Interés Simple

InterésSimple
Elinteréssimple,espagadosobreelcapitalprimitivoquepermaneceinvariable.Enconsecuencia,
el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución
económicacausadaypagadanoesreinvertida,porcuanto,elmontodelinterésescalculadosobre
lamismabase.
Interéssimple,estambiénlagananciasólodelCapital(principal,stockinicialdeefectivo)alatasa
deinterésporunidaddetiempo,durantetodoelperíododetransaccióncomercial.
La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un
momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos
menoresde1año).
Alcalcularseelinteréssimplesobreelimporteinicialesindiferentelafrecuenciaenlaqueéstos
soncobradosopagados.Elinteréssimple,NOcapitaliza.
Fórmulageneraldelinteréssimple:
[1]VF=VA(1+n∗i)
Valor actual: La longitud de una escalera es la misma contada de arriba abajo como de abajo
arriba.ElvalorfuturoVFpuedeconsiderarsecomolacimavistadesdeabajoyelvaloractualVA
comoelfondovistodesdearriba.
Elvaloractualdeunacantidadconvencimientoenelfuturo,eselcapitalqueauntipodeinterés
dado,enperíodostambiéndados,ascenderáalasumadebida.
Si conocemos elmonto paratiempoy tasadados,elproblemaseráentonceshallarelcapital, en
realidadnoesotracosaqueelvaloractualdelmonto.DerivamoselVAdelafórmulageneral:
VF
[2]= VA =
(1 + n * i )
Siendo ésta la fórmula para el valor actual a interés simple, sirve no sólo para períodosde año,
sinoparacualquierfraccióndelaño.
Eldescuentoeslainversadelacapitalización.Conéstafórmulacalculamoselcapitalequivalente
enunmomentoanteriordeimportefuturo.
Otrasfórmulasderivadasdelafórmulageneral:
SillamamosIalosinteresespercibidosenelperíodoconsiderado,convendremos:
[3]I=VF-VA
LadiferenciaentreVFyVAeselinterés(I)generadoporVA.
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Ytambién,dadalafórmulageneral,obtenemoslafórmuladelimportedelosintereses:
I=VA(1+n*i)-VA=VA+VA*n*i-VA
[4]I=VA∗n∗i
I=(principal)*(tasadeinterés)*(númerodeperíodos)
(Inversiones)I=montototalhoy-inversiónoriginal
(Préstamos)I=saldodedeuda-préstamoinicial
Conlafórmula[4]igualcalculamoselinterés(I)deunainversiónopréstamo.
SísumamoselinterésIalprincipalVA,elmontoVFovalorfuturoserá.
[5]VF=VA+IoVF=VA(1+i*n)
Despejandoéstasfórmulasobtenemoseltipodeinterésyelplazo:
I
[6] i =
VA * n
VF
-1
VA
[7] i =
n
I
[8] n =
VA * i
VF
-1
[9] n = VA
i
El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de
interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses,
etc.).Siendoindiferenteadecuarlatasaaltiempooviceversa.
Al utilizar tasas de interés mensual, el resultado de n estará expresado en meses. En estas
fórmulaslatasadeinterés(i)estáindicadaenformadecimal.
Nomenclatura:
I=Interésexpresadoenvaloresmonetarios
VA=Valoractual,expresadoenunidadesmonetarias
VF=Valorfuturo,expresadoenunidadesmonetarias
n=Periododecapitalización,unidaddetiempo,años,meses,diario,...
i=Tasadeinterés,porcentajeanual,mensual,diario,llamadotambiéntasadeinterésreal.
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Ejemplo:CalcularacuántoasciendeelinterésproducidoporuncapitaldeU.M.25000invertido
durante4añosaunatasadel6%anual.
Resolución:Alexpresarel6%entantoporuno,seobtienequei=0.06.Yporconsiguiente,VA=
U.M.25000,n=4,i=0.06
Luegoaplicandolafórmula[4]I=VA*n*i
I = 25000 ´ 4 ´ 0.06 = 6000 ElinterésesdeU.M.6000.
Ejemplo: Calcular el interés simple producido por U.M. 30 000 durante 90 días a una tasa de
interésanualde5%.
Resolución:ComoVA=U.M.30000,n=
90
,i=0.05
360
Aplicandolafórmula[4]I=VA*n*i,
Portanto
I = 30000 ´ 0.05 ´
90
= 375
360
Ejemplo: Al cabo de un mes, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro U.M. 970 por
conceptodeintereses.Latasadeinterésdeunacuentadeahorroesdel2%mensual.¿Cuálesel
saldomedio(capital)dedichacuentaeneseperiodo?
Resolución:I=U.M.970,i=0.02,n=1,VA=?
Aplicandolafórmula[4]I=VA*n*i
970=VA*1*0.02
Seobtieneque VA =
970
=48500
1 * 0.02
ElsaldomediohasidodeU.M.48500.
Ejemplo:UnpréstamodeU.M.20000seconviertealcabodeunañoenU.M.22400.¿Cuálesla
tasadeinteréscobrada?
Resolución:Losintereseshanascendidoa
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22400 - 20000 = 2400 = VA * n * i ydespejandoiobtenemos
i=
2400
= 0.12 .
20000
Latasadeinterésesdel12%.
Ejemplo: Un capital de U.M. 300 000 invertido a una tasa de interés del 8% durante un cierto
tiempohageneradounosinteresesdeU.M.12000.¿Cuántotiempohaestadoinvertido?
Resolución:Aplicandolafórmula8,setieneque:
n=
I
,Luego
VA * i
n=
12000
12000
=
= 0. 5 300000 * 0.08 24000
porloqueeltiempoquehaestadoinvertidoesde0.5años,esdecir,6meses.
Ejemplo:(VFainteréssimple)
Necesitamossaberelmontoqueretiraríamosdentrode4años,síhoyinvertimosUM2,000al8%
paraelprimerañoconincrementosdel1%paralospróximostresaños.
Enestoscasosnoaplicamosdirectamentelafórmulageneraldelinteréssimple,porcuantoeltipo
deinterésencadaperíodoesdiferente.Debemossumaralprincipallosinteresesdecadaperíodo,
calculadosiempresobreelcapitalinicialperoalatasavigenteencadamomento.
Resolución:VA=2,000;n=4;i1...4=0.08,0.09,0.10y0.11;VF=?
Alejemplocorrespondelarelaciónsiguiente:
VF=VA+(VA×i1)+(VA×i2)+(VA×i3)+(VA×i4)
VF=2,000+(2,000×0.08)+(2,000×0.09)+(2,000×0.10)+(2,000×0.11)=UM2,760
Respuesta:
ElmontoaretiraresUM2,760.00
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Ejercicios:
1. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de U.M. 25 000
invertidodurante4añosy6mesesaunatasadel16%anual.
2. CalcularelinteréssimpleproducidoporU.M.30000durante180díasaunatasadeinterés
anualdel15%.
3. Al cabo de 3 meses, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de
intereses, U.M. 7500. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 12 % trimestral.
¿Cuáleselsaldoinicialdedichacuentaeneseperíodo?
4. UnpréstamodeU.M.200000seconviertealcabodeunmesenU.M.220400.¿Cuálesla
tasadeinteréscobrada?
5. Un capital de U.M. 300 000 invertido a una tasa de interés del 18 % durante un cierto
tiempo,hasupuestounosinteresesdeU.M.12000.¿Cuántotiempohaestadoinvertido?
6. Encontrar el valor actual al 5%, que produjo un interés simple de UM 1800 con
vencimientoen9meses.
7. ¿Cuálfuenuestrainversióninicial,sihemosobtenidoutilidadesdeUM3200,despuésde8
meses,ainteréssimpleyconel48%detasaanual?
8. Si tenemos UM 10000 y lo invertimos por un año con el 28% de interés anual. ¿Cuánto
dinerotendremosalfinalizarelaño?
9. EldíadehoyobtenemosunpréstamoporUM5000ydespuésdeunañoymediopagamos
UM5900.Determinarelinterésylatasadeinterés.
10. DeterminarlosinteresesyelcapitalfinalproducidoporUM10000conunatasadel18%
enunañoy4meses.
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Descuento
La tasa de descuento fijada por los bancos centrales por realizar el redescuento resulta de suma
importanciaparalaeconomía,puesellasincidensobreelconjuntodetasasdedescuentoydeinterés
cobradasenunpaísduranteperíodosdeterminados.
Latasadedescuentoeslarazóndelpagoporelusodeldinerodevueltoalliquidarlaoperación.
Descuento,eselprocesodededucirlatasadeinterésauncapitaldeterminadoparaencontrarel
valorpresentedeesecapitalcuandoelmismoespagableafuturo.Delmismomodo,aplicamosla
palabradescuentoalacantidadsustraídadelvalornominaldelaletradecambiouotrapromesa
depago,cuandocobramoslamisma antesdesuvencimiento.Laproporcióndeducida,otasade
interésaplicada,eslatasadedescuento.
Laoperacióndedescontarformapartedelasactividadesnormalesdelosbancos.Aestosacuden
losclientesacobraranticipadamenteelmontodelasobligacionesdesusacreedores;losbancos
entregan dichas cantidades a cambio de retener tasas de descuento, esto forma parte de sus
ingresos. Los bancos comerciales, a su vez, necesitan descontar documentos, en este caso, son
tomadosporelbancocentral,taloperaciónesdenominada,redescuento.
DescuentoSimple
Siendo el descuento un interés, este puede ser simple o compuesto. La persona (prestatario)
puede pagar a un prestamista el costo (precio) del préstamo al inicio del período o al final del
mismo. En el primer caso este precio recibe el nombre de descuento; en el segundo interés
respectivamente.
Descuentosimple,eslaoperaciónfinancieraquetieneporobjetolarepresentacióndeuncapital
futuroporotroequivalenteconvencimientopresente,atravésdelaaplicacióndelafórmuladel
descuentosimple.Esunprocedimientoinversoaldecapitalización.
Particularidadesdelaoperación
Losinteresesnocapitalizan,esdecirque:
- Los intereses producidos no son restados del capital inicial para generar (y restar) nuevos
interesesenelfuturoy,
-Portantoalatasadeinterésvigenteencadaperíodo,losintereseslosgeneraelmismocapitala
latasavigenteencadaperíodo.
-Losprocedimientosdedescuentotienenunpuntodepartidaqueeselvalorfuturoconocido(VF)
cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es necesario conocer las condiciones de esta
anticipación:duracióndelaoperación(tiempoyelcapitalfuturo)ylatasadeinterésaplicada.
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- El capital resultante de la operación de descuento (valor actual o presente VA) es de cuantía
menor,siendoladiferenciaentreamboscapitaleslosinteresesqueelcapitalfuturodejadetener
por anticipar su vencimiento. Concluyendo diremos, si trasladar un capital presente al futuro
implicaincrementarleintereses,hacerlaoperacióninversa,anticiparsuvencimiento,supondrála
disminucióndeesamismacantidadporcentual.
Nomenclatura:
D:Descuentoorebaja.
DR:Descuentoracional
VN(VF):Valorfinalonominal,eselconocidovalorfuturo
VA:Valoractual,inicialoefectivo.
iod:Tasadeinterésodescuento
Apartirdeéstenumeral,losinteresesserán“d”siéstossoncobradosporadelantadoe“i”si
son cobrados a su vencimiento Considerar esta observación al usar las fórmulas para calcular
TasasEquivalentes,tantoenoperacionesainteréssimplecomoainteréscompuesto.
Elvaloractual(VA)esinferioralvalorfuturo(VF)yladiferenciaentreamboseseldescuento(D).
Cumpliéndoselasiguienteexpresión:
[10]DR=VF-VA
Como vimos, el descuento, es una disminución de intereses que experimenta un capital futuro
comoconsecuenciadeadelantarsuvencimiento,escalculadocomoelinteréstotaldeunintervalo
detiempo.Cumpliéndose:
[10A]DR=VF*n*i
Dependiendodelcapitalconsideradoparaelcálculodelosintereses,existendosmodalidadesde
descuento:
-Descuentoracionalomatemático
-Descuentocomercialobancario.
Cualquierasealamodalidaddedescuentoutilizado,elpuntodepartidasiempreesunvalorfuturo
VFconocido,quedebemosrepresentarporunvaloractualVAquetienequesercalculado,paralo
cualesimportanteelahorrodeintereses(descuento)quelaoperaciónsupone.
Descuentoracionalomatemático
Ladiferenciaentrelacantidadapagarysuvaloractualrecibeelnombrededescuentoracionalo
matemático, no es lo mismo que el descuento bancario. Designamos el descuento bancario
simplementeconlapalabradescuento.
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Calculamos el descuento racional, determinando el valor actual de la suma a la tasa indicada y
restandoesteVAdedichacantidad.Elresultadoeseldescuentoracional.
Eldescuentoracionaleselinteréssimple.Laincógnitabuscadaeselvaloractual(capitalinicial).
Esdecir,eldescuentoracionalesigualalacantidadapagar(VN)menoselvaloractual[VA]del
capital.Luego:I=D,fórmulas[3]y[4]
Deduccióndeotrasfórmulas:
Tenemosque:
[1]DR=VF–VA
Sustituyendoen[2]
[2]DR=VF*n*i
DR =(VA+DR)ni
De[1]sededuceque:
=VAni+DRni
[3]VF=VA+DR
DR–DRni=VAni
DR(1–ni)=VAni
VAni
[4]DR=
1 - ni
Ejemplosresueltos:
Ejemplo:Obsérveseelsiguientepagaré:
VF=185,000Fechas:15deAgostovencimiento15deJuniodescuentoi=50%anual.
Determinarelvaloractualdeesedocumento.
Resolución:
DR=VF*n*i=185,000(61/360)(.5)=15,416.67
Luegoaplicando[10]DR=VF-VAdeaquítenemosque:
DR=15416.67,VF=185000porlotanto
15416.67=185000–VA,luego
VA=185000–15416.67
VA=169583,33
Ejemplo:Unaempresadescontóenunbancounpagare.Elbancorecibió166,666.67.Silatasade
descuento es del 60% y el vencimiento del pagaré era cuatro meses después de su descuento.
¿Cuáleraelvalornominaldeldocumentoenlafechadesuvencimiento?
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Resolución:
VA=166666,67
i=0.60
n=4/12=1/3=0,333333333
DR=VAni/1-ni
=166,666.67(.60)(.3333333)/(1-(.6)(.3333333))
=3333333/0,8=41666,67
porloqueelvalordelpagareenlafechadesuvencimientoesde:
VF=VA+DR=166,666.67+41,666.67=$208333,34
Ejemplo:Unaempresadescuentaundocumentoporelcualrecibe$879.12.Silatasadedescuento
es de 55% y el valor nominal del documento era de $1,000. ¿Cuánto tiempo faltaba para el
vencimientodesuobligación?
Resolución:
VF=1000
VA=879.12
i=0.55
DR=VF–VA
DR=1000-879.12=120,88
Luego
DR=VFniporlocualdecimos
n=DR/VFi
n=120.88/(1000*.55)=0,2178
porlocualeltiempoquefaltabaerade2mesesy19días
Ejemplo:UnpagareconunvalornominaldeUM5785esdescontadoconunbancoa40díasdesu
vencimiento a una tasa de descuento simple anual del 45%. ¿Calcular cuánto le pagaron al
acreedor?
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Resolución:
VF=5785
n=40/365
i=0.45
DR=VF*n*i
DR=5785(40/365)(.45)=285.28
VA=VF-DR
5785-285.28=5499.72porlocualesteimportefueloqueselepago.
Ejercicios:
1.-LaempresaXYZvendeUM30000aunclienteyleotorgacréditomedianteunpagodecontado
del20%yelrestoa30y60díasfirmandopagaresporunmismoimporte.Alos7díasdelaventa,
laempresaXYZvaaunbancoadescontarlos2pagaresaunatasasimpleanualdedescuentode
52%.¿CuántorecibelaempresaXYZenefectivo?.
2.-SiunpagaretieneunvalornominaldeUM308500ysepagadescontadofaltando20díaspara
suvencimientoenUM280600¿Cuálfuelatasadedescuentosimpleanual?
3.- Un pagare por UM 400 000 se descuenta a 380 088 a una tasa de descuento de 56% anual
¿Cuantosdíasfaltabanparasuvencimiento?
4.- El 3 de Agosto una empresa vende mercancía cuyo precio de contado es de UM 32 000. El
clientefirmaunpagareaunatasadeinterésanualsimplede42%yconvencimientoparael15de
Octubre. El 2 de Septiembre la empresa va al banco y descuenta dicho pagaré. Si la tasa de
descuentoesde46%¿Cuántorecibelaempresa?.
5.-Laempresa"X"vende120400UM(preciodecontado)enmercancíaaunclienteyledacrédito
a30,60y90díaspormediodelafirmadepagaréscadaunoporunmismoimporte.Alos15días
la empresa "X" decide descontar estos 3 pagares en un banco para tener efectivo inmediato. El
bancoaplicaunatasadedescuentode50%sobreelvalordecadapagaré¿Cuántodinerorecibela
empresadelBanco?
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InterésCompuesto
Elconceptoylafórmulageneraldelinteréscompuestoesunapotenteherramientaenelanálisisy
evaluaciónfinancieradelosmovimientosdedinero.
Elinteréscompuestoesfundamentalparaentenderlasmatemáticasfinancieras.Conlaaplicación
delinteréscompuestoobtenemosinteresessobreintereses,estoeslacapitalizacióndeldinero
en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses
acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a
convertirseennuevocapital.
Llamamosmontodecapitalainteréscompuestoomontocompuestoalasumadelcapitalinicial
con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés
compuesto.
Elintervaloalfinaldelcualcapitalizamoselinterésrecibeelnombredeperíododecapitalización.
Lafrecuenciadecapitalizacióneselnúmerodevecesporañoenqueelinteréspasaaconvertirse
encapital,poracumulación.
Tresconceptossonimportantescuandotratamosconinteréscompuesto:
1º.Elcapitaloriginal(PoVA)
2º.Latasadeinterésporperíodo(i)
3º.Elnúmerodeperíodosdeconversiónduranteelplazoqueduralatransacción(n).
Porejemplo:
Síinvertimosunacantidaddurante5½añosal8%convertiblesemestralmente,obtenemos:
Elperíododeconversiónes:6meses
Lafrecuenciadeconversiónserá:2(unañotiene2semestres)
tasa de interés
0.08
=
= 0.04 frecuencia de conversión
2
Entonceselnúmerodeperíodosdeconversiónes:
(númerodeaños)*(frecuenciadeconversión)=5½x2=11
FórmulasdelInterésCompuesto:
Lafórmulageneraldelinteréscompuestoessencilladeobtener:
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VA0,
VA1=VA0+VA0i =VA0(1+i),
VA2=VA0(1+i)(1+i)
=VA0(1+i)2
VA3=VA0(1+i)(1+i)(1+i) =VA0(1+i)3
Generalizando para n períodos de composición, tenemos la fórmula general del interés
compuesto:
[19]VF=VA(1+i)n
Fórmulaparaelcálculodelmonto(capitalfinal)ainteréscompuesto.Paranaños,transformael
valoractualenvalorfuturo.
Elfactor(1+i)nesconocidocomoFactordeAcumulaciónoFactorSimpledeCapitalización(FSC),
al cual nos referiremos como el factor VF/VA (encontrar VF dado VA). Cuando el factor es
multiplicadoporVA,obtendremoselvalorfuturoVFdelainversióninicialVAdespuésdenaños,
alatasaideinterés.
Tantolafórmuladelinteréssimplecomoladelcompuesto,proporcionanidénticoresultadopara
elvalorn=1.
VF=VA(1+ni)
=VF =VA(1+i)n
VA(1+1i)
=VA(1+i)1
VA(1+i)
=VA(1+i)
SillamamosIalinteréstotalpercibido,obtenemos:
I=VF-VAluegoI=VF-VA=VA(1+i)n-VA
Simplificandoobtenemoslafórmuladecapitalizacióncompuestaparacalcularlosintereses:
[20]I=VA(1+i)n−1
Conestafórmulaobtenemoselinterés(I)compuesto,cuandoconocemosVA,iyn.
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Ejemplo:TengounexcedentedeutilidadesdeUM1000ylosguardoenunbancoaplazofijo,que
anualmentemepaga8%;¿cuántotendrédentrode3años?
Ejemplo:(CalculandoelinterésyelVFcompuestos)
DeterminarlosinteresesyelcapitalfinalproducidoporUM50,000al(a)15%deinterésdurante
1año.(b)15%deinterésconvertiblemensualmenteen2años.
Valoractualainteréscompuesto
La fórmula general del interés compuesto permite calcular el equivalente de un capital en un
momentoposterior.
Dijimos antes que, la longitud de la escaleraeslamismacontadadeabajohaciaarriba como de
arriba abajo. En el interés compuesto cuanto más arriba miramos, más alto es cada escalón
sucesivo y si nos paramos arriba y miramos hacia abajo, esto es, hacia el valor actual, cada
sucesivoescalónesalgomásbajoqueelanterior.
Delaecuación[19]obtenemoslafórmuladelvaloractualainteréscompuesto:
VF
[21] VA =
(1 + i ) n
Tambiénlaexpresamoscomo:
VA=VF(1+i)-n
Conocemos a la expresión entre paréntesis como el Factor Simple de Actualización (FSA) o el
factorVA/VF.PermitedeterminarelVA(capitalinicial)delacantidadfuturaVFdada,despuésde
nperíodosdecomposiciónalatasadeinterési.
La expresión valor futuro significa el valor de un pago futuro en fecha determinada antes del
vencimiento.Cuantomenostiempofaltaparaelvencimiento,mayoreselvaloractualdelmonto
adeudado,y,enla fechadelvencimiento,elvaloractualesequivalentealmontoporpagar.Para
comprobarunocualquieradeesosvaloresactuales,bastahallarsialatasaindicada,eneltiempo
expuesto,elvaloractualeslacantidadadeudada.
Delaecuación[19]obtenemostambién,lasfórmulas[22]y[23]paradeterminarlosvaloresdei
(dadoVA,VFyn)yn(dadoVA,VFei).
VF
log
VF
VA - 1 [22] i = n
[23] n =
VA
log(1 + i)
Con la fórmula [22] obtenemos la tasa del período de capitalización. Con la fórmula [23]
calculamosladuracióndelaoperaciónfinanciera.
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En este caso, no da lo mismo adecuar la tasa al tiempo o adecuar el tiempo a la tasa. Tanto el
tiempocomolatasadeinterésdebenadecuarsealperíododecapitalización.Sieltiempoestáen
meses,latasadebesermensual;sieltiempoestáenbimestres,latasadebeserbimestral.
Ejemplo:AlguiennosofreceUM5000dentrode3años,siempreycuandoleentreguemoseldía
dehoyunacantidadal10%capitalizablesemestralmente.¿Cuántoeselmontoaentregarhoy?
Solución:
VF=5,000;n=3;i=0.10;VA=?
Aplicamoslafórmulay/olafunciónfinancieraVA:
Ejemplo:(VAainteréscompuesto)
TenemosunaobligaciónporUM12000.¿Cuántoinvertiremoshoyal9%anual,conelobjetode
poderacumularelpagodeladeudadentrode(a)10años?(b)al18%convertiblemensualmente
en2años?
Resolución:
VF=12,000;i=0.9;n=10;VA=?
VF
12000
=
=UM5068,93
VA =
n
(1 + i )
(1 + 0,09)10
Respuesta:
ElmontoainvertirhoyesUM5,068.93.
Paralaparteb)repetirelprocedimientoconlossiguientesdatos.
VF=12,000;i=18/100/12;n=10;VA=?
Valoractualdedeudaquedevengainterés
Comoenelinteréssimple,enelcasodedeudasquedevenganinterés,antesdecalcularsuvalor
actual,debemosaveriguarprimeroelmontonominal,estoes,lacantidaddedinero(capital más
interés)deladeudaasuvencimiento.Calculadoelmontonominalesmássencillodeterminarel
valoractualacualquiertasadeinterés.
Paracalcularelvaloractualdedeudasquedevenganinteréscompuestocalculamosprimero
el monto de la deuda al vencimiento, esto es, el monto nominal; luego, procedemosa calcular el
valoractualdelmontonominalaplicandoelmétodoexpuestolíneasarriba.
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Ejemplo:(VAdedeudaquedevengainteréscompuesto)
Una empresa en proceso de liquidación, tiene en activos obligaciones a 4 años por UM 42,000,
devengan el 12% capitalizando anualmente. Calcular el valor actual al 15%, con capitalización
anual.
Resolución:
Segúnlareglaexpuesta:
1ºCalculamoselmonto(VF)delactivoasuvencimiento:
VA=42,000;i=0.12;n=4;VF=?
[19]VF=42,000(1+0.12)4=UM66,087.81
2ºCalculamoselVAal15%deUM66,087.81apagardentrode4años:
VF=66,087.81;i=0.15;n=4;VA=?
66087.81
[21] VA =
= UM 37785.92 (1 + 0,15) 4
Respuesta:
ElVAconcapitalizaciónanualesUM37,785.92
Interéssimpleversusinteréscompuesto
Elmonto(VF)queobtenemosconelinteréssimpleaumentalinealmente(progresiónaritmética);
mientrasque enlasoperacionesconinteréscompuesto,laevoluciónesexponencial(progresión
geométrica), como consecuencia de que los intereses generan nuevos intereses en períodos
siguientes.
Generalmenteutilizamoselinteréssimpleenoperacionesacortoplazomenorde1año,elinterés
compuestoenoperacionesacortoylargoplazo.
Vamos a analizar en qué medida la aplicación de uno u otro en el cálculo de los intereses dan
resultadosmenores,igualesomayoresyparaellodistinguiremostresmomentos:
a)Períodosinferioresalaunidaddereferencia
Enestoscasos(paranosotrosunaño),losinteresescalculadosconelinteréssimplesonmayoresa
loscalculadosconelinteréscompuesto.
Ejemplo:(Interéssimpleycompuestoconperíodosmenoresalaunidad)
Determinar los intereses devengados por un capital de UM 30,000, durante 5 meses, al 15% de
interésanual.
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15
Comolatasadeinterésestáenbaseanual,eltiempoloexpresamostambiénenbaseanual:5/12=
0.4167
Igualmente, podríamos expresar la tasa de interés en base mensual, dividiendo simplemente:
0.15/12=0.0125conn=5.
Resolución:
VA=30,000;n=0.4167;i=0.15;I=?
a.1.)Interéssimple
[8]I=30,000*0.15*0.4166=UM1,875.15
a.2.)Interéscompuesto:
[20]I=30,000[[(1+0.15)0.4166]−1]=UM1,799.04
Luego,elinteréscalculadoaplicandolafórmuladelinteréssimpleessuperioralcalculadoconla
fórmuladelinteréscompuesto.
b)Períodosigualesaunaño
Enestoscasos,ambasfórmulasdanresultadosidénticos.
Ejemplo:(Interéssimpleycompuestoconperíodosigualesaunaño)
DeterminarlosinteresesdevengadosporuncapitaldeUM30,000,duranteunaño,conel12%de
interésanual.
Resolución:
VA=30,000;n=1;i=0.12;I=?
a.1.)Interéssimple:
[5]I=30,000*0.12*1=UM3,600
a.2.)Interéscompuesto:
[20]I=30,000[[(1+0.12)1]−1]=UM3,600
Comovemosambasfórmulasproporcionanresultadosiguales.
c)Períodossuperioresaunaño
Enestoscasos,losinteresescalculadosconlafórmuladelinteréscompuestosonsuperioresalos
calculadosconlafórmuladelinteréssimple.
Ejemplo:(Interéssimpleycompuestoconperíodossuperioresaunaño)
DeterminarlosinteresesdevengadosporuncapitaldeUM30,000,durantedosaños,conel12%
deinterésanual.
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16
Resolución:
VA=30,000;n=2;i=0.12;I=?
a.1.)Interéssimple:
[5]I=30,000*0.12*2=UM7,200
a.2.)Interéscompuesto:
[20]I=30,000[[(1+0.12)2]−1]=UM7,632
Luegocumplimosconlacondición(c).
Determinar la tasa de interés aplicadaa un capital de UM 25 000 que ha generado en tres años
interesestotalesporUM6500.
Solución:(VF=25,000+6,500)
i=?;VA=25,000;n=3;I=6,500;VF=31,500
AplicandolafórmulaolafunciónTASA,tenemos:
Respuesta:Latasadeinterésaplicadaesde8%anual.
(Calculandoeltiempooplazon)
CalculareltiempoquehaestadoinvertidouncapitaldeUM35000,sielmontoproducidofueUM
56455conuninterésde9%.
Solución
VA=35,000;VF=56,455;i=0.09;n=?;
AplicandolafórmulaolafunciónNPER,tenemos:
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Respuesta:
Eltiempoenquehaestadoinvertidoelcapitalfuede5años,6mesesy17días.
CONVERSIONES
Cuando las unidades de tasa y tiempo no coinciden debemos realizar la o las conversiones
necesarias según se requiera. Pero debemos tener cuidado con ello ya que primero debo
analizar si el problema es simple o compuesto. Procuro ACLARARLO con los siguientes
ejemplos:
1) SecolocanUM7800durante4bimestresenunaagenciafinancieraqueofreceel6%semestral.
¿Cuántoganarándeinteresesycuántoseacumularáalfinaldelperíodo?
ANÁLISISDELPROBLEMA.
¿Cómosésisetratadeunproblemasimpleocompuesto?Losproblemasdeinterésodescuento
compuesto deben indicar sila tasa es capitalizableo bien deberán mostraro indicar que éste es
compuesto? Generalmente en las prácticas se indica por cuál método debe resolverse, de lo
contrarionosatenemosaloanterior.
He resaltado en el problema los datos y la pregunta, como vemos no nos habla de tasa
capitalizableocompuesta,porloqueelproblemaessimple.
IDENTIFICACIÓNDEDATOS.
VA=7800 n=4bimestresi=6%semestral
Una vez identificados los datos, debemos preguntarnos ¿Tenemos unidades de tiempo en
concordancia?Talcomoheindicadoconlaflechaanterior,vemosqueeltiempoestáenbimestres
PERO
ylatasaensemestres,motivoporelcualdeborealizarunaconversión.PEROyeste
bien
grande,sielproblemaesSIMPLESOLAMENTESECONVIERTEUNAUNIDAD,NOLASDOSCOMO
LOHACEMOSENALGUNOSEJERCICIOSDEINTERESCOMPUESTO.
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18
OJO:CUANDOELPROBLEMAESDEINTERÉSODESCUENTOSIMPLELATASANOCAPITALIZA
ENOTRAUNIDADDETIEMPOPORLOQUELATASANODEBECONVERTIRSE.Demaneraquela
conversiónsehaceenlaunidaddetiempo.Porloqueenesteejemplotendremos:
VA=7800 n=4bimestres=4/3(3eselnºdebim.Enunsemestre)i=6%sem=6/100
SELECCIÓNDELAFÓRMULA.
Analizado el problema e identificados los datos, procedemos a seleccionar la fórmula (lo más
simple,deaquíenadelantetodoesmecánico)
IPartedelapregunta
IIPartedelapregunta
VF=VA+I
I=VA*n*i
VF=7800+624
I=(7800)(4/3)(6/100)
VF=8424
I=624
RESPUESTA.
SeganaeninteresesUM624yseacumulaalfinaldelperíodoUM8424.
2) Cierto capital gana UM 157500 de intereses al colocarlos durante 4 meses y medio en una
instituciónquepagael30%anual.Determinecuántoseinvirtióycuántoseacumula.
ANÁLISISDELPROBLEMA.
He resaltado en el problema los datos y la pregunta, como vemos no nos habla de tasa
capitalizableocompuesta,porloqueelproblemaessimple.
IDENTIFICACIÓNDEDATOS.
I=157500n=4,5mesesi=30%anual
¿Tenemosunidadesdetiempoenconcordancia?Talcomoheindicadoconlaflechaanterior,vemos
queeltiempoestáenmesesylatasaesanual,motivoporelcualdeborealizarunaconversión.
De manera que la conversión se hace en la unidad de tiempo. Por lo que en este ejemplo
tendremos:
I=157500 n=4,5meses/12 i=30%anual
SELECCIÓNDELAFÓRMULA.
Analizadoelproblemaeidentificadoslosdatos,procedemosaseleccionarlafórmula.
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19
IPartedelapregunta
=
∗ ∗ =
( ∗ )
157500
=
(4,5⁄12 ∗ 30⁄100)
= 1400000
IIPartedelapregunta
=
+ = 1400000 + 157500
= 1557500
RESPUESTA.
SeganaeninteresesUM1400000yseacumulaalfinaldelperíodoUM1557500.
3.ElbancoMdescuentaaunclienteal60%anual,unpagaréconvalornominaldeU.M.2.500.000
que vence en60 días. Esemismo día elbancoM descuentaalbancoH esemismodocumento al
53%.¿CuálfuelautilidaddelbancoM?
ANÁLISISDELPROBLEMA.
He resaltado en el problema los datos y la pregunta, como vemos no nos habla de tasa
capitalizableo compuesta, porlo que elproblemaesDESCUENTORACIONALsimple(La tasa es
vencida,poromisiónestanoseindica).
IDENTIFICACIÓNDEDATOS.
VF=2500000n=60díasi=60%anual VF=2500000n=60díasi=53%anual
¿Tenemosunidadesdetiempoenconcordancia?Talcomoheindicadoconlaflechaanterior,vemos
queeltiempoestáendíasylatasaesanual,motivoporelcualdeborealizarunaconversión.
De manera que la conversión se hace en la unidad de tiempo. Por lo que en este ejemplo
tendremos:
VF=2500000n=60/360i=60%anual=60/100
VF=2500000n=60/360i=53%anual=53/100
SELECCIÓNDELAFÓRMULA.
Analizadoelproblemaeidentificadoslosdatos,procedemosaseleccionarlafórmula.
IPartedelapregunta
IIPartedelapregunta
=
∗ ∗ =
∗ ∗ = 2500000 ∗ 60/360 ∗60/100
= 2500000 ∗ 60/360 ∗53/100
= 250000
= 220833.333
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20
LautilidadseráladiferenciaentreelDescuentoIyeldescuentoII,osea:250000-220833.33
RESPUESTA.
Lautilidadobtenidaesde29166,67UM.
4.Calcularelmontofinalde4añosdeuncapitaldeUM.5.000.000colocadoaunatasadeinterés
de36%anualcapitalizablemensualmente.
ANÁLISISDELPROBLEMA.
He resaltado en el problema los datos y la pregunta, como vemos la tasa es capitalizable o
compuesta,porloqueelproblemaesdeInterésCompuesto.
IDENTIFICACIÓNDEDATOS.
VA=5000000n=4añosi=36%anualcap.Mens.
¿Tenemosunidadesdetiempoenconcordancia?Talcomoheindicadoconlaflechaanterior,vemos
queeltiempoestáenañosylatasaesanual,perocapitalizablemensualmente.
De manera que la conversión se hace en la unidad de tiempo y en la tasa. Por lo que en este
ejemplotendremos:
VA=5000000n=4*12mesesi=36%=36/100/12
SELECCIÓNDELAFÓRMULA.
Analizadoelproblemaeidentificadoslosdatos,procedemosaseleccionarlafórmula.
=
(1 + ) = 5000000 1 +
36
100
12
(4∗12)
=20661259,39
RESPUESTA.
SeacumulaalfinaldelperíodoUM20661259.39
5) Se colocan$7800durante4bimestresenunaagenciafinancieraqueofreceel6%semestral.
¿Cuánto ganarán de intereses y cuánto se acumulará al final del período? Utilizar interés
compuesto.
ANÁLISISDELPROBLEMA.
He resaltado en el problema los datos y la pregunta, como vemos no nos habla de tasa
capitalizableocompuesta,perosenosindicaUtilizarinteréscompuesto.
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IDENTIFICACIÓNDEDATOS.
VA=7800 n=4bimestresi=6%semestral
Una vez identificados los datos, debemos preguntarnos ¿Tenemos unidades de tiempo en
concordancia?Talcomoheindicadoconlaflechaanterior,vemosqueeltiempoestáenbimestres
ylatasaensemestres,motivoporelcualdeborealizarunaconversión.Talcomoloindiquéenla
solución de la Práctica para examen I, cuando en un problema de Interés compuesto no se nos
indicacómosecapitaliza,seasumequeeslamismaunidaddetiempoquetienelatasa.
De manera que la conversión se hace en la unidad de tiempo. Por lo que en este ejemplo
tendremos:
VA=7800 n=4bimestres=4/3(3eselnºdebim.Enunsemestre)i=6%sem=6/100
SELECCIÓNDELAFÓRMULA.
Analizado el problema e identificados los datos, procedemos a seleccionar la fórmula (lo más
simple,deaquíenadelantetodoesmecánico)
IPartedelapregunta
=
[(1 + ) − 1]
= 7800
1+
6
100
IIPartedelapregunta
4
3
−1 =
+ = 7800 + 630.158
= 8430.158
= 630,158
RESPUESTA.
Seganaenintereses$630,158yseacumulaalfinaldelperíodo$8430,158.
Ejemplo:Realizarlassiguientesconversiones.
Tasa
n
Conversión
Tasa
n
24%capitalizable
1añoymedio
mensualmente
16%conliquidación
2meses
trimestral
28%convertible
5meses
semestralmente
30%convertible
4semestres
bimestralmente
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EJERCICIOS
1. Asumaqueseobtienenlossiguientesdatosdediferentesproblemasdeinteréscompuesto.
Realicelasconversionesnecesariasparapoderresolvercadaproblema.
Datosdelenunciado
Datosconvertidos
i
12%convertibletrimestralmente
14%capitalizablecuatrimestralmente
6,25%convertiblemensualmente
16%convertiblemensualmente
18%anualcapitalizabletrimestralmente
22%capitalizablequincenalmente
18%semestralcapitalizablebimestralmente
11%bimensualcapitalizablesemestralmente
10%capitalizablesemanalmente
12%compuesto
15%compuesto
22%mensualcompuesto
18%capitalizablesemestralmente
15%capitalizablecuatrimestralmente
24%convertiblemensualmente
11%quincenalconvertiblemensualmente
22%convertiblesemestralmente
10%convertibletrimestralmente
28%mensualconvertiblediariamente
n
3años
6semestres
12años
9cuatrimestres
1añoy9meses
2añosymedio
7años
14semestres
11meses
9meses
10años
10meses
20años
15años
2años
6meses
5trimestres
4bimestres
1mesy22días
i
n
2) Pedí un préstamo por UM 8000000 el 5 de Agosto de 2005 al 40% capitalizable
bimensualmente.¿Cuántomecorrespondepagarparaliquidarladeudael31deDiciembredel
mismoaño?
3) SecolocanUM3500000enunalibretadeahorrosquedael8%semestralconcapitalizaciones
mensuales. ¿Cuánto habrá en la libreta al pasar 2 años y 8 meses? ¿Cuánto se ganó por
conceptodeintereses?
4) La caja de ahorros de una empresa coloca todo su capital de UM 320 millones en bonos del
estado que garantizan un 3,4% trimestralcapitalizablesquincenalmente.¿Cuántohabrá para
repartirentresussociosporconceptodeinteresesalpasarunaño?
5) Se sabe qué hace 15 años una propiedad costaba UM 900.000. Si se considera una tasa de
inflación promedio del 10% anual capitalizable semestralmente, ¿Cuánto vale hoy? ¿Cuánto
valdrádentrode18años?
6) Una revista predice que una computadora costará dentro de 3 años UM 5 millones. Si se
considera una tasainflacionaria del14%semestralcapitalizableanualmente,cuántocostaría
dichacomputadorahoy?¿Cuántocostarádentrode8años?
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23
7) Unseñordeseatenerdentrode20añosuncapitaldeUM100millonesenelbanco,paralocual
debe depositar hoy cierta cantidady dejarlaganandointereses.Sielbancoleofrece un 12%
semestralconvertiblecadatrimestree.¿Cuántodebedepositarhoy?¿Cuántoganadeintereses
enlosúltimos5años?
8) ¿Cuántosmeses deben estarinvertidosUM40millonesal32%capitalizabletrimestralmente
paraqueganenUM9millonesdeintereses?
9) UnapersonarecibeUM80millonesporprestacionessocialesydeseainvertireldineroenun
instrumento financiero que le da 20%concapitalizaciónmensual.Lainversióndurará hasta
queacumuleUM81millones.¿Cuántodurarásuinversión?
10)Los intereses obtenidos en 8 meses por una inversión de UM 2530000 alcanzan los UM
450000.Determineaquétasadeinterésconcapitalizaciónmensualfueroncolocados.
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24
Tasasequivalentes
Ladefinicióndetasasdeinterésequivalenteseslamismaqueladelinteréssimple.Noobstante,la
relacióndeproporcionalidadquesedaenelinteréssimplenoesválidaenelinteréscompuesto,
comoesobvio,elcálculodeinteresessehacesobreunabasecadavezmayor.
Ejemplo:(Valoracumuladodeunainversión)
Calcular el valor acumulado de una inversión de UM 5,000 durante un año, en las siguientes
condiciones:
Resolución:
VA=5,000;n=1...4;i=0.15anual,0.075semestraly0.0375trimestral
Coninterésanualdel15%:
[19]VFn=5,000(1+0.15)1
=UM5,750.00
Coninteréssemestraldel7.5%:
[19]VFn=5,000(1+0.075)2
=UM5,778.13
Coninteréstrimestraldel3.75%:
[19]VFn=5,000(1+0.0375)4=UM5,793.25
Losresultadosnosonlosmismos,debidoaquelacapitalizacióndelosintereseslohacemoscon
diferentesfrecuenciasmanteniendolaproporcionalidadenlasdiferentestasasdeinterés.
Para lograr que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización y el valor final siga siendo el
mismoesnecesariocambiarlafórmuladeequivalenciadelastasasdeinterés.
El pago de los intereses es al vencimiento o por anticipado. El interés nominal, por lo general
condicionalaespecificacióndesuformadepagoenelaño.Paradeterminaraquétasadeinterés
vencida(iv)equivalenunosinteresespagadosporanticipado(ia)debemostomarencuentaque
losmismosdebenreinvertirseyéstosasuvezgeneraráninteresespagaderosporanticipado.
Interés anticipado (ia), como su nombre lo indica, es liquidado al comienzo del período
(momentoenelquerecibimosoentregamosdinero).
Interésvencido(iv),contrariamentealanterior,esliquidadoalfinaldelperíodo(momentoenel
querecibimosoentregamosdinero).
Muchas negociaciones son establecidas entérminosdeinterés anticipadoyesdeseable conocer
cuál es el equivalente en tasas de interés vencido. Ejercicios corrientes, lo constituyen los
préstamosbancariosyloscertificadosdedepósitoatérmino.
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25
Cuando especificamos el pago de interés anticipado (ia), estamos aceptando (en el caso
préstamos)recibirunmontomenoralsolicitado.
Fórmulasdelatasadeinterésvencidayanticipada:
ia
iv
[A] iv =
[B] ia =
1 - ia
1 + iv
Con la fórmula [A] podemos convertir cualquier tasa de interés anticipada, en tasa de interés
vencida. Esta fórmula es utilizada sólo para tasas periódicas; tasas utilizadas en determinado
períodoparacalcularelinterés.
Ejemplo:(Calculandolatasavencida)
Latasadeinterésanticipadade9%trimestralequivalea:
Resolución:
ia=0.09;iv=?
0.09
[A] iv =
= 0.09889 1 - 0.09
Para utilizar esta conversión debemos trabajar con la tasa correspondiente a un período. Por
ejemplo,latasadeinterésde9%anticipadaaplicableauntrimestre.
Ejemplo:(Tasavencida)
Si la tasa de interés anual es 28%, con liquidación trimestral por anticipado (la cuarta parte es
cobradacadatrimestre)¿acuántoequivaleeseinteréstrimestralvencido?
Resolución:
Tasadeinteréstrimestralanticipada=0.28/4=0.07
Tasadeinteréstrimestralvencida:
0.07
[A] iv =
= 0.0753 1 - 0.07
Ejemplo:(Tasaanticipada)
Sielbancodicecobrarlatasadeinterésde30%anual,liquidadocadames,vencido,¿aquétasade
interésmesanticipadocorrespondeeseinterés?
Resolución:
Elinterésmensualvencidoes:0.30/12=0.025
Elinterésmensualanticipadoes:
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26
[B] ia =
0.025
= 0.0244 1 + 0.025
Luego,elinterésnominalmesanticipadoes:2.44%*12=29.27%
TasaNominal
Latasanominaleslatasadeinterésquenoconsideralosperíodosdecapitalizaciónqueexisten
dentrodelperíododetiempoaqueserefierelatasa.Generalmente,elperíododetiempoalcual
estáreferidaestatasa eselaño.EstatasaconvencionalodereferencialofijaelBancoFederalo
Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas
(depósitosyahorros)delsistemafinanciero.Esunatasadeinteréssimple.
Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es anual resulta
equivalentedecirtasanominalotasanominalanual.
TasaEfectiva
Conelobjetodeconocerconprecisiónelvalordeldineroeneltiempoesnecesarioquelastasas
deinterésnominalesseanconvertidasatasasefectivas.
La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del
interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la
nominal.Estatasarepresentaglobalmenteelpagodeintereses,impuestos,comisionesycualquier
otro tipo de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una función
exponencialdelatasaperiódica.
Conelobjetodeconocerconprecisiónelvalordeldineroeneltiempoesnecesarioquelastasas
de interés nominales sean convertidas a tasas efectivas. Por definición de la palabra nominal
«pretendida,llamada,ostensibleoprofesada»diríamosquelatasadeinterésnominalnoesuna
tasacorrecta,real,genuinaoefectiva.
La tasa de interés nominal puede calcularse para cualquier período mayor que eloriginalmente
establecido.Asíporejemplo:Unatasadeinterésde2.5%mensual,tambiénloexpresamoscomo
un 7.5% nominal por trimestre (2.5% mensual por 3 meses); 15% por período semestral, 30%
anualo 60% por2 años. Latasade interésnominalignoraelvalordeldineroeneltiempoy la
frecuencia con la cual capitaliza el interés. La tasa efectiva es lo opuesto. En forma similar a las
tasasnominales,lastasasefectivaspuedencalcularseparacualquierperíodomayorqueeltiempo
establecidooriginalmentecomoveremosenlasolucióndeproblemas.
Cuando no está especificado el período de capitalización (PC) suponemos que las tasas son
efectivasyelPCeselmismoquelatasadeinterésespecificada.
MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|TasaNominal
27
Esimportantedistinguirentreelperíododecapitalizaciónyelperíododepagoporqueenmuchos
casoslosdosnocoinciden.
Porejemplo:
Si una persona coloca dinero mensualmente en una libreta de ahorros con el 18% de interés
compuestosemestralmente,tendríamos:
Períododepago(PP):1mes
Períododecapitalización(PC):6meses
Análogamente, si alguien deposita dinero cada año en una libreta de ahorros que capitaliza el
interéstrimestralmente,tendríamos:
Períododepago(PP):1año
Períododecapitalización(PC):3meses
Apartirdeahora,parasolucionarloscasosqueconsiderenseriesuniformesocantidadesdeflujos
de efectivo de gradiente uniforme, primerodebemos determinar la relación entre el período de
capitalizaciónyelperíododepago.
Derivacióndelafórmuladelatasaefectiva
Una forma sencilla de ilustrar las diferencias entre las tasas nominales y efectivas de interés es
calculandoelvalorfuturodeUM100dentrodeunañooperandoconambastasas.Así,sielbanco
paga el 18% de interés compuesto anualmente, el valor futuro de UM 100 utilizando la tasa de
interésdel18%anualserá:
VF=100(1+0.18)1=UM118
Ahora, si el banco paga intereses compuestos semestralmente, el valor futuroincluirá el interés
sobre el interés ganado durante el primer período. Así, a la tasa de interés del 18% anual
compuestosemestralmenteelbancopagará9%deinterésdespuésde6mesesyotro9%después
de12meses(cada6meses).
El cuadro no toma en cuenta el interés obtenido durante el primer período. Considerando el
período1deinteréscompuesto,losvaloresfuturosdeUM100despuésde6y12mesesson:
VF6=100(1+0.09)1=UM109.00
[19]VF12=109(1+0.09)1=UM118.81
9%representalatasaefectivadeinteréssemestral.Comovemos,elinterésganadoen1añoesUM
18.81enlugardeUM18.Luego,latasaefectivaanuales18.81%.
MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|TasaEfectiva
28
Lafórmulaparaobtenerlatasaefectivaapartirdelatasanominales:
= 1 +
− 1,
sesuelellamarTEA(TasaEfectivaAnual)[43]
=tasaperiódicaefectiva
j=tasanominal
m=númerodeperíodosdecapitalización
Despejandolafórmulaanteriorobtenemoslafórmuladelatasanominaldeinterésenfunciónde
latasaefectivaequivalente:
=
(1 +
Luego: =
= )
1
∗ ,
− 1 ,[44]
Fórmulaquepermitecalcularlatasaperiódicaapartirdelatasaefectivadada.
=
(1 +
) − 1[43A]
Fórmulaquepermitecalcularlatasaefectivaanual(TEA)apartirdelatasaperiódicadada.
= [1 +
] − 1[43B]
Calculandolastasasefectivas
Conlafórmula[43]podemoscalcularlastasasefectivasdeinterésparacualquierperíodomayor
queeldecapitalizaciónreal.Porejemplo,latasaefectivadel1%mensual,podemosconvertirlaen
tasasefectivastrimestrales,semestrales,porperíodosde1año,2años,oporcualquierotromás
prolongado.Enlafórmula[43]lasunidadesdetiempoeniyjsiempredebenserlasmismas.Así,
si deseamos la tasa de interés efectiva, i, semestral, necesariamente j debe ser la tasa nominal
semestral. En la fórmula [43] la m siempre es igual al número de veces que el interés estará
compuestoduranteeltiemposobreelcualbuscamosi.
Ejemplo:(Tasaefectiva)
Tenemosunatarjetadecréditocuyatasadeinteréses2.5%mensual.Determinarlatasaanual
querealmentemecuesta.
Solución:
MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|Calculandolastasas
efectivas
29
Datos:2,5%mensualesunatasaperiódica.Nospidenlatasaefectivaanual.
=2,5%mensual=0,025mensual,n=12.
Utilizandolafórmula[43B]
= [1 +
] − 1
= [1 + 0,025]
− 1
= 0,3449oseaquelatasaefectivaanualequivalentees34,49%
Ejemplo:(Tasaefectiva)
UnpréstamonopagadoalBancotienelatasadeinterésdel3%mensualsobreelsaldopendiente
depago.
1) Determinarlatasaefectivasemestral.
Solución:
Latasadeinterésesperiódicamensual.i=0,03mensual.SepideTasaEfectivaSemestral
Comolosolicitadoeslatasaefectivasemestralaplicamoslafórmula:
TEASEMESTRAL=(1+0.03)6-1=0.1941
2) Si la tasa de interés es de 7% por trimestre, calcular las tasas efectivas semestrales y
anuales.
Solución:
Para la tasa de 7% por trimestre, el período de capitalización es trimestral. Luego, en un
semestre,n=2.Portanto:
TEASEMESTRAL=(1+0.07)2-1=0.1449
TEAANUAL=(1+0.07)4-1=0.3108
3)Conlascifrasdel(2)determinarlastasasnominalesj.
Solución(3):
(1)i=0.07;n=2;j=?
j=0.07*2=0.14semestral
j=0.07*4=0.28anual
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efectivas
30
Ejemplo:(Cálculodetasasapartirdelatasanominal)
Calcular las tasas efectivas para 0.25%, 7%, 21%, 28%, 45%, 50% tasas nominales (j) con
períodos de capitalización (m) semestral, trimestral, mensual, quincenal, semanal y diaria
respectivamente.
j=0.0025;m=2;i=?
= 1 +
0.0025 2
2
− 1 = 0.0025
j=0.07;m=4;i=?
= 1 +
0.07 4
4
− 1 = 0.071859
j=0.21;m=12;i=?
= 1 +
0.021 12
12
− 1 = 0.2314
0.28 52
52
− 1 = 0.3221
j=0.50;m=365;i=?
0.5 3
= 1 + 36
− 1 = 0.6482
j=0.28;m=52;i=?
= 1 +
Losresultadossontasasefectivasanualesequivalentesatasasnominales.
Ejemplo:(CalculandolaTEA)
Una institución financierapublicitaquesutasadeinteréssobrepréstamosqueotorgaes 1.86%
mensual.Determinarlatasaefectivaanual.
Solución:Paracalcularlatasaefectivaanual:
i=0.0186;n=12;TEA=?
[43B]TEA=(1+0.0186)12-1=0.2475
i=0,2475
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efectivas
31
Ejemplo:(CalculandolaTasanominalapartirdeotranominal)
Hallarlatasanominal,convertiblemensualmente,equivalenteal6%convertiblesemestralmente.
Solución:Tenemosj=6%,n=2,iPER=0,03semestral
Luego:iEF=[1+0,03]2–1=0,0609
ApartirdeiEFàj=12[(1+0,0609)1/12–1]=0,05926
j=5,93%convertiblemensualmente
EJERCICIOS
1. Parainvertiruncapital,setienenlassiguientesopciones.
a. Inversiónaplazofijoconinterésdel21.5%capitalizablecadasemestre.
b. Certificadosqueabonanel20.6%capitalizableporsemana.
c. Bonosqueledanaganarel20.68%capitalizablecadames.
Las tres inversiones, ofrecen la misma certeza de recuperar su inversión, ¿cuál deberá
elegirse?
2. ¿Qué conviene más a los propósitos de una institución bancaria: prestar su dinero con
interesesdel25.3%anualcompuestoporsemanasoprestarloconel26.8%,capitalizable
porsemestres?
3. ¿Cuál es la tasa anual capitalizable por semestres equivalente al 39 % anual
capitalizablepormeses?
4. ¿A qué tasa nominal convertible trimestralmente, un capital deUM 30 000.00 crecerá a
UM100000.00encincoaños?
5. ¿Cuáleslatasaefectivadeinterésqueserecibedeundepósitobancario,pactadoa18%de
interésanual(a)convertiblemensualmente,(b)convertiblesemestralmente?
6. Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente al 15% convertible
semestralmente.
7. Tenemos una tarjeta de crédito cuya tasa de interés es 42% convertible mensualmente.
Determinarlatasaquerealmentemecuesta,asumiendoquelospagosnosondecontado.
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32
Anualidades
Una anualidad es un flujo de caja con montos de dinero uniformes, es decir, todos los flujos
son iguales y los movimientos de capitales ocurren a intervalos regulares. La circulación
monetariaesatravésdepagosdelaanualidad.
Con este grupo de factores calculamos con rapidez el factor de acumulación de los
intereses de pagos periódicos iguales, así como el monto acumulado a pagar al final de un
período determinado. Estos cálculos pueden hacerse considerando pagos periódicos al
vencimiento pospagable o por adelantado prepagables. También calculamos el factor de
actualizacióndelosinteresesdepagosperiódicosiguales,asícomoelvaloractualapagardeun
períodoespecíficodentrodeuntiempoestablecido.
Lasanualidadesno siempre están referidas a períodos anuales de pago. Las fórmulas de las
anualidadespermitendesplazareneltiempoungrupodecapitalesalavez.
Algunosejemplosdeanualidadesson:
·
·
·
·
Lospagosmensualesporrenta.
Elcobroquincenalosemanaldesueldos.
Losabonosmensualesaunacuentadecrédito.
Lospagosanualesdeprimasdepólizasdesegurodevida.
El intervalo o periodo de pago (n), es el tiempo que transcurre entre un pago (C) u otro y el
plazo de una anualidad es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo y el
periodofinaldepago.Rentaeselpago(C)periódico.
Losprincipaleselementosqueconformanlaanualidadson:
CPagoPeriódico,llamadotambiéntérmino.Eselimportecobradoopagado,segúnseael
caso,encadaperíodoyquenocambiaeneltranscursodelaanualidad.
VF, el valor futuro viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (C), capitalizados al final
delenésimoperíodo.
VA, el valor actual viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (C), descontados o
actualizadosaunatasadeinterés.
i,eslatasadeinterésporperíodo,tienelacaracterísticadesersimultáneamentenominal
yefectiva.Tambiénrepresentalatasaanualdeefectivo(TEA).
n, obtenemos el número de períodos multiplicando el tiempo por la frecuencia de
capitalizacióndelosintereses(n=t*m).
Lasanualidadescumplenconlassiguientescondiciones:
1. Todoslospagossondeigualvalor.
2. Todoslospagossonaigualesintervalos.
3. Todoslospagossonllevadosalprincipiooalfinaldelaseriealamismatasa.
4. Elnúmerodepagosdebeserigualalnúmerodeperíodos.
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33
Gráficamente:
Valorfinancierodeunaanualidadenelmomentot(Vt)
Es el resultado de llevar financieramente capitalizando o descontando las cuotas de la
anualidadadichomomentodetiempot.
CasosParticulares
Si t = 0 (siendo 0 el origen de la anualidad) nos encontramos con elvalor actual, es decir,
cuantificarlostérminosdelaanualidadenelmomentocero.
Sit=n(siendonelfinaldelaanualidad)definidocomoelvalorfinalovalorfuturo,resultadode
desplazartodoslostérminosdelaanualidadalmomenton.
Clasesdeanualidades
Atendiendoalavariedaddecomponentesqueintervienen,lasanualidadesseclasificanen:
A)Deacuerdoconlasfechasdeiniciaciónytérminoéstasson:
1) Anualidadesciertas.Susfechassonfijas,establecidasdeantemano.
Ejemplo:Enunacompraacrédito,tantolafechaquecorrespondealprimeryúltimo
pagosonconocidos.
2) Anualidad contingente. En este tipo de anualidades, tanto la fecha del primer y
últimopago,generalmentenoseestablecenanticipadamente.
Ejemplo:Unarentavitaliciaoperpetuaquetienequeabonarun cónyuge alamuerte
delotro.Almorirelcónyugeseinicialarentayéstafechaesdesconocida.
B)Deacuerdoalosintereses(asuperiododecapitalización),lasanualidadesson:
3) Simples.Cuandoelperiododepagocoincideconeldecapitalizacióndelosintereses.
Ejemplo:Elpagodeunarentamensualconinteresesal32%decapitalizaciónmensual.
4) Generales.Aquellasenlasqueelperiododepagonocoincideconeldecapitalización.
Ejemplo: El pago de una renta semestral con intereses al 36% anual capitalizable
trimestralmente.
C)Deacuerdoconelvencimientodelospagos,éstasson:
5) Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en que los
pagossonasuvencimiento,esdecir,alfinaldecadaperiodo.
Ejemplo,elpagodesalariosalosempleados,eltrabajoesprimero,luegoelpago.
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34
6)
Anticipadas. Las anualidades anticipadas o prepagables efectuadas al principio de cada
periodo.
Ejemplo,elpagomensualporarriendodeunacasa,primeroeselpago,luegoelusodelinmueble.
ElVAyVFdelasanualidadesprepagablessonelresultadodecapitalizarunperíodolas
pospagablesmultiplicándolaspor(1+i).
D)Deacuerdoalmomentodeinicioomomentodevaloración:
7) Inmediatas. Las más comunes. Los cobros o pagos tienen lugar en el periodo
inmediatamentesiguientealaformalizacióndeltrato.Valoramoslaanualidadensuorigen
oensufinal.
Ejemplo:Hoy adquirimos unproductoa crédito,apagarmensualmente.El primer
pago puede realizarse hoy o el mes siguiente, las cuotas pueden ser anticipadas
(prepagables)ovencidas(pospagables).
8) Diferidas. Los cobroso pagos son llevadosa cabo tiempo después de formalizado el trato
(seposponeoaplaza),esdecir,elprimerpagoesdespuésdetranscurridociertonúmero
deperíodos.Lavaloracióndelaanualidadesenunmomentoposteriorasuorigen. Significael
valor actual o futuro de una anualidad en n períodos a la tasa i, pospagables (vencidas) o
prepagables(anticipadas).
Valoractualofuturodeanualidadesadelantadasoprepagables,consisteencalcularlasumade
losvaloresactualesdelospagosaliniciodelaanualidadmultiplicandoelresultadopor(1+i).
Valor actual o futuro de anualidades vencidas o pospagables, consiste en hallar la suma de
todoslospagosperiódicosaunamismatasadeinterésalfinaldelplazodelaanualidad.
Son cantidades periódicas y uniformes, equivalentes a un valor actual o valor futuro, a una
determinadatasadeinterés.
E)Segúnlaclasedeinterés
9) Simpleoenprogresiónaritméticay,
10) Compuestaoenprogresióngeométrica
En la presente obra, utilizaremos los términos: anualidad vencida cuando tratemos con rentas
pospagablesyanticipadascuandotratemosconrentasprepagables.
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35
Las anualidades que estudiaremos a continuación nos permiten determinar el valor actual o
futuroatravésdemodelosmatemáticosquevaríanenprogresióngeométricacreciente
odecreciente.Tratasedeanualidadesconstantesouniformespospagablesoprepagables.
Los valores actuales y futuros de las anualidades (gradientes, perpetuidades) anticipadas
(adelantadas)oprepagablessoncalculadasapartirdelasvencidasopospagablesmultiplicándolas
por(1+i),reiteramos,elVAoVFdelasanualidadesprepagablessonelresultadodecapitalizarun
períodolaspospagables.
Anualidadesuniformes
Las anualidades de valor uniforme pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o no unitarias,
pospagablesyprepagables,temporalesoperpetuas,inmediatas(valoramoslarentaensu
origen o final), diferidas o anticipadas, enteras (cuota y tasa están en la misma unidad de
tiempo)yfraccionadas.
Enestapartevamosadesarrollaranualidadesconstantes,unitarias,temporales,inmediatas
yenteras,operandoconelinteréscompuesto.
Las fórmulas de la [24] a la [32] son de aplicación para el cálculo de anualidades vencidas o
pospagables.
(A)Factoresparaelcálculodelvaloractualoinicialdelcapital
Aplicando los conceptos del valor actual obtenemos los factores 3º y 4º, con los cuales
actualizamos el flujo constante de la anualidad. Obtenemos el valor actual descontandoa
interéscompuestocadaunodelos pagos o cuotas a la tasa i, desde donde está cada capital
hastaelorigen.Generalizamosloexpuestomediantelasiguienteecuación:
Ylorepresentamoscomo:
Permitesumarntérminosenprogresióngeométricadecreciente.
Factordeactualizacióndelaserie(FAS)
Permite pasar de series uniformes a valor actual. Transforma series de pagos uniformes
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36
equivalentesavaloractualovaloractualneto(VAN).
EnestecasotratamosdeactualizarelvalordecadaCdesdeelfinaldecadaperíodo.Unavezque
losvaloresdeCestánconvaloresactualesprocedemosatotalizarlasuma.
Muyutilizadaenoperacionesfinancierasycomercialesparadeterminarlatasaderendimientoy
enventasaplazos.
Factorderecuperacióndelcapital(FRC)
TransformaunstockinicialVAenunflujoconstanteoserieuniformeC.Conocidoenel
mundodelasfinanzas como FRC, definido como el factor que transforma un valor presente a
serie de pagos uniformesequivalentes.
Utilizadoenoperacionesdecréditoyenlaevaluacióndeproyectos.
Ejemplo(FRC-Cuotasvencidas)
Una institución tiene programado llevar a cabo campañas de venta entre sus afiliados y
asume, como monto contado el valor de UM1200, para su pago en 36 mensualidades
constantespospagablesa2.87%mensual.Calcularelvalordelascuotasmensuales.
Solución:VA=1200;i=0.0287;n=36;C=?
Respuesta:Elvalorpospagabledecadaunadelas36cuotasesUM53.90.
(B)Factoresparaelcálculodelvalorfuturoofinaldelcapital
En la solución de problemas de este tipo aplicamos en forma sucesiva la fórmula [19] VF= VA
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37
(1+ i)n delvalorfuturo, paralocualesnecesariohallarlosmontosparcialesdecadaCdesde
el momento de su abono hasta el final del período n. La primera C depositada a finales del
primerperíodonseconvierteC(1+i)n-1.Elexponenteesn-1porquelaprimeraCcapitaliza
desde el inicio del 2º período. Como la última C es depositada al final del período n no gana
intereses.
Sinembargo,sumontoesrepresentadocomoC(1+i)0.Generalizando,tenemos:
VF=C(1+i)0+C(1+i)1+C(1+i)2+...+C(1+i)n
Representalasumadentérminosenprogresióngeométricacreciente,quelocalculamoscon
lasiguienteecuación:
Factordecapitalizacióndelaserie(FCS)
Factorparapasardeseriesuniformesavalorfuturo(Capitalizacióndeunaserieuniforme).
Transforma los pagos e ingresos uniformes a valor futuro único equivalente al final del
períodon.EstefactorconviertepagosperiódicosigualesdefindeperíodoC,envalorfuturoVF.
Factordedepósitodelfondodeamortización(FDFA)
FactorutilizadoparatransformarstocksfinalesVF enflujososeries(depósitos)uniformesC.
O también, transforma valores futuros del final del período n en valores uniformes
equivalentesperiódicos.Operandolaecuación[27],tenemos:
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38
Características:
1. Losfondosdeamortizaciónsólosirvenparaelpagodelcapital.
2. Ladeudapermaneceinvariablehastacompletarelfondo.
Paraelcálculodelvalorfuturodeunaseriedepagosiguales,unperíododespués del
últimopago,empleamoslafórmula:
Desarrollandolasumatoriatenemos:
Ejemplo(FCS-VFvencida)
Si cada tres mesesdeposito UM 1800 en un banco que paga el 18% de interés
anual capitalizando trimestralmente. ¿Qué monto habré acumulado después de efectuar
48abonos?.
Solución:
C=1,800;i=(0.18/4)=0.045;n=(48/3)=16;VF=?
ResultaindiferenteabonarUM600mensualesoUM1,800trimestrales,porcuantoelbanco
capitalizalosahorrostrimestralmente.
CalculamoselVFconlafórmula[27]oconlafunciónfinancieraVF:
Respuesta:
Elmontodelainversiónperiódicadespuésde48abonosesdeUM40,894.81conambosmétodos.
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39
Anualidadesanticipadasoprepagables
Anticipar(Dellat.anticipare).Hacerquealgosucedaantesdeltiemposeñaladooesperable
oantesqueotracosa.
Aquellasanualidadesvaloradasanticipadamenteasufinal.Eltiempoquetranscurreentreel
finaldelaanualidadyelmomentodevaloracióneselperíododeanticipación.
Reiteramos, que los valoresactualesyfuturosde las anualidadesanticipadas(adelantadas)o
prepagablesson calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicado por (1 + i), es
decir, el VA o VF de lasanualidadesprepagablessonelresultadodeactualizarocapitalizarcon
unperíodomáslaspospagables.Porestarazónlosresultados(VAoVF)delasprepagables
sonsiempremayoresquedelaspospagables.Aplicable también a las funciones financieras
de Excel, Tipo cero (0) o se omite, significa pago al final del período; tipo uno (1) significa
pago al principio del período, que viene a ser lo mismo que multiplicar los resultados por
(1+i).
Ejemplo(VAyVFdeanualidadprepagable)
Determinar el valor actual y futuro de una renta de 4 cuotas anuales prepagables
deUM2500silatasaesdel9%anual.
Solución:(Calculandoelvaloractual)
C=2,500;n=4;i=0.09;VA=?
1º Para el cálculo del VA aplicamos la fórmula [24] o la función VA, multiplicamos los
resultadospor(1+0.09):
Solución:(Calculandoelvalorfinalofuturo)
C=2,500;n=4;i=0.09;VF=?
2ºParaelcálculodelVFaplicamoslafórmula[27]:
Ejemplo(FAS-FCS,VAyVFdeanualidadesvencidasyanticipadas)
¿Cuánto debo invertir hoy y cuánto tendré al final al 7% compuesto anualmente para
poder retirar UM 2800 al final o principio de cada uno de los cinco años que dura el
negocio?
Solución:VAdeanualidadespospagablesyprepagables
C=2,800; i=0.07; n=5; VA=?
CalculamoselVApospagableaplicandolafórmula[24]olafunciónVA:
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40
Multiplicandoelresultadoanteriorpor1.07obtenemoselVAprepagable:
Multiplicandoelresultadoanteriorpor1.07obtenemoselVFprepagable:
Respuesta:
Elmontoainvertirhoyencuotasvencidases UM
ElmontoainvertirhoyencuotasanticipadasesUM
Elmontoquetendréconcuotasvencidases
UM
Elmontoquetendréconcuotasanticipadases UM
AnualidadesDiferidas
11,480.55
12,284.19
16,102.07
17,229.21
Diferir(Dellat.differre).Aplazarlaejecucióndeunacto.Sonaquéllasanualidadesvaloradascon
posterioridadasuorigen.Eltiempoquetranscurreentreelorigendelaanualidadyelmomento
devaloracióneselperíododediferimiento,graciaocarencia.
Para valorar la anualidad diferida, primero calculamos la anualidad en su origen;
considerándola como anualidad inmediata determinamos el valor actual; posteriormente
descontamos el valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, a interés
compuesto y a la tasa de interés vigente durante el período de diferimiento. El diferimiento
únicamente afecta al valor actual, el valor futuro es calculado como una anualidad
inmediata. Las fórmulas para este tipo de anualidades son las mismas que para las rentas
vencidasyanticipadasconladiferenciaqueéstastienenperíodosdegracia.
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41
Ejemplo(Anualidaddiferida)
Compramos hoy un producto a crédito por UM 60000, para pagar en 20 cuotas
trimestrales, el primer abono lo hacemos al año de adquirido. Determinar la renta
asumiendounatasaanualde32%capitalizabletrimestralmente.
Solución:
VA=60,000;n=20;i=(0.32/4)=0.08;CPAGOS=?
Paracalcularelvalordecadacuotaaplicamosenformacombinadalasfórmulas[19]y[25]:
Finalmente,elaboramoselcronogramadepagos:
Como vemos, el primer pago lo hacemos en el trimestre 4 que es el final del primer año, hay
tres períodoslibreso de gracia con acumulación de intereses. Luego, la anualidad se inicia en el
trimestre3(conunsaldodeUM75,583)yterminaenel23,elvaloractualdeéstaoperación
financieraeselpunto0dondeestáubicadalafechafocal(UM60000).
Respuesta:ElvalordecadapagoesUM7698.27
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42
EJERCICIOS:
1. ¿Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran UM 100 000 al finalizar cada mes
en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente?
2. ¿Cuál es el monto acumulado de UM 2 000 semestrales depositados durante cuatro años y medio
en una cuenta bancaria que rinde 28% capitalizable semestralmente?
3. El doctor González deposita $ 100. Al mes de haber nacido su hijo. Continua haciendo depósitos
mensuales por esa cantidad hasta que el hijo cumple 18 años de edad para, en ese día, entregarle
lo acumulado como un apoyo para sus estudios. Si durante los primeros seis años de vida del hijo
la cuenta pago 36% anual convertible mensualmente, y durante los doce años restantes pago 2%
mensual. ¿Cuánto recibió el hijo a los 18 años?
4. ¿Qué es más conveniente para comprar un automóvil? :
a. Pagar UM 26 000 de contado o
b. UM 13 000 de enganche y UM 1 300 al final de cada uno de los 12 meses siguientes, si el
interés se calcula a razón del 42% convertible mensualmente.
5. Un empleado consigna UM 300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el
8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar UM 30 000?
6. Si deposito UM 40 000 cada semestre durante 8 años a una tasa del 8,4% semestral. ¿Cuánto
capital lograré acumular?
7. Se adquiere una deuda agropecuaria por UM 20 000 a la tasa preferencial del 16% capitalizable
trimestralmente. La forma de pago es: Un año y medio de gracia y luego pagos sucesivos
trimestrales durante 5 años. Determine el monto de dichos pagos.
8. Se desea pagar una deuda de UM 2 500 000 con pagos diarios de UM 8 000. ¿Cuántos días se
tardará en finiquitar la deuda? Asuma un 28% anual con liquidación diaria y el último pago por
exceso y defecto.
MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|EJERCICIOS:
43
Amortización
Amortizacióneselmétodopormediodelcualsevaliquidandounadeudaenpagosparciales.El
importe de cada pago sirve para solventar los intereses de la deuda, y el sobrante se abona al
capitalquesedebeeneseperíodo.
Paraencontrarcadaunadelasvariablesoincógnitas,seutilizalafórmuladelValorActualdelos
diversos tipos de anualidades. Generalmente, se calcula con base en el valor actual de las
anualidadesordinarias;poresolafórmulautilizadaparadeterminarlacuotasueleser:
(1 + )
=
(1 + ) − 1
Enlaamortizaciónsedemuestraque:
Ø Elcapitalvadisminuyendoconformesevandandolospagos,hastasuliquidacióntotal.
Ø Alirreduciéndoseelcapital,losinteresestambiénvandescendiendo.
Ø La amortización del capital va aumentando conforme pasan los períodos, al ir
disminuyendo–enlamismaproporción-losintereses.
Ø Lasumadelasamortizacionesseráigualalvaloractualocapitalinicialdelpréstamo.
Tablasdeamortización
Parasumayorcomprensión,lasamortizacionespuedenrepresentarseenunamatrizdonde:
Lascolumnasrepresentanlosiguiente:
Ø Laprimeramuestralosperíodos(n)
Ø LasegundaelSaldoinicialdecadaperíodo.
Ø Laterceraindicalosintereses(I),yresultademultiplicarelsaldofinalanteriorporlatasa
deinterésdelperíodo.
Ø La cuarta señala la amortización del período, y resulta de restar al pago del periodo los
interesesdelmismo.
Ø Laquintamuestraelpagoperiódico.
Ø Lasextaexpresaelsaldoinsolutodeladeudadelperíodoanterior,queseobtienealhacer
algunodeestosprocedimientos.
· Restaralcapitaliniciallaamortizaciónacumuladahastaeseperíodo,o
· RestaralSaldodelperíodoanteriorlaamortizacióndelperíodoactual.
Losrenglonesofilasdelatablarepresentanlasoperacionesdecadaperiodo.
MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|Amortización
44
Ejemplo: Se obtiene un préstamo por UM120 000, los cuales se van a liquidar pormedio de 6
pagos trimestrales iguales, con una tasa de interés del 20% convertible trimestralmente. ¿De
cuántoserácadapago?Completelatabladeamortización.
VA=120000
n=6 i=0,20/4=0,05trimestral
C=?
(1 + )
=
(1 + ) − 1
0,05(1 + 0,05)6
= 120000
= 23642,10
(1 + 0,05)6 − 1
Tabladeamortización
Trimestres
Saldo
Interés AmortizaPago
Saldo
Inicial
ción
Periódico
Final
1
120000,00 6000,00 17642,10 23642,10 102357,90
2
102357,90 5117,90 18524,21 23642,10 83833,70
3
83833,70 4191,68 19450,42 23642,10 64383,28
4
64383,28 3219,16 20422,94 23642,10 43960,34
5
43960,34 2198,02 21444,08 23642,10 22516,26
6
22516,26 1125,81 22516,29 23642,10
0,00
DebidoalredondeosepresentaunapequeñavariaciónenelSaldoFinaldelaoperación.
Fondosdeamortización
Eselmétodoporelcualseproveeelmonto,pormediodeunaseriedecuotasperiódicas,
paraliquidarunadeuda.Asimismofuncionaparaahorrarorecuperarelvalorhistóricode
un activo. Esto se realiza invirtiendo una serie de pagos iguales, en períodos iguales,
duranteellapsodevidaútildelbien,conlafinalidaddeacumularunmontodisponibleen
efectivoparavolveracomprarelsustitutivodelactivoaltérminodesuuso.Estapráctica
es muy común en la actividad financiera, aun cuando, al llegar al fin de su vida útil, la
cantidadacumuladanollegueacubrirelcostodelbien.
En este rubro, se utilizanlas fórmulasdecuotaperiódicaconsiderandoelvalorfuturode
lasdiferentesanualidades,generalmenteordinarias:
=
(1 + ) − 1
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45
Tablasdefondosdeamortización
Lascolumnasseconformanasí:
Ø Laprimeraexpresalosperíodos(n).
Ø Lasegundalospagosocuotasperiódicas(C)
Ø La tercera los intereses (I) del período, y resulta de multiplicar el saldo final del período
anteriorporlatasadeinterés(i)
Ø La cuarta el monto acumulado del fondo de amortización, y se calcula sumando la cuota
periódicamáslosinteresesdelperíodo.
Ø La quinta el saldo final, resulta de la suma del saldo final del período anterior más la
cantidadqueseacumulaalfondodelperíodo.
Losrenglonesmuestranlasoperacionesdecadaunodelosperíodos.
Ejemplo:¿Cuálserálacuotaanualparaacumular,alcabode6años,unmontodeUM240000,si
dichas rentas obtienen un rendimiento del 8% anual? (Los UM 240 000 representan el valor
futuro de un activo adquirido, que se pretende reemplazar al final de su vida útil, que es de 6
años).
=
= 240000
(1 + ) − 1
0,08
= 32715,69
(1 + 0,08)6 − 1
Tablafondodeamortización
Períodos
1
2
3
4
5
6
Cuotas Intereses
Periódicas
32715,69
0,00
32715,69 2617,26
32715,69 5443,89
32715,69 8496,66
32715,69 11793,65
32715,69 15354,39
Monto
quese
acumula
32715,69
35332,95
38159,58
41212,35
44509,34
48070,08
Saldo
Final
32715,69
68048,64
106208,22
147420,57
191929,91
239999,99
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46
EJERCICIOS
1. UnpréstamodeUM4000sevaaamortizarpormediode8pagosmensualesiguales.Hallar
el valor del pagomensualsi la tasadeinterés esdel34%capitalizablemensualmente,y
elaborarunatabladeamortización.
2. Antonio compra deunacasa valuadaenUM230000y pagaUM15000deprima.Antonio
obtiene un préstamo hipotecario a 20 años por el saldo. Si se cobra un interés del 29%
capitalizable cada mes, ¿cuál sería el valor del pago mensual? Elabórese una tabla de
amortizaciónparalosprimeros6meses.
3. UnlaboratoriodeanálisisquímicoscompraunacentrífugaenUM2890dólares,quesevaa
pagar de la siguiente manera: 20 % de prima, y 4 pagos mensuales iguales. Si la tasa de
interés es del 10% anual capitalizable cada mes, calcúlese el valor del pago mensual y
formúleselatabladeamortización.
4. SeliquidaunadeudamediantecincopagosmensualesdeUM1965.19cadauno,loscuales
incluyeninteresesdel36%anualcapitalizablecadames.Encuentreelvalororiginaldela
deudayelaborelatabladeamortización.
5. Lavidaútildeciertoequipoindustrialqueacabadeseradquiridoporunacompañíaesde
5años.Conelfindereemplazarloalfinaldeestetiempo,lacompañíaestableceunfondo
de amortización efectuando depósitos anuales en una cuenta bancaria que paga el 9.6%
anual. Si se estima que el equipo costará UM 42740, halle el valor de cada depósito y
elaborelatabladecapitalización(FondodeAmortización).
6. Ramón desea tener UM 12000 para darlos deprima para una casa. Si puede ahorrar UM
1300 cada mes en un bancoquelepagaunatasadeinterésdel2.24%mensual, ¿cuánto
tiempotardaráenacumularlosUM12000?Constrúyaselatabladecapitalización.
7. Una empresa debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de UM 40000. Para asegurar el
pago, el contador propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondo
mediantedepósitosmensualesaunacuentaquepagael30%convertiblemensualmente.
¿De cuánto deben ser los depósitos?Construyaunatablaquemuestrelaformaen quese
acumulaelfondo.
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47
Lasperpetuidades
Unaperpetuidadesuna anualidadcuyopagoseiniciaenunafechafijaycontinúaparasiempre.
Con la suposición de que una compañía nunca quebrará, los dividendos sobre sus acciones
preferentes pueden considerarse como una perpetuidad. Es claro que no puede hablarse del
montodeunaperpetuidad,sinembargo,tieneunvaloractualdefinido.Elvalordelaanualidadde
muchostérminos,llamadaperpetuidad,escalculadaconlasiguientefórmula:
= Lasperpetuidades permiten cálculos rápidosparadeterminarelvalordeinstrumentosde renta
fija (VAP) de muchos periodos. En este caso, «C» es el rendimiento periódico e «i» la tasa de
interés relevante para cada período. Ejemplos de perpetuidades son también las inversiones
inmobiliarias con canon de arrendamiento, dada la tasa de interés aproximamos el valor de la
inversión(C).
Porlogeneral,latasadeinterésescasisiempreanualyelcanondearriendoesmensual,porlo
cual deberá establecerse la tasa de interés equivalente para este período de tiempo. Otras
aplicacionesimportantessonlaspensionesorentasvitalicias.
Ejemplo:
Para que mis 2 hijos estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 años, es
requisitofundamental-entreotros-depositareldíadehoyunasumadedineroenunainstitución
financieraquepagaporahorrosdeestetipoel1.5%mensualmenteyquepermitealainstitución
disponerdeUM2500mensualesaperpetuidad.¿Cuántodebodepositareldíadehoy?.
Solución:
C=2,500;i=0.015;VAP=?
2500
=
=
166666,67
0.015
Respuesta:
DebodepositareldíadehoyUM166666,67.MensualmenteeldineroganaUM2,500deinterés.
Esteinterésconstituyelabeca.
Perpetuidadescompuestas
Haydosvariacionesalasituaciónbásicaobtenidaantes,cuandoelintervalodepagoyelperiodo
deinterésnocoinciden.Tenemoselsiguientecaso.
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48
Una compañía espera pagar $250 cada seis meses, indefinidamente, como dividendo sobre sus
acciones. Suponiendo un rendimiento del 6% anual convertible semestralmente, ¿cuánto se debe
pagarporcadaacción?
Enestecasoelperiododeinterésyelperiododepagosoniguales,ambossedansemestralmente,
porloquelaperpetuidadessimple:
C=250i=0,06/2=0,03
250
=
= $8333
0.03
¿Cuánto debería pagar por cada acción si se espera una reditualidad del 5% convertible
trimestralmente?
Enestecasoelintervalodepagoescada6mesesyelperiododeinterésescada3meses.Enlos
casosenlosqueestosperiodosnocoincidendebemosutilizarlasiguientefórmula:
=
(1 + ) − 1
, ú
é .
Enelcasoanteriortenemosque:
C=250,i=0,05/4=0,0125k=2(“periodosdeinterésporcadaperiododepago)
250
250
=
=
=
= $9937,89
2
(1 + ) − 1
(1 + 0,0125) − 1
0,02515625
¿Cuántodeberíapagarporcadaacciónsiseesperaunareditualidaddel5%convertibleanualmente?
C=250,i=0,05,k=1/2(½periododeinterésporcadaperiododepago)
250
250
=
=
=
= $10123,50
1
(1 + ) − 1
0,02469508
(1 + 0,05) 2 − 1
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Ejercicios:
1. Hallar el valor actual de una perpetuidad de $780 pagaderos al final de cada año,
suponiendo un interés de : (a) 6% anual, (b) 6% convertible semestralmente, (c) 6%
convertibletrimestralmente.
2. Hallarelpagosemestraldeunaperpetuidadcuyovaloractuales36000UMsuponiendoun
interésde4%convertiblesemestralmente.
3. Suponiendo que una finca produzca 5000 UM anuales indefinidamente, ¿cuál es el valor
realsobrelabasedel5%?
4. ¿Quécantidadesnecesariaparapatrocinarunaseriedeconferenciasquecuestan$2500al
principio de cada año, indefinidamente, suponiendo intereses del 5% convertibles
trimestralmente?
5. Una persona desea depositar enunainstituciónunacantidadtal queleproporcionea su
hijopagosde$1250cada6meses.Silaempresapagael3%convertiblesemestralmente,
¿cuánto tendrá que depositar hoy? ¿Cuál será el monto a depositar si la tasa es del 5%
anual?
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