solución progresiones geométricas 24

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Problema 24:
La suma de tres números en progresión geométrica es 70. Si el
primero se multiplica por 4, el segundo por 5 y el tercero por 4, los
números resultantes están en progresión aritmética. Hallar los tres
números.
Solución Problema 24:
Sea a1, a2 y a3 los tres números de la progresión geométrica, luego:
.
. r
Sea b1, b2 y b3 los tres números de la progresión aritmética, luego:
2 ó 1
ó 2
Están relacionados de la siguiente manera:
El primero se multiplica por 4, el segundo por 5 y el tercero por 4
4
5
5
.
4
4
. r
ó 3
ó 4
Como sabemos que
4
Sustituimos el valor de b1en las ecuaciones 1 y 2:
4
2
4
ó 5
2 ó 6
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: Problema 24
Página1
Igualamos las ecuaciones 3 y 5:
5
.
ó 3
ó 5
Resultando
.
5
4
ó 7
Igualamos las ecuaciones 4 y 6:
4
.
ó 4
2
ó 6
Resultando
4
. r
4
2 ó 8
A continuación despejamos d en las ecuaciones 7 y 8:
Resultando
5
4
.
4 . r
4
ó 9
2
ó 10
Igualamos en d las ecuaciones 9 y10:
5
.
4
4
. r
4
2
2
. r
2
Operando,
5
.
4
2
. r
2
Sacamos factor común a1 en los dos miembros de la igualdad
5
4
2r
2
Simplificamos a1 en los dos miembros de la igualdad
5
4
2r
2
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: Problema 24
Página2
2r
5
2
4
2r
5
2
0
r
5
16
√25
4
5
3
4
5
0
5
√9
4
5
4
8
4
ó á
2
4
1
2
ó á
3
4
3
Para r1= 2
A continuación aplicamos la fórmula de suma geométrica de un
número de términos finitos
.
1
En este caso
70
.
1
Sustituimos el valor a3 en función de a1
70
70
7
.
1
. r
1
. 2
2
1
8
.
7
70
. r
70
7
10
Luego los números son:
.
. r
10.2
10. 2
10.4
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: Problema 24
Página3
Para r2= 1/2
A continuación aplicamos la fórmula de suma geométrica de un
número de términos finitos
.
1
En este caso
70
.
1
Sustituimos el valor a3 en función de a1
70
70
7
8
1
2
.
1
. r
1
7
8
1
2
2.7
8
.
1
2
1
1
2
14
8
8
1
2
2
8
8
1
2
14 8
70
14
. r
560
560
14
40
Luego los números son:
.
. r
40.
1
2
40.
1
2
10.
1
4
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: Problema 24
Página4