Método de los Momentos - Universidad de Carabobo

Método de los Momentos
Prof. A. Zozaya, Dr.
1 Laboratorio
de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)
Departmento de Electrónica y Comunicaciones
Universidad de Carabobo
Valencia, dic/2009
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
Valencia, dic/2009
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Contenido
Introducción
Operadores integrales
Función de Green
Ecuaciones integrales
Método de los Momentos –MoM–
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Introducción
Introducción
2 Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U ,
y v , con v 2 V, siendo U y V sendos espacios
vectoriales de funciones, se define L : U ! V, tal
que:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Introducción
Introducción
2 Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U ,
y v , con v 2 V, siendo U y V sendos espacios
vectoriales de funciones, se define L : U ! V, tal
que:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.
2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Introducción
Introducción
2 Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U ,
y v , con v 2 V, siendo U y V sendos espacios
vectoriales de funciones, se define L : U ! V, tal
que:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.
2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.
2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente un
operador, en caso contrario, L se denomina mapeo.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Introducción
Introducción
2 Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U ,
y v , con v 2 V, siendo U y V sendos espacios
vectoriales de funciones, se define L : U ! V, tal
que:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.
2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.
2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente un
operador, en caso contrario, L se denomina mapeo.
2 En palabras llanas: L transforma u en v .
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
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Introducción
Introducción
2 Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U ,
y v , con v 2 V, siendo U y V sendos espacios
vectoriales de funciones, se define L : U ! V, tal
que:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.
2 U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.
2 Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente un
operador, en caso contrario, L se denomina mapeo.
2 En palabras llanas: L transforma u en v .
2Otros ejemplos:
»
rˆ
`(|!" + ff)
|
{z
L
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
|!—
rˆ
–„
}|
MoM
E
H
{z
u
„
«
=
}
|
`M i
Ji
{z
v
«
}
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Operadores integrales
Operadores integrales
2 Para nosotros especial atención merecen los operadores integrales.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Operadores integrales
Operadores integrales
2 Para nosotros especial atención merecen los operadores integrales.
2 Un operador integral tiene en general la forma
siguiente:
Z
v (r ) = L [u(r 0 )] =
V0
K (r ; r 0 ) u(r 0 ) d 0
| {z }
Kernel
2 Si el Kernel puede ser escrito en la forma: K (r ; r 0 ) = K (r ` r 0 ), entonces
el operador L se convierte en una integral de convolución:
Lu = K ˜ u
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
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Operadores integrales
Operadores integrales
2 Para nosotros especial atención merecen los operadores integrales.
2 Un operador integral tiene en general la forma
siguiente:
Z
v (r ) = L [u(r 0 )] =
V0
K (r ; r 0 ) u(r 0 ) d 0
| {z }
Kernel
2 Si el Kernel puede ser escrito en la forma: K (r ; r 0 ) = K (r ` r 0 ), entonces
el operador L se convierte en una integral de convolución:
Lu = K ˜ u
2 En electromagnetismo el Kernel es una función de Green:
K (r ; r 0 ) = G (r ; r 0 )
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
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Función de Green
Función de Green
2 La función de Green se puede interpretar como la respuesta impulsiva
del sistema descrito por el operador
inverso de L.
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Función de Green
Función de Green
2 La función de Green se puede interpretar como la respuesta impulsiva
del sistema descrito por el operador
inverso de L.
2 En electromagnetismo tal sistema
consiste en el medio en el que se
manifiestan los efectos (los campos)
de las fuentes, generalmente designadas por u(r 0 ).
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
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Función de Green
Función de Green
2 La función de Green se puede interpretar como la respuesta impulsiva
del sistema descrito por el operador
inverso de L.
2 En electromagnetismo tal sistema
consiste en el medio en el que se
manifiestan los efectos (los campos)
de las fuentes, generalmente designadas por u(r 0 ).
2 Las fuentes se manifiestan a través de los campos v (r ).
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
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Función de Green
Función de Green
2 La función de Green se puede interpretar como la respuesta impulsiva
del sistema descrito por el operador
inverso de L.
2 En electromagnetismo tal sistema
consiste en el medio en el que se
manifiestan los efectos (los campos)
de las fuentes, generalmente designadas por u(r 0 ).
2 Las fuentes se manifiestan a través de los campos v (r ).
2 La apariencia matemática de la función de Green depende en general,
de los postulados que describen la relación entre las fuentes u(r 0 ) y los
campos v (r ), y de la geometría tanto de la distribución de fuentes como
de los medios que participan y de la constitución de éstos.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
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Ecuaciones integrales
Ecuaciones integrales
2 Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera
[Tri57]:
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
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Ecuaciones integrales
Ecuaciones integrales
2 Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera
[Tri57]:
Fredholm del primer tipo:
Lu = v
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
(1)
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Ecuaciones integrales
Ecuaciones integrales
2 Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera
[Tri57]:
Fredholm del primer tipo:
Lu = v
(1)
Fredholm del segundo tipo:
Lu + u = v
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Ecuaciones integrales
Ecuaciones integrales
2 Las ecuaciones integrales se pueden clasificar de la siguiente manera
[Tri57]:
Fredholm del primer tipo:
Lu = v
(1)
Fredholm del segundo tipo:
Lu + u = v
2 En electromagnetismo nos encontraremos con ambas: con la ecuación
integral del campo eléctrico –EFIE–, la cual es del primer tipo, y
la ecuación integral del campo magnético –MFIE–, la cual es del
segundo tipo.
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
La solución numérica de la Ecuación (1) –que
significa calcular o estimar la función u– se
puede obtener [Har68]:
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
La solución numérica de la Ecuación (1) –que
significa calcular o estimar la función u– se
puede obtener [Har68]:
2 Dada una base vectorial de funciones completa ffn g del espacio vectorial U , proyectamos
la función u sobre dicha base vectorial de funciones:
u =
P
n
¸n fn
donde los coeficientes f¸n g son, precisamente,
las coordenadas de u respecto de ffn g.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
La solución numérica de la Ecuación (1) –que
significa calcular o estimar la función u– se
puede obtener [Har68]:
2 Dada una base vectorial de funciones completa ffn g del espacio vectorial U , proyectamos
la función u sobre dicha base vectorial de funciones:
u =
P
n
¸n fn
donde los coeficientes f¸n g son, precisamente,
las coordenadas de u respecto de ffn g.
2 Como el conjunto ffn g contiene, en general, infinitos elementos, aproximamos la función u en la ecuación anterior tomando solo N elementos
de ffn g –primera aproximación–:
u =
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
PN
n=1
MoM
¸n fn
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Se dice que u ha sido expandida en una suma
ponderada de funciones bases fn .
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Se dice que u ha sido expandida en una suma
ponderada de funciones bases fn .
2 Definimos un conjunto de funciones de peso
fwm g, con m = 1; 2; : : : ; N.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Se dice que u ha sido expandida en una suma
ponderada de funciones bases fn .
2 Definimos un conjunto de funciones de peso
fwm g, con m = 1; 2; : : : ; N.
2 Tales funciones podrían constituir, o no
[Sar85], una base vectorial de funciones del subespacio V.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Se dice que u ha sido expandida en una suma
ponderada de funciones bases fn .
2 Definimos un conjunto de funciones de peso
fwm g, con m = 1; 2; : : : ; N.
2 Tales funciones podrían constituir, o no
[Sar85], una base vectorial de funciones del subespacio V.
2 Realizando N productos internos: ha; bi =
RT
ab˜ dt (segunda aproximación):
0
hwm ; Lui = hwm ; v i
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
m = 1; 2; : : : N
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Se dice que u ha sido expandida en una suma
ponderada de funciones bases fn .
2 Definimos un conjunto de funciones de peso
fwm g, con m = 1; 2; : : : ; N.
2 Tales funciones podrían constituir, o no
[Sar85], una base vectorial de funciones del subespacio V.
2 Realizando N productos internos: ha; bi =
RT
ab˜ dt (segunda aproximación):
0
hwm ; Lui = hwm ; v i
2 Intercambiamos los operadores L $
hwm ; L
hwm ;
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
PN
n=1
P
:
¸n fn i = hwm ; v i
m = 1; 2; : : : N
¸n Lfn i = hwm ; v i
m = 1; 2; : : : N
n=1
PN
m = 1; 2; : : : N
MoM
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Intercambiamos los operadores h
N
X
i$
¸n hwm ; Lfn i = hwm ; v i
P
:
m = 1; 2; : : : N
(2)
n=1
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Intercambiamos los operadores h
N
X
i$
¸n hwm ; Lfn i = hwm ; v i
P
:
m = 1; 2; : : : N
(2)
n=1
2 Expandimos la Ecuación (2) en la forma:
¸1 hw1 ; Lf1 i + ¸2 hw1 ; Lf2 i + ´ ´ ´ + ¸N hw1 ; LfN i
¸1 hw2 ; Lf1 i + ¸2 hw2 ; Lf2 i + ´ ´ ´ + ¸N hw2 ; LfN i
..
.
¸1 hwN ; Lf1 i + ¸2 hwN ; Lf2 i + ´ ´ ´ + ¸N hwN ; LfN i
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
= hw1 ; v i
= hw2 ; v i
.
= ..
= hwN ; v i
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
hw1 ; Lf1 i
B hw2 ; Lf1 i
B
B
..
@
.
hwN ; Lf1 i
0
hw1 ; Lf2 i
hw2 ; Lf2 i
..
.
hwN ; Lf2 i
´´´
´´´
..
.
´´´
10 1 0
1
hw1 ; LfN i
¸1
hw1 ; v i
B C B
C
hw2 ; LfN i C
C B ¸2 C B hw2 ; v i C
CB . C = B
C
..
.
..
A @ .. A @
A
.
hwN ; LfN i
¸N
hwN ; v i
(4)
En forma compacta:
[Z ][¸] = [V ]
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
hw1 ; Lf1 i
B hw2 ; Lf1 i
B
B
..
@
.
hwN ; Lf1 i
0
hw1 ; Lf2 i
hw2 ; Lf2 i
..
.
hwN ; Lf2 i
´´´
´´´
..
.
´´´
10 1 0
1
hw1 ; LfN i
¸1
hw1 ; v i
B C B
C
hw2 ; LfN i C
C B ¸2 C B hw2 ; v i C
CB . C = B
C
..
.
..
A @ .. A @
A
.
hwN ; LfN i
¸N
hwN ; v i
(4)
En forma compacta:
[Z ][¸] = [V ]
donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientemente
denominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm ; Lfn i,
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
hw1 ; Lf1 i
B hw2 ; Lf1 i
B
B
..
@
.
hwN ; Lf1 i
0
hw1 ; Lf2 i
hw2 ; Lf2 i
..
.
hwN ; Lf2 i
´´´
´´´
..
.
´´´
10 1 0
1
hw1 ; LfN i
¸1
hw1 ; v i
B C B
C
hw2 ; LfN i C
C B ¸2 C B hw2 ; v i C
CB . C = B
C
..
.
..
A @ .. A @
A
.
hwN ; LfN i
¸N
hwN ; v i
(4)
En forma compacta:
[Z ][¸] = [V ]
donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientemente
denominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm ; Lfn i,
2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n , y
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
hw1 ; Lf1 i
B hw2 ; Lf1 i
B
B
..
@
.
hwN ; Lf1 i
0
hw1 ; Lf2 i
hw2 ; Lf2 i
..
.
hwN ; Lf2 i
´´´
´´´
..
.
´´´
10 1 0
1
hw1 ; LfN i
¸1
hw1 ; v i
B C B
C
hw2 ; LfN i C
C B ¸2 C B hw2 ; v i C
CB . C = B
C
..
.
..
A @ .. A @
A
.
hwN ; LfN i
¸N
hwN ; v i
(4)
En forma compacta:
[Z ][¸] = [V ]
donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientemente
denominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm ; Lfn i,
2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n , y
2 V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), con
Vm = hwm ; v i.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
MoM
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Método de los Momentos –MoM–
Método de los Momentos –MoM–
2 Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
hw1 ; Lf1 i
B hw2 ; Lf1 i
B
B
..
@
.
hwN ; Lf1 i
0
hw1 ; Lf2 i
hw2 ; Lf2 i
..
.
hwN ; Lf2 i
´´´
´´´
..
.
´´´
10 1 0
1
hw1 ; LfN i
¸1
hw1 ; v i
B C B
C
hw2 ; LfN i C
C B ¸2 C B hw2 ; v i C
CB . C = B
C
..
.
..
A @ .. A @
A
.
hwN ; LfN i
¸N
hwN ; v i
(4)
En forma compacta:
[Z ][¸] = [V ]
donde 2 Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientemente
denominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm ; Lfn i,
2 ¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n , y
2 V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), con
Vm = hwm ; v i.
2 Y el vector de incógnitas se puede despejar como:
[¸] = [Z ]`1 [V ]
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MoM
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Método de los Momentos –MoM–
Referencias I
R. F. Harrington.
Field Computation by Moment Methods.
MacMillan, U.S.A., New York, 1968.
T. K. Sarkar.
A note on the choice weighting functions in the method of moments.
Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, 33(4):436–441,
April 1985.
F. G. Tricomi.
Integral Equations.
Interscience Publishers, Inc., 1957.
a.z. @ ‘abema (LaBeMa)
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