Solución de Examen Final F´ısica I

Solución de Examen Final
Fı́sica I
Temario A
Departamento de Fı́sica
Escuela de Ciencias
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de San Carlos de Guatemala
28 de mayo de 2013
Un disco estacionario se encuentra acoplado a un motor que hace que gire con
velocidad angular constante de 10 rad/s. Se desconecta el motor y el disco se
frena por el torque de fricción en el eje alcanzando el reposo después de rotar
10.0 radianes. La inercia del disco es de 5.00 kg m2 .
Pregunta 1
La desaceleración angular constante del disco en rad/s2 es:
Se conoce θ = 10 rad, ω0 = 10 rad/s y ωf = 0 rad/s. Entonces la aceleración
angular α se puede calcular con la siguiente ecuación:
ωf2 − ω02 = 2 α θ
(1)
Despejando α:
−ω02
2θ
e) α = 5.00 rad/s
α=
Pregunta 2
El trabajo en J que hace el torque de fricción es el eje para frenar completamente el disco es:
W = τθ
1
(2)
Sustituyendo τ = Iα:
W = Iαθ
Evaluando el resultado anterior y I = 5.00 kg/m2 :
b) W = −250 J
Pregunta 3
La magnitud del torque de fricción en el eje en N m es:
τ =Iα
(3)
a) τ = 25 N m
Una esfera sólida de 20.0 kg y de radio 0.500 m rueda sin resbalar a lo largo
de una lı́nea recta en un plano horizontal con una rapidez de traslación de 10.0
m/s.
Pregunta 4
La magnitud de la cantidad de movimiento angular con relación al eje de
rotación que pasa por el centro instantáneode rotación perpendicular al plano
de traslación en kg m2 /s es:
El eje de rotación instantáneo es aquel que pasa por el punto de contacto con
la superficie. El momento angular se calcula por medio de:
L = Iω
(4)
donde I es el momento de inercia respecto al eje instantáneo. Por el teorema
de ejes paralelos y considerando el momento de inercia de una esfera respecto a
su centro de masa como I0 = 2/5mr2 .
I = I0 + md2 =
2 2
7
mr + mr2 = mr2
5
5
donde r es el radio de la esfera. Como la esfera rueda sin resbalar, entonces
cumple v = ωr, entonces L es:
L=
7 2 v 7
mr
= mrv
5
r
5
c) L = 140 kg m2 /s
2
Pregunta 5
La esfera sólida sube un plano inclinado rotando sin resbalar y llega a otra
porción horizontal, si la pérdida de la cantidad de movimiento angular es 28
kg m2 /s, con respecto al eje de rotación que pasa por el centro instantáneo de
rotación perpendicular al plano de traslación, la nueva rapidez de traslación en
m/s es:
Se sabe que ∆L = −28 kg m/s2 y
∆L = Lf − L0
De lo cual
Lf = L0 + ∆L = 112 kg m2 /s
Y L es
rL
vf
−→ vf =
r
I
d) vf = 8.00 m/s
Lf = I
Un bloque metálico cúbico de 0.200 m de lado y densidad 3400 kg/m3 se encuentra dentro de un tanque lleno de agua completamente sumergido, una cuerda
sujeta a la tapadera evita que se hunda (g = 9.8 m/s2 )
Pregunta 6
La tensión de la cuerda en N que evita que se hunda es: (Densidad del agua =
1000 kg/m3 )
La suma de fuerzas sobre el bloque en equilibrio es:
T + Fe − mg = 0
donde T es la tensión y Fe la fuerza de empuje. Despejando para T y usando
el principio de Arqúimides que enuncia que Fe = ρa V g:
T = mg − Fe = ρ0 V g − ρa V g
donde ρo = 3400 kg/m3 .
c) T = 188.2 N
Pregunta 7
Se rompe la cuerda, la aceleración con que se hunde en m/s2 antes de llegar al
fonde es:
3
Usando la segunda ley de Newton y las fuerzas que actúan sobre el bloque:
mg − Fe = ma
Sustituyendo para Fe según el principo de Arquı́mides y m = ρo V
ρo V g − ρa V g = ρo V a
Despejando la aceleración
a=
ρo − ρa
g
ρo
d) a = 6.92 m/s2
Pregunta 8
Suponga que el tanque se llena de mercurio y el bloque flota en equilibrio con
su cara superior horizontal, la altura en m sobre el mercurio que tendrı́a la cara
superior del bloque metálico es:
Ahora el bloque está en equilibrio con cierta fracción del volumen sumergido.
Las fuerzas en equilibrio son:
Fe − mg = 0
Sustituyendo Fe con un volumen del fluido desalojado como Vs = A(l − d),
donde l es el lado del cubo y d la distancia sobre la superficie de mercurio:
ρm Vs g − ρo V g = 0
ρm A(l − d) − ρo Al = 0
La sección transversal A se cancela, ya que es común a ambos volúmenes. Despejando d se obtiene:
ρm − ρo
d=
l
ρm
b) d = 0.150 m
Pregunta 9
Un tubo en U con sección uniforme se encuentra inicialmente con agua en sus
2 lados, cuidadosamente se le agrega aceite a una de sus ramas hasta que la
diferencia de alturas entre la parte superior del lado donde se vierte el aceite y
la parte superior del lado que tiene agua es de 0.200 cm. La altura en cm que
se vertió de aceite es: (Densidad del aceite = 800 kg/m3 )
4
Las presiones debidas a ambas columnas son iguales:
Pa = Pw
ρa gha = ρw ghw
donde a denota el aceite y w al agua. La altura de aceite debe ser mayor ya que
es un lı́quido menos denso. Se conoce que ha − hw = 0.2cm. Se puede escribir
ρa (ha − hw ) + ρa hw = ρw hw
Despejando hw , se obtiene hw = 0.8 cm. Sumando la diferencia, el resultado es
a) ha = 1 cm
Pregunta 10
Una prensa hidraúlica está formada por un depósito lleno de aceite a presión y
dos émbolos movibles, el pequeño tiene un área de 10 cm2 y el mayor un área
de 125 cm2 . Si no hay fuga de aceite, la fuerza en N sobre el émbolo mayor
cuando se ejerce una fuerza de 800 N sobre el émbolo pequeño es:
Las presione en ambos émbolos debe ser iguales, ya que el sistema está aislado.
P1 = P2
Donde 1 denota el émbolo pequeño y 2 el émbolo grande, de la definición de
presión:
F1
F2
A2
=
−→ F2 =
F1
A1
A2
A1
e) F2 = 10 000 N
Una tuberı́a que transporta agua se emplea para llenar una depósito. El caudal
que pasa por la tuberı́a es uniforme y tarda 8.00 horas en llenar un depósito de
115.2m3 . El area de la tuberı́a en la descarga al depósito es de 10cm2 , encontrar:
Pregunta 11
El caudal que transporta la tuberı́a en l/s es:
Para resolver este problema solo es necesario conocer la tasa a la cual el volumen
cambia.
5
Se tiene que un deposito de 115.2m3 se llena en 8h, dado que el caudal es constante entonces se tiene que la razón entre el volumen y el tiempo en que se
llena el tanque nos da el caudal.
C = V /t
(5)
d) C = 4L/s
Pregunta 12
La rapidez en m/s en una porción de la tuberı́a que tiene una sección de 20.0cm2
es
Dado que el caudal es constante, se tiene que el caudal se puede representar
de esta manera:
C = vA
(6)
donde A es el area transversal de la tuberı́a y v es la rapidez del agua.
b) v = 2m/s
Pregunta 13
La presión manométrica en Pa en un tramo de tuberı́a que tiene una sección de
20.0cm2 que se encuentra a la misma altura que la descarga al depósito es:
Para este caso se busca la velocidad del fluido en el area de descarga con la
ecuación de continuidad en los fluidos:
A1 v 1 = A2 v 2
(7)
Dado que estan a la misma altura, utilizando el principio de Bernoulli:
P1 + 1/2ρv 2 + ρgy1 = P2 + 1/2ρv22 + ρgy2
(8)
De modo que se tiene que:
Pman = 1/2ρ(v22 − v12 )
a) Pman = 6000P a
Un depósito metálico grande contiene agua, la válvula de descarga tiene un área
de 20.0 cm2 .Las alturas con respecto al nivel del suelo son de 40.000m para el
nivel superior del agua, 19.592m para la posición de la válvula de salida y de
18.000m para el fondo del tanque . La válvula descarga el agua a la atmósfera.
Considerar que la presión atmosférica es 100000Pa.
6
Pregunta 14
Si el tanque metálico es un depósito abierto y se abre la válvula completamente,
el caudal en l/s que sale del tanque es:
Utilizando el principio de Bernoulli(ec. 8). Pero dado que el tanque esta abierto
P1 = P2 de igual modo si despreciamos la rapidez a la cual se mueve el agua en
el tanque v = 0 se tiene:
2
ρgy
p1 = 1/2ρv2 + ρgy2
2g(y1 − y2 ) = v2
Sustituyendo valores se obtiene:
e) C = 40L/s
Pregunta 15
Si el tanque es un depósito cerrado con una presión manométrica interior de
2.5atm, la rapidez de descarga en la válvula en m/s es:
De la misma manera que se hizo anteriormente
P0 + Pman 1/2ρv 2 + ρgy1 = P0 + 1/2ρv22 + ρgy2
Pman + ρgy1 = 1/2ρv22 + ρgy2
Donde P0 es la presión atmosférica, que es común a ambos puntos y Pman es la
presión manométrica.
p
2Pman /ρ + 2g(y1 − y2 ) = v2
(9)
La presión manométrica se debe pasar a Pascales Pman = 2.5 × 101325 P a
sustituyendo valores
c) v2 = 30.0m/s
La ecuacion de una onda cosenoidal en una cuerda esta dada por y(x, t) =
0.05cos(16πx − 160πt + π) m, donde x esta en metros y t en segundos.
Pregunta 16
De la ecuacion de la onda podemos obtener directamente w=160πs−1 y k=16πm−1 .
Ahora tenemos la siguiente ecuacion
V =
w
k
c) V = 10
7
m
s
(10)
Pregunta 17
La rapidez transversal máxima para un punto situado en x=0.35. De la ecuacion
de la onda A=0.05 m. La velocidad transversal máxima para cualquier punto
de la cuerda es
vmax = Aw
m
d) vmax = 8π
(11)
s
La gráfica muestra una onda a lo largo de una cuerda al t=0. La onda es
cosenoidal con una rápidez transversal máxima para cualquier punto en la
cuerda de 20πm/s. La ecuación de la cuerda es
y(x, t) = Acos(Kx − wt + φ)
(12)
De la grafica y los datos del problema es facil ver que
A = 20 cm = 0.2 m
φ=0
2π
= 5π m−1
λ
2π
vmax
= 100π s−1 =⇒ T =
= 0.02s
vmax = A ∗ w =⇒ w =
A
w
λ
m
Vpropagacion =
= 20
T
s
Entonces al sustituir en la ecuación (1)
λ = 40 cm = 0.4 m =⇒ k =
y(x, t) = 0.20cos(5πx − 100πt)
(13)
(14)
Pregunta 18
La tension a la que se somete la cuerda es de 40 N, la densidad µ de masa de la
cuerda es?
Tenemos la siguiente ecuacion
s
T
T
kg
Vpropagacion =
=⇒ µ = 2
= 0.1
µ
Vpropagacion
m
b) µ = 0.1
kg
m
(15)
Pregunta 19
Determine la constante de fase. Es claro que para t=0 la gráfica muestra un
coseno no desplazado. Entonces la respuesta es
a) φ = 0
8
Pregunta 20
Determine la magnitud de la maxima aceleracion transversar de un punto situado en x=0. La aceleración transversal máxima de un punto de la cuerda sin
importar su coordenada esta dado por
amax = A ∗ w2
e) amax = 2000π
9
(16)
m
s2
(17)