Dimensión fractal

Dimensión fractal
En esta sección voy a explicar y comentar el concepto de dimensión fractal. La dimensión
topológica es la idea habitual de dimensión (la Euclídea), pero los fractales pueden tener
valores de dimensión no enteros. Por tanto no es una herramienta adecuada para su
estudio.
Pero primero aclaremos lo que es la dimensión topológica. Una línea tiene dimensión 1
porque cualquier punto sobre ella puede caracterizarse con un solo punto, por ejemplo la
distancia a un punto de referencia. De igual forma una superficie necesita dos números
para localizar un punto sobre ella y un volumen necesita tres.
Una definición matemática de la dimensión se basa en la forma en que el tamaño del
objeto crece cuando aumenta la dimensión lineal. La línea dobla su tamaño, la longitud,
cuando se dobla la dimensión lineal. En cambio, en el mismo caso, una superficie
cuadruplica su tamaño (área) y un volumen se multiplica por 8. La expresión matemática
que relacciona el tamaño S del objeto con la escala L es:
S = LD
donde D es la dimensión. De aquí podemos despejar y calcular la dimensión D en
función de S y L:
D = log S / log L
Veamos ahora qué ocurre cuando trabajamos con fractales.
Dimensión fractal: podemos decir que es el límite del cociente entre la variación del
tamaño y el cambio de escala, ambos en escala logarítmica, cuando la escala de medida
tiende a 0.
El problema es definir qué son el tamaño y la escala de medida en un objeto tan
complejo como un fractal, y además cómo hallar la media de estos cambios, que no son
iguales para cada parte del objeto. Por tanto hay varias formas de calcular la dimensión
fractal. Es sencilla de calcular para fractales no muy complicados, como las curvas
fractales que se ven en los ejemplos de la siguiente sección
Tipos de fractales
Hay multitud de objetos que presentan comportamiento fractal; son muy variados, muy diferentes entre sí.
Es difícil clasificarlos, pero podemos hacer una clasificación de los mecanismos que los generan. Algunos
fractales pueden ser generados mediante varios de los métodos descritos, pero tras todos esas formas
siempre se esconde la realimentación y la iteración:
Tiempo de Escape
Iterated Function Systems (IFS)
Escape de Atractor Finito
Orbitales Caóticos o Atractores
Bifurcaciones
L - Systems
Aleatorios
El problema de la longitud de una línea fractal. Dimensión
fractal.Frecuentemente al tratar el tema, el profesor o los libros, nos dicen que España tiene 5031'1 Kms. de
costa (7695'3 si incluimos los archipiélagos, y 59'8 más si incluimos el Mar Menor). ¿Qué es lo que nos
quieren decir?, ¿qué es lo que tiene esa longitud?, y sobre todo ¿cómo la han obtenido?, ¿cuál ha sido en
el método seguido para obtener esta medida?, ¿se han tenido en cuenta todos los accidentes?, ¿hasta los
más mínimos?.
Seguro que sobre estas preguntas los topógrafos, o los técnicos, tendrían mucho que decir, pero este tema
como técnica no nos interesa, solo nos interesa el planteamiento de la siguiente cuestión: La medida
obtenida ¿es la misma en todos los casos? , lo mismo si medimos la costa en una fotografía, o en un mapa
a una escala, que si medimos el perfil de la costa con todos los entrantes y salientes, o en el caso más
extremo si medimos los detalles más mínimos, hasta el perímetro de todas las rocas.
Veamos un ejemplo que puede constituir una actividad práctica a realizar en una zona de nuestro litoral.
Supongamos que tenemos que medir la longitud de la costa entre los puntos señalados en la foto:
Fig.1
Que visto esquemáticamente sería:
Fig. 2
Una forma de hacerlo es con una cinta métrica, o con un telémetro , de una longitud dada (50, 100, 500 ó
1000 metros). Nos situaríamos en un punto, y nuestro colaborador en el punto de la costa que distara de
nosotros dicha longitud en línea recta, después repetiríamos el proceso tantas veces como haga falta. Para
el mismo caso la cinta métrica podría tener 10, 20 ó 25 metros de larga.
O podríamos hacer el proceso sobre un plano, con un compás o con una regla. Medición que nos daría
unos 1'750 Kms.
Sin embargo si la medición la hacemos metro a metro, o paso a paso, siguiendo el perfil de la costa
(ejercicio que sí pueden hacer los alumnos) obtendremos otra medida, aunque el perfil descrito es el
mismo:
el resultado variará sensiblemente del anterior. En una
vez que realizamos la experiencia de andar todo el recorrido nos salieron 2.439 pasos que multiplicado
por 0'80 m. nos dan 1.951,2 m.
Pero si precisamos más el perfil de la costa no es así. Estará formado en la parte de playa por entrantes y
salientes, que además variarán según el oleaje y las mareas, pero que será una copia miniaturizada del
perfil que hemos visto en la foto y en el plano:
y en la parte de rocas los entrantes y salientes serán aún más complicados:
Imaginemos que tenemos que medir ahora con una escala, o con un instrumento que mida en centímetros
o en milímetros. El proceso sería notablemente más complicado y el resultado distinto:
A medida que la unidad, la longitud patrón con la que la comparamos, disminuye aumenta el resultado del
proceso de medir. De tal manera que en el límite, cuando la unidad se aproximara a 0, la longitud se
aproximaría a infinito.
TRABAJO PRÁCTICO
Ahora se trata de que, en la zona donde estamos y entre los puntos señalados en el plano que se adjunta,
repitamos el procedimiento:
* Calculemos la distancia haciendo la medición con pasos. La anotemos.
* Calculemos la distancia con la cinta métrica, con una unidad de 10 o de, preferentemente, 20 metros.
Anotemos el resultado.
* Calculemos por último la distancia sobre el mapa con una regla y aplicando la escala del plano, con una
unidad de 5 centímetros. Anotemos el resultado.
Comparar los tres resultados obtenidos. ¿hay alguna relación entre los resultados obtenidos y la unidad
utilizada?
Fractales en su aula
Lori Lambertson
Exploratorium Teacher Institute
San Francisco, EUA.
I. Introducción
Los fractales se encuentran fácilmente en la naturaleza. Se observan en el brócoli, la coliflor, los helechos, las
lineas costeras del Pacífico y más.
De la historia
La geometría fractal fue descubierta alrededor del año 1970, por el matemático polaco Benoit Mandelbrot. El
estaba fascinado con los complejos patrones que veía en la naturaleza, pero no los podía describir por medio de la
geometría euclídea: las nubes no eran esféricas, las montañas no eran conos, las líneas costeras no eran círculos,
la bark de los árboles no era lisa, ni tampoco viajaban los rayos en líneas rectas. Entonces desarrolló el concepto
y lo denominó "fractal", a partir del significado en Latín de esta palabra, que encontró en un libro de texto de su
hijo. Fractal significa "fracturado, fragmentado o quebrado".
Patrones fractales
Los patrones fractales tienen dos características básicas:


auto similitud (que significa que un mismo patrón se
encuentra una y otra vez) y
dimensiones fractales.
Esta dimensión fractal describe la relación entre los segmentos y la
totalidad. Entre más cercano esté la forma de un fractal a una línea
(dimensión 1), a un plano (dimensión 2) o a un objeto
tridimensional, más cercano estará la dimensión fractal al número
entero que describe su forma.
Hay dos clases de fractales: matemáticos y naturales (al azar). Los fractales encontrados en la naturaleza tiene
una característica adicional: Son formados por procesos aleatorios. Como ejemplo, se pueden nombrar: los rayos,
los deltas de los ríos, los sistemas de raíces y las líneas costeras.
A continuación se incluyen 4 actividades.
ACTIVIDAD 1: Curva de Koch (curva de Copo de nieve)
ACTIVIDAD 2: El triángulo de Sierpinski
ACTIVIDAD 3: Codificar coloreando el triángulo de Pascal.
ACTIVIDAD 4: Patrones fractales naturales: Belleza fractal de una gota de pintura.
Para más actividades para clases de matemática y ciencia, puede buscar en: www.exploratorium.edu/snacks
Recursos adicionales:
1. Miller, M. K. (1992). The practical fractal. Exploring, 16 (2), 4-9.
2. Pietgen, H., Jurgens, H., & Saupe, D. (1992.) Fractals for the classroom: Part one: Introduction to fractals
and chaos. New York: Springer-Verlag.
3. Pietgen, H., Jurgens, H., & Saupe, D. (1991.) Fractals for the classroom: Strategic activities. Volume one.
New York: Springer-Verlag.
4. Stanley, H.E., Taylor, E.F., and Trunfio, P.A., ed. (1994). Fractals in science: An introductory course. Pilot
edition. New York: Springer-Verlag.
Actividad 3:
Patrones fractales geométricos
Codificar coloreando el triángulo de Pascal
Materiales


Copia en blanco del triángulo de Pascal
Lápices de colores
Procedimiento
Paso 1: Coloque los valores de los números dados por filas. Las filas están compuestas de la suma de
los números arriba, empezando con 1 en la primer casilla y siempre sumando 1 a cada lado.
Las filas son los coeficientes de la expansión polinomial (x+1)n, empezando con n = 0 y las potencia
de 11, (de 110 to 114).
Paso 2: Coloree los números impares y observe el patrón que se genera.
Paso 3: Empiece de nuevo y coloree los múltiplos de 3, o los de 5, o 9.
Actividad 4:
Patrones fractales naturales
Belleza fractal de una gota de pintura
Esta acritividad me la enseñó la Dra. Linda Shore, una física del Exploratorium. Con sus antiguos
colegas de la Universidad de Boston, desarrolló estas actividades para llevar los fractales al aula.
Materiales





2 pedazos de material con superficie lisa y sólida. Puede ser un par
de láminas para telescopio cubiertas con cinta adhesiva
transparente, para que sean reusables.
Otros materiales posibles: Cartón laminado rígido, plástico rígido #6.
plexiglas acrílico
Pintura brillante para modelos (Pintura Testor Gloss Enamel o
Liquetex Acrylic "Glossies")
clip (si usa pintura Testor)
papel para entrapar y limpiar.
Procedimiento
Si usa pintura Liquitex:
agite la botella y coloque una pequeña gota de pintura sobre la superficie
que va a usar.
Si es pintura Testor Paint:
Use un clip estirado, para revolver la pintura, Luego, con el mismo clip, tome
un poco de pintura y transfiera una gota a la superficie.
Paso 1: Coloque la segunda lámina sobre la pintura y como si fuera un sandwich,
oprímalas para que la pintura se distribuya en una capa delgada y círcular.
Paso 2: Ahora despegue las láminas con cuidado, no las reslice. Notará las bolsas
de aire que se van formando conforme las despega. Permita que los
patrones se sequen.
Observe el detalle en
cada lado, resultarán
imágenes espejo.
¿Qué pasó?
El patrón fractal que se creó con una gota de pintura es el resultado de un proceso aleatorio.
1. Al apretar las dos láminas rígidas y lisas, con la gota de pintura en medio, esta se extiende por
2.
su viscosidad, hasta formar un círculo, desplazando el aire y creando una barrera estable en
forma de disco.
Cuando las láminas son separadas, el aire que es menos viscoso, se introduce en la pintura,
creando barreras inestables. Entonces crecen pequeñas indentaciones y se forman dedos de
aire, que separan la pintura. Este proceso se llama indentación viscosa (viscous fingering) y es
el que mejor describe los fractales en la naturaleza.
Actividad 1:
Patrones fractales geométricos
Curva de Koch (curva de Copo de nieve)
Uno de los más sencillos y más elegantes que conozco.
Paso 1: Un triángulo equilátero inscrito en un círculo (no mostrado) es la primera
iteración de este patrón. El largo de cada lado es 1, el perímetro = 3.
Paso 2: Divida cada lado del triángulo en 3 partes iguales y dibuje otro triángulo
equilátero en el segmento central.
Así resulta una estrella de seis esquinas como segunda iteración. Su perímetro =
3 x 4/3
Paso 3: En la tercera iteración del patrón,
P = 3 x 4/3 x 4/3.
Teóricamente usted puede repetir los pasos, dibujando triángulos equiláteros
infinitamente.
Siga calculando el perímetro.
Lo interesante es notar que el perímetro sigue creciendo, conforme el copo crece,
mientras que el área no sobrepasa la del círculo exterior.
Actividad 2:
Patrones fractales geométricos
El triángulo de Sierpinski
Paso 0: Dibuje un triángulo equilátero cuyo lado mida 8 cm.
Paso 1: Conecte los puntos centrales de cada uno de los lados entre sí. La línea
interna medirá =4cm.
Paso 2: Coloree todos los triángulos con la punta hacia arriba, para difenciar su
orientación.
Paso 3: Divida nuevamente, como en el paso 1, siempre desde los lados
exteriores. Las nuevas líneas internas miden = 1cm. Coloree los triángulos con la
punta hacia arriba. Observe que el triángulo interno queda vacío.
Paso 4: Divida nuevamente. Coloree los que quedan orientados con la punta hacia
arriba.
¿Cuánto miden los lados de triángulos más pequeños?
Mas investigaciones
En términos de dimensionalidad, compare lo siguiente:
Fracción
Área
Paso
de lado
Exponente de lado
(coloreada/total)
Área exponente
1
(1/2)0
1
(3/4)0
1
1/2
(1/2)1
3/4
(3/4)1
2
1/4
(1/2)2
9/16
(3/4)2
1/8
(1/2)3
27/64
(3/4)3
0
3