ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos II
Examen 25—6—07
Las ecuaciones que determinan el movimiento de un chorro líquido bidimensional, como el
indicado en la figura, son
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
∂ (uu) ∂ (uv)
∂ 2u
+
= ν 2.
∂x
∂y
∂y
Se pide mostrar que
Z
∞
u2 dy = I = constante.
0
A distancias x lo suficientemente grandes (chorro lejano, x À UH 2 /ν), la solución se hace
independiente de los detalles de la región donde se inicia el chorro (no depende de U y H por
separado), dependiendo solo de la combinación dada por la integral I (= U 2 H/2).
Para este chorro lejano se pide determinar, utilizando el análisis dimensional y a falta de
constantes adimensionales, la variación con x y con los demás parámetros que intervienen en
el problema, de la velocidad en el centro del chorro um (x) = u (x, 0), y del gasto volumétrico
R∞
q (x) = 2 0 udy.
SOLUCIÓN
De la ecuación de cantidad de movimiento, multiplicada por dy e integrada entre 0 e ∞ se
obtiene
Z ∞
Z ∞
Z ∞
∂u
d
2
u dy +
d(uv) =
d(ν ),
dx 0
∂y
0
0
y dado que u → 0 en y → ∞; v = 0 y ∂u/∂y = 0 en y = 0, la ecuación anterior se reduce a
Z ∞
Z ∞
d
2
u dy = 0;
u2 dy = I = constante.
dx 0
0
Las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento se pueden escribir independientes de
√
√
ν si se utilizan las variables y/ ν y v/ ν. En efecto, se tiene
√
∂u ∂ (v/ ν)
√ = 0,
+
∂x ∂ (y/ ν)
√
∂ 2u
∂ (uu) ∂ [u (v/ ν)]
√
=
+
√ 2,
∂x
∂ (y/ ν)
∂ (y/ ν)
mientras que las condiciones de contorno quedan
Z ∞
¡ √ ¢
√
u2 d y/ ν = I/ ν,
0
√
√
√
en y/ ν → ∞ es u = 0 y en y/ ν = 0 es v/ ν = 0 y
∂u
√ = 0.
∂ (y/ ν)
Por lo tanto, la solución será de la forma
µ
µ
¶
¶
y
y
I
v
I
u = f1 x, √ , √
; √ = f2 x, √ , √
,
ν
ν
ν
ν
ν
y utilizando el análisis dimensional se tiene
#
"
u (νx)1/3
yI 1/3
= Φ (η) ,
=Φ
I 2/3
(νx)2/3
de modo que en el centro del chorro se tiene
µ
I2
um = Φ (0)
νx
¶1/3
,
donde Φ (0) es una constante adimensional a determinar resolviendo el problema planteado (la
solución proporciona Φ (0) = 0.4543).
Para determinar el gasto volumétrico se tiene
Z
Z ∞
1/3
udy = 2 (Iνx)
q=2
R∞
0
∞
Φ (η) dη = K (Iνx)1/3 ,
0
donde K = 2 0 Φ (η) dη es una constante adimensional que se obtiene de la solución del
problema (K = 62/3 = 3.302).