De las pendientes, interpolaciones y ordenadas al origen

FUNDAMENTOS REPORTE DE RESULTADOS. INTRODUCCION A LA METROLOGIA 2.0 / M1 / FISICA
De las pendientes, interpolaciones y ordenadas al origen
Un sin número de veces conviene presentar los resultados experimentales en un gráfico cartesiano, ya
que este modo resulta más “práctico” o “amigable” para interpretar cómo una variable “Y” varía ante
cambios que nosotros propongamos a la variable “X”. En los casos en que las variables X e Y guarden
entre sí una relación lineal, el ajuste de una línea de tendencia permitirá tanto realizar interpolaciones
(por ejemplo en el TP de tensión superficial) como también obtener los valores de la pendiente y
ordenada el origen, los cuales pueden tener un significado físico relevante (como en los TP de
electricidad, espectrofotometría, polarimetría y electroforesis).
Ya sabemos hallar en forma analítica los valores de pendiente y ordenada al origen empleando el
programa Excel, pero podemos emplear otra de sus tantas “funciones” o “herramientas” para calcular
además los errores estándar de la pendiente y de la ordenada al origen, como así también el error que
se comete al interpolar un valor “Y” a partir de un valor “X” propuesto; la herramienta a emplear es la
llamada “ESTIMACIÓN LINEAL” y es parte de la bibliografía del módulo 1.
Repasemos como emplearla y sacar provecho de algunos resultados que nos brinda:
1) En principio dispongamos en 2 columnas los valores de X e Y del mismo modo en que usualmente se
hace para realizar gráficos en el Excel.
2) A continuación, y en otra región de la planilla seleccionemos (“pintaremos”) una matriz de 2x3 celdas
(2 celdas horizontales x 3 verticales) (en rigor es de más celdas si se desean además otros valores
estadísticos que ahora no emplearemos).
3) Teniendo “pintadas” las celdas cliqueamos “Insertar” en la parte superior de la barra de
herramientas, y de la ventana desplegada seleccionamos “función”. En el cuadro de diálogo que aparece
seleccionar la categoría “estadísticas” (o bien “Todas”) para luego buscar en la ventana inferior a la
función “ESTIMACION LINEAL”, cliquear sobre ella para seleccionarla y luego ACEPTAR el la parte inferior
derecha del cuadro de diálogo, con lo cual se abrirá un nuevo cuadro de diálogo titulado “argumentos
de la función”.
4) De manera análoga con que se seleccionan o “pintan” los valores de X y de Y para realizar los gráficos,
se llenan tanto el campo llamado “Conocido_y” como el llamado “Conocido_x”.
5) En los campos llamados “Constante” y “Estadística” escribir la palabra “verdadero”, y hecho esto no
tentarse en cliquear el “Aceptar” (de hacerlo se cierra el cuadro sin lograrse todo lo deseado).
6) Pulsar (control + shift + enter) con lo cual el cuadro “argumentos de función” se cierra y los resultados
de la estimación lineal se encuentran volcados en la matriz que pintamos en el paso (2).
Interpretemos los resultados:
La columna de la izquierda nos presenta, en orden descendente a la pendiente, el error estándar de la
pendiente, y el R2.
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La columna de la derecha nos presenta, también en orden
m
b
ESm
ESb
descendiente: La ordenada al origen, el error estándar de la ordenada
al origen, y el “error típico” de interpolación.
Ahora estamos en condiciones no sólo de conocer los valores de “m” y
R
2
Error típico.
de “b” sino que también conocemos sus errores estándares.
Por otra parte, el “error típico de interpolación” nos indica el valor del error con que interpolamos un
resultado “y” a partir de un valor “x” propuesto.
Si deseáramos interpolar “al revés” para obtener un valor de “x” (con su error típico) a partir de un valor
propuesto “y”, podríamos tentarnos en repetir la estimación lineal intercambiando los valores de
“Conocido_x” por los de “Conocido_y”, (o sea, graficar “al revés”) sin embargo esto NO es correcto ya
que la estimación lineal (o regresión lineal o método de “cuadrados mínimos”), presupone una situación
en la cual:
a) Los valores de las abcisas (x) no tienen error.
b) Los valores de las ordenadas (y) tienen todos una misma varianza.
Estas condiciones no se cumplen graficando “al revés”, en donde las “y” serían sin error y las “x” todas
con una misma varianza.--Recordar que en el método de “cuadrados mínimos” lo que se minimiza es la
distancia “vertical” (en la dirección del eje y) entre los puntos experimentales y la recta ajustada.-Una propuesta para interpolar una X (y estimar su error) a partir de un valor Y podría ser:
a) Hallar el valor de X para un Y dado empleando la ecuación de la recta ajustada.
b) Estimar el error del X calculado mediante propagación de error, aplicada a la ecuación de la recta (la
estimación nos brinda los errores estándar de la pendiente y de la ordenada al origen, y además
conocemos la aproximación con que se ha medido la Y).
Una aplicación de lo recién desarrollado será llevada a cabo en el TP de polarimetría, en el cual los
alumnos calcularán el valor de la constante física “poder rotatorio específico” a partir de la pendiente de
un gráfico de ángulo de rotación en función de la concentración de soluciones acuosas de sacarosa.
Una manera (avalada por los profesores de bioestadística) de estimar el error del poder rotatorio
específico así calculado puede ser:
     l  c
 
 
y
m l


m
l
m    l     m
l
propagando...
En donde l será el error con que se mide la longitud del tubo del
polarímetro, y m será representado por el valor del error estándar de
la pendiente, fruto de la aplicación de la función “ESTIMACIÓN LINEAL” a
los datos experimentales.
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