promedio cada 20
días de trabajo en cada sitio.
- Esto toma 2 días en promedio para resolver el problema.
- Cada problema es resuelto por le V.P. para construcción
¿Cuanto tiempo en promedio un sitio no se encuentra
operativo?
-Con 2 días para resolver el problema (situación actual)
-Con 1.875 días para resolver el problema (situación nueva).
SOLUCION
Se trata de un sistema M/M/1//4
Los cuatro sitios son los cuatro clientes
El V.P. para construcción puede ser considerado
como el servidor.
Datos de entrada
λ = 0.05
(1/ 20)
µ = 0.5
(1/ 2 usiando el actual V.P).
µ = 0.533 (1/1.875 usando el nuevo V.P).
Resultados
Resultadosobtenidos
obtenidospor
porWINQSB
WINQSB
Medidas
Medidasdel
del
Performance
Performance
Tasa
Tasaefectiva
efectivadel
delfactor
factorde
deutilización
utilizacióndel
delsistema
sistema
Número
Númeropromedio
promediode
declientes
clientesen
enelelsistema
sistema
Número
Númeropromedio
promediode
declientes
clientesen
enlalacola
cola
Número
Númeropromedio
promediode
dedias
diasque
queun
uncliente
clienteesta
estaen
enelelsistema
sistema
Número
Númeropromedio
promediode
dedías
díasque
queun
uncliente
clienteesta
estaen
enlalacola
cola
Probabilidad
Probabilidadque
quetodos
todoslos
losservidores
servidoresse
seencuentren
encuentrenociosos
ociosos
Probabilidad
Probabilidadque
queun
uncliente
clienteque
quellega
llegadeba
debaesperar
esperaren
enelelsist.
sist.
ρρ
LL
Lq
Lq
W
W
Wq
Wq
Po
Po
Pw
Pw
V.P
V.P
V.P
V.P
Actual
Actual
Nuevo
Nuevo
0,353
0,353
0,467
0,467
0,113
0,113
2,641
2,641
0,641
0,641
0,647
0,647
0,353
0,353
0,334
0,334
0,435
0,435
0,100
0,100
2,437
2,437
0,562
0,562
0,666
0,666
0,334
0,334
Análisis económico de los sistemas
de colas
Las medidas de performance anteriores son usadas
para determinar los costos mínimos del sistema de
colas.
El procedimiento requiere estimar los costos tales
como:
- Costo de horas de trabajo por servidor
- Costo del grado de satisfacción del cliente que espera en la
cola.
-Costo del grado de satisfacción de un cliente que es atendido.
SERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODS
Wilson Foods tiene un línea 800 para responder las
consultas de sus clientes
Datos
- En promedio se reciben 225 llamadas por hora.
- Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos.
- Un cliente debe esperar en línea a lo más 3 minutos.
-A un representante que atiende a un cliente se le paga $16
por hora.
-Wilson paga a la compañía telefónica $0.18 por minuto cuando
el cliente espera en línea o esta siendo atendido.
- El costo del grado de satisfacción de un cliente que espera en
línea es de $20 por minuto.
-El costo del grado de satisfacción de un cliente que es atendido
es de $0.05.
Que
Que cantidad
cantidad de
de representantes
representantes
para
para lala atención
atención de
de los
los clientes
clientes
deben
deben ser
ser usados
usados para
para minimizar
minimizar
elel costo
costo de
de las
las horas
horas de
de operación?
operación?
Costo total por horas de
trabajo de “k”
representantes para la
atención de clientes
„
SOLUCION
Costo total del modelo
Total horas para sueldo Costo total del grado de satisfacción
de los clientes que permanecen en línea
CT(K) = Cwk + CtL + gwLq + gs(L - Lq)
Costo total de las
llamadas telefónicas
Costo total del grado de satisfacción
de los clientes que son atendidos
CT(K) = Cwk + (Ct + gs)L + (gw - gs)Lq
Datos de entrada
Cw= $16
Ct = $10.80 por hora
gw= $12 por hora
gs = $0.05 por hora
[0.18(60)]
[0.20(60)]
[0.05(60)]
Costo total del promedio de horas
TC(K) = 16K + (10.8+3)L + (12 - 3)Lq
= 16K + 13.8L + 9Lq
Asumiendo una distribución de llegada de los clientes
Poisson y una distribución exponencial del tiempo de
atención, se tiene un sistema M/M/K
λ = 225 llamadas por hora.
µ = 40 por hora (60/ 1.5).
El valor mínimo posible para k es 6 de forma de
asegurar que exista un período estacionario (λ<Kµ).
WINQSB puede ser usado para generar los resultados
de L, Lq, y Wq.
KK
66
77
88
99
10
10
En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10.
LL
18,1249
18,1249
7,6437
7,6437
6,2777
6,2777
5,8661
5,8661
5,7166
5,7166
Lq
Lq
12,5
12,5
2,0187
2,0187
0,6527
0,6527
0,2411
0,2411
0,916
0,916
Wq
Wq
0,05556
0,05556
0,00897
0,00897
0,0029
0,0029
0,00107
0,00107
0,00041
0,00041
CT(K)
CT(K)
458,62
458,62
235,62
235,62
220,50
220,50
227,12
227,12
239,70
239,70
Conclusión:
Conclusión:se
sedeben
debenemplear
emplear88rep
reppara
paralalaatención
atenciónde
declientes
clientes
Sistemas de colas Tandem
En un sistema de colas Tandem un cliente debe
visitar diversos servidores antes de completar el
servicio requerido
Se utiliza para casos en los cueles el cliente llega de
acuerdo al proceso Poisson y el tiempo de atención
se distribuye exponencialmente en cada estación.
Tiempo
Tiempo promedio
promedio total
total en
en elel sistema
sistema ==
suma
suma de
de todos
todos los
los tiempo
tiempo promedios
promedios en
en las
las estaciones
estaciones
individuales
individuales
COMPAÑÍA DE SONIDO BIG BOYS
Big Boys vende productos de audio.
El proceso de venta es el siguiente:
- Un cliente realiza su orden con el vendedor.
- El cliente se dirige a la caja para v¡cancelar su pedido.
- Después de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque para
obtener su producto.
Datos de la venta de un Sábado normal
- Personal
+ 8 vendedores contando el jefe
+ 3 cajeras
+ 2 trabajadores de empaque.
- TiempoCu
promedio
decantidad
atención promedio de tiempo ,
ál es
Cuál
eslala
cantidad
promedio de tiempo ,
un
cliente
viene
aacomprar
+ Elque
tiempo
que un
vendedor
esta con un
que
unpromedio
clienteque
que
viene
comprar
cliente esdemora
de 10 minutos.
en
demora
enelellocal?
local?
+ El tiempo promedio requerido para el proceso de pago es de
3 minutos.
+ El tiempo promedio en el área de empaque
es de 2 75% de
Solomante
minutos.
los clientes que llegan
-Distribución
hacen una compra
+ El tiempo de atención en cada estación se distribuye
exponencialmente.
+ La tasa de llegada tiene una distribución Poisson de 40
clientes por hora.
SOLUCION
„
Estas son las tres estaciones del sistema de
colas Tandem
M/M/2
=3
0
λ=
40
2.67 minutos
30
λ=
W1 = 14 minutos
M/M/3
λ
M/M/8
W2 = 3.47 minutos
Total = 20.14 minutos.
Balance de líneas de ensamble
Una línea de ensamble puede ser vista como una cola
Tande, porque los productos deben visitar diversas
estaciones de trabajo de una secuencia dada.
En una línea de ensamble balanceada el tiempo
ocupado en cada una de las diferentes estaciones de
trabajo es el mismo.
El objetivo es maximizar la producción
COMPAÑÍA DE MAQUINAS Mc MURRAY
Mc Murray fabrica cortadoras de césped y barredoras
de nieve.
La operación de ensamble de una cortadora consta
de 4 estaciones de trabajo.
El tiempo máximo en cada estación de trabajo es de
4 minutos. De este modo, el número máximo de
cortadoras que pueden ser producidas es de 15 por
hora.
La gerencia desea incrementar la productividad
mejorando el balance de las líneas de ensamble.
Datos
Tiempo
Tiempo
Estacion
Operaciones
Prom.
(min)
Estacion
Operaciones
Prom.(min)
11
Montar
22
Montarcuerpo
cuerpoyymango
mangode
delalacort;
cort;Colocar
Colocarbarra
barrade
dectrol
ctrolen
enelelmango
mango
22
Ensamblar
44
Ensamblarmotor
motoren
enelelcuerpo;colocar
cuerpo;colocarinterruptor;cuchillas;etc;
interruptor;cuchillas;etc;….
….
33
Fijar
33
Fijarmango,
mango,barra
barrade
decontrol,
control,cables,
cables,lubricar
lubricar
44
Conectar
33
Conectarbarra
barrade
decontrol;
control;montar
montarluz;inspección
luz;inspecciónde
decalidad;
calidad;embalar
embalar
La operación completa toma 12 minutos
La estación 2 es una
SOLUCION
Existen diversas opciones de balance para las líneas
de ensamble.
- Probar con un esquema de operaciones que ocupe el total de
los 3 minutos asignados a cada estación de trabajo.
- Asignar trabajadores ala estación de trabajo de manera tal de
balancear la salidas de la estación
- Asignar múltiples estaciones de trabajo para ejecutar cada una
de las operaciones.
-Usar técnicas de optimización, para minimizar la cantidad de
tiempo ocioso de las estaciones de trabajo.
- Usar heurísticas tales como “Técnica de clasificación de
posiciones según el peso” para encontrar el menor número de
estaciones de trabajo necesarias para satisfacer las
especificaciones del ciclo de tiempo.
Técnica de clasificación de posiciones según el peso.
1. Para cada tarea encuentre le tiempo total para todas las
tareas de las cuales esta es un predecesor.
2. Clasifique las tareas en orden descendiente según el tiempo
total.
3. Considere la estación de trabajo 1 como la estación actual.
4. Asigne las tareas ubicadas en los lugares inferiores de la
clasificación si cumplen con las siguientes condiciones:
+ La tarea no ha sido asignada anteriormente.
+ El tiempo de la estación actual no excede el tiempo
deseado para el ciclo.
5. Si la segunda condición del paso 4 no se cumple, designe una
nueva estación como la estación actual, y asigne tareas a esta.
6. Repita el paso 4 hasta que todas las tareas hayan sido
asignadas a alguna estación de trabajo.
Mc Murray - Continuación
La demanda por las cortadoras de césped ha subido,
y como consecuencia el ciclo de tiempo programado
debe ser menor que los 3 minutos programados.
Mc Murray desea balancear la línea usando la menor
cantidad de estaciones de trabajo.
Datos
Tareas que se requieren para fabricar una cortadora de césped
Tareas
Siguente
Tiempo
Tareas
Siguentetarea
tarea
Tiempoestim
estim
A--Colocar
*****
40
A--Colocarelelcuerpo
cuerpode
delalacortadora
cortadora
*****
40
B--Colocar
*****
50
B--Colocarelelmango
mangode
delalacortadora
cortadora
*****
50
C--Ensamblar
AA
55
C--Ensamblarelelmotor
motoralalcuerpo
cuerpode
delalacortad
cortad
55
D--Colocar
AA
30
D--Colocarelelinterruptor
interruptor
30
E--Colocar
CC
65
E--Colocarrueda
ruedaizquierda
izquierdayyasgurarla
asgurarla
65
F--Colocar
CC
65
F--Colocarrueda
ruedaderecha
derechayyasegurarla
asegurarla
65
G--Lubricar
EE
30
G--Lubricarcortadora
cortadora
30
H--Colocar
CC
25
H--Colocarcuchillas
cuchillas
25
I--Colocar
F,F,GG
35
I--Colocarcables
cablesconectores
conectoresdel
delmotor
motor
35
J--Colocar
II
50
J--Colocarcable
cableque
queune
unebarra
barrade
decontrol
controlcon
con
50
K--Montar
HH
20
K--Montarluces
luces
20
L--Colocar
BB
30
L--Colocarbarra
barrade
decontrol
controlen
enelelmango
mango
30
M--Colocar
LL
20
M--Colocarmango
mango
20
N--Colocar
MM
50
N--Colocarcales
calesconectores
conectoresdel
delmango
mango
50
0--Colocar
45
0--Colocarcables
cablesconectores
conectoresde
delalabarra
barrade
decc ******
******
45
P--Probar
D,
50
P--Probarcortadora
cortadora
D,J,J,K,K,OO
50
Q--Embalar
PP
60
Q--Embalarcortadora
cortadora
60
SOLUCION
Tareas
Tareas
AA
BB
CC
DD
EE
FF
GG
HH
II
JJ
KK
LL
MM
NN
OO
PP
QQ
Tiempo
Tiempo
40
40
50
50
55
55
30
30
65
65
65
65
30
30
25
25
35
35
50
50
20
20
30
30
20
20
50
50
45
45
50
50
60
60
Tareas
Tareaspredecesoras
predecesoras
C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q
C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q
L,M,N,O,P,Q
L,M,N,O,P,Q
E,F,G,H,I,J,KP,Q
E,F,G,H,I,J,KP,Q
P,Q
P,Q
G,I,J,P,Q
G,I,J,P,Q
I,J,P,Q
I,J,P,Q
I,J,P,Q
I,J,P,Q
K,P,Q
K,P,Q
J,P,Q
J,P,Q
P,Q
P,Q
P,Q
P,Q
M,N,P,O,Q
M,N,P,O,Q
N,O,P,Q
N,O,P,Q
O,P,Q
O,P,Q
P,Q
P,Q
QQ
*********
*********
TiempoTotal
TiempoTotal Clasific
Clasific
525
11
525
305
33
305
455
22
455
140
14
140
14
290
44
290
260
55
260
225
6,5
225
6,5
155
12,5
155
12,5
195
10
195
10
160
11
160
11
130
15
130
15
255
6,5
255
6,5
225
88
225
205
99
205
155
12,5
155
12,5
110
16
110
16
60
17
60
17
Pasos 1 y 2
Tareas
Tareas
AA
BB
CC
DD
EE
FF
GG
HH
II
JJ
KK
LL
MM
NN
OO
PP
QQ
Tareas seleccionadas según clasificación
Tiempo
Tiempo
Tiempo Tareas
Tareaspredecesoras
predecesoras
TiempoTotal
Total Clasific.
Clasific.
40
525
11
40 C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q
C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q
525
50
L,M,N,O,P,Q
305
22
50
L,M,N,O,P,Q
305
55
455
33
55 E,F,G,H,I,J,KP,Q
E,F,G,H,I,J,KP,Q
455
30
140
44
30 P,Q
P,Q
140
65
290
55
65 G,I,J,P,Q
G,I,J,P,Q
290
65
260
6,5
65 I,J,P,Q
I,J,P,Q
260
6,5
30
225
6,5
30 I,J,P,Q
I,J,P,Q
225
6,5
25
155
88
25 K,P,Q
K,P,Q
155
35
195
99
35 J,P,Q
J,P,Q
195
50
160
10
50 P,Q
P,Q
160
10
20
130
11
20 P,Q
P,Q
130
11
30
255
12,5
30 M,N,P,O,Q
M,N,P,O,Q
255
12,5
20
225
12,5
20 N,O,P,Q
N,O,P,Q
225
12,5
50
205
14
50 O,P,Q
O,P,Q
205
14
45
155
15
45 P,Q
P,Q
155
15
50
110
16
50 QQ
110
16
60
60
17
60 ****
****
60
17
Paso 3 y 4
Estación
Estación
11
11
11
11
22
Clasific
Tarea
Tiempo
Clasific
Tarea
Tiempo Tiempo
TiempoTotal
TotalTiempo
TiempoOcios
Ocios
11
AA
40
40
140
40
40
140
CicloCde
22
55
85
C tiempo actual
55 = 170. 95
95
85
33
50
35
B debe reducir
50 a 160, 145
145
35
Este Bse
44
EE
65
Negativo
65estac. 4 210
210
Negativo
moviendo
“K”
de
la
44
EE
65
65
115
65
65
115
a la estación 5.
Asignción
Asignciónde
deEstaciones
Estacionesde
detrabajo
trabajopara
paralalaproducción
producciónde
deCortadoras
Cortadoras
Estación
Estación
11
22
33
44
55
Diseñ
Diseñado por Rubé
Rubén Soto T. Diciembre de 1998.
Tareas
Tareas
A,B,C
A,B,C
E,F,G
E,F,G
I,L,M,N
I,L,M,N
D,H,J,K
D,H,J,K
P,Q
P,Q
Tiempo
TiempoTotalTiempo
TotalTiempoOcios.
Ocios.
145
35
145
35
160
20
160
20
135
45
135
45
170
10
170
10
110
70
110
70