UNIDAD VI. REDES 6.3. Árbol de mínima expansión El

Investigación de operaciones
UNIDAD VI. REDES
6.3. Árbol de mínima expansión
El algoritmo de mínima expansión enlaza los nodos de una red, en
forma directa o indirecta, con la mínima longitud de las ramas
enlazantes. Una aplicación característica es la construcción de
carreteras pavimentadas que unen varias poblaciones. El camino entre
las poblaciones puede pasar por uno o mas poblaciones adicionales. El
diseño más económico del sistema de caminos indica que se minimice
la distancia total de caminos pavimentados, resultado que se obtiene
implementando el algoritmo de árbol de expansión mínima.
Los pasos del procedimiento son como siguen:
Sea:
N = {1, 2, …. n} el conjunto de nodos de la red.
C k =Conjunto de nodos conectados de forma permanente en la
iteración “k”
C k =Conjunto de nodos que aún se deben conectar de forma
permanente en la iteración “k”.
Paso 0. Se inicia con el conjunto C0 = ∅ y C0 =N
Es decir, todos los nodos están sin conectar en la iteración cero.
Paso 1. Sea “i” cualquier nodo de la red, de forma tal que en la
primera iteración C1={i} al hacer esto se debe descontar dicho nodo de
los no conectados C1 =N-{i}
6.3. Árbol de mínima expansión
O colocado en términos sencillos, el paso “k” se refiere a:
Ck=Ck-1 + {j}, C k = C k −1 -{j}
Cuando Ck=N y C k = ∅ el proceso se detiene.
Ejemplo. Una empresa constructora tiene el proyecto de unir 6
comunidades, las condiciones del terreno son homogéneas y permiten
planear la construcción de los
caminos en función de la mínima
distancia
entre
dichas
poblaciones.
La posición relativa y las
distancias entre cada comunidad
se muestra en la imagen
siguiente (las líneas representan
distancias ya que los caminos
apenas se van a construir):
Determine usando el algoritmo de la expansión mínima, los caminos
que deben construirse y la distancia total necesaria de carretera para su
construcción. Solución:
Se inicia con el nodo 1, aunque en realidad puede iniciarse desde
cualquiera, se muestra para la iteración 1 la selección del nodo 1 y con
una línea punteada la distancia mas corta del nodo 1 a los otros nodos
(nodo 2, con 1 milla) entonces para la iteración 2 se elige unir los
nodos 1 y 2 con lo cual ambos ya forman parte del subconjunto C2.
Pasar a la siguiente iteración k = 2.
Paso k. Seleccionar un nodo “j” ∈ Ck −1 (que pertenece al conjunto de
los nodos que aún se deben conectar de la iteración anterior); de forma
tal que produzca el arco más corto a un nodo conectado del conjunto
Ck-1 y sacarlo del conjunto C k −1 .
Basado en: Hamdy A Taha. Investigación de Operaciones. 7ta Edición PrenciceHall. 2004.
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En la iteración 2 detectamos que la distancia mas corta de los nodos 1
y 2 que ya están conectados, es la del nodo 2 con el nodo 5, con una
distancia de 3 millas; por lo tanto conectamos el nodo 2 con el nodo5.
6.3. Árbol de mínima expansión
Finalmente existen dos posibles respuestas, ya que en la iteración 5 el
único nodo que falta por conectar, el nodo 3 tiene dos distancias
mínimas de 5 millas: con el nodo 1 y con el 4.
En este caso cualquiera de las dos opciones que decidamos genera una
árbol de expansión mínima factible.
Si se suman las millas totales que conectan todos los nodos, se obtienen
16 millas.
Ejercicio 1. Realice el mismo ejemplo anterior, pero iniciando en el
nodo 5, confirme que obtiene una distancia mínima de 16 millas.
De la iteración 3 notamos que la distancia mas corta del conjunto de
nodos conectados de forma permanente: 1, 2 y 5 es la del nodo 2 con el
nodo 4, con una distancia de 4 millas, por lo cual de la iteración 3 a la
4 realizamos la conexión entre dichos nodos, quedando solo dos nodos
por conectar: 3 y 6.
En la iteración 4 notamos que la distancia entre los nodos conectados
permanentemente y la de los nodos que aún faltan por conectar, el
nodo 4 tiene la mínima distancia, con 3 millas con el nodo 6, por lo
cual realizamos la conexión para la iteración 5.
Ejercicio 2. Realice el mismo ejemplo pero añadiendo las siguientes
condiciones por separado:
a) Los nodos 5 y 6 están unidos por un camino de 2 millas.
b) Los nodos 2 y 5 no pueden ser enlazados
c) Los nodos 2 y 6 ya tienen un camino de 4 millas
d) El nodo 2 no puede enlazarse con las localidades 3 y 5
Actividad 6.2. Árbol de expansión mínima. Realice los problemas de
la página siguiente y entréguelos en forma de PRÁCTICA DE
EJERCICIOS de acuerdo a las rúbricas indicadas en la siguiente liga:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
direcciones: [email protected]; [email protected];
[email protected] y [email protected]
Enviar en ASUNTO: Actividad 6.2. Árbol de expansión mínima
Basado en: Hamdy A Taha. Investigación de Operaciones. 7ta Edición PrenciceHall. 2004.
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6.3. Árbol de mínima expansión
Lista de problemas de árboles de expansión mínima de Hamdy A
Taha. Investigación de Operaciones. 7ta Edición PrenciceHall. 2004
Basado en: Hamdy A Taha. Investigación de Operaciones. 7ta Edición PrenciceHall. 2004.
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