Nuevos métodos de valoración

Nuevos métodos de
valoración
Modelos multicriterio
5
8
7
6
3
0
2249122713919415
9 1245
651202339 48
3420
239
7127815 343144 52
98 114
439 189
632
632
249
82
82 524324 249
872
873
873
763
873
742
742 725
763
515
439
Autores
Jerónimo Aznar Bellver
Francisco Guijarro Martínez
283
283
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
ii
ÍNDICE
Prefacio ................................................................................................................vii
Capítulo 1. Introducción a la Valoración................................................................ 9
1.1 Importancia de la valoración ........................................................................ 9
1.2 La metodología en Valoración ................................................................... 15
Capítulo 2. Decisión Multicriterio......................................................................... 21
2.2 Decisión multicriterio.................................................................................. 21
2.3 Variables explicativas inversas .................................................................. 24
2.4 Variables explicativas cualitativas ............................................................. 26
2.5 Normalización de los valores ..................................................................... 27
2.6 Funciones de distancia. Distancia L1 o distancia de Manhattan................ 37
2.7 Índice de adecuación................................................................................. 42
2.8 Nomenclatura ........................................................................................... 42
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables .............................................. 45
3.1 Introducción ............................................................................................... 45
3.2 Método de Diakoulaki ................................................................................ 46
3.3 Método de la Entropía .............................................................................. 47
3.4 Método de la Ordenación simple ............................................................... 47
3.5 Métodos de la Entropía y Diakoulaki aplicados a la Valoración ................ 48
3.6 Método de la Ordenación simple aplicado a la Valoración ....................... 49
3.7 Ejemplo de aplicación a la Valoración agraria de los métodos de Diakoulaki
y Entropía.................................................................................................................. 50
3.7.1 Ponderación de las variables por el método de la entropía. ............... 51
3.7.2 Ponderación de las variables por el método de Diakoulaki................. 53
3.8. Ejemplo de aplicación del método de la Ordenación simple .................... 54
Capítulo 4. Métodos de Valoración multicriterio con información cuantitativa (I).
Modelo de la Suma ponderada..................................................................................... 61
4.1 Introducción ............................................................................................... 61
4.2. Método de la Suma Ponderada ................................................................ 61
4.3. Método de la suma ponderada aplicado a la valoración........................... 62
4.4 Ejemplo de aplicación del método de la Suma ponderada........................ 63
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información cuantitativa (II).
Programación por metas. ............................................................................................. 69
5.1 Introducción ............................................................................................... 69
5.2 Programación por metas (Goal programming, GP) ................................... 69
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
iii
5.2.1 Programación por metas ponderadas (Weighted Goal Programming,
WGP)..................................................................................................................... 70
5.2.2 Programación por metas MINMAX o Programación por metas
Chebyshev (Minmax GP) ...................................................................................... 70
5.2.3 Programación por metas extendido ................................................... 70
5.3 Programación por metas ponderada (Weighted Goal
Programming,
WGP) en su aplicación a la valoración ..................................................................... 71
5.4 Programación por metas MÍNMAX o Programación por metas Chebysheb
(Gp minmax) aplicado a la valoración....................................................................... 73
5.5 Programación por metas extendido ........................................................... 74
5.6 Ejemplos de aplicación de GP a la valoración........................................... 75
5.6.1 GP ponderada ..................................................................................... 75
5.6.2 GP MINMAX........................................................................................ 76
5.7 Resumen de los valores obtenidos............................................................ 77
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I). Proceso
Analítico Jerárquico. ..................................................................................................... 81
6.1 Introducción ............................................................................................... 81
6.2 Proceso Analítico Jerárquico (Analytic Hierarchy Process, AHP) ............. 81
6.3 Utilización de AHP en Valoración .............................................................. 87
6.4 Ejemplo 1. Valoración de un inmueble agrario .......................................... 89
6.5 Ejemplo 2. Valoración de un inmueble urbano .......................................... 92
6.6 Ejemplo 3. Valoración de un inmueble urbano .......................................... 95
Anexo I .............................................................................................................. 111
Ejemplo 1. Valoración de un activo agrario ................................................... 111
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El Proceso
Analítico Jerárquico agregado .................................................................................... 129
7.1 Introducción ............................................................................................. 129
7.2 Agregación de preferencias ..................................................................... 129
7.3 Encuesta.................................................................................................. 132
7.4 Mejora de la consistencia de las matrices ............................................... 132
7.5 Ejemplo 1. Valoración de deportistas ...................................................... 133
7.6 Ejemplo 2. Valoración de un espacio medioambiental ........................... 148
Anexo. Encuesta para determinar la preferencia de los expertos ................. 156
1. Objetivo de la encuesta.......................................................................... 156
2. Justificación de la encuesta ................................................................... 157
3. Metodología propuesta .......................................................................... 157
4. Procedimiento ........................................................................................ 157
5. Encuesta ................................................................................................ 159
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos................................................ 163
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
iv
8.1 Introducción ............................................................................................. 163
8.2 Modelo multicriterio bietápico .................................................................. 163
8.3 Ejemplo 1. Aplicación del modelo bietápico a la valoración de un activo
agrario ..................................................................................................................... 164
8.4 Adecuación del modelo .......................................................................... 167
8.5 Ejemplo 2. Aplicación del modelo bietápico a la valoración de un inmueble
urbano ..................................................................................................................... 167
8.6 Adecuación del modelo .......................................................................... 172
8.7 Modelo trietápico multicriterio de valoración............................................ 172
8.8 Ejemplo de aplicación del modelo trietápico............................................ 173
Capítulo 9. Bibliografía ...................................................................................... 177
9.1 Valoración................................................................................................ 177
9.2 Decisión multicriterio................................................................................ 188
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
v
Prefacio
Prefacio
Todavía se cuenta que el loco entró aquel mismo día en
varias iglesias y entonó en ellas su Requiem aeternan deo. Una
vez conducido al exterior e interpelado contestó siempre esta
única frase: “¿Pues, qué son ahora ya estas iglesias, más que las
tumbas y panteones de Dios?”.
La Gaya Ciencia. Nietzsche, F.
Cuando entre dos sujetos se produce la transacción de determinado bien o
activo, determinada información suele ser recopilada por el valorador, más
concretamente el precio pactado y las características del bien objeto de acuerdo entre
las partes, con el fin de configurar una base de datos, más o menos extensa, a partir
de la cual inferir el precio por el que deberían producirse futuras transacciones de
bienes comparables. Esto es así para cualquiera de los métodos comparativos, cuya
principal diferencia no está en la metodología que aplican, que también, sino en el
número de datos (transacciones y características de los activos) que necesitan para
poder ser llevados a la práctica con garantías de éxito. Al aplicar cualquiera de estos
métodos, el valorador intenta explicar el precio del activo objeto de compra-venta en el
futuro, eliminando del proceso valorativo cualquier estigma de subjetividad que pudiera
poner en tela de juicio su actuación, cuando no sus propios intereses. Según esto, la
valoración sólo puede ser entendida como ciencia si es capaz de superar ese estado
inmaculado en que fue concebida más como un arte que como una ciencia, y donde
era el valorador quien dictaba el precio sin rendir cuentas de cuáles eran las bases, o
quizá creencia o sentimiento, sobre las que había formado su juicio. Esta fase tardó en
ser superada. No es de extrañar, pues difícilmente podrían concebirse métodos
cuantitativos en un campo donde poco o nada se había cuantificado, ni se vislumbraba
en el horizonte profesional y académico la posibilidad de cuantificar. Después de
desarrollar los métodos comparativos más sencillos, en donde el precio era función de
una única variable, y donde con pocos testigos se dirimía la valoración, pronto
aparecieron otros que se aprovecharon del cada vez mayor acceso a una más amplia
y detallada información. Y así se presentó el modelo de regresión, mal llamado
econométrico en el ámbito valorativo, que asumía una determinada distribución de los
datos y que necesitaba de una abundante información que, ahora sí, la tecnología
ponía en manos del valorador. Todo este camino se inició con un loable propósito, el
de eliminar cualquier grado de subjetividad en el proceso valorativo, y derivó en una no
anunciada consecuencia, que podría devenir hasta funesta: prescindir del valorador.
De ninguna otra forma podía ser considerada la valoración una ciencia sino era
despojándose de los vestigios que antes la vistieron como arte; algo subjetivo, sujeto a
diversas interpretaciones, y en el que diferentes precios podrían justificarse sin
aparente contradicción metódica. El nuevo paradigma, sin embargo, abogaba por un
precio único, aquél que se derivaba de un proceso matemático-estadístico, aséptico,
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
vii
Prefacio
sin que en él mediara ningún interés perturbador. Tal fue el empuje de esta
concepción positivista de la valoración como ciencia libre de todo sesgo y prejuicio,
que se terminó por cuestionar la propia figura del valorador. Si el precio se obtenía
objetivamente, si ninguna interpretación de los datos podía realizarse, si, al fin, el
precio debía ser un único precio, derivado a través de un frío proceso matemático,
¿para qué sería necesaria la figura del valorador? Si el juicio que ellos emitían ya no
se precisaba ni su influencia se consentía, si el precio final ya se advertía oculto entre
los datos, ¿qué más se necesitaba además de un ordenador y una mano lega que se
encargara de presionar sobre el botón correcto? Cualquiera puede, entonces, apretar
la bendita tecla y vocear el precio que las matemáticas encuentran confundido entre el
mar de datos. Da igual que un ingeniero valore una obra artística, que un artista valore
el trabajo de un ingeniero civil, ¡que cualquiera valore cualquier cosa! Si en el proceso
intervienen las matemáticas, y solo las matemáticas deducen, más que el arte colige,
el precio, ¿quién necesitará del juicio de un valorador? La figura del valorador debe ser
actualizada, ya que su juicio debe enriquecer y conformar el proceso valorativo que
hasta ahora restringen las matemáticas y la estadística. En el fondo, el propio precio
extraído de diferentes transacciones del mercado encierra siempre cierto grado de
subjetividad. Así, cuando dos sujetos reunidos acuerdan llevar a cabo la transacción
de determinado bien que a uno de ellos pertenece, el precio acordado es subjetivo,
pues les es propio a ellos dos únicamente. De ser otros los reunidos, el mismo activo
habría registrado, con toda seguridad, un precio distinto. Esta subjetividad la
apreciamos continuamente, incluso en los mercados más concurrentes y tenidos como
perfectos, como es del caso de la Bolsa. Cuando el propietario de una acción decida
venderla, y otro decide comprarla, se concierta un precio que, teóricamente, satisface
a ambas partes. Esto es, el que vende cree vender a un precio que le es beneficioso,
superior al que él estima como real o verdadero. El que compra, también cree comprar
a un buen precio, que estima inferior al real o verdadero. Aunque pueda parecer
contradictorio, es perfectamente posible que tanto comprador como vendedor estén en
posesión de la verdad al sentirse beneficiados por la transacción, puesto que cada uno
de ellos concederá al activo un precio verdadero distinto, subjetivo por tanto. Los
métodos tradicionales de valoración, más aún, los propios valoradotes, han dado la
espalda a esta cuestión fundamental, eliminando en el proceso de cuantificación del
precio todo aquél elemento que pudiera contener el más mínimo atisbo de
subjetividad, en pos de la aplicación del método científico, claro. En este libro se
presentan métodos de valoración que aúnan, por una parte, la exactitud y precisión
metodológica de las matemáticas y la estadística, y por otra la posibilidad de
incorporar herramientas que modelen (objetiven) el grado de subjetividad inherente al
propio proceso valorativo. Si no existiera la subjetividad en el propio precio, o en la
recopilación de las variables explicativas del mismo, ya no tendría sentido la figura del
valorador. Permitamos que éste juzgue, que su experiencia conforme un precio más
afinado, que no siempre ha de ser el más exacto ni preciso; apoyemos su labor con las
herramientas matemáticas adecuadas y, fruto de esa sinergia, actualicemos el
concepto de la valoración como ciencia y la del valorador como artista sensible y
experto científico.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
viii
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
1.1 IMPORTANCIA DE LA VALORACIÓN
. La valoración es tan antigua como la historia del hombre, ya en la Biblia
aparece una referencia a la valoración de varios activos: En el Levítico, versículo 271,
Rescate por los animales y las cosas, a raíz de explicar como puede un hombre
conmutar un voto realizado al Señor por un bien material, va definiendo el valor y
como determinarlo para cada bien, y en concreto al hablar de bienes agrícolas dice.
"Si alguien consagra a Jehovah un campo de su posesión, lo valorarás según su
capacidad de siembra: un homer2 de semilla de cebada se valorará en 50 siclos3 de
plata. Si consagra su campo en el año del jubileo, se hará conforme a tu valoración.
Pero si consagra su campo después del jubileo, el sacerdote hará el cálculo del dinero
conforme a los años que falten para el año del jubileo, y se restará de tu valoración. Si
el que ha consagrado su campo quiere rescatarlo, añadirá a tu valoración una quinta
parte de su valor, y él volverá a su poder. Pero si no rescata el campo y éste es
vendido a otro, no lo podrá rescatar jamás. Cuando pase el jubileo, el campo será
consagrado a Jehovah como campo confiscado; será para el sacerdote como
posesión suya.
Siguiendo a Caballer (1998) encontramos referencias a la valoración en el
antiguo Egipto4. Durante el imperio romano con Julio Cesar hubo un intento de
valoración catastral con fines impositivos.
También se tiene noticia, a través de Camps y Arboix (1969), de la actividad de
valoración de fincas agrarias en el antiguo Reino de Aragón durante el siglo X.
Pero el primer tratadista de valoración agraria ha sido el italiano Elia Del Re, que
publicó en 1697 en Nápoles, un trabajo sobre aritmética y geometría práctica, en el
que, en la parte dedicada a la geometría rústica, hace especial mención a la
Valoración de bienes agrarios y a la agrimensura.
Más adelante, como explica Malacarne5, aunque el origen de la valoración en Italia
se remonta al siglo XIII con la puesta en marcha del catastro florentino, es en los
La Santa Biblia. Antigua versión de Casidoro de Reina (1569). Revisada por Cipriano de Velez (1602).
Editorial Mundo Hispano (1989)
2
Medida de áridos del Antiguo Testamento equivalente a 370 litros
3
Moneda del Antiguo Testamento de peso 11,4 grs.
4
La profesora italiana Carla Rossi (2001) identifica el origen de la valoración con el Nilómetro, 3.000 años
antes de Cristo
5
Malacarne, F. y Di Fazio, S. (1989)
1
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
9
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
siglos XVI y XVII cuando se desarrolla fuertemente con la valoración con fines
fiscales, en las ciudades-repúblicas de Venecia y Florencia.
A lo largo del siglo XX la ciencia de la valoración ha adquirido un notable desarrollo
en el seno de distintas escuelas.
En los momentos actuales la importancia de la valoración de todo tipo de activos
está fuera de duda. En cualquier sociedad moderna para un gran número de actos
económicos es necesario conocer el valor de los activos implicados. Empezando por
las expropiaciones tanto de los gobiernos centrales como los locales, siguiendo con
hechos tan cotidianos como enjuiciamientos civiles, particiones de herencias, compraventas de fincas, hipotecas, etc.; y terminando con valoraciones catastrales con fines
impositivos, la valoración de activos es un hecho trascendente en cualquier país, y es
más, cuanto mayor es el progreso económico, al ser más intensa la actividad
económica, también mayor es la necesidad de una mejor y más ajustada valoración de
los activos de esa sociedad
En España existe un gran mercado de trabajo en valoraciones y existen
diversas figuras que operan en el sector, como son los Agentes de la Propiedad
Inmobiliaria (API), los peritos tasadores judiciales, las Sociedades de Tasación, y gran
variedad de técnicos según el tipo de activos a valorar (Ingenieros Agrónomos,
Arquitectos etc).
Las Sociedades de Tasación son la figura más importante actualmente en el
mercado de valoración de España, reguladas por el Real Decreto 775/1997, su
intervención es necesaria y exclusiva para la valoración de aquellos activos cuyo fin
sea alguno de los siguientes.
a) Servir de garantía hipotecaria de préstamos que forman parte de la cartera de
cobertura de los títulos hipotecarios contemplados en la Ley 2/1981, de 25 de marzo,
de Regulación del Mercado Hipotecario.
b) Servir de cobertura de las provisiones técnicas de las entidades aseguradoras
exigidas por el Real Decreto 1348/1985, de 1 de agosto, por el que se aprueba el
Reglamento de Ordenación del Seguro Privado.
c) Formar parte del patrimonio de las instituciones de inversión colectiva
inmobiliarias reguladas en el Real Decreto 686/1993, de 7 de mayo, que modifica el
Real Decreto 1393/1990, de 2 de noviembre, por el que se aprueba el Reglamento de
la Ley 46/1984, de 26 de diciembre, reguladora de las Instituciones de Inversión
Colectiva, precisándose el régimen de las sociedades y fondos de inversión
inmobiliaria.
d) Formar parte del patrimonio de los fondos de pensiones regulados en el Real
Decreto 1307/1988, de 30 de septiembre, por el que se aprueba el Reglamento de
Planes y Fondos de Pensiones.
e) Cualquier otra en que la normativa exija que la valoración haya de realizarse
por una sociedad o servicio de tasación.
Las Sociedades de Tasación para obtener y conservar su homologación, deben
cumplir los siguientes requisitos:
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
10
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
a) Revestir la forma de sociedad anónima de fundación simultánea domiciliada
en el territorio nacional.
b) Contar con un capital mínimo de 50.000.000 de pesetas íntegramente
desembolsado. Dicho capital ha de estar representado en acciones nominativas.
c) Limitar estatutariamente su objeto social a la valoración de todo tipo de
bienes, empresas o patrimonios.
d) Contar con un número mínimo de diez profesionales de los cuales, al menos,
tres han de ser profesionales vinculados.
e) Disponer de una organización con los medios técnicos y personales, y los
mecanismos de control interno necesarios para asegurar tanto un adecuado
conocimiento de la situación y condiciones del mercado inmobiliario sobre el que han
de operar, como el cumplimiento uniforme de las normas de valoración aplicables y de
las obligaciones e incompatibilidades establecidas en este Real Decreto.
f) Tener asegurada frente a terceros la responsabilidad civil que pudiera
derivarse de su actividad de tasación mediante póliza de seguro suscrita con una
entidad aseguradora habilitada legalmente para operar en el seguro de
responsabilidad civil, por un importe no inferior a 100.000.000 de pesetas, más el 0,5
por 1000 del valor de los bienes tasados en el ejercicio inmediatamente anterior, hasta
alcanzar la cifra máxima de 400.000.000 de pesetas.
g) Contar con un Consejo de Administración formado por no menos de tres
miembros. Todos ellos serán personas de reconocida honorabilidad comercial y
profesional, debiendo poseer, al menos aquellos que ejerzan funciones ejecutivas,
conocimientos y experiencia adecuados para su ejercicio.
Aunque las Sociedades de Tasación no son los únicos agentes que actúan en el
mercado español si que son los mas importantes por lo que las cifras de su actuación
dan una idea de la importancia del mercado de la valoración.
El número de Sociedades de tasación en el año 2003 era de 70, la mayoría
agrupados en una asociación de tasadores denominada ATASA de cuya memoria
obtenemos la Tabla 1.1 referida a la actividad de las Sociedades de Tasación.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
11
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
CONJUNTO
ASOCIADOS
UNIDADES
MILLONES DE EUROS
ATASA 2003
CONCEPTO
Nº (.000)
%
IMPORTE
%
TOTAL
1.411,4
100
444.555
100
I. Inmuebles
1.401,4
99,3
442.614
99,6
I.1. Fincas rústicas
18,7
1,3
6.171
1,4
I.2. Terrenos urbanos
32,9
2,3
47.136
10,6
I.3. Edificios completos
83,1
5,9
150.878
33,9
43,0
3,0
100.225
22,5
I.3.2. Edificios uso terciario
4,6
0,3
17.464
3,9
I.3.3. Edificios industriales
28,9
2,0
20.392
4,6
I.4. Elementos de edificios
1260,2
89,3
219.983
49,5
I.4.1. Viviendas
1.152,2
81,6
198.082
44,6
I.4.2. Oficinas
7,3
0,5
3.133
0,7
I.4.3. Locales comerciales
69,4
4,9
17.041
3,8
I.5. Edificios
económica
explotación
5,5
0,4
18.056
4,1
I.6. Otros bienes inmuebles
0,8
0,1
363
0,1
10,2
0,7
1.941
0,4
II.1. Empresas
2,8
0,2
1.334
0,1
II.2. Muebles
7,5
0,5
607
0,3
I.3.1.
Edificios
residencial
II. Otras tasaciones
uso
Tabla 1.1. Actividad de las Sociedades de Tasación pertenecientes a ATASA.
En ella se observa dentro de la gran variedad de activos a valorar la importancia
de la valoración de viviendas (81,6% en número, 44,6% en importe o valor), seguido
de los edificios de uso residencial (3,0%, 22,5%) y de los terrenos urbanos (2,3%,
10,6%).
En la figura 1.1. se observa la evolución en los últimos años del número de las
valoraciones realizadas por las Sociedades de tasación pertenecientes a ATASA.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
12
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
Valoraciones (miles)
Nº de valoraciones
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
Serie1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Años (1994-2003)
Figura 1.1. Evolución del número de valoraciones realizadas por las Sociedades
de tasación pertenecientes a ATASA
Se observa claramente el incremento constante e importante desde el año 1995
de la actividad de dichas sociedades.
En la Tabla 1.2. aparece la distribución media de las tasaciones por
Comunidades autónomas.
Comunidad
Autónoma
Número
Importe
Nº en miles
%
Valor (mm €)
%
Andalucía
250
17,90
78.787
17,80
Cataluña
290
20,70
87.814
19,80
Madrid
199
14,20
92.871
21,00
Valencia
183
13,10
47.234
10,70
Resto
479
34,10
135.908
30,70
Total
1.401
100,00
442.614
100,00
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
13
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
Tabla 1.2. Distribución del número de tasaciones por Comunidades autónomas
Otro dato de interés a resaltar es que los ingresos totales por su actividad de las
Sociedades de Tasación pertenecientes a ATASA, fue en el año 2003 de 349
millones de € de lo que se deduce que los ingresos medios por operación o valoración
fueron de 247 €.
Si tenemos en cuenta que ATASA no recoge a todas las Sociedades de
Tasación y que además existe un mercado de valoración paralelo realizado
básicamente por profesionales autónomos podemos cifrar el volumen total del
mercado español en 500 millones de €.
En el ámbito internacional, existen varias organizaciones de valoradores o
tasadores que operan en distintos países y que son reconocidos por los diversos
agentes del mercado inmobiliario. Una de las importantes y conocidas mundialmente
son la Royal Institution of Chartered Surveyors (RICS), con origen en Inglaterra
(aunque sus miembros operan en todo el mundo).
En el área de las Américas existen varias asociaciones la mayoría agrupadas en
la UPAV (Unión Panamericana de Asociaciones de Valuación).
•
Appraisal Institute (EEUU)
•
American Society off Apraisers.(EEUU)
•
Cuerpo Técnico de Tasaciones del Perú (CTTP).
•
Sociedad de Ingenieros de Tasación de Venezuela (SOITAVE)
•
Instituto Brasileiro de Avaliacoes e Pericias de Engenharia (IBAPE)
•
Internacional Valuation Standards Committe (IVSC)
•
Instituto de Tasadores Dominicanos.
•
Instituto de Evaluadores de Puerto Rico
•
The Appraisal Institute of Canadá.
•
Federación de institutos, Colegios y Sociedades de Valuación de la República
Mexicana, AC.
•
Asociación Uruguaya de Avaluadores Profesionales.
•
Sociedad Colombiana de Avaluadores.
•
Asociación Mexicana de Valuadores de Empresas.
Más localizadas pero también muy importantes y con un gran peso en su país
son:
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
14
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
-
El Centro Studi di Estimo e di Economia Territoriale (CeSET), en Italia
-
La Lonja de la Propiedad Raíz de Bogotá, en Colombia
-
El Instituto Argentino de Tasaciones
-
Asociación de arquitectos tasadores de Chile A.G.
-
American Society of Farm Managers and Rural Appraisers (EEUU)
-
American Right of Way Association (EEUU)
Todas ellas realizan anualmente Congresos y Jornadas con el fin de reunir a sus
asociados, dictar normas de funcionamiento, códigos deontológicos de procedimientos
y, en resumen, un saber hacer en la profesión del valorador y tasador.
1.2 LA METODOLOGÍA EN VALORACIÓN
La importancia de la valoración, supone la necesidad de disponer de métodos
de valoración operativos. Actualmente son numerosos los existentes. Los más
importantes pueden clasificarse en dos grandes grupos, por un lado los denominados
métodos comparativos y por otro los métodos analíticos (Tabla 1.3).
COMPARATIVOS
MÉTODO
Origen
Extremos
Ratios
ECUACIÓN
V =
V = Vm +
V M +Vm
X
XM + Xm
(V M −Vm )( X − X m )
(X M − X m )
V
V1 V 2
+
+ .... + n
X
X2
Xn
X
V= 1
n
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
ECUACIÓN
SIMPLIFICADA
V = a1 X
V = a2 X + b
V = a3 X
15
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
V =
Baricéntrico
Beta
V = V B − (X B − V f
Econométrico
ANALÍTICOS
V 1+V 2+.... +V n
X
X 1+ X 2+.... + X n
) (V
− V A )(VB − VM )
( X B − X A )( X B − X M )
Capitalización
V =∑
i =1
Objetivosubjetivo
B
V = f (x1 , x2, K xn )
n
n
V =∑
i =1
V = a4 X
Ri
(1 + r )n
FCi
(1 + r )n
V = VB − a5 X
V = f ( xi )
V=
V=
R
r
FC
r
Siendo
Vi = Valores de los testigos y del activo a valorar
Xi = Variables explicativas
Ri = Renta producida por el bien a valorar
FCi = Flujos de caja producidas por el bien a valorar
r = Tasa de actualización
Tabla 1.3. Caracterización de los principales métodos de valoración.
Los métodos comparativos determinan el valor de un activo problema, como su
nombre indica, comparándolo con otros activos similares de los cuales si se conoce su
valor por haber sido objeto de una transacción reciente. La comparación se realiza
utilizando las características o variables explicativas de los distintos activos. Los
métodos más conocidos dentro de este gran grupo son los Sintéticos (Origen,
Extremos, Ratios y Baricéntrico), el método Beta o de las funciones de distribución y el
método estadístico o econométrico.
De los métodos sintéticos los más comúnmente utilizados Ratios y Baricéntrico
persiguen obtener un ratio que relacione el precio con cada variable explicativa, esto
es representa la cantidad de valor por cada unidad de la variable explicativa. El
producto del ratio obtenido por la cuantía de la variable explicativa en el activo a
valorar dará el valor del activo buscado. Estos métodos junto a la facilidad de
aplicación presentan una serie de inconvenientes a tener en cuenta como son que se
obtiene un valor por cada variable explicativa, además cada valor obtenido es
proporcional a la correspondiente variable y finalmente presuponen que el experto
dispone una información de partida compuesta por activos parecidos al a valorar, que
han sufrido una transacción reciente y de los cuales conoce el valor de la transacción,
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
16
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
así como una serie de variables explicativas del precio y la cuantificación de las
mismas.
El método Beta ideado por Ballestero6 parte del supuesto de que tanto los
valores como las variables explicativas siguen una función de distribución Beta, que
reune una serie de particularidades como son que esta definida en la parte positiva del
eje de coordenadas y además queda definida conociendo los valores máximo, mínimo
y moda. Su cálculo original se realizaba utilizando tablas, posteriormente el proceso se
ha simplificado mediante la utilización de la hoja de cálculo Excel (Aznar et al,2003) o
bien con la utilización de la variante triangular puesta a punto por Romero (1977), que
permite el cálculo de forma gráfica o mediante formulas basadas en la semejanza de
triángulos. Este método reúne una ventaja importante sobre los sintéticos como es la
necesidad de menor información ya que es suficiente con conocer tres datos (máximo,
mínimo y moda) tanto del valor de los activos como de las variables explicativas. Sin
embargo sigue manteniendo una serie de inconvenientes como son que al final
determina un valor del activo a valorar por cada variable explicativa y que aunque la
información a utilizar es menor que en los otros casos sigue requiriendo el
conocimiento previo de la cuantificación de los activos testigo tanto en precio como de
sus variables explicativas.
El método econométrico puede considerarse el método comparativo por
excelencia en el sentido de que resuelve la mayoría de los inconvenientes que hemos
visto en los métodos anteriores. Con este método se obtiene una ecuación (lineal,
cuadrática, logarítmica etc) que nos define el valor de los activos en función de las
variables explicativas significativas, con lo que el valor buscado ya no es proporcional
a cada variable sino que esta determinado por todas las variables significativas y en
proporción a su importancia mediante los coeficientes de cada una en la función.
Además el proceso de cálculo mediante una serie de parámetros nos va indicando en
cada momento la bondad del ajuste y las variables que deben intervenir o deben de
ser eliminadas por no ser significativas. Por último su cálculo es actualmente muy
sencillo bien utilizando paquetes informáticos como el Statgraphics o el SPSS o bién
mediante la hoja de cálculo EXCEL. Sin embargo hay que señalar un inconveniente
importante para su aplicación y es la exigencia de tener un número importante de
testigos de los cuales hay que conocer el valor de ellos y la cuantificación de las
variables explicativas a considerar. Esto supone la necesidad de la existencia de
bases de datos importantes que en la mayoría de los casos o no existen o no están a
disposición del experto.
El método econométrico ha sido y sigue siendo uno de los métodos mas
estudiado por los investigadores y en esta línea se dirigen en España los trabajos de
Calatrava7, Sala et al8, Guadalajara et al9, Guadalajara10 y Fenollosa11
El método Beta, también denominado método de las funciones de distribución se propuso en la
Universidad Politécnica de Madrid y se publicó en la Revista de Estudios Agrosociales (Ballestero 1973).
Posteriormente distintos trabajos han profundizado en sus extensiones y aplicaciones. Romero (1997),
Ballestero y Caballer (1982), Alonso y Lozano (1985), Cañas, Domingo y Martinez (1994), Herrerías,
Palacios y Pérez (1994), García, Cruz y Andujar (1999), García, Trinidad y Gómez (1999), García, Cruz y
Rosado (2000), Palacios, Callejón y Herrerías (2000), Herrerías Pleguezuelo, García, Cruz y Herrerías
Velasco (2001), García, Cruz y Garcá (2002).
7
Calatrava y Cañero (2000) partiendo de 38 fincas testigo estudiaron el valor de las fincas olivareras de
secano en Córdoba, Granada y Jaén y determinaron las siguientes variables explicativas: Superficie en
Has, Calidad (definida por la productividad media en aceituna por Ha) y la ubicación medida por la
distancia al pueblo mas cercano.
8
Sala y Torres partiendo de datos estadísticos de los años 1984 al 2000 publicados por el Departamento
de Agricultura, Ramadería y Pesca de la Generalitat de Catalunya, provinientes de la encuesta del
Ministerio de Agricultura y Pesca llegan a la conclusión a través de un modelo econométrico que los
precios de las tierras de regadío dependen en un 87% de las variables explicativas inflación, trabajocapital, expectativas de plusvalía, subvención y refugio. Por su parte las tierras de secano en un 88% su
precio se explica por las variables inflación, trabajo-capital, expectativas de plusvalía y subvención. Véase
6
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
17
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
En Estados Unidos la mayor disponibilidad de datos ha permitido mayores
avances que se han materializado en los trabajos de Moos12, Bernad et all13, Roka et
al14, Boisvert15, Reynolds et al16 , Isakson17 y Bible et al18.
Maddison19 ha estudiado el comportamiento del valor de la tierra en Inglaterra y
Gales.
El otro gran grupo de métodos, el denominado analítico o de capitalización20 ,
calcula el valor de los activos problema a partir de la propia información de dicho bien,
Sala M. Y Torres T. Análisis empírico de la evolución de los precios en el mercado del suelo rústico.
Universidad de Lleida.
9
Guadalajara et (2001) al desarrollan un modelo de ámbito nacional para explicar el valor de la tierra en
España por comunidades autónomas. Parten de la encuesta de precios de la tierra elaborada por el
Ministerio de Agricultura, Pesca y Alimentación y de los datos testigo de una empresa de tasación con
fines hipotecarios.Del conjunto de todas las variables explicativas analizadas únicamente dos resultan
válidas. La producción bruta del cultivo, la cual explica tanto el precio oficial de la tierra como los testigo y
el número de explotaciones en el caso de los precios oficiales y el aprovechamiento de superficie labrada
herbácea en el caso de los testigo. Guadalajara N., Fenollosa Mª L.,Ribal F.J.. El mercado de la tierra en
España. Modelos econométricos para la estimación del valor.
10
Guadalajara (2002) propone para valoración de la tierra el método econométrico de valoración, ya
utilizado en otros países, con la variante analógica para soslayar, en la medida de lo posible, la
ineficiencia del mercado como consecuencia de la falta de transparencia y de bases de datos
suficientemente amplias.
En todos los modelos econométricos estudiados en la bibliografía y obtenidos para el caso de España, el
valor de la tierra viene definido por variables explicativas relativas a la productividad, como estimador de
la renta actual, por un lado y, por otro, de la localización como variable hedónica que estima las
expectativas de rentas futuras, tanto de uso agrícola como no agrícola. Véase Guadalajara Proyecto de
investigación.
11
Fenollosa Mª L.(1999) Partiendo de datos de la “Encuesta de precios de la tierra del Ministerio de
Agricultura, Pesca y Alimentación” en la provincia de Valencia llega a un modelo en el que el valor de
mercado de la tierra depende del tipo de cultivo, la distancia del municipio al mar, la población agraria
respecto a la superficie del municipio y la inversión total de energía de cada municipio.
12
Moos (1997) determina una función doble logarítmica en la que el valor de la tierra agrícola en Florida
depende de la renta de la tierra, el coste del capital agrícola y la tasa de inflación.
13
Bernard et al (1997)a través de una función logarítmica-lineal determina como variables explicativas del
valor de la tierra cultivable en 20 regiones de EEUU siendo estas variables la productividad de la tierra,
las subvenciones, el salario industrial y características del estado como la precipitación media, la
temperatura media y la población.Véase Bernard, Whittaker, Westenbarger y Ahearn
14
Roka et al (1997)determinan el valor de la tierra de secano en la región de Corn Belt, siendo las
variables explicativas el tamaño de la finca, la erosión, la población, la producción del maíz y el tipo de
empresa. Véase Roka y Palmquist
15
Boisvert et al (1997) determina el valor de la tierra en la cuenca del río Lower Susquehanna utilizando
como variables explicativas la productividad del maíz, la densidad de población, el tamaño de la
explotación, las ventas del condado por acre y la contaminación ambientalVéase Boisvert, Schmit y
Regmi
16
Reynolds et al (2002) estudia las variables explicativas del valor de la tierra concluyendo que la
localización, el tamaño de la parcela, las inversiones en mejoras, la proporción en cultivos intensivos y de
zonas húmedas, explican mas del 80% del precio.
17
Isakson (2001) determina como variables explicativas mas importantes la localización, las edificaciones,
la época de venta y la edad.
18
Bible et al (1999) determina como variables explicativas mas importantes el tamaño de la parcela, la
distancia a los centros de negocios, la población y la clasificación de la zona.
19
Maddison (2000) estudia en Inglaterra y Gales el valor del suelo rústico a partir de 400 transacciones. El
análisis indica que el clima, la calidad del suelo y la altitud son variables explicativas determinantes del
valor del suelo junto con las variables estructurales. Un análisis hedonista de los precios del suelo rústico
en Inglaterra y Gales.
20
La fórmula general para el cálculo por el método analítico o de capitalización es la siguiente
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
18
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
información normalmente contable que permite determinar la renta, ganancia o flujos
de caja que dicho activo producirá en el futuro. La actualización de estas magnitudes
proporciona el valor buscado. Los métodos más conocidos de este grupo son los
denominados de capitalización y el objetivo-subjetivo. Este grupo de métodos reune
dos graves inconvenientes. El primero es tener que trabajar con información que va a
producirse en el futuro (renta, ganancia o flujos de caja) , con la dificultad que ello
significa y mas con entornos como los actuales donde por su carácter turbulento
resulta muy arriesgado aventurar hipótesis de futuro. La segunda gran dificultad
consiste en determinar la tasa de actualización a utilizar, ya que dicha tasa va a estar
en función básicamente de la liquidez y el riesgo a valorar, parámetros que son
variables en función del activo, del momento y del lugar.
Resumiendo podemos decir que todos los métodos anteriores, de gran
utilización en la práctica valorativa, tienen en común, sin embargo, una serie de
inconvenientes:
a) El valorador necesita partir de datos cuantificados de las variables explicativas
a utilizar.
b) Como consecuencia de lo anterior la utilización de las variables explicativas
de tipo cualitativo resulta especialmente compleja, cuando no imposible.
Además de estos inconvenientes generales a todos los métodos, existen otros,
también de gran importancia, que afectan de forma particular a cada uno de ellos.
Cuando se utilizan métodos sintéticos o el método Beta se llega a un valor
distinto para cada variable explicativa, por lo que el valorador se encuentra con el
problema añadido de cómo definir un valor final o único; las soluciones adoptadas de
utilizar la media de los distintos valores no tienen clara justificación científica.
El método econométrico soluciona el problema anterior ya que define un valor en
función de todas las variables explicativas significativas. Sería el método ideal de
valoración, si no fuese porque además de tener los dos inconvenientes generales
apuntados anteriormente, necesita una información suficientemente amplia para su
aplicación, lo que supone tener que partir de una base de datos con abundantes
testigos cuantificados, que en la mayoría de los casos no se dispone.
Los métodos analíticos por su parte, necesitan para su aplicación del
conocimiento o deducción de los flujos de caja que se van a materializar en el futuro,
además de la determinación de la tasa de descuento, también de gran dificultad ya
que varía en función del tipo de activo.
Todos estos inconvenientes de los métodos tradicionales son los que justifican la
necesidad de nuevos métodos o modelos que permitan bien complementar los ya
V=
Q1
Q2
Qn
+
+ ...... +
2
(1 + r ) (1 + r )
(1 + r ) n
siendo Q = Renta, Ganancia o Flujos de Caja y r la tasa de actualización.
Cuando la Q se considera constante y perpetua la formula de cálculo se reduce
V=
Q
r
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
19
Capítulo 1. Introducción a la Valoración
existentes o bien aportar nuevas vías de solución a los problemas de valoración que
se plantean en la práctica valorativa. Estos dos objetivos son los que se plantea el
presente trabajo, por un lado mejorar los métodos tradicionales, por otro presentar
nuevos modelos de valoración que enriquezcan la batería de herramientas disponibles
para el experto valorador, con tal fin en los siguientes capítulos se va a desarrollar el
siguiente contenido.
En el capítulo 2 se presenta una breve explicación del área de conocimiento
conocida como Decisión multicriterio y se enumeran los métodos cuyo desarrollo se
verá en los próximos capítulos en su aplicación a la valoración. También en este
capítulo se desarrollan conceptos importantes que van a ser utilizados en los capítulos
siguientes como son: variables explicativas inversas, variables explicativas cualitativas,
normalización de valores, Índice de adecuación y adaptación de la nomenclatura.
En el capítulo 3 se introducen los métodos de ponderación de variables:
Métodos de Diakoulaki, Entropía y Ordenación simple.
El capítulo 4 trata sobre los métodos multicriterio a utilizar cuando se parte de
información cuantificada, desarrollándose el Método de la Suma ponderada.
El capítulo 5 es continuación del capítulo anterior pero en este caso se expone la
Programación por metas con sus distintas variantes.
El capítulo 6 nos introduce en la metodología de valoración cuando se parte de
información cualitativa, mediante el Proceso Analítico Jerárquico (AHP). Este capítulo
contiene un ANEXO en el que se desarrolla un ejemplo de aplicación del AHP con las
pantallas de EXCEL con el fin de ver con detalle todo el proceso de cálculo.
El capítulo 7 sigue con el modelo AHP pero cuando intervienen un grupo de
valoradores por lo que hay que llegar a una solución agregada, al mismo tiempo que
se introduce el concepto de consistencia de las matrices.
En el capítulo 8 se incorporan los modelo multicriterio compuestos bietápico y el
trietápico.
Termina el libro con un corolario en el que se apuntan las nuevas vías de
desarrollo de metodología multicriterio en las que se está trabajando y que
paulatinamente se irán incorporando al mismo.
Finalmente se incorpora una extensa bibliografía tanto de valoración como de
decisión multicriterio.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
20
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
2.1. INTRODUCCIÓN.
En este capítulo se va realizar una breve introducción a la teoría de la Decisión
multicriterio, área de conocimiento de la que se van a extraer los nuevos métodos de
valoración presentados en este trabajo. Así mismo, en este capítulo se profundizará en
algunos de los conceptos importantes a tener en cuenta en el desarrollo y aplicación
de esta nueva metodología, como son: Variables explicativas inversas, variables
explicativas cualitativas, normalización de valores, funciones de distancia, el Índice de
adecuación y por último la adaptación de la nomenclatura multicriterio a la valoración.
2.2 DECISIÓN MULTICRITERIO
El objetivo original y central de la Decisión Multicriterio universalmente conocida
con las siglas MCDM (Multiple Criteria Decision Making) es ayudar a tomar decisiones.
El ser humano esta expuesto a decidir en gran parte de sus actuaciones en un
contexto de incertidumbre.
Según la teoría económica tradicional el ser humano ante un problema de decisión
opta por elegir lo mejor en función de un solo criterio, que intenta optimizar. Por
ejemplo un empresario tomaría sus decisiones empresariales en función de un solo
objetivo, la obtención del máximo beneficio.
Este concepto choca con la realidad cotidiana y el primero en expresarlo de una
forma clara fue el premio Nobel H.A.Simon (1955) diciendo que en las complejas
organizaciones actuales, estas no actúan intentando maximizar una determinada
función de utilidad, sino que se plantean distintos objetivos a la vez, la mayoría de los
cuales son incompatibles entre si, por lo que finalmente lo que se pretende es
conseguir un determinado nivel en cada uno de ellos. Siguiendo con el ejemplo del
empresario, este se plantearía, obtener un porcentaje de beneficios sobre ventas
determinado, incrementando las ventas sin sobrepasar su capacidad productiva, con
un incremento de costes que no supere un porcentaje determinado y sin tener que
incrementar su plantilla de personal.
Como consecuencia de esta visión aparece el MCDM, en un intento de abordar
la toma de decisiones en un contexto de distintos objetivos en conflicto y en un entorno
incierto.
En palabras de Moreno (1996), “se entiende por Decisión multicriterio, el
conjunto de aproximaciones, métodos, modelos, técnicas y herramientas dirigidas a
mejorar la calidad integral de los procesos de decisión seguidos por los individuos y
sistemas, esto es a mejorar la efectividad, eficacia y eficiencia de los procesos de
decisión y a incrementar el conocimiento de los mismos (valor añadido del
conocimiento)”.
La aparición del MCDM es posible gracias a trabajos previos realizados por
distintos investigadores en el siglo XIX, con la aportación a la ciencia económica de
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
21
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
nuevos conceptos21 como la teoría de la utilidad de Walras, las funciones y curvas de
indiferencia de Edgeworth que utiliza Pareto para definir el equilibrio económico que
lleva su nombre y que se expresa diciendo “que una colectividad se encuentra en un
estado óptimo si ninguna persona de esa colectividad puede mejorar su situación sin
que empeore la situación de alguna otra persona de la misma. Esta clase de
optimalidad se denomina también eficiencia paretiana”.22
El MCDM aparece en la segunda parte del siglo XX, de la mano de distintos
autores.
Koopmans (1951) define el término de vector eficiente o no dominado. Kuhn y
Tucker (1951) deducen las condiciones que garantizan la existencia de soluciones
eficientes en un problema multiobjetivo. Hurwiks (1958) introduce el concepto de
vector óptimo en un espacio topológico
En 1961 Charnes y Cooper desarrollan los aspectos esenciales de la
programación por metas. Y en 1968 aparece el primer método de decisión multicriterio
discreto, el método ELECTRE23.
Los años 70 son especialmente fructíferos en el desarrollo de la programación
por metas, con trabajos tan importantes como los de Ignizio (1976) y Lee (1972). En la
misma época se pone a punto el primer método interactivo el STEM24 y se desarrolla
el método para solucionar el problema de la programación lineal con varios criterios25.
En 1980 se publica el primer libro sobre el Analytic Hierarchy Process (AHP)26.
La década de los 80 es altamente productiva y fructífera en investigaciones y
publicaciones sobre análisis multicriterio apareciendo gran diversidad de libros y
trabajos diversos27.
La aparición y difusión de los ordenadores personales en esta década
revoluciona y potencia el desarrollo de la metodología.
En 1984 se presenta el método VEGA28 una extensión de los algoritmos
genéticos a los problemas con objetivos múltiples.
Un indicador de la actividad que existe en esta área de conocimiento nos la da
una publicación del año 199629, en la que se listan 1216 publicaciones, 208 libros, 31
revistas y 143 conferencias de MCDM entre 1987 y 1992.
En España son de resaltar las aportaciones de Romero C.(1993) y BarbaRomero y Pomerol (1997)
21
BARBA-ROMERO, S.; POMEROL, J-CH.(1997)
ROMERO,C. (1993)
23
ROY, B. (1968)
24
GEOFFRION, A.; DYER, J.; FEINBERG, A. (1972)
25
ZELENY, M.(1974) y ISERMANN, H. (1974)
26
SAATY, T. (1980)
27
CHANKONG, V.; HAIMES, Y.Y. (1983). DE MONTGOLFIER, J.; BERTIER, P. (1978). GÖPFER, A.;
NEHSE, R. (1990). HWANG, C.L.; MASUD A. S.M. (1979). SCHÄRLIG, A. (1985). TABUCANON, M.
(1988). VINCKE, P. (1989). ZELENY, M. (1982). SAWARAGI,Y.; NAKAYAMA, H. ; TANINO, T. (1985).
STEUER, R.E. (1985).
28
SCHAFFER, J.D. (1984)
29
STEUER, R.E.; GARDINER, L.R.; GRAY, J. (1996)
22
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
22
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Dentro del área de conocimiento que conocemos como MCDM se han
desarrollado un gran número de métodos.
Una de las clasificaciones mas aceptadas es la que distingue entre métodos
multicriterio continuo y discreto.
•
El análisis multicriterio continuo afronta aquellos problemas multicriterio en el
que el decisor se enfrenta a un conjunto de soluciones factibles formado por
infinitos puntos. En este grupo nos encontramos con la Programación
multiobjetivo, la Programación compromiso y la Programación por metas.
•
El análisis multicriterio discreto comprende los casos donde el número de
alternativas a considerar por el decisor es finito y normalmente no muy
elevado. En este grupo encontramos métodos como el Electre, el Promethee y
el Proceso Analítico Jerárquico (Analytic Hierarchy Process, AHP).
También dentro de la metodología multicriterio encontramos métodos de ponderación
de variables o determinación de los pesos como son los métodos de la Entropía, de
Diakoulaki, la Ordenación Simple, la Tasación simple, el de las Comparaciones
Sucesivas y el mismo Proceso Analítico Jerárquico ya enumerado en el análisis
multicriterio discreto.
El objetivo del presente trabajo es aplicar algunos de los múltiples métodos
multicriterio existentes descritos en la teoría de la Decisión, al área de Valoración de
todo tipo de activos, por lo que el número de métodos a utilizar va a ser limitado30 y se
concreta en los siguientes, clasificados en función de la información que utilizan o
necesitan para su aplicación.
1
Métodos de valoración a partir de información cuantificada.
1.1 Métodos exclusivamente de ponderación:
1.1.1 Método de Diakoulaki
1.1.2 Método de la Entropía
1.1.3 Método de la Ordenación simple
1.2 Métodos de valoración propiamente dicha
1.2.1 Método de la Suma Ponderada (WSM)
1.2.2 Programación por metas (Goal programming,GP)
2
2.1
2.2
2.3
Métodos de valoración a partir de información cualitativa
Proceso Analítico Jerárquico (Analytic Hierarchy Process, AHP)
Modelos de valoración multicriterio individual
Modelos de valoración multicriterio colectivo
30
Los autores están convencidos que el número de métodos multicriterio a utilizar en Valoración, crecerá
de forma exponencial en los próximos años. En el presente trabajo se limitan a exponer aquellos sobre
los que vienen trabajando en los últimos años.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
23
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
En los capítulos siguientes se abordara cada uno de los métodos enunciados
anteriormente, viéndose en cada caso el funcionamiento del método y su aplicación en
valoración de forma teórica y con ejemplos.
2.3 VARIABLES EXPLICATIVAS INVERSAS
En Valoración se dice que el valor de los activos depende de sus características.
Esta afirmación es lógica y no necesita mayor explicación. No es necesario ser un
experto para conocer que el valor de un automóvil depende entre otras características
de su cilindrada y su marca, y que el valor de un inmueble urbano depende también
entre otras variables de su superficie y de la calidad de la edificación. A estas
características de las cuales depende el precio de los activos las denominamos en
Valoración, variables explicativas y se denominan así por ser las variables que
explican el precio.
Las variables explicativas por su relación con el precio podemos clasificarlas en
dos grupos.
Variables explicativas directas. Son aquellas en que el valor se mueve en el
mismo sentido que ellas, o sea si la variable aumenta el valor aumenta y si la variable
disminuye también lo hace el valor. Ejemplo de este tipo de variables son la mayoría,
como las vistas anteriormente con respecto al automóvil y el inmueble rústico y
también lo son el Rendimiento y la calidad de la tierra en inmuebles rústicos y en
Valoración de futbolistas el número de goles por partido y los años que le quedan de
vida activa al futbolista.
Variables explicativas inversas. Son aquellas en que el valor se mueve en
sentido distinto que ellas, o sea si la variable aumenta el valor disminuye y si la
variable disminuye el valor aumenta. Aunque este tipo de variables son menos
numerosas que las directas, existen claros ejemplos de ellas y hay que ser cuidadoso
en su detección y en su tratamiento. Ejemplo de este tipo de variables son en
inmuebles rústicos el Riesgo de helada de una parcela por su situación geográfica o la
salinidad del suelo, en inmuebles urbanos la distancia al centro de la ciudad o a las
zonas de servicio y el nivel de contaminación acústica y en valoración de futbolistas su
edad a partir de la edad media ideal y el número de perdidas de balón.
Cuando nos encontramos en Valoración con variables inversas, para su
utilización en algunos métodos (ratios y baricéntrico) es imprescindible transformarlas
en directas. Y en algunos otros (AHP) como veremos es conveniente su
transformación31. Existen dos formas de hacer esta transformación.
Transformación por la inversa.
Transformación por la diferencia a una constante.
La transformación por la inversa, consiste en cambiar la variable por su inversa.
Esto es xi la sustituiríamos por 1/ xi . Esta transformación tiene la ventaja que mantiene
31
La conveniencia de la transformación en directas de las variables inversas al utilizarlas en AHP, como
se verá, más adelante se debe a la dificultad añadida de realizar comparaciones pareadas (base del
método) entre dos elementos si la característica sobre la que se compara es inversa.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
24
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
la proporcionalidad, lo cual es de gran importancia en valoración y solo tiene el
inconveniente de no poder ser utilizada cuando la variable toma el valor 0 en alguno
de los testigos.
La transformación por la diferencia a una constante consiste en sustituir la
variable xi por la diferencia con una constante k cuyo valor es superior que el mayor de
la variable. Esta transformación comúnmente realizada en valoración tiene varios
inconvenientes, el primero es que no mantiene la proporcionalidad y el segundo que
según la constante k que se elija varía el resultado obtenido.
2.3.1. Ejemplo.
Partimos de la información de la Tabla 3.1. con 6 parcelas agrícolas de las
cuales conocemos tres variables explicativas, como son sus Ingresos Brutos en €/Ha,
el Riesgo de que se produzca una helada expresado en porcentaje de años en que se
ha producido una helada en los últimos 10 años y la población activa agraria del
municipio donde se encuentra situada la parcela
Ingresos brutos
(€/Ha)
Riesgo de helada
(%)
Población agrícola
municipio
Parcela A
1100
10
5000
Parcela B
980
25
6000
Parcela C
1000
15
8500
Parcela D
755
15
15000
Parcela E
1200
5
2500
Parcela F
1050
10
3000
Tabla 2.1. Información de partida con la que cuenta el valorador
De las tres variables consideradas, dos de ellas son variables directas con
respecto al precio, tanto los Ingresos brutos como la población activa agrícola están
relacionadas positivamente con el precio de las parcelas, a mayor valor de la variable
mayor valor de las parcelas. Sin embargo el riesgo de helada es una variable inversa
ya que a mayor Riesgo de helada, menor precio. Por lo tanto hay que transformar la
variable Riesgo de helada en directa. Las transformaciones que vamos a realizar con
el fin de comprobar la proporcionalidad y la permanencia de los resultados, son las
siguientes (Tabla 2.2).
Transformación por la inversa:
Transformación por la diferencia a una constante k = 50.
Transformación por la diferencia a una constante k = 30.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
25
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Variable Transformada
Riesgo de
helada (%)
Parcela
A
Parcela
B
Parcela
C
Parcela
D
Parcela
E
Parcela
F
Inversa Rh 50-Rh 30-Rh
Proporcionalidad
Riesgo de
helada (%) Inversa Rh 50-Rh 30-Rh
10
0,100
20
5
1,000
1,000
1,000 1,000
0,040
5
20
2,500
2,500
4,000 4,000
0,067
15
10
1,500
1,500
1,333 2,000
0,067
15
10
1,500
1,500
1,333 2,000
0,200
25
0
0,500
0,500
0,800 0,000
0,100
20
5
1,000
1,000
1,000 1,000
25
15
15
5
10
Tabla 2.2. Transformación a directa de la variable Riesgo de helada.
En la tabla 2.2. se aprecia
•
La transformación por la inversa mantiene la proporcionalidad de los valores de
las variables.
•
Cuando la transformación se realiza por la diferencia a una constante, no se
mantiene la proporcionalidad.
•
Los resultados obtenidos con distintas constantes son diferentes.
Por lo tanto, la transformación a realizar cuando nos encontremos con una
variable inversa es sustituirla por su inversa. Esta transformación como ya se ha dicho
solo tiene el inconveniente de no poderse utilizar si la variable toma el valor cero en
alguno de los testigo. Esta dificultad puede obviarse sin afectar de forma importante a
la proporcionalidad de la variable transformada mediante el recurso de sumar a la
variable una constante k lo mas pequeña posible en función del tipo de variable que
estemos analizando y posteriormente transformar la variable en directa mediante el
cálculo de la inversa.
2.4 VARIABLES EXPLICATIVAS CUALITATIVAS
En el apartado anterior hemos visto la clasificación de las variables en función de
su relación con el valor (directas o inversas). Otra de las clasificaciones de las
variables, de gran importancia en Valoración, es la de cuantitativas y cualitativas. Las
primeras son aquellas que vienen o pueden venir, expresadas normalmente por
cantidades, ejemplo de este tipo de variables son la Producción, los Ingresos, la
Renta, la distancia a un punto determinado, el contenido en sales de un suelo, el
número de habitaciones, la superficie, la altura , el número de goles marcados o
encajados por minutos jugados, el tamaño del cuadro etc. Las segundas, las
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
26
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
cualitativas, son aquellas que no son medibles directamente, aunque el experto pueda
darles una determinada cuantificación utilizando una escala determinada previamente.
Son ejemplo de este tipo de variables cualitativas, la calidad del suelo, el aspecto
vegetativo, la calidad del entorno urbanístico, la importancia de la imagen, la calidad
artística. Las variables cualitativas tienen gran importancia en los procesos valorativos
y deben ser tenidas en cuenta en la valoración. La dificultad que presentan es su
cuantificación, normalmente la forma de abordar este problema es mediante una
escala lineal de 0 a 10 o de 0 a 100 (no es indiferente el rango de la escala que se
adopte), donde el experto sitúa cada uno de los testigos comparándolos todos entre si.
Miller (1956) en un estudio de gran repercusión en la teoría de la decisión establece
que el cerebro humano tiene serias limitaciones para establecer comparaciones
globales entre distintos sujetos o alternativas a partir de una escala determinada, que
se incrementa de forma considerable cuando el número de elementos a comparar
supera el número 7.
Sin embargo el cerebro humano se encuentra perfectamente adaptado a las
comparaciones por pares, esto es, enfrentado a comparar dos elementos en función
de una característica determinada el cerebro humano la realiza con relativa facilidad.
Cuando desarrollemos el Proceso Analítico Jerárquico veremos que esta cualidad es
la base para cuantificar las variables explicativas cualitativas con el fin de poderlas
utilizar en el proceso de valoración.
2.5 NORMALIZACIÓN DE LOS VALORES
Los métodos multicriterio cardinales exigen la previa normalización de la
información. La razón de esta normalización está en la necesidad de unificar las
unidades de medida necesarias para poder comparar. Si en un proceso de decisión (o
en nuestro caso un proceso de valoración, como veremos ) estamos utilizando criterios
cuantitativos tan dispares como pueden ser los Ingresos Brutos medidos en u.m., junto
con la producción medida en Kg., litros, o unidades físicas producidas (automóviles,
jamones, plantones, etc), o junto con la distancia de ubicación medida en mts o Kms,
es evidente que establecer comparaciones a partir de esas unidades tan distintas, por
un lado no es deseable ya que entre otras causas pueden producirse distorsiones
hacia las cantidades mayores. Aún en los casos en que los distintos criterios se miden
con la misma unidad (u.m.,Kgs etc), si los valores utilizados en cada uno son distintos
en cuanto tamaño o vienen expresados de distinta forma, esta diferencia puede afectar
sensiblemente al resultado. En el ejemplo siguiente se pone en evidencia este tipo de
anomalías (Tabla 2.3).
CULTIVO
INVERSIÓN (€/Ha)
GANANCIAS(€/Ha)
Suma
1
-7200
1500
-5700
2
-8500
1200
-7300
3
-4500
450
-4050
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
27
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
4
-6000
1800
-4200
Tabla 2.3. Inversiones y Ganancias de distintos cultivos
Si la decisión sobre cual es el cultivo mas interesante, se toma en función de la
suma Inversión+Ganancias (expresaría que cultivo es el que mejor recupera la
Inversión) el resultado sería.
3>4>1>2
Sin embargo si esa misma información se presenta en € pero expresado en
miles la Inversión (Tabla 2.4).
CULTIVO
INVERSIÓN (miles
€/Ha)
GANANCIAS(€/Ha)
Suma
1
-7,20
1500
1492,8
2
-8,50
1200
1194,5
3
-4,50
450
445,5
4
-6,00
1800
1792,0
Tabla 2.4. Inversiones y Ganancias de distintos cultivos
El resultado cambia de forma radical, siendo ahora
4 > 1 > 2 > 3.
La forma de solucionar este problema, es uniformizar la información de manera
que la unidad utilizada no distorsione el resultado, a este proceso se le denomina
normalización.
Podemos definir la normalización como un procedimiento por el cual el valor de
las variables normalizadas queda comprendido en el intervalo [0 1].
Existen diferentes procedimientos de normalización cada uno con sus
características de cálculo y sobre todo con resultados distintos en cuanto a su
distribución dentro del intervalo general de [0 1] y al mantenimiento o no de la
proporcionalidad, siendo esta la propiedad por la que si el cociente de dos elementos
es igual a n, el cociente de esos mismos elementos normalizados también es n.
A continuación se desarrollan los procedimientos de normalización más
importantes; para su explicación teórica se utilizará los datos de la Tabla 2.3. y al final
del apartado se presentara un ejemplo con la aplicación de todas las formas de
normalización vistas.
Criterio 1
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
Criterio 2
Criterio 3
28
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Alternativa A
X11
X12
X13
Alternativa B
X21
X22
X23
Alternativa C
X31
X32
X33
Alternativa D
X41
X42
X43
Alternativa E
X51
X52
X53
Alternativa F
X61
X62
X63
Tabla 2.5. Información de alternativas y criterios para normalizar
2.5.1 Normalización por la suma
Este sistema de normalización consiste en utilizar el cociente de cada elemento
por la suma de los elementos de cada criterio o sea por la suma de los elementos de
la columna en que esta ubicado el elemento a normalizar.
x11NORMALIZADO =
x11
x
= 5 11
x11 + x21 + x31 + x41 + x51
∑ xi1
i =1
Lo forma general pues de normalización por la suma sería
x1 jNORMALIZADO =
xij
n
∑x
i =1
ij
El intervalo de los valores normalizados es 0<xij <1
Conserva la proporcionalidad.
2.5.2 Normalización por el mayor elemento o normalización por el Ideal
Consiste en dividir cada elemento de una columna por el mayor elemento de
dicha columna. Se denomina también normalización por el ideal debido a que en una
secuencia de valores de un criterio al mayor valor se la llama ideal y al menor
antiideal.
Si en la Tabla 2.5. en la columna del criterio 1, los valores de las xij son
x11 <x31 = x41 < x51 <x21
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
29
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
La normalización de todos los elementos de esa columna se realizarían
dividiendo cada uno de ellos por x21 que es el mayor.
x11
x21
x11NORMALIZADO =
Por lo tanto la fórmula general de normalización en este caso, sería.
x1 jNORMALIZADO =
xij
max xij
El intervalo de los valores normalizados es 0<xij ≤1
Conserva la proporcionalidad.
2.5.3 Normalización por el rango
Es una variante del anterior. La normalización se realiza mediante el cociente de
cada elemento menos el mínimo por el rango elemento máximo menos el mínimo.
x31 − x11
x21 − x11
x31NORMALIZADO =
Por lo tanto la fórmula general de normalización en este caso, sería.
xi1NORMALIZADO =
xi1 − min xi1
max xi1 − min xi1
El intervalo de los valores normalizados es 0≤xij ≤1. Con este tipo de
normalización siempre uno de los elementos es 0 y otro toma el valor 1.
No conserva la proporcionalidad, lo cual es un dato importante para su aplicación
en Valoración.
Existen otros procedimientos, como el de normalización por la raíz cuadrada del
sumatorio del cuadrado de los elementos, pero no vamos a considerarlo ya que los
mas utilizados son los tres vistos anteriormente.
2.5.4 Un ejemplo ilustrativo
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
30
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Partimos de la información de la Tabla 2.6., con 6 parcelas agrícolas de las
cuales conocemos tres variables explicativas, como son sus Ingresos Brutos en €/Ha,
el Riesgo de que se produzca una helada expresado en porcentaje de años en que se
ha producido una helada en los últimos 10 años y la población activa agraria del
municipio donde se encuentra situada la parcela
Ingresos brutos
(€/Ha)
Riesgo de helada
(%)
Población agrícola
Parcela A
1.100
10
5.000
Parcela B
980
25
6.000
Parcela C
1.000
15
8.500
Parcela D
755
15
15.000
Parcela E
1.200
5
2.500
Parcela F
1.050
10
3.000
Tabla 2.6. Información de partida
De las tres variables consideradas, dos de ellas son variables directas con
respecto al precio, tanto los Ingresos brutos como la población activa agrícola están
relacionadas positivamente con el precio de las parcelas, a mayor valor de la variable
mayor valor de las parcelas. Sin embargo el riesgo de helada es una variable inversa
ya que a mayor riesgo de helada, menor precio. Por lo tanto hay que transformar la
variable Riesgo de helada en directa. Como hemos visto en el punto correspondiente
la transformamos en directa mediante la inversa del valor.
Con la transformación por la inversa la tabla inicial de los datos quedaría de la
forma de la Tabla 2.7.
Ingresos brutos
(€/Ha)
Riesgo de helada
(%)
Población agrícola
Parcela A
1.100
0,10
5.000
Parcela B
980
0,04
6.000
Parcela C
1.000
0,07
8.500
Parcela D
755
0,07
15.000
Parcela E
1.200
0,20
2.500
Parcela F
1.050
0,10
3.000
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
31
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Tabla 2.7. Información de partida con todas las variables directas
Con todas las variables transformadas en directas el siguiente paso es
normalizarlas, para ello vamos a utilizar los tres procedimientos vistos anteriormente y
analizaremos en cada caso los resultados.
Normalización de la variable Ingresos Brutos: Vemos en la tabla 2.8. los valores
de la variable normalizada en cada caso. En la tabla 2.9 se observa el intervalo del
valor de la variable normalizada, que también se evidencia en el gráfico 2.1. Intervalo
que varía en función del método de normalización. Lo dicho para la variable Ingresos
Brutos puede también observarse para las dos otras variable, Riesgo de Helada
(tablas 2.10 y 2.11 y Grafico 2.2) y la variable Población activa agraria (tablas 2.12 y
2.13 y Grafico 2.3).
Normalización Normalización Normalización
por la suma
por el Ideal
por
el
intervalo
Parcela A
0,1807
0,9166
0,7752
Parcela B
0,1610
0,8166
0,5056
Parcela C
0,1643
0,8333
0,5505
Parcela D
0,1240
0,6291
0,0000
Parcela E
0,1972
1,0000
1,0000
Parcela F
0,1725
0,8750
0,6629
Tabla 2.8. Valores de la variable Ingresos Brutos normalizada, para cada uno de
los métodos de normalización
Ingresos brutos (€/Ha)
Suma
Máximo
Mínimo
Recorrido
Ideal
Intervalo
0,1972
1
1
0,1240
0,6291
0
0,0731
0,3708
1
Tabla 2.9. Intervalo o recorrido de la variable Ingresos Brutos normalizada, para cada
uno de los métodos de normalización
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
32
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Valor normalizado
Normalización Ingresos brutos
1,5
1
0,5
0
Normalización por
la suma
Normalización por
Parcela A Parcela B Parcela C Parcela D Parcela E Parcelael
F Ideal
Normalización por
Parcelas
el intervalo
Gráfico 2.2. Intervalo o recorrido de la variable Ingresos Brutos normalizada, para cada
uno de los métodos de normalización
Normalización de la variable Riesgo de Helada:
Normalización Normalización Normalización
por la suma
por el Ideal
por el
intervalo
Parcela A
0,1724
0,5000
0,3750
Parcela B
0,0689
0,2000
0,0000
Parcela C
0,1206
0,3500
0,1875
Parcela D
0,1206
0,3500
0,1875
Parcela E
0,3448
1,0000
1,0000
Parcela F
0,1724
0,5000
0,3750
Tabla 2.10. Valores de la variable Riesgo de Helada normalizada, para cada uno
de los métodos de normalización
Riesgo de helada
Máximo
Mínimo
Recorrido
Suma
Ideal
Intervalo
1,0000
2,9000
1,0000
0,3448
1,0000
0,0000
0,6551
1,9000
1,0000
Tabla 2.11. Intervalo o recorrido de la variable Riesgo de Helada normalizada,
para cada uno de los métodos de normalización
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
33
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Normalización Riesgo de Helada
1,2
Valores normalizados
1
0,8
0,6
0,4
0,2
Normalización por
la suma
0
Normalización por
el Ideal
Parcela A
Parcela B
Parcela C
Parcela D
Parcela E
Parcela F
Parcelas
Normalización por
el intervalo
Gráfico 2.3. Intervalo o recorrido de la variable Riesgo de Helada normalizada,
para cada uno de los métodos de normalización
Normalización de la variable Población activa agraria:
Normalización Normalización Normalización
por la suma
por el Ideal
por el
intervalo
Parcela A
0,1250
0,3333
0,2000
Parcela B
0,1500
0,4000
0,2800
Parcela C
0,2125
0,5666
0,4800
Parcela D
0,3750
1,0000
1,0000
Parcela E
0,0625
0,1666
0,0000
Parcela F
0,0750
0,2000
0,0400
Tabla 2.12. Valores de la variable Población activa agraria normalizada, para
cada uno de los métodos de normalización
Población agrícola
Máximo
Mínimo
Recorrido
Suma
Ideal
Intervalo
0,3750
1,0000
1,0000
0,0625
0,1666
0,0000
0,3125
0,8333
1,0000
Tabla 2.13. Intervalo o recorrido de la variable Población activa agraria
normalizada, para cada uno de los métodos de normalización
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
34
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Valores normalizados
Normalización Población agrícola
Población
agrícola
Normalización
por la suma
1,2
1
0,8
Población
agrícola
Normalización
por el Ideal
0,6
0,4
0,2
0
Parcela A Parcela B Parcela C Parcela D Parcela E Parcela F
Parcelas
Población
agrícola
Normalización
por el
Gráfico 2.4.. Intervalo o recorrido de la variable Población activa agraria normalizada,
para cada uno de los métodos de normalización
En todos los casos, se observa que el recorrido o intervalo de las variables varía
en función del método de normalización utilizado, siendo el más concentrado la
normalización por la suma y el menos el por el rango en el que siempre hay un valor 0
y otro 1.
El otro punto fundamental a comprobar es cual/es de los metodo/s mantiene/n la
proporcionalidad. Para ello comprobamos para todas las variables y para los tres tipo
de normalización el mantenimiento de la proporción de cada valor con respecto al
valor de la parcela A (Tablas 2.14, 2.15 y 2.16)
Ingresos Brutos
Valor
Proporción
Normalización por la
suma
Valor
normalizado
Proporción
Normalización por el
Ideal
Valor
normalizado
Proporción
Normalización por el
intervalo
Valor
Proporción
normalizado
A
1100
1,0000
0,1807
1,0000
0,9166
1,0000
0,7752
1,0000
B
98
0,8909
0,1610
0,8909
0,8166
0,8909
0,5056
0,6521
C
1000
0,9090
0,1643
0,9090
0,8333
0,9090
0,5505
0,7101
D
755
0,6863
0,1240
0,6863
0,6291
0,6863
0,0000
0,0000
E
1200
1,0909
0,1972
1,0909
1,0000
1,0909
1,0000
1,2898
F
1050
0,9545
0,1725
0,9545
0,8750
0,9545
0,6629
0,8550
Tabla 2.14. Cálculo del mantenimiento de la proporcionalidad de los distintos métodos
de normalización para la variable Ingresos brutos
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
35
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Riesgo de helada
Valor
Proporción
Normalización por la
suma
Valor
normalizado
Proporción
Normalización por el
Ideal
Valor
normalizado
Proporción
Normalización por el
intervalo
Valor
Proporción
normalizado
A
0,1000
1,0000
0,1724
1,0000
0,5000
1,0000
0,3750
1,0000
B
0,0400
0,4000
0,0689
0,4000
0,2000
0,4000
0,0000
0,0000
C
0,0700
0,7000
0,1206
0,7000
0,3500
0,7000
0,1875
0,5000
D
0,0700
0,7000
0,1206
0,7000
0,3500
0,7000
0,1875
0,5000
E
0,2000
0,2000
0,3448
0,2000
1,0000
0,2000
1,0000
2,6666
F
0,1000
1,0000
0,1724
1,0000
0,5000
1,0000
0,3750
1,0000
Tabla 2.15. Cálculo del mantenimiento de la proporcionalidad de los distintos
métodos de normalización para la variable Riesgo de helada
Población agrícola
Valor
Proporción
Normalización por la
suma
Valor
normalizado
Proporción
Normalización por el
Ideal
Valor
normalizado
Proporción
Normalización por el
intervalo
Valor
Proporción
normalizado
A
5.000
1,0000
0,1250
1,0000
0,3333
1,0000
0,2000
1,0000
B
6.000
1,2000
0,1500
1,2000
0,4000
1,2000
0,2800
1,4000
C
8.500
1,7000
0,2125
1,7000
0,5666
1,7000
0,4800
2,4000
D
15.000
3,0000
0,3750
3,0000
1,0000
3,0000
1,0000
5,0000
E
2.500
0,5000
0,0625
0,5000
0,1666
0,5000
0,0000
0,0000
F
3.000
0,6000
0,0750
0,6000
0,2000
0,6000
0,0400
0,2000
Tabla 2.16. Cálculo del mantenimiento de la proporcionalidad de los distintos métodos
de normalización para la variable Población agrícola
Como se pone en evidencia en las tablas anteriores, los métodos de
normalización que mantienen la proporcionalidad de los datos son la normalización por
la suma y la normalización por el ideal o por el mayor.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
36
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Estos dos procedimientos serán los utilizados en todos los procesos de
normalización de los métodos multicriterio que desarrollaremos en los próximos
capítulos.
2.6 FUNCIONES DE DISTANCIA. DISTANCIA L1 O DISTANCIA DE
MANHATTAN
En la práctica valorativa es conveniente la utilización de distintos métodos con el fin de
determinar el valor buscado a partir de la información de los testigos de los que se
disponga. Por lo tanto al final del proceso posiblemente tengamos tantos valores del
activo a valorar como métodos hayamos utilizado.
Para determinar que valor elegimos como definitivo vamos a adoptar un método
basado en el concepto de distancia introducido por Minkowsky y en el axioma de
Zeleny base de la metodología de la Programación compromiso “Dadas dos
soluciones posibles en el espacio de los objetivos f1 y f2 la solución preferida será
aquella que se encuentre más próxima al punto ideal” (Zeleny, 1973).
El concepto general de distancia se representa por (5)
 n
p
L p =  ∑ x1j − x 2j 
 j =1

1/ p
( 5)
Según el valor que demos a p obtenemos distintas distancias, de las cuales las más
comunes son:
P=1. Distancia Manhattan o Norma L1
P=2. Distancia Euclidiana o Norma L2
P= ∞. Distancia Chevysev o Norma L∞
En un eje de coordenadas bidimensional (Figura 2.5), las distancias entre dos puntos
A y B serían.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
37
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
X2
B (2,7)
10
6
A (10,1)
8
X1
Figura 2.5. Distancia Euclídiana y Manhattan. (Figura tomada de Romero C., 1977 pag. 48)
Distancia Manhattan o L1 = 6+8 = 14
Distancia Euclidiana o L2 = 10
Distancia Chevysev o L = 8
La distancia Manhattan se corresponde con la suma de los catetos del triángulo
rectángulo de la figura. La distancia Euclidiana a su vez se corresponde con la
hipotenusa de dicho triángulo y la distancia Chevysev con el máximo valor de los dos
catetos que configuran la distancia Manhattan. En términos geométricos, podemos
decir que la distancia Manhattan representa la más larga entre dos puntos y la
Chevysev la mas corta.
Para el problema que nos ocupa en este momento, determinar una metodología para
elegir el resultado mas ajustado al Ideal, vamos a considerar la distancia Manhattan.
La base de esta elección está en el trabajo de Yoon (1987) en el que intenta medir la
credibilidad de las diferentes métricas llegando a la conclusión que la métrica L1 es la
mas creíble. Las distancias Euclidiana y Chevysev las retomaremos al desarrollar la
Programación por metas.
Vamos a ver ahora como utilizar los conceptos desarrollados anteriormente de las
Distancias y la Programación compromiso para elegir el método y por lo tanto el valor
definitivo.
Con cada uno de los métodos de valoración que se utilicen para calcular el valor del
activo problema, se recalcula el valor de los testigos, con lo que tendremos tantos
grupos de valores testigos como métodos utilizados (Vm).
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
38
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Tenemos por otro lado los valores reales de cada uno de los testigos, valores de los
que partimos (VR) y al que consideramos como Ideal.
Calculamos la distancia L1 entre cada Vm y VR.
Aquel Vm cuya distancia al ideal sea menor será el método cuya solución adoptaremos
como definitiva, ya que es el método con el que obtenemos Vm mas parecidos al Ideal
que recordemos son los valores reales de los testigos.
2.6.1. Ejemplo
Veamos este proceso con un ejemplo. Para ello utilizaremos la información del
ejemplo que seguiremos en capítulos posteriores, pero en estos momentos como aun
no se han presentado los modelos multicriterio, aplicaremos solo un modelo clásico
sintético como el baricéntrico y aplicaremos la distancia Manhattan para determinar
cual de los distintos valores encontrados en función de la variable utilizada es el mas
adecuado.
Parcela
Valor
Ingresos brutos
Edad
Población agraria
1
4.200
400
11
1.200
2
6.100
750
10
1.250
3
6.800
870
11
1.300
4
6.200
800
10
1.400
5
5.000
600
10
1.300
800
10
1.200
X
2.17. Información de partida
Normalizamos.
PARCELA
1
2
3
4
5
X
VALOR
4200
6100
6800
6200
5000
INGRESOS BRUTOS
0,0948
0,1777
0,2062
0,1896
0,1422
0,1896
1
EDAD
0,1746
0,1587
0,1746
0,1587
0,1587
0,1746
1
POBLACION AGRARIA
0,1569
0,1634
0,1699
0,1830
0,1699
0,1569
1
2.17. Información de partida normalizada
Calculamos los respectivos ratios baricéntricos y los valores de la parcela X
respectivos.
Variable Ingresos Brutos.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
39
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
4.200 + 6.100 + 6.800 + 6.200 + 5.000
28.300
=
= 34.916,71
0,0948 + 0,1777 + 0,2062 + 0,1896 + 0,1422 0,8105
Valor Parcela X = 34.916,71 ∗ 0,1896 = 6.620 euros Ha
RatioIB =
Variable Edad
4.200 + 6.100 + 6.800 + 6.200 + 5.000
28.300
=
= 34.290,56
0,1746 + 0,1587 + 0,1746 + 0,1587 + 0,1587 0,8253
Valor Parcela X = 34.290,56 ∗ 0,1746 = 5.987 euros Ha
RatioE =
Variable Población agraria.
4.200 + 6.100 + 6.800 + 6.200 + 5.000
28.300
=
= 33.554,65
0,1569 + 0,1634 + 0,1699 + 0,1830 + 0,1699 0,8431
Valor Parcela X = 33.554,64 ∗ 0,1569 = 5.264 euros Ha
RatioE =
Tenemos por lo tanto tres valores distintos en función del ratio utilizado. Vamos a
determinar que solución es la mas adecuada, que será aquella que de la menor
Distancia Manhattan, de los valores recalculados de los testigos.
Calculamos, por lo tanto, la Distancia Manhattan o L1 para cada ratio mediante (6).
Tabla 2.18.
5
1
L2 = ∑ x 1j − x 2j 
 j =1

1/1
PARCELA
VALOR
1
4.200,00
2
6.100,00
3
6.800,00
4
6.200,00
5
5.000,00
DISTANCIA
MANHATTAN
(6)
Valor con
Ratio IB
3.310
6.206
7.199
6.620
4.965
Distancia
890
106
399
420
35
Valor con
Ratio E
5.987
5.442
5.987
5.442
5.442
1.850
Distancia
1.787
658
813
758
442
Valor con
Ratio PA
5.265
5.484
5.704
6.143
5.704
4.458
3.538
2.18. Distancias Manhattan de los valores recalculados de los testigos al Ideal
Las distintas distancias aparecen resumidas en la Tabla 2.19.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
Distancia
1.065
616
1.096
57
704
40
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
Variable
I. Brutos
Edad
P. Agraria
Distancia
Manhattan
1.850
4.458
3.538
2.19. Resumen de la distancias Manhattan
Si representamos en un grafico las distancias obtenidas. Gráfico 2.6.
Distancia Manhattan
5.000
4.500
Distancia al Ideal
4.000
3.500
3.000
2.500
Distancia Manhattan
2.000
1.500
1.000
500
0
I. Brutos
Edad
P. Agraria
Método
Gráfico 2.6. Distancias Manhattan
Es evidente en este caso que los valores que su distancia al Ideal es menor son los
obtenidos con el ratio Ingresos brutos, por lo tanto adoptaremos el valor de la parcela
problema deducido por este ratio.
VALOR DEFINITIVO DE X = 6.620 euros/Ha.
En sucesivos capítulos utilizaremos el cálculo de la distancia Manhattan para
determinar en cada caso el método cuyo resultado es el más indicado.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
41
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
2.7 ÍNDICE DE ADECUACIÓN .
32
Cuando trabajemos con Programación por metas y a la hora de comparar la bondad
de diferentes modelos cuya utilización es posible, puede hacerse uso de un ratio al
que hemos denominado índice de adecuación ( I a ). Se trata de enfrentar la solución
obtenida mediante el modelo de programación por metas con la que se obtendría con
una solución ingenua (naive) del problema. Esta última sería la que aplicaría el
valorador cuando la única variable conocida para la muestra de testigos fuera el
precio, de manera que el valor estimado para cualquier activo problema sería el
obtenido como promedio entre el conjunto de testigos de la muestra. El índice de
adecuación se obtendrá a partir de la relación entre la suma de desviaciones de uno y
otro modelo [7]:
z

I a = 1 −  × 100
z' 

[7]
donde z recoge la suma del conjunto de variables de desviación para el modelo
de valoración por metas33 ( z =
n
n
∑n
j =1
absolutos en el modelo naive ( z ' =
j
+ p j = ∑ y j − y ), y z ' la suma de errores
j =1
n
∑y
j =1
j
− y ).
De esta manera, el índice de adecuación puede fluctuar entre 0 y 100, con
valores más próximos al límite superior cuanto más ajustado resulte el modelo.
2.8 NOMENCLATURA
Para poder aplicar la metodología multicriterio a la valoración es imprescindible
realizar algunos cambios en la terminología original de forma que se adapte el
vocabulario multicriterio a la terminología valorativa.
1. Las denominadas Alternativas en el modelo general se corresponderán en
valoración con el conjunto de activos (fincas o parcelas en el caso agrario,
inmuebles urbanos en valoración urbana etc) cuyos valores de mercado y
características se conocen, mas el activo a valorar.
2. Los denominados atributos en el modelo general equivalen con lo que
denominamos en valoración variables explicativas o variables exógenas y
32
El Indice de adecuación presentado en este apartado es otra forma de enfocar el concepto de Distancia
Manhattan visto en el apartado anterior. En este caso se comparan las distancias a el Ideal de los valores
obtenidos con Programación por metas frente a un modelo naive.
33
En cualquiera de sus variantes.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
42
Capítulo 2. Decisión Multicriterio
de las cuales así como de los diferentes tipos existentes ya se ha hablado
en este capítulo.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
43
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
3.1 INTRODUCCIÓN
Tanto en este capítulo como en los posteriores, en los que se van a exponer la
utilización de diversos métodos de decisión multicriterio como técnicas de aplicación a
la valoración, primero se mostrarán en su faceta original de metodología de toma de
decisiones, para posteriormente desarrollar como pueden ser aplicados a la valoración
de activos, terminando en todos los casos con un ejemplo de esta aplicación.
En este capítulo se presentan tres métodos multicriterio cuya función consiste en
permitir la ponderación de los distintos criterios (variables explicativas) utilizados para
ponderar las alternativas (activos testigo y a valorar). Los métodos en concreto son:
ƒ
Método de la Entropía.
ƒ
Método de Diakoulaki.
ƒ
Método de la Ordenación Simple.
Cuando estudiemos el Proceso Analítico Jerárquico en capítulos posteriores, así
como la Programación por metas veremos como ambos procesos también pueden
entrar en este mismo apartado de ponderación de criterios, pero por su interés y
singularidad los estudiaremos aparte.
Para decidir entre un grupo de alternativas (1,2,…..,n) cual es la mas interesante,
se realiza en función de una serie de criterios. Los métodos de ponderación de
criterios de Diakoulaki y Entropía pretenden a partir de la información del valor que las
distintas alternativas tienen de cada criterio, determinar de una forma objetiva el peso
de ellos. La información de partida sería como la de la tabla 3.1.
ALTERNATIVA
Criterio A
Criterio B
Criterio C
1
X1A
X1B
X1C
2
X2A
X2B
X2C
3
X3A
X3B
X3C
4
X4A
X4B
X4C
5
x5A
x5B
x5C
6
xPA
xPB
xPC
Tabla 3.1. Alternativas y valor de sus criterios
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
45
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
Por otro lado el método de la ordenación simple, a diferencia de los dos
anteriores, permite obtener la ponderación de los criterios por ordenación de los
mismos y su utilización se justifica cuando se parte de una situación tan escasa de
información, que no es posible la aplicación de los métodos anteriores.
Vamos a ver a continuación con detalle cada uno de estos métodos.
3.2 MÉTODO DE DIAKOULAKI
Este método fue presentado por sus autores34 en el año 1992 en las 36ª
Journées du groupe européen Aide Multicritérie á la Decisión en Luxemburgo. El
método pondera cada variable según la expresión (1), partiendo de los datos que para
dicha variable explicativa, adquieren las distintas alternativas.
wj = sj * Σ (1 – rjk) (1)
Siendo
wj = peso o ponderación de la variable j
sj = desviación típica de la columna j
rjk = Coeficiente de correlación entre la columna j y la k
por consiguiente el peso de un criterio es tanto mayor cuanta mayor sea su
varianza (mayor desviación típica) y cuanta mayor información diferente a la de los
otros criterios aporte (menor coeficiente de correlación entre columnas). Con el fin de
que las magnitudes sean comparables se procede previamente a la normalización por
la suma de las mismas transformándolas por lo tanto a valores entre 0 y 1,
procedimiento que ya hemos visto en el capítulo anterior (2.4).
La desviación estándar de cada criterio se obtiene aplicando la fórmula conocida
(2)
n
Sj =
−


Xj − X
∑

j =1 
n
2
(2)
Así mismo utilizando la fórmula del Coeficiente de correlación de Pearson (3) se
calculan los distintos coeficientes de correlación entre los criterios.
r jk =
cov( j , k )
s j * sk
(3)
Ambas expresiones proporcionan la información para calcular la ponderación de
cada uno de los criterios de acuerdo con la expresión del cálculo de los pesos vista
anteriormente (1).
34
DIAKOULAKI, D. ; MAVROTAS, G. ; PAPAYANNAKIS,L. (1992)
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
46
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
3.3 MÉTODO DE LA ENTROPÍA
Este método fue propuesto por Zeleny (1982) como un método objetivo de
cálculo de los pesos ya que parte del supuesto de que un criterio tiene mayor peso
cuando mayor diversidad hay en las evaluaciones de cada alternativa y además su
cálculo se realiza a partir de los valores que adquieren los distintos criterios que se van
a ponderar. Conceptualmente se basa en la teoría de la información de Shannon35 que
introduce el concepto de entropía en un canal de información.
Para su cálculo se empieza por normalizar por la suma los distintos valores aij.de
los criterios.
Se calcula la entropía de cada variable utilizando la siguiente fórmula (4)
Ej = - K Σi aij log aij (4)
Siendo K = 1 / log m y m el número de alternativas.
La entropía calculada es tanto mayor cuanto mas iguales son las aij
consideradas. Como lo que se busca es la diversidad D (5)
Dj = 1 - Ej (5)
Finalmente se normaliza por la suma y se obtiene la ponderación buscada (6)
wj = Dj / Σj Dj (6)
Los wj expresan la ponderación o peso de cada uno de los criterios.
3.4 MÉTODO DE LA ORDENACIÓN SIMPLE
El método de la Ordenación simple es el método más sencillo de ponderación de
criterios, ya que en él lo único que se demanda al decisor es que ordene los criterios
de mayor a menor importancia, de forma que después se da el mayor valor al primero
y el menor valor al último. En el supuesto de que dos criterios se definan como de la
misma importancia a cada uno de ellos se le adjudica el promedio de ambas
valoraciones. Puntuados los criterios se normalizan por la suma y el resultado es la
ponderación final de los criterios (Tabla 3.2).
35
SHANNON, C.E.;WEAVER,W. (1949)
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
47
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
Criterios
Orden
Valor
Ponderación
A
2
2
0,3333
B
1
3
0,5000
C
3
1
0,1667
6
1
Tabla 3.2. Ponderación de criterios por Ordenación simple.
Este método por su sencillez puede ser aplicado en situaciones de poca información
sobre las variables por parte del decisor.
3.5 MÉTODOS DE LA ENTROPÍA Y DIAKOULAKI APLICADOS A
LA VALORACIÓN
En este punto vamos a ver como aplicar los métodos vistos anteriormente al
campo de la Valoración, y para ello recordar la adaptación de la terminología
multicriterio de forma que lo que en los puntos anteriores eran criterios ahora son
variables explicativas y lo que denominábamos alternativas ahora son activos
(agrarios, urbanos, medioambientales etc).
Cuando en Valoración, se utilizan métodos comparativos se parte, como se vió
en el Capítulo 1, de una cierta información de mercado como la que aparece en la
Tabla 3.3 donde se tiene una serie de activos que recientemente han sufrido una
transacción económica y de las cuales se conoce el precio (Vi) por el que se realizó y
el valor de una serie de variables explicativas (Xij).
ACTIVOS
VALOR
Variable A
Variable B
Variable C
1
V1
X1A
X1B
X1C
2
V2
X2A
X2B
X2C
3
V3
X3A
X3B
X3C
4
V4
X4A
X4B
X4C
5
V5
x5A
x5B
x5C
xPA
xPB
xPC
Activo Problema (P)
Tabla 3.3. Información de mercado (valores y variables explicativas).
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
48
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
Si se aplican los métodos sintéticos, por ejemplo el método baricéntrico36, se
obtienen tres ratios, uno por cada variable explicativa (1).
5
‡”V
i
Rj =
i=1
5
‡”x
j = A... C (1)
ij
i=1
el valor del activo problema será para cada ratio (2).
VPj = Rj * xPj
j = A...B
(2)
Con lo cual al final se tendrán tres valores del activo problema
VP1 , VP2 , VP3
Uno por cada variable explicativa, con lo que se plantea el dilema de cual de
ellos o que combinación de ellos es la que se da como valor definitivo.
En algunos casos se decide por aquel valor calculado con la variable explicativa
mas significativa (normalmente variables de tipo económico, como los Ingresos brutos,
la Producción etc). En otros casos se opta por hallar una media de todos los valores
conseguidos, o bien si hay alguno que se aparta de forma significativa de los otros no
se tiene en cuenta y se promedian exclusivamente los restantes.
Como es evidente todas las soluciones anteriores son totalmente subjetivas. A
eliminar esa subjetividad va dirigido la utilización de los métodos que se desarrollan en
este capítulo como métodos de ponderación de variables.
Con la utilización del método de la entropía o el método de Diakoulaki se
ponderan las variables explicativas en función de los datos de los que se parte para
valorar. Los pesos obtenidos son los que posteriormente permiten ponderar los
distintos valores calculados (3) y por lo tanto obtener un valor final en función de todas
las variables explicativas y de su importancia o peso.
VP = w1 * VP1 + w2 * VP2 + w3 * VP3
(3)
Siendo las wi los pesos o ponderaciones obtenidas por cada variable, y los Vpi
los distintos valores encontrados en función de la variable utilizada.
3.6 MÉTODO DE LA ORDENACIÓN SIMPLE APLICADO A LA
VALORACIÓN
Este método de fácil cálculo, puede tener aplicación en Valoración en dos casos:
•
36
Cuando se aplica el método Beta o de las funciones de distribución.
CABALLER, V (1998)
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
49
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
•
Combinado con el Proceso Analítico Jerárquico.
Cuando se aplica el método Beta también se obtiene un valor por cada variable
explicativa, pero en este caso no se tiene una información de mercado suficiente para
aplicar uno de los métodos de ponderación de variables vistos en el apartado anterior
(Diakoulaki o Entropía), por lo que se puede optar por deducir la ponderación de las
variables mediante una simple ordenación. Esa ponderación como en el caso anterior
será la que se utilizará para ponderar los distintos valores obtenidos.
También este método puede utilizarse para ponderar las variables explicativas
en el caso de utilizar el Proceso Analítico Jerárquico (este método se verá con detalle
en el próximo capítulo) ya que en AHP el primer paso es ponderar las variables
explicativas, ponderación que se realiza planteando una matriz de comparaciones
pareadas. Puede darse el caso de no conocer el entorno de forma suficiente como
para plantear esta matriz, por lo que en esa situación puede adoptarse la solución de
ponderar las variables explicativas utilizando la Ordenación Simple37.
Conocido como utilizar los modelos de ponderación multicriterio en Valoración
vamos a ver dos ejemplos de su aplicación.
3.7 EJEMPLO DE APLICACIÓN A LA VALORACIÓN AGRARIA DE
LOS MÉTODOS DE DIAKOULAKI Y ENTROPÍA
Se pide valorar la hectárea de la parcela X de mandarina variedad Clementina
de Nules situada en el municipio de XXXXX (Valencia) utilizando los datos tanto de la
parcela problema como de los testigos que aparecen en la Tabla 3.4.
PARCELA
VALOR
€/hg38
INGRESOS
BRUTOS €/hg
EDAD
PLANTACIÓN
POBLACIÓN
AGRARIA
1
4200
400
11
1.200
2
6100
750
10
1.250
3
6800
870
11
1.300
4
6200
800
10
1.400
5
5000
600
10
1.300
800
11
1.200
X
Tabla 3.4. Datos de las parcelas testigo y problema.
Cuando desarrollemos el Proceso Analítico Jerárquico y la Programación por metas veremos que este
procedimiento de la utilización de la Ordenación simple aunque posible y válido es innecesario, ya que es
superado por lo que denominaremos el modelo bietápico.
38
hg =Hanegada, medida de superficie equivalente a 831 m2
37
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
50
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
Las tres variables explicativas utilizadas son cuantitativas y están cuantificadas.
Normalizamos por la suma la información de la tabla anterior, transformándose en la
de la Tabla 3.5.
PARCELA
VALOR €/hg
INGRESOS
BRUTOS €/hg
EDAD
POBLACIÓN
AGRARIA
1
4.200
0,0948
0,1746
0,1569
2
6.100
0,1777
0,1587
0,1634
3
6.800
0,2062
0,1746
0,1699
4
6.200
0,1896
0,1587
0,1830
5
5.000
0,1422
0,1587
0,1699
0,1896
0,1746
0,1569
1,0000
1,0000
1,0000
X
Tabla 3.5. Información normalizada.
Pasamos ahora al cálculo de la ponderación de las variables por los dos
métodos de la entropía y Diakoulaki.
3.7.1 PONDERACIÓN DE LAS VARIABLES POR EL MÉTODO DE LA
ENTROPÍA.
Calculamos primero los Logaritmos en base 10, de los valores que toma cada
variable en cada parcela. Tabla 3.6
PARCELA VALOR €/hg INGRESOS BRUTOS €/hg EDAD POBLACIÓN AGRARIA
1
4.200
-1,0233
-0,7579
-0,8045
2
6.100
-0,7503
-0,7993
-0,7868
3
6.800
-0,6858
-0,7579
-0,7697
4
6.200
-0,7222
-0,7993
-0,7375
5
5.000
-0,8472
-0,7993
-0,7697
-0,7222
-0,7579
-0,8045
X
Tabla 3.6. Logaritmos base 10 de los valores de las variables.
Calculamos también el valor de k, que en este caso es la inversa del logaritmo
de 6, por ser este el número de parcelas consideradas.
K = 1 / 0,7782 = 1,2851
Con esta información ya pasamos a calcular la entropía de cada variable.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
51
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
EIB = - 1,2851 * [(0,0948*(-1,0233))+(0,1777*(-0,7503))+(0,2062*(-0,6858))
+(0,1896*(-0,7222))+(0,1422*(-0,8472))+(0,1896*(-0,7222))] = 0,9844.
EE = - 1,2851 * [(0,1746*(-0,7579))+(0,1584*(-0,7993))+(0,1746*(-0,7579))
+(0,1587*(-0,7993))+(0,1587*(-0,7993))+(0,1746*(-0,7579))] = 0,9994.
ERh = - 1,2851 * [(0,1569*(-8045))+(0,1634*(-0,7868))+(0,1699*(-0,7697))
+(0,1830*(-0,7375))+(0,1699*(-0,7697))+(0,1569*(-0,8045))] = 0,9992.
Finalmente conocida la entropía de cada variable, se calcula su Diversidad y se
normaliza, obteniendose la ponderación buscada. Tabla 3.7.
Variable
Entropía
Diversidad
Pesos normalizados
INGRESOS
BRUTOS
0,9844
0,0156
0,9152
EDAD
0,9994
0,0006
0,0371
POBLACIÓN
AGRARIA
0,9992
0,0008
0,0477
0,0171
1,0000
Tabla 3.7. Peso de las variables por el método de la entropía.
Según el método de la Entropía, partiendo de los valores que las variables
toman en cada activo, su peso o ponderación es el siguiente:
Ingresos Brutos: 91,52%
Edad: 3,71%
Población agraria: 4,77%
Esto es, la variable más importante, con mucho, son los Ingresos Brutos,
mientras que tanto la Edad como la Población agraria influyen muy poco.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
52
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
3.7.2 PONDERACIÓN DE LAS VARIABLES POR EL MÉTODO DE DIAKOULAKI
Calculamos primero la desviación típica de las variables. Tabla 3.8.
Variable
Desviación típica
INGRESOS BRUTOS
0,0412
EDAD
0,0087
POBLACIÓN AGRARIA
0,0099
Tabla 3.8. Desviación típica de las variables
Seguido del cálculo de la correlación entre ellas. Tabla 3.9.
INGRESOS
BRUTOS €
Variable
INGRESOS BRUTOS
EDAD
POBLACIÓN
AGRARIA
-0,0840
0,4245
EDAD
-0,6019
POBLACIÓN
AGRARIA
Tabla 3.9. Coeficientes de correlación entre variables
Con los datos obtenidos en los procesos anteriores, calculamos el peso de cada
variable.
WIB = 0,0412 * [(1-(-0,0840))+(1-0.4245)] = 0,0684
WE = 0,0087 * [(1-(-0,0840))+(1-(-6019))] = 0,0234
WRh = 0,0099 * [(1-0,4245)+(1-(-0,6019))] = 0,0216
Normalizamos los resultados obtenidos y obtenemos la ponderación de las
variables. Tabla 3.10.
Variable
Pesos
Pesos normalizados
INGRESOS BRUTOS
0,0684
0,6036
EDAD
0,0234
0,2060
POBLACIÓN AGRARIA
0,0216
0,1904
0,1133
1,0000
Tabla 3.10. Ponderación de las variables por Diakoulaki.
Según el método de Diakoulaki, partiendo de los valores que las variables toman
en cada activo, su peso o ponderación es el siguiente:
Ingresos Brutos : 60,36%
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
53
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
Edad: 20,60%
Riesgo de helada: 19,04%
Esto es, la variable mas importante es los Ingresos brutos, mientras tanto la
Edad como la Población agraria su importancia es similar y menor.
3.8. EJEMPLO DE APLICACIÓN
ORDENACIÓN SIMPLE
DEL
MÉTODO
DE
LA
Podría darse el caso en un ejemplo como el anterior que el valorador no tuviese
suficiente información para deducir por Diakoulaki o Entropía la ponderación de las
variables que él considera como explicativas39. Este problema puede abordarse de
una forma sencilla aunque elemental con el método de la Ordenación simple como se
observa en la tabla 3. 11.
Variables
Orden
Valor
Ponderación
Ingresos Brutos
1
3
0,5000
Edad
2
2
0,3333
Población agraria
3
1
0,1666
6
1
Tabla 3.11. Ponderación de las variables por Ordenación simple.
Por este método, partiendo del ordenamiento anterior, el peso o ponderación de
las variables es el siguiente:
Ingresos Brutos : 50,00%
Edad: 33,33%
Población agraria : 16,66%
Esto es, la variable mas importante es los Ingresos brutos, seguida de la Edad y
finalmente la Población agraria.
Podría darse el caso de que el experto considerase que dos variables tienen la
misma importancia, en el ejemplo la Edad y la Población agraria, en ese caso como en
la Tabla 3.12, el peso de ambas se distribuye entre las dos variables.
39
Este supuesto que en principio puede parecer irreal y que desde luego haría bajo la metodología actual
inviable cualquier intento de valoración, se da en la práctica valorativa mayor número de veces de lo
deseado. El valor de la metodología que se irá presentando en los próximos capítulos es que permite hacer
frente a este tipo de situaciones, en ese sentido, el método de la Ordenación simple es un primer ejemplo
aunque muy elemental comparado con el nivel de elaboración de metodologías que veremos
posteriormente como el Proceso Analítico Jerárquico y la combinación de este con la Programación por
metas.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
54
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
Variables
Orden
Valor
Ponderación
Ingresos Brutos
1
3
0,5000
Edad
2
1,5
0,2500
Población agraria
2
1,5
0,2500
6
1
Tabla 3.12. Ponderación de las variables por Ordenación simple
Este último supuesto es el que vamos a utilizar para seguir con el ejemplo que
hemos planteado.
En los puntos siguientes veremos como esta información de los pesos o
ponderaciones de las variables explicativas, nos permite mejorar algunos de los
métodos comparativos clásicos y en el próximo capítulo veremos su aplicación como
complemento a la Suma ponderada.
3.9. UTILIZACIÓN DE LAS PONDERACIONES OBTENIDAS
COMO COMPLEMENTO DE LOS MÉTODOS SINTÉTICOS.
Con los métodos vistos anteriormente se consiguen ponderar las distintas
variables explicativas del precio, en este caso, de una serie de parcelas agrícolas.
Vamos a ver a continuación, siguiendo con el ejemplo planteado, como utilizar dicha
información para obtener el valor definitivo de una parcela agrícola.
Se pide, por lo tanto, valorar la hectárea de la parcela X de mandarina variedad
Clementina de Nules situada en el municipio de XXXXX (Valencia) utilizando los datos
tanto de la parcela problema como de los testigos que aparecen en la Tabla 3.13
PARCELA
VALOR €/hg
INGRESOS
BRUTOS €/hg
EDAD
POBLACIÓN
AGRARIA
1
4200
400
11
1.200
2
6100
750
10
1.250
3
6800
870
11
1.300
4
6200
800
10
1.400
5
5000
600
10
1.300
800
11
1.200
X
Tabla 3.13. Datos de las parcelas testigo y problema.
Normalizada por la suma la información de la tabla anterior, se transforma en la
de la Tabla 3.14.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
55
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
PARCELA
VALOR
€/hg
INGRESOS BRUTOS
€/hg
EDAD
POBLACIÓN
AGRARIA
1
4.200
0,0948
0,1746
0,1569
2
6.100
0,1777
0,1587
0,1634
3
6.800
0,2062
0,1746
0,1699
4
6.200
0,1896
0,1587
0,1830
5
5.000
0,1422
0,1587
0,1699
0,1896
0,1746
0,1569
1,0000
1,0000
1,0000
X
Tabla 3.14. Información normalizada.
Si aplicamos el método sintético baricéntrico para el cálculo del valor de la
parcela X, obtenemos uno por cada variable explicativa.
Variable Ingresos Brutos.
4.200 + 6.100 + 6.800 + 6.200 + 5.000
28.300
=
= 34.916,71
0,0948 + 0,1777 + 0,2062 + 0,1896 + 0,1422 0,8105
Valor Parcela X = 34.916,71 ∗ 0,1896 = 6.620 euros Ha
RatioIB =
Variable Edad
4.200 + 6.100 + 6.800 + 6.200 + 5.000
28.300
=
= 34.290,56
0,1746 + 0,1587 + 0,1746 + 0,1587 + 0,1587 0,8253
Valor Parcela X = 34.290,56 ∗ 0,1746 = 5.987 euros Ha
RatioE =
Variable Población agraria.
4.200 + 6.100 + 6.800 + 6.200 + 5.000
28.300
=
= 33.554,65
0,1569 + 0,1634 + 0,1699 + 0,1830 + 0,1699 0,8431
Valor Parcela X = 33.554,64 ∗ 0,1569 = 5.264 euros Ha
RatioE =
Como vemos se obtienen tres valores de la Parcela X distintos en función de la
variable explicativa utilizada (Tabla 3.15)
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
56
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
Variable utilizada
Valor de la Ha
Comparación
Ingresos Brutos
6.620
100
Edad
5.987
90,43
Población agraria.
5.246
79,24
Tabla 3.15. valores de la parcela X en función de la variable utilizada para su
cálculo.
Los valores obtenidos según la variable utilizada, difieren de forma importante ya
que si damos el valor 100 al obtenido con los Ingresos brutos, el obtenido con la Edad
tiene valor 90,43 y con la Población agraria 79,24. Ante esta diversidad el experto
valorador se encuentra en la dificultad de decidir que valor o combinación de valores
debería adoptar como definitivo y para ello hay distintas soluciones en la práctica,
como pueden ser.
1.
El tasador opta por utilizar el promedio de todos los valores, en este caso este
valor promedio sería de 5.951 € con lo cual utiliza todas las variables en el calculo
del precio, pero considera que todas las variables influyen de la misma forma, lo
cual no parece correcto, ya que es lógico suponer que algunas de las variables
consideradas (por Ej. Ingresos brutos) tienen mayor influencia que las otras en el
precio de la parcela. Todo ello agravado en este caso por la gran diferencia de
valores encontrada según qué variable explicativa se utilice.
2.
Otra solución adoptada en la práctica de la tasación sería no considerar el
precio obtenido con la variable Población agraria de helada por la gran diferencia
existente y sacar la media de las otras dos, con lo cual el precio promedio obtenido
seria 6.303 € . De esta forma se obtiene un precio bastante distinto al anterior y
además se elimina una variable que bajo el supuesto de partida tiene influencia en
el precio, además de seguir ponderando las variables utilizadas con el mismo
porcentaje.
3. Por último otra solución sería adoptar como válido el precio obtenido con aquella
variable que ha juicio del valorador sea mas explicativa del precio. Por ejemplo los
Ingresos brutos y en este caso el valor final sería de 6.620 €.
Cualquiera de las soluciones adoptadas son muy subjetivas ya que no existe
ninguna razón que avale cualquiera de las tres. Este hecho es el que justifica la
utilización de las ponderaciones obtenidas con alguno de los métodos vistos en este
capítulo en la obtención del valor final buscado. En efecto las ponderaciones nos
indican la importancia relativa de cada una de las variables en la explicación del
precio, si ponderamos los valores obtenidos por la ponderación de las variables
obtendremos un valor final en función de todas las variables y su importancia.
Valor final mediante la ponderación por Entropía.
VF = 6.620*0, 9152 + 5.987* 0,0371 + 5.246* 0,0477 = 6.531
Valor final mediante la ponderación por Diakoulaki.
VF = 6.620* 0,6036 + 5.987* 0,2060 + 5.246* 0,1904 = 6.227
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
57
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
Valor final mediante la ponderación por Ordenación simple.
VF = 6.620* 0,5000 + 5.987* 0,3333 + 5.246* 0,1660 = 6.176
Con la aplicación de las ponderaciones de las variables obtenemos tres nuevos
valores, con lo que puede parecer que hemos trasladado el problema anterior de tener
tres valores en función de las variables a tener ocho valores en función del ratio,
combinación o método de ponderación utilizado (Tabla 3.16).
Método utilizada
Valor de la Ha
Comparación
Ratio Ingresos Brutos
6.620
100
Ratio Edad
5.987
90,43
Ratio Población agraria.
5.246
79,24
Promedio tres Ratios
5.951
89,89
Promedio Ratio
brutos y Edad
6.303
95,21
Ponderación por Entropía
6.531
98,65
Ponderación por Diakoulaki
6.227
94,06
Ponderación por Ordenación
simple
6.176
93,29
Ingresos
Tabla 3.16. Valores de la parcela X en función del método utilizado para su
cálculo.
Para resolver definitivamente el problema utilizamos el cálculo de la Distancia
Manhattan como vimos en el capítulo 2 (2.5).
3.10. CÁLCULO DE LA DISTANCIA MANHATTAN.
Consideramos como Ideal los valores de los testigos. Utilizando los distintos
métodos recalculamos los precios de los testigos, medimos la Distancia L1 o
Manhattan de cada uno de los conjuntos de valores recalculados al Ideal. El que esté
mas próximo o sea aquel cuya Distancia será menor será el método, en este caso, que
mejor nos calcula el valor de la Parcela X a valorar. Tabla 5.16 y Gráfico 3.1.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
58
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
Método
Distancia Manhattan
Ratio Ingresos brutos
1.850
Ratio Edad
4.458
Ratio Población agraria
3.538
Media tres ratios
2.048
Media dos ratios
1.304
Ponderación por Diakoulaki
648
Ponderación por Entropía
1.395
Ponderación por Ordenación simple
1.068
Tabla 3.16. Distancia Manhattan al Ideal
Distancia Manhattan
os
Po R B ru
b l a ti to
a
o s
M ció Ed
ed n
ad
i a
M a tr gra
ed es ria
ia
r
do atio
s
s
D rat
ia io
ko s
O
rd
en E ula
a c n t r ki
ió op
n
si ía
m
pl
e
Distancia Manhattan
io
R
at
R
at
io
In
gr
es
Distancia al Ideal
5.000
4.500
4.000
3.500
3.000
2.500
2.000
1.500
1.000
500
0
Métodos
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
59
Capítulo 3. Métodos de ponderación de variables
Gráfico 3.1. Distancia Manhattan.
En este caso se observa que el mejor resultado, la menor distancia al Ideal, se
obtiene con la ponderación por Diakoulaki, por lo tanto adoptaremos como valor final
de la parcela X el obtenido mediante este método.
Valor Parcela X = 6.227 euros /hg.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
60
Capítulo 4. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (I). Modelo de la Suma ponderada
Capítulo 4. Métodos de Valoración multicriterio
con información cuantitativa (I). Modelo de la
Suma ponderada
4.1 INTRODUCCIÓN
Tanto en el capítulo 1 como en el 3 hemos visto la existencia y los problemas de
un grupo importante de los denominados métodos comparativos de valoración,
llamados así por determinar el valor del activo problema a partir de la información
existente de activos testigo parecidos al activo problema a valorar y de los cuales
conocemos su precio y una serie de características o variables explicativas
cuantificadas. Comparando el activo problema con la información de los activos testigo
se obtiene el valor buscado. En este capítulo y en el siguiente vamos a ver dos
métodos multicriterio que se pueden integrar dentro de ese gran grupo de métodos
comparativos ya que ellos también parten de la información de activos testigo. Los
métodos a considerar son:
•
Método de la Suma Ponderada.
•
Programación por metas con sus distintas variantes.
El primero necesita ser complementado con la previa ponderación de las
variables mediante alguno de los métodos vistos en el Capitulo anterior, mientras que
la Programación por metas con sus distintas variantes puede utilizarse como método
autónomo y completo de valoración.
Como en todos los casos veremos primero la aplicación como métodos
multicriterio para posteriormente desarrollar su aplicación a la valoración.
4.2. MÉTODO DE LA SUMA PONDERADA
El método de la Suma ponderada calcula la ponderación de las alternativas
como resultado del sumatorio del producto del peso de cada variable (calculado por
Diakoulaki, entropía o por Ordenación simple) por el valor que toma para esa
alternativa la variable correspondiente
El proceso parte de información como la de la Tabla 4.1. donde se tiene el valor
normalizado de las variables para cada alternativa y el peso o ponderación de cada
variable, previamente calculado por alguno de los métodos conocidos.
ALTERNATIVA
Variable A
Variable B
Variable C
1
X1A
X1B
X1C
2
X2A
X2B
X2C
3
X3A
X3B
X3C
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
61
Capítulo 4. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (I). Modelo de la Suma ponderada
4
X4A
X4B
X4C
5
x5A
x5B
x5C
6
xPA
xPB
xPC
PESOS
wA
wB
wc
Tabla 4.1. Variables y sus pesos o ponderaciones
La ponderación de cada alternativa se obtiene mediante la fórmula (1)
Wi = ∑ (w j * xij ) (1)
n
j =1
Siendo.
Wi = Ponderación final obtenida de cada alternativa.
wj = Peso de cada variable obtenido por uno de los métodos conocidos de
ponderación ( Diakoulaki, entropía u Ordenación simple)
xij = Valor de cada variable para cada alternativa
4.3. MÉTODO DE LA SUMA PONDERADA APLICADO A LA
VALORACIÓN.
Como se ha dicho anteriormente, se parte de una información como la de la
Tabla 4.2, donde se tiene de un conjunto de activos testigo, tanto el valor como una
serie de variables explicativas cuantificadas. También del activo a valorar tenemos las
variables explicativas con su cuantificación.
Partiendo de la información anterior, se ponderan las variables utilizando uno de
los métodos vistos Entropía o Diakoulaki, obteniéndose los pesos correspondientes
de ellas.
w1 , w2 , w3
Determinados los pesos de las variables se pasa a la ponderación de cada
activo mediante el cálculo del sumatorio del valor de cada variable para ese activo por
la ponderación de la variable (2), Tabla 4.2.
Wi = Σ xij * wj
(2)
Pesos Activos
ACTIVO
VALOR
Variable A
Variable B
Variable C
1
V1
X1A
X1B
X1C
W1
2
V2
X2A
X2B
X2C
W2
3
V3
X3A
X3B
X3C
W3
4
V4
X4A
X4B
X4C
W4
5
V5
x5A
x5B
x5C
W5
xPA
xPB
xPC
WP
Activo Problema (P)
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
Wi
62
Capítulo 4. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (I). Modelo de la Suma ponderada
Pesos Variables
wA
wB
wC
SUMA DE LOS PESOS
1
Tabla 4.2. Cálculo de los pesos de las parcelas
Los pesos normalizados representan la ponderación de todos los activos incluido
el Problema en función de todas las variables explicativas y de su importancia o peso.
Hasta este punto estaríamos en la aplicación del método de la Suma Ponderada
exclusivamente como método multicriterio. El resultado nos indica una ordenación de
los activos en función de su peso o ponderación.
A continuación se desarrolla como utilizar los datos obtenidos para encontrar el
valor del activo problema que es el objetivo que se plantea en valoración.
Este procedimiento, como se verá mas adelante, es el mismo a seguir con el
Proceso Analítico Jerárquico.
Como se conoce el valor Vi de los activos testigo, y conocemos la ponderación
de ellos, se calcula el Ratio (3)
Ratio =
∑Valor activos testigo
∑ Ponderación activos testigo
(3)
Este ratio expresa el valor de la unidad de ponderación.
Como conocemos también la ponderación del activo a valorar, el producto del
ratio por su ponderación (4) dará el valor buscado del activo problema.
Valor activo Problema = Ratio * Ponderación activo problema.
(4)
Es importante señalar que el valor obtenido de esta forma estará en función de
todas las variables explicativas y de su ponderación.
4.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LA SUMA
PONDERADA
Vamos a utilizar, para aplicar el método de la Suma ponderada, el mismo
ejemplo del capítulo anterior, lo cual, nos permitirá posteriormente poder calcular y
comparar la eficiencia de los distintos métodos utilizados. Por lo tanto partimos de la
información de la Tabla 4.3.
PARCELA
VALOR €
INGRESOS
BRUTOS €
EDAD
Población
agraria
1
4.200
400
11
1.200
2
6.100
750
10
1.250
3
6.800
870
11
1.300
4
6.200
800
10
1.400
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
63
Capítulo 4. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (I). Modelo de la Suma ponderada
5
5.000
X
600
10
1.300
800
11
1.200
Tabla 4.3. Datos de las parcelas testigo y problema
Información que normalizamos. Tabla 4.4.
PARCELA
VALOR €
INGRESOS
BRUTOS €
EDAD
POBLACIÓN
1
4.200
0,0948
0,1746
0,1569
2
6.100
0,1777
0,1587
0,1634
3
6.800
0,2062
0,1746
0,1699
4
6.200
0,1896
0,1587
0,1830
5
5.000
0,1422
0,1587
0,1699
0,1896
0,1746
0,1569
1,0000
1,0000
1,0000
X
Tabla 4.4. Información normalizada
A partir de la información normalizada de la tabla 4.4 se calculan como se ha
visto en el capítulo 3 los distintos pesos de las variables explicativas, tanto con el
método de Diakoulaki como por el de Entropía, Tabla 4.5.
PONDERACIONES
VARIABLE
Método ENTROPÍA
Método
DIAKOULAKI
Método
ORDENACIÓN
SIMPLE
Ingresos Brutos
0,9152
0,6036
0,5000
Edad
0,0371
0,2060
0,2500
Población agraria
0,0477
0,1904
0,2500
1
1
1
Tabla 4.5. Ponderaciones de las variables
Aplicamos a los valores normalizados las ponderaciones de las variables,
obteniendo la ponderación de cada parcela, para cada método. En primer lugar se
realiza el cálculo utilizando la ponderación por Entropía. Tabla 4.6.
PARCELA
VALOR € INGRESOS EDAD POBLACIÓN PONDERACIÓN
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
64
Capítulo 4. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (I). Modelo de la Suma ponderada
BRUTOS €
PARCELAS
1
4.200
0,0948
0,1746
0,1569
0,101
2
6.100
0,1777
0,1587
0,1634
0,176
3
6.800
0,2062
0,1746
0,1699
0,203
4
6.200
0,1896
0,1587
0,1830
0,188
5
5.000
0,1422
0,1587
0,1699
0,144
X
0,1896
0,1746
0,1569
0,187
Pesos variables por
Entropía
0,9152
0,0371
0,0477
Tabla 4.6. Ponderación de las parcelas aplicando la Suma ponderada más Entropía
El cálculo de la ponderación de las parcelas se realiza de la forma ya conocida.
Ponderación parc. 1 = 0,9152*0,0948+0,0371*0,1746+0,0477*0,1569= 0,101
Ponderación parc. 2 = 09152,*0,1777+0,0371*0,1587+0,0477*0,1634= 0,176
Ponderación parc. 3 = 0,9152*0,2062+0,0371*0,1746+0,0477*0,1699= 0,203
Ponderación parc. 4 = 0,9152*0,1896+0,0371*0,1587+0,0477*0,1830= 0,188
Ponderación parc. 5 = 0,9152*0,1422+0,0371*0,1587+0,0477*0,1699= 0,144
Ponderación parc. X = 0,9152*0,1896+0,0371*0,1746+0,0477*0,1569= 0,187
Conocidas las ponderaciones de las parcelas
Valor/Ponderación mediante la fórmula conocida (3)
R=
se
calcula
el
Ratio
4.200 + 6.100 + 6.800 + 6.200 + 5.000
= 34.828,9
0,101 + 0,176 + 0,203 + 0,188 + 0,153
Conocidos el ratio R y la ponderación de la parcela X, el valor de esta es
inmediato, aplicando la fórmula ya conocida (4)
Valor X = 34.828,9 * 0,187 = 6.528 €
Vamos seguidamente a realizar el cálculo del valor de X mediante la
ponderación de las variables obtenida por el método de lDiakoulaki (Tabla 4.7).
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
65
Capítulo 4. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (I). Modelo de la Suma ponderada
PARCELA
VALOR INGRESOS
PONDERACIÓN
EDAD POBLACIÓN
€
BRUTOS €
PARCELAS
1
4.200
0,0948
0,1746
0,1569
0,123
2
6.100
0,1777
0,1587
0,1634
0,171
3
6.800
0,2062
0,1746
0,1699
0,193
4
6.200
0,1896
0,1587
0,1830
0,182
5
5.000
0,1422
0,1587
0,1699
0,151
X
0,1896
0,1746
0,1569
0,180
Pesos variables por
Diakoulaki
0,6036
0,2060
0,1904
Tabla 4.7. Ponderación de las parcelas aplicando la Suma ponderada mas Diakoulaki
La forma de cálculo de la ponderación de las distintas parcelas de la Tabla 4.7
es mediante la aplicación de la forma ya conocida (2), como se desarrolla a
continuación.
Ponderación parc. 1 = 0,6036*0,0948+0,2060*0,1746+0,1904*0,1569= 0,123
Ponderación parc. 2 = 0,6036*0,1777+0,2060*0,1587+0,1904*0,1634= 0,171
Ponderación parc. 3 = 0,6036*0,2062+0,2060*0,1746+0,1904*0,1699= 0,193
Ponderación parc. 4 = 0,6036*0,1896+0,2060*0,1587+0,1904*0,1830= 0,182
Ponderación parc. 5 = 0,6036*0,1422+0,2060*0,1587+0,1904*0,1699= 0,151
Ponderación parc. X = 0,6036*0,1896+0,2060*0,1746+0,1904*0,1569= 0,180
Conocidas las ponderaciones de las parcelas
Valor/Ponderación mediante la fórmula conocida (3)
R=
se
calcula
el
Ratio
4.200 + 6.100 + 6.800 + 6.200 + 5.000
= 34.523,2
0,123 + 0,171 + 0,193 + 0,182 + 0,151
Conocidos el ratio R y la ponderación de la parcela X, el valor de esta es
inmediato, aplicando la fórmula ya conocida (4)
Valor X = 34.523,2 * 0,180 = 6.223 €
Finalmente se calcula el valor de X mediante la ponderación de las variables
obtenida por el método de Ordenación simple (Tabla 4.8).
PARCELA
1
PONDERACIÓN
VALOR INGRESOS
EDAD POBLACIÓN
PARCELAS
€
BRUTOS €
4.200
0,0948
0,1746
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
0,1569
0,130
66
Capítulo 4. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (I). Modelo de la Suma ponderada
2
6.100
0,1777
0,1587
0,1634
0,169
3
6.800
0,2062
0,1746
0,1699
0,189
4
6.200
0,1896
0,1587
0,1830
0,180
5
5.000
0,1422
0,1587
0,1699
0,153
X
0,1896
0,1746
0,1569
0,178
Pesos variables por
Ordenación simple
0,5000
0,2500
0,2500
Tabla 4.8. Ponderación de las parcelas aplicando la Suma ponderada mas Ordenación
simple
La forma de cálculo de la ponderación de las distintas parcelas de la Tabla 4.8
es mediante la aplicación de la forma ya conocida (2), como se desarrolla a
continuación.
Ponderación parc. 1 = 0,5000*0,0948+0,2500*0,1746+0,2500*0,1569= 0,130
Ponderación parc. 2 = 0,5000*0,1777+0,2500*0,1587+0,2500*0,1634= 0,169
Ponderación parc. 3 = 0,5000*0,2062+0,2500*0,1746+0,2500*0,1699= 0,189
Ponderación parc. 4 = 0,5000*0,1896+0,2500*0,1587+0,2500*0,1830= 0,180
Ponderación parc. 5 = 0,5000*0,1422+0,2500*0,1587+0,2500*0,1699= 0,153
Ponderación parc. X = 0,5000*0,1896+0,2500*0,1746+0,2500*0,1569= 0,178
Conocidas las ponderaciones de las parcelas
Valor/Ponderación mediante la fórmula conocida (3)
R=
se
calcula
el
Ratio
4.200 + 6.100 + 6.800 + 6.200 + 5.000
= 34.413,71
0,130 + 0,169 + 0,189 + 0,180 + 0,153
Conocidos el ratio R y la ponderación de la parcela X, el valor de esta es
inmediato, aplicando la fórmula ya conocida (4)
Valor X = 34.413,71 * 0,178 = 6.114 €
En la tabla 4.8. aparece el resumen de los valores de la Parcela X según el
método de ponderación utilizado.
Método
Valor Parcela X
Suma ponderada+ Entropía
6.528 €
Suma ponderada+ Diakoulaki
6.223 €
Suma ponderada+Ordenación simple
6.114 €
Tabla 4.8. Precios de la parcela X en función del método utilizado
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
67
Capítulo 4. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (I). Modelo de la Suma ponderada
Vemos como en función del método de ponderación elegido el resultado
obtenido es distinto. Con el fin de determinar cual de los resultados obtenidos es el
que adoptamos como definitivo utilizaremos el cálculo de la Distancia Manhattan.
Como en el próximo capítulo vamos a utilizar el mismo ejemplo para aplicar la
Programación por metas, posponemos el cálculo de la distancia a dicho capítulo con el
fin de comparar todos los resultados obtenidos.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
68
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (II). Programación por metas
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio
con información cuantitativa (II). Programación
por metas.
5.1 INTRODUCCIÓN
En el capítulo anterior hemos visto el modelo de valoración Suma ponderada
combinado con algunos de los métodos de ponderación vistos en el Capítulo 3. Dicho
modelo se situa dentro de los métodos comparativos pues necesita para su aplicación
partir de una información con distintos testigos de los cuales se conoce el valor así
como el de una serie de variables explicativas. Dentro del mismo grupo situamos los
modelos que vamos a desarrollar en este capítulo, la Programación por metas con sus
distintas variantes.
5.2 PROGRAMACIÓN POR METAS (GOAL PROGRAMMING, GP)
El origen de la Programación por metas (en adelante GP) está en una
publicación de Charnes, Cooper y Ferguson (1955) sobre la retribución de los
ejecutivos. Posteriormente Charnes y Cooper (1961) usan por primera vez la
denominación Goal Programming en su publicación “Management Models and
Industrial Applications of Linear Programming”. A partir de este momento se produce
una explosión de aplicaciones de GP en los mas diversos campos, tanto en diversas
40
publicaciones , como con motivo de las seis conferencias que se han convocado
hasta el momento sobre GP. La primera en la Universidad de Portsmouth, Reino
Unido, en Junio de 1994, convocada por M. Tamiz. La segunda por la Universidad de
Málaga, en Torremolinos, en 1996, convocada por R. Caballero. La tercera por la
Universidad Laval en la ciudad de Québec (Canadá) en 1998, organizada por J-M
Martel y B. Aouni. La cuarta tuvo lugar en el año 2000 en la ciudad de Mstrow
(Polonia), la quinta en Kobe (Japón) en 2002 y la sexta en Túnez en el año 2004.
La GP es una extensión de la programación lineal que incluye múltiples objetivos
y su fundamento parte de que ante la dificultad de alcanzar unos objetivos
determinados el decisor opta por acercarse la máximo posible a unas metas
prefijadas, minimizando unas variables de desviación máximas y mínimas que se
introducen en el modelo.
Actualmente la GP comprende un número de variantes, de las cuales las mas
importantes son las siguientes:
40
Existen un gran numero de publicaciones que recogen trabajos sobre Programación por metas, algunas
de las mas importantes son European Journal of Operational Research, Journal of the Operational
Research Society, The International Journal of Management Sciencie (Omega), Computers&Operations
Research , Estudios de Economía Aplicada Revista Semestral de la Asociación de Economía Aplicada,
Revista de la Real Academis de Ciencias Exactas Físicas y Naturales etc
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
69
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (II). Programación por metas
5.2.1 PROGRAMACIÓN POR METAS PONDERADAS (WEIGHTED GOAL
PROGRAMMING, WGP)
La Programación por metas ponderadas persigue obtener una función, a partir
de un conjunto de funciones, de forma que la función obtenida minimice la suma de
distancias a cada una de las metas.
Su formulación algebraica es
Q
Min z = ∑
i =1
1
(ui ni + vi pi )
ki
s.a.
f i ( x ) + ni − pi = bi
i = 1LQ
ni ≥ 0 ; p i ≥ 0
Siendo
fi (x) una función lineal de x
bi la meta o goal.
ni y pi representan las desviaciones negativas y positivas respecto a la meta
ui y vi son los pesos o ponderaciones de las desviaciones.
Ki es la constante normalizadora.
5.2.2 PROGRAMACIÓN POR METAS MINMAX O PROGRAMACIÓN POR
METAS CHEBYSHEV (MINMAX GP)
En este modelo se busca la minimización de la máxima desviación de entre
todas las desviaciones posibles. A diferencia del modelo WGP que minimizaba la
suma de las desviaciones, en este modelo lo que se minimiza es la desviación
máxima.
La estructura del modelo es la siguiente.
Min z = D
s.a.
1
(u i ni + vi pi ) ≤ D i = 1LQ
ki
f i ( x ) + ni − pi = bi
i = 1LQ
ni ≥ 0 ; p i ≥ 0
El significado de las variables es el mismo que en WGP.
La distancia D es la máxima entre el precio de cualquier testigo y el precio
resultante de la función estimada. Esta distancia D es la que se intenta minimizar.
5.2.3 PROGRAMACIÓN POR METAS EXTENDIDO
Los modelos GP extendidos permiten obtener una solución compromiso entre los
modelos GP con metas ponderadas y los modelos MINMAX. Se trata de armonizar los
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
70
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (II). Programación por metas
objetivos planteados por uno y otro modelo: minimizar la suma de desviaciones y
minimizar la desviación máxima, respectivamente.
El modelo GP extendido tiene la formulación siguiente
Q
Min z = (1 − λ )D + λ ∑
i =1
s.a.
f i ( x ) + ni − pi = bi
(1 − λ )(ni + pi ) ≤ D
1
(u i ni + vi pi )
ki
i = 1LQ
i = 1L Q
ni ≥ 0 ; p i ≥ 0
donde λ puede fluctuar entre 0 y 1, según el valorador priorice el modelo
MINMAX o el modelo ponderado (WGP).
Sobre estos modelos básicos existen un gran grupo de extensiones o variantes.
GP no lineal (Non-linear GP), GP cuadrático (Quadratic GP) , Fraccional GP
(Fractional GP),GP entera (Integer GP models), binaria GP (Zero-one GP models), GP
estocástica (StochasticGP), GP borrosa (Fuzzy GP models) y GP interactiva
(Interactive GP models). De todas ellas existen múltiples aplicaciones en distintas
áreas, sin embargo en Valoración aún no se ha comprobado su utilidad por lo que no
las vamos a considerar.
La GP también se ha integrado con otras técnicas, especialmente importante
para este trabajo es la integración con el Proceso Analítico Jerárquico para la
determinación de los pesos o ponderaciones de los criterios mediante la Programación
por metas ponderadas. El pionero en esta integración fue Gass (1986). Posteriormente
diferentes autores han utilizado esta integración para trabajos en distintos campos.
Tecnología de la información: Schniederjans et al (1991)
Planificación y Producción de la energía: Bose et al (1996), Ramanathan et al
(1995),
Management medioambiental: Alidi (1996), Yin et al (1994).
Planificación sanitaria: Lee et al (1999)
Planificación de la producción: Badri (2000); Zhou et al (2000)
Así como otros artículos de desarrollo teórico. Bryson (1995), Despotis (1996),
Islam et al (1997), Ramanathan (1997).
5.3 PROGRAMACIÓN POR METAS PONDERADA (WEIGHTED
GOAL
PROGRAMMING, WGP) EN SU APLICACIÓN A LA
VALORACIÓN
En los puntos anteriores se ha visto las distintas modalidades de GP, vamos a
ver ahora la utilización de WGP como método independiente de valoración.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
71
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (II). Programación por metas
Se parte de la información conocida y utilizada para cualquier método
comparativo Tabla 4.9. en la cual aparecen cinco activos de los cuales conocemos su
valor (Vi) y la cuantificación de tres variables explicativas. También conocemos la
cuantía de estas variables explicativas en el activo problema P.
ACTIVO
VALOR
Variable A
Variable B
Variable C
1
V1
X1A
X1B
X1C
2
V2
X2A
X2B
X2C
3
V3
X3A
X3B
X3C
4
V4
X4A
X4B
X4C
5
V5
x5A
x5B
x5C
xPA
xPB
xPC
Activo
Problema (P)
Tabla 5.1. Información de los activos testigo y problema
Utilizando exclusivamente la información de los activos testigo (Valor y variables
explicativas) se plantea el modelo conocido de programación por metas ponderadas
(8)
Q
Min z = ∑
i =1
1
(u i ni + vi pi )
ki
s.a.
f i ( x ) + ni − pi = bi
i = 1L Q
ni ≥ 0 ; p i ≥ 0
Siendo ahora el significado de cada término el siguiente.
fi(x) una función lineal de x
xi son las variables explicativas
bi Los valores de los activos testigo.
ni y pi representan las desviaciones negativas y positivas respecto a los valores
de los testigos.
ui y vi son los pesos o ponderaciones de las desviaciones que en principio se
considerarán con valor la unidad.
Ki es la constante normalizadora, que para cada pareja de desviaciones (ni y pi)
es el valor del activo correspondiente.
Resuelto el modelo se obtiene una función que expresa el valor de los activos en
función de las variables explicativas.
V = α1 * X1 + α2 * X2 + α3 * X3
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
72
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (II). Programación por metas
Esta ecuación se ajusta a la información de la que se parte para hacer la
valoración de forma que la suma de las distancias o desviaciones del valor estimado y
el valor observado de los activos es mínima.
Sustituyendo en la ecuación los valores de x por los del activo a valorar, se
obtiene el valor del activo problema P buscado.
5.4 PROGRAMACIÓN POR METAS MÍNMAX O PROGRAMACIÓN
POR METAS CHEBYSHEB (GP MINMAX) APLICADO A LA
VALORACIÓN
También este modelo de programación por metas puede ser utilizado en
valoración.
Con la información de la Tabla 4.9 se puede obtener otra función aplicando la
variante MÍNMAX del GP. En este caso se obtiene una función en la que la distancia
máxima de los testigos a su precio estimado se minimiza, dicho de otra forma la
función encontrada minimiza la distancia al testigo mas alejado. Para ello se aplica el
modelo ya conocido (11).
Min z = D
s.a.
1
(u i ni + vi pi ) ≤ D i = 1LQ
ki
f i ( x ) + ni − pi = bi
i = 1LQ
ni ≥ 0 ; p i ≥ 0
En la cual
D es la desviación máxima a minimizar
fi (x) una función objetivo lineal de x
x son las variables explicativas
bi los valores de los activos testigo.
ni y pi representan las desviaciones negativas y positivas respecto a los valores
de los activos.
ui y vi son los pesos o ponderaciones de las desviaciones que en principio se
considerarán con valor la unidad.
Ki es la constante normalizadora, que para cada pareja de desviaciones (ni y pi)
es el valor del activo correspondiente.
Resuelto el modelo se obtiene una función que expresa el valor en función de las
variables explicativas, pero que en este caso cumple la condición de haber minimizado
la distancia máxima (12).
V = α1 * X1 + α2 * X2 + α3 * X3
(12)
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
73
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (II). Programación por metas
El modelo se puede utilizar cuando se pretende acercar la ecuación final a un
testigo determinado por ser el que más se parece al activo problema y además ser el
que mas se aleja de la muestra.
Este modelo en combinación con el ponderado compone el GP extendido de
gran interés sobre todo en valoraciones medioambientales, como se verá a
continuación.
5.5 PROGRAMACIÓN POR METAS EXTENDIDO
Este modelo de Programación por metas tiene un gran interés en valoración,
fundamentalmente en dos casos.
Cuando la valoración en vez de realizarse por un solo valorador se hace
utilizando distintos expertos con distintos criterios y/o objetivos (Este caso se
desarrollará extensamente en capítulos posteriores).
Cuando siendo realizada la valoración por un solo experto interesa conocer
como varía el valor en función de primar la minimización global (WGP) o la
minimización de la distancia máxima a uno de los testigos.
El modelo es el ya conocido.
Q
Min z = (1 − λ )D + λ ∑
i =1
s.a.
f i ( x ) + ni − pi = bi
(1 − λ )(ni + pi ) ≤ D
1
(ui ni + vi pi )
ki
i = 1LQ
i = 1L Q
ni ≥ 0 ; p i ≥ 0
Siendo ahora el significado de los distintos términos el siguiente.
λ es el factor de fluctuación (0<λ<1)
D es la desviación máxima a minimizar
fi (x) una función objetivo lineal de x
x son las variables explicativas
bi Los valores de los activos testigo.
ni y pi representan las desviaciones negativas y positivas respecto a los valores
de los testigos.
ui y vi son los pesos o ponderaciones de las desviaciones que en principio se
considerarán con valor la unidad.
Ki es la constante normalizadora, que para cada pareja de desviaciones (ni y pi)
es el valor del activo correspondiente.
Aplicado este modelo a la misma información de los modelos anteriores se
obtiene una función cuyo valor cambia según varíe λ, con lo que el valorador puede
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
74
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (II). Programación por metas
comprobar como evoluciona el valor del activo problema según varía el factor de
fluctuación y elegir la mejor combinación.
5.6 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE GP A LA VALORACIÓN
Vamos a plantear la solución al mismo ejemplo utilizado en los métodos
anteriores, utilizando los modelos de Programación por metas ponderada y la
GPMINMAX. En el capítulo 7 se verá la aplicación del modelo extendido.
5.6.1 GP PONDERADA
Partimos, pues, de los datos de la Tabla 5.2.
PARCELA
VALOR €
INGRESOS
BRUTOS €
EDAD
Población
agraria
1
4.200
400
11
1.200
2
6.100
750
10
1.250
3
6.800
870
11
1.300
4
6.200
800
10
1.400
5
5.000
600
10
1.300
800
11
1.200
X
Tabla 5.2. Datos de las parcelas testigo y problema
Normalizamos la información Tabla 5.3.
PARCELA
VALOR €
INGRESOS
BRUTOS €
EDAD
POBLACIÓN
1
4.200
0,0948
0,1746
0,1569
2
6.100
0,1777
0,1587
0,1634
3
6.800
0,2062
0,1746
0,1699
4
6.200
0,1896
0,1587
0,1830
5
5.000
0,1422
0,1587
0,1699
0,1896
0,1746
0,1569
1,0000
1,0000
1,0000
X
Tabla 5.3. Información normalizada
Planteamos el modelo de GP a los datos de los testigos.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
75
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (II). Programación por metas
Min n1 + p1 + n2 + p 2 + n3 + p3 + n4 + p 4 + n5 + p5
s.a.
0,0984 ∗ x1 + 0,1746 * x 2 + 0,1569 * x3 + n1 − p1 − 4.200 = 0
0,1777 ∗ x1 + 0,1587 * x 2 + 0,1634 * x3 + n2 − p 2 − 6.100 = 0
0,2062 ∗ x1 + 0,1746 * x 2 + 0,1699 * x3 + n3 − p3 − 6.800 = 0
0,1896 ∗ x1 + 0,1587 * x 2 + 0,1830 * x3 + n4 − p 4 − 6.200 = 0
0,1422 ∗ x1 + 0,1587 * x 2 + 0,1699 * x3 + n5 − p5 − 5.000 = 0
Resolviendo obtenemos la siguiente función.
V x = 24.118,74 * x1 + 10.462,22 * x 2
En la función resultado se observa que la variable x3 no aparece o sea que no es
una variable explicativa del valor.
Sustituyendo en la función los valores de las variables explicativas del activo
problema se obtiene el valor buscado.
V x = 24.118,74 * 0,1896 + 10.462,22 * 0,1746 = 6.399 euros
5.6.2 GP MINMAX
Planteamos el modelo.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
76
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (II). Programación por metas
Min D
s.a.
n1
p1
+
≤D
4.200 4.200
n2
p2
+
≤D
6.100 6.100
n3
p3
+
≤D
6.800 6.800
n4
p4
+
≤D
6.200 6.200
n5
p5
+
≤D
5.500 5.500
0,0948 * x1 + 0,1746 * x 2 + 0,1569 * x3 + n1 − p1 − 4.200 = 0
0,1777 * x1 + 0,1587 * x 2 + 0,1634 * x3 + n2 − p 2 − 6.100 = 0
0,2062 * x1 + 0,1746 * x 2 + 0,1699 * x3 + n3 − p3 − 6.800 = 0
0,1896 * x1 + 0,1587 * x 2 + 0,1830 * x3 + n4 − p 4 − 6.200 = 0
0,1422 * x1 + 0,1587 * x 2 + 0,1694 * x3 + n5 − p5 − 5.000 = 0
n
p3
n
p5
n1
p1
n
p2
n
p4
+
+ 2 +
+ 3 +
+ 4 +
+ 5 +
−z=0
4.200 4.200 6.100 6.100 6.800 6.800 6.200 6.200 5.500 5.500
resolvemos y se obtiene una función en la cual sigue sin intervenir la variable X3.
V x = 25.398,43 * x1 + 9.311,22 * x 2
Sustituyendo en la función los valores de las variables explicativas del activo
problema se obtiene el valor buscado.
V x = 25.398,43 * 0,1896 + 9.311,22 * 0,1746 = 6.440 euros
5.7 RESUMEN DE LOS VALORES OBTENIDOS
En el capítulo anterior llegamos a tres valores distintos de la Parcela X utilizando
los modelos de Suma ponderada combinada con las ponderaciones con entropía,
Diakoulaki y la Ordenación simple. En este capítulo para el mismo ejemplo hemos
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
77
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (II). Programación por metas
llegado a dos nuevos valores mediante la WGP y la GP MInmax. En la Tabla 5.4. se
resumen los valores obtenidos con los distintos métodos.
Método
Valor Parcela X
Suma ponderada + Entropia
6.528
Suma ponderada + Diakoulaki
6.223
Suma ponderada + Ordenación simple
6.114
Programación por metas ponderada
6.399
Programación por metas MINMAX
6.440
Tabla 5.4. Resumen de los valores obtenidos con los distintos métodos
Llegados a este punto nos encontramos con que tenemos cinco valores distintos de la
parcela a valorar, uno por cada modelo utilizado. Para determinar que valor elegimos
como definitivo utilizamos, como ya conocemos, la Distancia Manhattan.
 5
1
L1 = ∑ x 1j − x 2j 
 j =1

Parcela
Valor
1/1
Valor
Distancia
SP+Entr
Valor
Distancia
SP+DiaK
Valor
Distancia
SP+OS
Valor
Distancia
WGP
Valor
Distancia
GPMinmax
1
4.200
3.507
692
4.248
48
4.482
282
4.112
87
4.033
166
2
6.100
6.141
41
5.906
193
5.829
270
5.947
152
5.992
107
3
6.800
7.079
279
6.654
145
6.511
288
6.799
0,90
6.862
62
4
6.200
6.551
351
6.282
82
6.202
2
6.232
32
6.293
93
5
5.000
5.019
19
5.208
208
5.274
274
5.089
89
5.089
89
Distancia MANHATTAN
1.384
677
1.117
363
518
Tabla 5.6. Distancias Manhattan de cada modelo de valoración utilizado
Las distintas distancias aparecen resumidas en la Tabla 5.7.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
78
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (II). Programación por metas
Distancia Manhattan
Suma ponderada +Entropía
1384
Suma ponderada + Diakoulaki
677
Suma ponderada + Ordenación simpler
1.117
Programación por metas
363
Programación por metas MINMAX
518
Tabla 5.7. Resumen de las Distancias Manhattan.
Si representamos en un grafico las distancias obtenidas
1.600,00
1.400,00
1.200,00
1.000,00
800,00
600,00
400,00
200,00
0,00
M
AX
G
PM
IN
G
P
S
Distancia Manhattan
SP
+O
SP
+E
nt
ro
pí
SP
a
+D
ia
ko
ul
ak
i
Distancia
Distancia Manhattan
Métodos
Grafico 5.1. Representación gráfica de las Distancias Manhattan
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
79
Capítulo 5. Métodos de Valoración multicriterio con información
cuantitativa (II). Programación por metas
Es evidente en este caso que la Distancia Manhattan menor es la de la
Programación por metas, por lo tanto elegiremos como valor definitivo de la parcela el
obtenido con este método.
VALOR DEFINITIVO DE X = 6.399 euros.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
80
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Capítulo 6. Métodos de valoración con
información cualitativa (I). Proceso Analítico
Jerárquico.
6.1 INTRODUCCIÓN
En los capítulos anteriores hemos visto métodos multicriterio cuya aplicación es
posible cuando el experto cuenta con una información cuantitativa suficiente. Sin
embargo en la práctica valorativa son bastante frecuentes las situaciones en que el
valorador parte de una información mínima, representada normalmente en que solo
conoce el precio al que se han realizado recientemente algunas transacciones de
activos parecidos o similares al que pretende valorar. En este capítulo y en el siguiente
vamos a plantear una metodología que permita abordar este tipo de situaciones.
6.2
PROCESO
ANALÍTICO
HIERARCHY PROCESS, AHP)
JERÁRQUICO
(ANALYTIC
El AHP fue propuesto por el Profesor Thomas L. Saaty (1980), como respuesta a
problemas concretos de toma de decisiones en el Departamento de Defensa de los
EEUU, siendo actualmente un clásico en el mundo de la empresa donde se aplica en
casi todos los ámbitos donde es necesario tomar una decisión de cierta complejidad.
Según indica Moreno-Jiménez (2002) si se revisan las Actas de los distintos
Simposium Internacionales sobre AHP realizados hasta ahora se observan trabajos de
aplicación del método en áreas tan diversas como Sociedad, Ciencia y Educación,
Economía y Transporte, Localización y Asignación de Recursos, Marketing,
Producción, Aplicaciones ambientales, Planificación urbana, Sector Público, Sanidad,
Evaluación de sistemas, Decisión en grupo, Resolución de conflictos internacionales,
Nuevas Tecnologías, Pensamiento y Ética. Y como aplicaciones interesantes
aparecidas recientemente:
•
Administración de operaciones (Partovi et al., 1989).
•
Decisión de grupo (Van der Hornet y Lootsma, 1997).
•
Defensa (Cheng et al., 1999).
•
Benchmarking (Frei y Harker, 1999).
•
Desarrollo de software (Lee et al., 1999).
•
Priorización ambiental ( Moreno et al.,1999).
•
Evaluación de software (Ossadnik y Lange, 1999).
•
Toma de decisiones descentralizadas (Bollju, 2001).
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
81
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
•
Selección de personal en sistemas de telecomunicación (Tamm y
Tummala, 2001).
El potencial del método, como distintos autores han evidenciado, se debe a que
se adecua a distintas situaciones, su cálculo es sencillo por el software existente y
puede utilizarse tanto individualmente como en grupo. En esencia, puede afirmarse
que AHP es un método de selección de alternativas (estrategias, inversiones, etc) en
función de una serie de criterios o variables, las cuales suelen estar en conflicto. Para
ello pondera tanto los criterios como las distintas alternativas utilizando las matrices de
comparación pareadas y la Escala Fundamental para comparaciones por pares.
El desarrollo del método es el siguiente:
a) Se parte del interés que puede tener un decisor en seleccionar la más
interesante, entre un conjunto de alternativas (estrategias, inversiones,
activos, etc.).
b) Se define qué criterios se van a utilizar para determinar la selección,
esto es, cuáles son las características que pueden hacer más deseable
una alternativa sobre otra.
c) Conocidas las alternativas y definidos los criterios, debe primero
procederse a ordenar y ponderar el diferente interés de cada uno de los
criterios en la selección de las alternativas.
d) Conocida la ponderación de los criterios se pasa a ponderar las distintas
alternativas en función de cada criterio.
e) Con los dos procesos anteriores c y d se obtienen dos matrices, una
matriz columna nx1 con la ponderación de criterios (siendo n el número
de criterios) y otra matriz mxn de las ponderaciones de las alternativas
para cada criterio (siendo m el número de alternativas).
f)
El producto de ambas matrices dará una matriz columna mx1 que indica
la ponderación de las alternativas en función de todos los criterios y del
peso o importancia de estos.
Conocidos los distintos pasos del método vamos a ver en detalle como se
realizan, especialmente cuál es el procedimiento de obtención de las ponderaciones y
cómo se llega a las distintas matrices indicadas en el método.
La distinta importancia o ponderación tanto de los criterios como de las
alternativas dentro de cada criterio podría llevarse a cabo mediante una cuantificación
directa de todos ellos. Esto es, el centro decisor, podría determinar dentro de una
escala (por ejemplo de 1 a 10), el interés de cada uno de los criterios (alternativas).
Sin embargo, ello supondría, ser capaz de comparar a un mismo tiempo todos estos
elementos (criterios, alternativas) , lo que representa una enorme complejidad, sobre
todo, cuando el número de los mismos empieza a ser elevado.
Para superar esta limitación en la capacidad de procesamiento, Saaty propone
realizar comparaciones pareadas entre los distintos elementos, ya que el cerebro
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
82
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
humano está perfectamente adaptado a las comparaciones de dos elementos entre sí
41
y para ello plantea la siguiente escala (Tabla 1).
VALOR
DEFINICIÓN
COMENTARIOS
1
Igual importancia
El criterio A es igual de
importante que el criterio B
3
Importancia moderada
La experiencia y el juicio
favorecen ligeramente al
criterio A sobre el B
5
Importancia grande
La experiencia y el juicio
favorecen fuertemente al
criterio A sobre el B
7
Importancia muy grande
El criterio A es mucho mas
importante que el B
9
Importancia extrema
La mayor importancia del
criterio A sobre el B esta
fuera de toda duda
Valores intermedios entre los anteriores, cuando es
necesario matizar
2,4,6 y 8
Si el criterio A es de importancia grande frente al criterio B
las notaciones serían las siguientes.
Recíprocos de lo anterior
Criterio A frente a criterio B 5/1
Criterio B frente a crierio A 1/5
Tabla 5.1. Escala fundamental de comparación por pares (Saaty, 1980)
Teniendo en cuenta la escala de la Tabla 1 se construye una matriz cuadrada
Anxn [1]
[ ]
A = aij
1 ≤ i, j ≤ n
[1]
donde aij representa la comparación entre el elemento i y el elemento j a partir de
los valores de la escala fundamental.
La matriz construida debe de cumplir las siguientes propiedades (Saaty, 1986):
41
“El origen de la escala propuesta por Saaty está en los trabajos de Weber y Fechner. La ley de Weber (1846) dice
que el cerebro humano percibe una modificación o cambio en un estímulo a partir de que este estímulo supere el
estado inicial en un porcentaje determinado. En 1860, Fechner basándose en las teorías de Weber establece que
mientras los estímulos crecen geométricamente, las sensaciones lo hacen aritméticamente y plantea una escala
fundamental del 1 al 9. Esta escala además al no considerar el cero y el infinito eliminan los dos puntos de mayor
complejidad para el ser humano en procesos comparativos, así como se adapta a la forma más elemental de contar
que son los dedos. Por otra parte la validez de esta escala ha sido comprobada empíricamente aplicándola a
situaciones muy diversas en situaciones reales” (Traducción de Moreno-Jiménez, 2002).
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
83
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
•
Reciprocidad: Si aij = x, entonces aji = 1/x , con 1 / 9 ≤ x ≤ 9 .
•
Homogeneidad: Si los elementos i y j son considerados igualmente
importantes entonces
aij = aji = 1
además aii = 1 para todo i.
Consistencia: Se satisface que ajk * akj = aij para todo 1 ≤ i, j, k ≤ n .
•
Por la propiedad de Reciprocidad solo se necesitan n(n-1)/2 comparaciones para
construir una matriz de dimensión n x n.
El supuesto o axioma de consistencia se da en un caso ideal, y pocas veces en
la realidad debido a la subjetividad innata al decisor. Esta subjetividad es la que se
intenta objetivizar al máximo con el procedimiento de la matriz de comparaciones
pareadas, ya que el centro decisor al tener que comparar no solo una vez los distintos
elementos, sino sucesivas veces para construir la matriz, pone en evidencia las
inconsistencias de sus comparaciones en el supuesto que existan. El grado de
inconsistencia puede medirse mediante el cálculo del Ratio de Consistencia (CR) de la
matriz A. El procedimiento para este cálculo es el siguiente:
En primer lugar se normalizan los elementos de la matriz A por la suma de su
columna correspondiente [2]:
Anormalizada


 a 
ij

= n
 a 
kj 
 ∑
k =1

[2]
Se suman sus filas [3]:
a 11
+
n
∑a
n =1
n1
a 21
∑a
n =1
∑a
n =1
+
n
a 12
n1
+K+
n
n2
a 22
n
∑a
n =1
a 1n
∑a
n =1
+K+
n2
= b1
n
nn
a 2n
n
∑a
n =1
= b2
[3]
nn
M
a n1
+
n
∑a
n =1
n1
a n2
n
∑a
n =1
+K+
n2
a nn
= bn
n
∑a
n =1
nn
El conjunto de bi promediados forma un vector columna que se denomina vector
media de sumas o vector de prioridades globales B [4]
b 
b b
B =  1 , 2 ,K, n 
n 
n n
T
[4]
El producto de la matriz original A por el vector de prioridades globales B
42
proporcionará una matriz columna denominada vector fila total C [5]:
42
Si bien se trata de un vector columna, la denominación vector fila total es la propuesta por Saaty.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
84
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
A * B = C = [c1 , c 2 , K , c n ]
T
[5]
Se realiza el cociente entre las matrices vector fila total [cn] y vector de
prioridades globales [bn], y se obtiene otro vector columna D [6]:
C/B = D
[6]
que al sumar y promediar sus elementos dará la λmax [7]:
n
λ max =
∑d
i =1
n
i
[7]
Conocida la λmax se calcula el Índice de consistencia (CI) [8]:
CI =
λ max − n
[8]
n −1
Este CI obtenido se compara con los valores aleatorios de CI que son el valor
que debería obtener el CI si los juicios numéricos introducidos en la matriz original (de
la cual estamos midiendo su consistencia) fueran aleatorios dentro de la escala 1/9,
1/8, 1/7,….., ½, 1, 2,…..7, 8, 9. Los valores son los que aparecen en la Tabla 5.2.
Tamaño de la matriz (n)
Consistencia aleatoria
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,00 0,00 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49
Tabla 5.2. Valores de la consistencia aleatoria en función del tamaño de la matriz
En función de n se elige la consistencia aleatoria, el cociente entre el CI
calculado y la consistencia aleatoria proporciona el Ratio de Consistencia RC [9]:
RC =
CI
[9]
Consistencia aleatoria
Se considera que existe consistencia cuando no se superan los porcentajes que
aparecen en la Tabla 5.3.
Tamaño de la matriz (n) Ratio de consistencia
3
5%
4
9%
5 o mayor
10%
Tabla 3. Porcentajes máximos del ratio de consistencia
Si en una matriz se supera el ratio de consistencia máximo, hay que revisar las
43
o bien proceder a incrementar su consistencia mediante la
ponderaciones
programación por metas (González-Pachón y Romero, 2003).
43
Una forma de mejorar la consistencia cuando no se considera satisfactoria, es clasificar las actividades
mediante un orden simple basado en las ponderaciones obtenidas la primera vez que se vio el problema,
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
85
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Construida la matriz de comparaciones pareadas se calcula su eigenvector.
Dado A , un vector v distinto de cero es un eigenvector de A si para cierto escalar λ se
cumple [10]:
A*v = λ*v
[10]
El escalar λ (que puede ser cero) se llama eigenvalor de A asociado con el
eigenvector v. Las raíces reales del polinomio característico de una matriz son los
eigenvalores de esta matriz. Se determinan resolviendo el polinomio [11]:
det (A − λ * I ) = 0
[11]
Un vector v es un eigenvector de A correspondiente a un eigenvalor λ si y solo si
v es una solución no trivial del sistema [12]:
(A − λ * I ) * v = 0
[12]
Una aproximación suficiente del eigenvector puede obtenerse utilizando la hoja
de cálculo Excel y la función matemática MMULT del asistente de funciones. El cálculo
se realiza multiplicando la matriz por ella misma, se suman las filas, y se normaliza por
la suma cada uno de los elementos, con lo que obtenemos una matriz columna. Esta
matriz columna es el eigenvector aproximado de la matriz inicial. Se repite la operación
anterior (multiplicación de la matriz resultante por si misma, obtención del vector
propio) hasta que el eigenvector obtenido no se diferencie del anterior hasta la cuarta
cifra decimal, con lo que ya se habrá conseguido una aproximación suficiente del
eigenvector buscado44.
Existen otras formas de cálculo del eigenvector como la media geométrica por
filas y otros métodos más elementales pero menos precisos .
En la práctica del método AHP existe un programa informático (Expert Choice) y
que con solo definir los elementos de la matriz que están por encima de la diagonal
principal (los que están por debajo recordemos que la matriz es recíproca) nos da el
eigenvector buscado, su consistencia y un conjunto de análisis de sensibilidad etc.
Cuando el eigenvector obtenido sea el de la matriz de criterios le llamaremos vc
e indica el peso o importancia relativa que cada uno de los criterios utilizados
tiene en la valoración del conjunto de alternativas sobre las cuales se va a trabajar.
Esto es, con este sistema se obtiene la ponderación de cada uno de los criterios o
características que se van a utilizar para determinar el interés de cada una de las
alternativas.
Cuando el eigenvector obtenido sea el de la matriz de alternativas para un
criterio determinado le llamaremos vai (vector columna), que indica el peso o
importancia relativa de cada una de las alternativas para el criterio i. Se obtienen
tantos eigenvectores vai (va1, va2,…,van ) como criterios (n), siendo el número de
elementos de cada eigenvector igual al número de alternativas (m).
Volviendo sobre el paso f del método, se multiplica la matriz de eigenvectores de
las alternativas por la matriz columna del ranking de los criterios [13]:
va × vc = w
[13]
donde v a = [v a1 , v a 2 , K , v an ], dim(v a ) = m × n .
y desarrollar, teniendo en cuenta el conocimiento de la categorización previa, una segunda matriz de
comparación por pares. En general la consistencia debe ser mejor.
44
En el Anexo a este capítulo se desarrolla un ejemplo completo con el cálculo del eigenvector utilizando
la hoja de cálculo EXCEL.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
86
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
El resultado es una matriz w cuyos componentes expresan el peso relativo de
cada alternativa. Este peso es el que permite ordenar las alternativas de mayor a
menor interés y además cuantifica cuál es el interés de cada alternativa con respecto a
las otras en función de todos los criterios y de su importancia.
6.3 UTILIZACIÓN DE AHP EN VALORACIÓN
Hemos visto en el punto anterior que al final de la aplicación de AHP obtenemos
un vector que nos indica la ponderación o peso de cada una de las alternativas en
45
función de todos los criterios y su importancia. Esta particularidad es la que nos va a
permitir su aplicación en Valoración y para ello seguiremos un procedimiento similar al
visto con el método de la Suma ponderada.
Recordemos la necesidad previa de adaptar la terminología utilizada en AHP al
campo de la valoración: Lo que hemos denominado alternativas serán ahora activos
tanto los testigo como el a valorar. Lo denominado criterios serán ahora variables
explicativas.
Hecha la anterior adaptación vamos a ver como se plantearía la valoración de un
activo mediante AHP y para ello planteamos una situación bastante normal en la
práctica valorativa, aquella en la que hay que valorar en situaciones de muy escasa
información, y que es la que justifica la utilización de AHP.
Este es el caso cuando lo único que se conoce de los testigos a utilizar en los
métodos comparativos son sus precios. En esta situación puede abordarse la
valoración por AHP pero siempre que se den una serie de circunstancias básicas.
La primera es que se pueda tener acceso al conocimiento (visual, información
financiera, descripción etc) de los distinto testigos.
La segunda es que se tengan suficientes conocimientos técnicos como para
emitir juicios sobre variables explicativas del precio de los testigos y del bien a valorar.
Bajo estas hipótesis podemos representar el problema mediante el gráfico
clásico de AHP. Figura 5.1.
Objetivo:
Valoración activo P
Variable
explicativa 1
Variable
explicativa 2
Activo testigo 1
Activo testigo 2
Variable
explicativa 3
Activo
problema P
Métodos multicriterio como el ELECTRE también utilizados para selección de alternativas no permiten
su aplicación a la Valoración pues llegan a una ordenación de las alternativas sin ponderación.
45
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
87
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Figura 6.1. Representación gráfica del modelo AHP
El primer paso a determinar son las variables explicativas a utilizar. Para ello es
fundamental como ya se ha dicho un conocimiento técnico profundo del activo a
valorar.
Determinadas estas variables, y aunque todas son explicativas del precio, no
todas tienen por que tener la misma importancia, luego el siguiente paso será calcular
el peso de cada una de estas variables. Para ello se plantea la matriz de
comparaciones pareadas utilizando la escala de la Tabla 6.1. Finalmente tras
comprobar su consistencia, se calcula su vector propio, que nos indicará la
ponderación o peso de las variables explicativas en la determinación del precio.
La siguiente fase es precisar la ponderación de los activos tanto los testigo como
el que se pretende valorar para cada una de las variables explicativas. En este paso
pueden plantearse dos supuestos.
1. Que la variable explicativa este cuantificada. Por ejemplo puede que se
46
este utilizando la variable Distancia al centro urbano y se conocen las
diferentes distancias. En este caso la ponderación se realiza simplemente
normalizando la variable por el método de la suma.
2. Si la variable no está cuantificada o es cualitativa, se cuantifica planteando
la matriz de comparaciones pareadas de las fincas con respecto a esa
variable explicativa, y calculando su vector propio, previo cálculo de su
consistencia.
Al final del segundo proceso se tendrá una matriz con todos los vectores propios
de las comparaciones de los activos para cada variable explicativa. Será una matriz
(m*n) siendo m el número de activos y n el numero de variables.
Esta matriz se multiplica por la matriz (n*1) de la ponderación de las variables
explicativas calculada anteriormente.
El producto de ambas matrices (5)
(m*n) * (n*1) = (m*1)
(5)
resulta una matriz (m*1) que indica la ponderación de los activos en función de
todas las variables explicativas y su peso.
Hasta este punto sería la aplicación del AHP utilizado como método multicriterio
para la toma de decisiones. El procedimiento para aprovechar esta información en
el campo de la valoración es el mismo que el visto en el método de la Suma
Ponderada.
Se calcula el ratio (6)
Ratio =Σ Valor activos testigo / Σ Ponderación activos testigo. (6)
A partir de este ratio, su producto por la ponderación del activo a valorar,
el valor que se estaba buscando (7).
dará
Valor activo Problema = Ratio * ponderación activo problema. (7)
46
Las variables cuando son inversas como en este caso previamente hay que transformarlas en directas.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
88
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
El valor obtenido está en función de todas las variables explicativas y de su
ponderación.
A continuación vamos a aplicar el proceso visto anteriormente a tres ejemplos.
6.4 EJEMPLO 1. VALORACIÓN DE UN INMUEBLE AGRARIO
En este ejemplo se plantea la valoración de una parcela destinada al cultivo
agrícola y la única información cuantitativa que se tiene es el precio de cuatro
transacciones recientes de 4 parcelas parecidas, como aparece en la Tabla 6.4.
El experto visita las parcelas testigo y problema y basándose en sus
conocimientos agronómicos y de la zona, decide elegir como variables explicativas:
•
El estado vegetativo. Representa el desarrollo de la plantación, su
situación sanitaria y de cultivo y en definitiva es un indicador de su
capacidad productiva.
•
El microclima. Variable que representa la bondad del entorno del cultivo,
factor fundamental para medir el riesgo de la producción y la propia
supervivencia del cultivo.
Ambas variables son de tipo cualitativo y por lo tanto no están cuantificadas. Por
lo tanto el valorador tiene que ponderar dichas variables entre si y además cuantificar
cada parcela para cada una de ellas. Vamos a ver como abordar dicho problema
utilizando AHP.
Se parte pues de la información de la Tabla 6.4.
PARCELAS
VALOR
1
4.000
2
1.600
3
5.550
4
9.800
ESTADO VEGETATIVO
MICROCLIMA
X
Tabla 6.4. Información inicial
Se plantea la matriz de comparación pareada de las variables explicativas, se
calcula su consistencia y su vector propio que nos indica la ponderación de las
variables. (Se reúne todo en la tabla 6.5. con el fin de hacer más compacta la
presentación).
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
89
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
ESTADO
VEGETATIVO
MICROCLIMA
VECTOR
PROPIO
ESTADO
VEGETATIVO
1/1
5/1
0,8333
MICROCLIMA
1/5
1/1
0,1667
CR
0,00%
Tabla 6.5. Matriz de comparaciones pareadas de las variables explicativas
Este resultado nos indica que la variable mas importante es el Estado vegetativo
y en una proporción del 83,33%, mientras que la importancia de la segunda el
Microclima es solo del 16,67%.
El siguiente paso es establecer la Matriz de comparaciones pareadas y sus
vectores propios, de las parcelas en función de cada una de las variables explicativas.
Estado vegetativo (Tablas 6.6 ), y microclima (Tablas 6.7).
Parcela 1
Parcela 1
Parcela 2
Parcela 3
Parcela 4
Parcela x
Vector
propio
1/1
3/1
1/1
1/3
1/1
0,1610
1/1
1/3
1/7
1/3
0,0566
1/1
1/3
1/1
0,1610
1/1
3/1
0,4604
1/1
0,1610
Parcela 2
Parcela 3
Parcela 4
Parcela x
CR
0,00%
Tabla 6.6. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio en función del estado
vegetativo
Parcela 1
Parcela 2
Parcela 3
Parcela 1
Parcela 2
Parcela 3
Parcela 4
Parcela x
Vector
propio
1/1
1/1
1/5
1/1
1/3
0,0876
1/1
1/5
1/1
1/3
0,0876
1/1
5/1
3/1
0,5007
1/1
1/3
0,0876
1/1
0,2364
Parcela 4
Parcela x
CR
0,90%
Tabla 6.7. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio en función del
microclima
Con las ponderaciones obtenidas tanto de las variables como de las parcelas
se calcula la ponderación final de las parcelas en función de las dos variables
utilizadas (Tabla 6.8).
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
90
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Vectores propios parcelas
Ponderación variables
Ponderación Parcelas
0,1610
0,0876
0,8333
0,1488
0,0566
0,0876
0,1667
0,0618
0,1610
0,5007
0,2176
0,4604
0,0876
0,3983
0,1610
0,2364
0,1736
Tabla 6.8. Calculo de las Ponderaciones de las parcelas
Con la ponderación y los valores de las parcelas testigo se calculan los ratios y
el ratio medio (Tabla 6.9).
VALOR
PARCELAS
PONDERACIÓN
4.000
0,1488
26.888
1.600
0,0618
25.904
5.550
0,2176
25.504
9.800
0,3983
24.607
RATIOS
PARCELAS
RATIO MEDIO
25.725
Tabla 6.9. Cálculo de los ratios y del ratio medio
Conocido el ratio medio, el producto de él por la ponderación de la parcela a
valorar dará el valor buscado.
Valor X = Ratio medio * Peso parcela X = 25.725* 0,1736 = 4.465 €
El valor de la parcela problema X es de 4.465 € , valor que ha sido determinado
teniendo en cuenta todas las variables explicativas elegidas estado vegetativo y
microclima, asi como su peso 0,8333 y 0,1667 respectivamente.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
91
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
6.5 EJEMPLO 2. VALORACIÓN DE UN INMUEBLE URBANO
En la valoración urbana, normalmente se cuenta con una información suficiente,
ya que al ser un mercado con un mayor número de transacciones y la mayoría de ellas
realizarse a través de Agentes de la Propiedad Inmobiliaria (API), permite la creación
de bases de datos importantes que pueden ser la base de la aplicación del método
econométrico en cualquier supuesto de valoración.
Sin embargo y a pesar de lo dicho existen supuestos en que la información es
escasa o inadecuada.
El primero es en aquellos casos en que el valorador o bien por no tener acceso a
esas bases de datos o bien por no existir ellas se encuentra que debe enfrentarse a
una valoración con muy poca información.
La segunda es aquella en que aun existiendo las bases de datos y teniendo
acceso a ellas, existen una serie de variables de tipo cualitativo que hay que
cuantificar.
Ambas situaciones pueden ser resueltas mediante la aplicación del Proceso
Analítico Jerárquico.
En este ejemplo el experto se enfrenta a la determinación de un precio por m2
de un inmueble urbano partiendo de una información puramente cualitativa, ya que
solo cuenta con el conocimiento de 5 transacciones recientes en la misma ciudad de
inmuebles parecidos y de los cuales conoce el precio por m2 de la transacción como
aparece en la Tabla 5.10, pero no tiene ninguna otra información cuantificada de los
mismos.
El experto conocedor de la zona en la que trabaja y basándose en su
experiencia como valorador decide utilizar como variables explicativas:
47
La calidad del entorno donde se ubican los edificios, valorándose como calidad
los servicios de todo tipo existentes, la existencia de zonas verdes, la falta de
contaminación etc.
La calidad del edificio, entendiéndose como tal la calidad de los materiales, la
existencia de servicios como ascensor, aire acondicionado etc.
Estado de conservación del edificio, tanto en su fachada como en el interior.
El experto parte entonces de la información de la Tabla 6.10.
EDIFICIO
VALOR por
m2
1
1.650
2
1.200
CALIDAD
ENTORNO
CALIDAD
EDIFICIO
ESTADO DE
CONSERVACIÓN
Una de las propiedades importantes del modelo es que nos permitiría llegar a una ponderación de estas
metavariables mediante la comparación pareada de sus componentes, estableciéndose conglomerados de
variables. Este supuesto no se contempla en este ejemplo, pero será desarrollado en el ejemplo nº 3 de
este mismo capítulo.
47
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
92
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
3
1.575
4
2.040
5
3.100
X
Tabla 6.10. Información de partida con la que cuenta el experto
El primer paso a realizar es la ponderación de las variables explicativas. Para
ello se plantea la correspondiente matriz de comparaciones pareadas, comprueba su
consistencia y calcula su vector propio. Tabla 6.11
Calidad entorno
Calidad
entorno
Calidad
edificio
Estado de
conservación
Vector
propio
1/1
1/3
1/4
0,1220
1/1
1/2
0,2970
1/1
0,5584
Calidad edificio
Estado
conservación
de
CR
1,76%
Tabla 6.11. Matriz de comparación pareada y vector propio de las variables
explicativas
Seguidamente se plantean las matrices de comparación pareadas y el cálculo de
su consistencia y sus vectores propios de los inmuebles urbanos en función de cada
una de las variables explicativas. Calidad del entorno (Tabla 6.12), Calidad del edificio
(Tabla 6.13) y Estado de conservación (Tabla 6.14).
Edificio Edificio Edificio Edificio Edificio
1
2
3
4
5
Edificio 1
1/1
Edificio 2
Edificio x
Vector
propio
3/1
3/1
1/3
1/5
1/3
0,0825
1/1
1/1
1/7
1/9
1/7
0,0328
1/1
1/7
1/9
1/7
0,0328
1/1
1/3
1/1
0,2069
1/1
3/1
0,4381
1/1
0,2069
Edificio 3
Edificio 4
Edificio 5
Edificio x
CR
2,55%
Tabla 6.12. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio en función de la
Calidad del entorno
Edificio Edificio Edificio Edificio Edificio
1
2
3
4
5
Edificio 1
1/1
3/1
1/3
1/1
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
1/5
Edificio x
Vector
propio
1/1
0,0891
93
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Edificio 2
1/1
Edificio 3
1/7
1/3
1/9
1/3
0,0343
1/1
3/1
1/3
3/1
0,2355
1/1
1/5
1/1
0,0891
1/1
5/1
0,4630
1/1
0,0891
Edificio 4
Edificio 5
Edificio x
CR
5,98%
Tabla 6.13. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio en función de la
Calidad del edificio
Edificio 1
Edificio
1
Edificio
2
Edificio
3
Edificio
4
Edificio
5
Edificio
x
Vector
propio
1/1
5/1
3/1
1/1
1/1
3/1
0,2194
1/1
1/3
1/5
1/5
1/3
0,0403
1/1
1/3
1/3
1/1
0,0820
1/1
1/1
3/1
0,2194
1/1
3/1
0,2194
1/1
0,2194
Edificio 2
Edificio 3
Edificio 4
Edificio 5
Edificio x
CR
2,07%
Tabla 6.14. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio en función del Estado
de conservación
Con las ponderaciones obtenidas tanto de las variables como de los inmuebles
urbanos se calcula la ponderación final de estos en función de las tres variables
utilizadas (Tabla 6.15).
Ponderaciones parcelas para cada
variable
Ponderación
variables
Ponderación
parcelas en
función de todas
las variables
0,0825
0,0891
0,2194
0,1220
0,1610
0,0328
0,0343
0,0403
0,3196
0,0374
0,0328
0,2355
0,0820
0,5584
0,1250
0,2069
0,0891
0,2194
0,1762
0,4381
0,4630
0,2194
0,3239
0,2069
0,0891
0,2194
0,1762
Tabla 6.15. Ponderación parcelas en función de todas las variables
Con la ponderación obtenida y los valores de los inmuebles testigo se calcula el
ratio baricéntrico (Tabla 6.16).
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
94
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
PONDERACIÓN
INMUEBLES TESTIGO
VALOR INMUEBLES
1
1.650
0,1610
2
1.200
0,0374
3
1.575
0,1250
4
2.040
0,1762
5
3.100
0,3239
SUMA
9.565
08237
RATIO BARICÉNTRICO
INMUEBLES
11.611,60
Tabla 6.16. Cálculo del ratio
Conocido el ratio, el producto de él por la ponderación del inmueble a valorar
dará el valor buscado.
Valor X = Ratio * Ponderación inmueble X = 11.611 * 0,1762 = 2.046 €/m2
El valor del m2 del inmueble problema X es de 2.046 € valor que ha sido
determinado teniendo en cuenta todas las variables explicativas elegidas y su peso o
importancia.
6.6 EJEMPLO 3. VALORACIÓN DE UN INMUEBLE URBANO
En el ejemplo anterior hemos hablado de la existencia de metavariables, que son
variables explicativas compuestas por otras variables.
Se pueden proponer
48
como metavariables en inmuebles urbanos las siguientes.
•
Entorno urbanístico.
•
Características del edificio donde se ubica la vivienda
•
Características de la propia vivienda
•
Distancias
a centros de interés y calidad y cantidad de las
comunicaciones
Estas metavariables a su vez pueden dividirse en subvariables o variables
explicativas secundarias que ayudan a mejorar el análisis y que sintonizan con el
49
concepto de conglomerados en AHP , de forma que las variables explicativas serían
ahora.
Entorno urbanístico
•
48
49
Categoría de la zona
BALLESTERO, E. RODRÍGUEZ, J.A. (1999)
ESCOBAR Y MORENO (1997)
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
95
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
•
Contaminación general
•
Servicios
•
Calidad de los comercios
•
Anchura de calle
•
Zonas verdes
Características del edificio donde se ubica la vivienda
•
Fachada
•
Portal
•
Ascensor
•
Portería
•
Estado de conservación
Características de la propia vivienda
•
Calidad de materiales y acabados
•
Baños
•
Diseño
•
Superficie
•
Altura de planta en caso de que exista ascensor
•
Altura de planta en caso de que no exista ascensor
•
Luminosidad y ventilación
•
Calefacción-aire acondicionado
•
Aislamiento térmico-acústico
•
Terrazas
•
Ratio superficie útil/superficie construida
Distancias a centros de interés y calidad y cantidad de las comunicaciones
•
Distancia a centro urbano
•
Distancia a boca de metro
•
Distancia a parada de autobús
En este ejemplo vamos a ver como enfocar la valoración de una vivienda urbana
utilizando las metavariables.
Planteado el problema mediante AHP, existen ahora cuatro niveles.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
96
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
El nivel 1 es el objetivo o meta: Calcular el valor de la vivienda A.
El nivel 2 recoge las metavariables, variables explicativas generales o primarias.
El nivel 3 está compuesto por las variables explicativas secundarias o
subvariables.
El nivel 4 recoge las viviendas testigo y la problema A.
Situados en este punto, los pasos a seguir van a ser.
1. Determinar la ponderación de las distintas variables, tanto las metavariables
como las secundarias en el precio de la vivienda, planteando en cada nivel la
matriz de comparaciones pareadas, utilizando la escala fundamental de
comparación por pares y calculando finalmente su autovector o vector propio.
De las variables explicativas de ambos niveles consideradas hay tanto
variables cuantitativas (anchura de calle, superficie, ratio superficie
útil/superficie construida, distancias a centro urbano, metro, autobús, colegios,
ambulatorio) como cualitativas (las restantes). El cálculo del vector propio en
las primeras es inmediato ya que se corresponde con el cálculo de la
normalización por la suma. En el caso de las variables cualitativas es cuando
hay que plantear la matriz de comparaciones pareadas, el cálculo del
autovector de la matriz y el cálculo de su ratio de consistencia.
2. El producto de la ponderación de cada variable secundaria por la ponderación
de la metavariable correspondiente, dará el peso o ponderación global de cada
variable secundaria, teniendo pues al final de este proceso un vector columna
(n*1) siendo m el numero de variables secundarias.
3. El proceso sigue planteando las matrices y el calculo del vector propio
correspondiente comparando los inmuebles urbanos entre si para cada variable
secundaria. El conjunto de vectores propio forma la matriz (m*n), siendo m el
número de viviendas (testigo mas la a valorar) y n el número de variables
explicativas secundarias.
4. El producto de las matrices (m*n) y (n*1) resulta una matriz (m*1) que nos
indica el peso o ponderación de los distintos inmuebles entre si en función de
todas las variables explicativas.
5. Como en el ejemplo visto en valoración agraria, conocidos los precios de los
inmuebles testigo se calculan el ratio precio / ponderación, ratio que
multiplicado por la ponderación del inmueble a valorar da el valor buscado.
A continuación se desarrollan estos puntos en un ejemplo concreto.
En el cual y para no hacerlo excesivamente laborioso de cálculo se va a
considerar las cuatro metavariables y solo algunas de las variables explicativas
secundarias. Se parte pues de la siguiente información (Tabla 6.17) y Figura 6.2.
Variable explicativa
PRECIO € / m2
Vivienda Vivienda Vivienda Vivienda Vivienda
1
2
3
4
A
3.000
2.750
1.900
1.100
5
7
4
10
Entorno urbanístico
Categoría de la zona
Anchura de calle
8
Características del edificio donde se
ubica la vivienda
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
97
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Fachada
Ascensor
si
si
no
no
si
95
87
110
100
90
Distancia a centro urbano (Km)
0,500
0,750
1,500
2,000
0,600
Distancia a parada de autobús (Km)
0,200
0,150
0,300
0,250
0,200
Estado de conservación
Características de la propia vivienda
Calidad de materiales y acabados
Superficie
Luminosidad y ventilación
Calefacción-aire acondicionado
Terrazas
Distancias a centros de interés y
calidad
y
cantidad
de
las
comunicaciones
Tabla 6.17. Información de mercado de partida
Objetivo- Valor
vivienda X
Entorno
urbanísti
Caract.
inmuebl
Caract.
vivienda
Distanc.
comunic
Categoría zona
Fachada
Calidad de
materiales y
Distancia a
centro urbano
Anchura calle
Ascensor
Superficie
Distancia a
parada autobús
Estado de
conservación
Luminosidad y
ventilación
Calefacción-aire
acondicionado
Terrazas
Vivienda 1
Vivienda 2
Vivienda 3
Vivienda 4
Vivienda a
valorar
Figura 6.2. Representación grafica de la valoración
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
98
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Lo primero es determinar el peso o ponderación de las variables explicativas
primarias (entorno urbanístico, características del edificio, características de la
vivienda y distancias a centros de interés) . Para ello se plantea la correspondiente
matriz de comparaciones pareadas, se calcula su consistencia y su vector propio
(Tabla 6.18).
Entorno Características Características Distancias a Vector
de la propia
centros de
urbanístico
del edificio
propio
vivienda
interés y
donde se
calidad y
ubica la
cantidad de las
vivienda
comunicaciones
Entorno
urbanístico
1/1
Características
del
edificio
donde se ubica
la vivienda
1/3
1/7
1/5
0,0553
1/1
1/5
1/3
0,1175
1/1
3/1
0,5650
1/1
0,2622
Características
de la propia
vivienda
Distancias
a
centros
de
interés
y
calidad
y
cantidad de las
comunicaciones
CR
4,43%
Tabla 6.18. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las variables
primarias
La ponderación obtenida nos indica la importancia de las metavariables en la
explicación del precio.
Entorno urbanístico: 5,53%
Características del edificio donde se ubica la vivienda: 11,75%
Características de la propia vivienda: 56,50%
Distancias a centros de interés y calidad y cantidad de las comunicaciones:
26,22%
Definida la ponderación de las metavariables, se pasa a ponderar dentro de
cada una la importancia de las variables secundarias.
Metavariable : Entorno urbanístico
Variables secundarias:
•
Categoría de la zona.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
99
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
•
Anchura de calle
Se plantea la matriz de comparaciones pareadas. Tabla 6.19.
Categoría de la zona
Anchura de calle
Vector propio
Categoría de la zona
1/1
5/1
0,8333
Anchura de calle
1/5
1/1
0,1667
CR
0,00%
Tabla 6.19. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las variables
secundarias comprendidas dentro de la variable primaria entorno
Metavariable: Características del edificio donde se ubica la vivienda
Variables secundarias:
•
Fachada
•
Ascensor
•
Estado de conservación
Se plantea la matriz de comparaciones pareadas. Tabla 6.20.
Fachada
Ascensor
Estado de
conservación
Vector propio
1/1
1/5
1/7
0,0719
1/1
1/3
0,2790
1/1
0,6491
Fachada
Ascensor
Estado de
conservación
CR
4,29%
Tabla 6.20. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las variables
secundarias comprendidas dentro de la variable primaria características del edificio
Metavariable: Características de la propia vivienda
Variables secundarias:
•
Calidad de materiales y acabados
•
Superficie
•
Luminosidad y ventilación
•
Calefacción-aire acondicionado
•
Terrazas
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
100
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Se plantea la matriz de comparaciones pareadas. Tabla 6.21.
Calidad
de
Superficie Luminosidad Calefacción- Terrazas Vector
materiales
aire
y ventilación
propio
y
acondicionado
acabados
Calidad
de
materiales y
acabados
1/1
Superficie
1/3
1/1
1/5
1/1
0,0876
1/1
3/1
1/3
3/1
0,2364
1/1
1/5
1/1
0,0876
1/1
5/1
0,5007
Luminosidad y
ventilación
Calefacciónaire
acondicionado
Terrazas
1/1
CR
0,94%
Tabla 6.21. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las variables
secundarias comprendidas dentro de la variable primaria características de la propia
vivienda.
Metavariable: Distancias a centros de interés y calidad y cantidad de las
comunicaciones
Variables secundarias:
•
Distancia a centro urbano
•
Distancia a parada de autobús
Se plantea la matriz de comparaciones pareadas. Tabla 6.22.
Distancia a centro
urbano
Distancia a parada de
autobús
Distancia a centro
urbano
Distancia a parada de
autobús
Vector
propio
1/1
1/3
0,7500
3
1/1
0,2500
CR
0,00%
Tabla 6.22. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las variables
secundarias comprendidas dentro de la variable primaria distancias
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
101
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Con este último cálculo se finaliza la ponderación de las variables secundarias.
El producto de ponderación de cada metavariable por las ponderaciones de las
variables secundarias que comprende (Tabla 6.23) resultará la ponderación final de
cada una de las variables secundarias o sea la importancia o peso de cada una de las
variables secundarias en la explicación del precio de las viviendas. Estas
ponderaciones forman el vector propio del peso de las variables explicativas
secundarias.
Metavariables
Variables secundaria
Ponderación
final
Categoría zona
5,53 %
83,33 %
4,61 %
Anchura calle
5,53 %
16,67 %
0,92%
Fachada
11,75 %
7,19 %
0,84 %
Ascensor
11,75 %
27,90 %
3,28 %
E. Conservación
11,75 %
64,91 %
7,63 %
Calidad m. Y acabado
56,50 %
8,76 %
4,95 %
Superficie
56,50 %
23,64 %
13,36 %
Luminosidad y ventilación
56,50 %
8,76 %
4,95 %
Calefacción- aire acond.
56,50 %
50,07 %
28,29 %
Terrazas
56,50 %
8,76 %
4,95 %
D. Centro urbano
26,22 %
75 %
19,67 %
D. Parada autobus
26,22%
25%
6,55%
100%
Tabla 6.23. Ponderación final de las variables secundarias
El siguiente paso consiste en ponderar cada una de las viviendas, las testigo
mas la a valorar, en función de cada una de las variables secundarias, construyendo
en cada caso la matriz de comparaciones pareadas, midiendo su consistencia y
calculando los vectores propios respectivos. Tabla 6.24.
Variable secundaria: Categoría de la zona.
Matriz de comparaciones pareadas
Vivienda Vivienda Vivienda
1
2
3
Vivienda 1
Vivienda 2
Vivienda 3
1/1
Vivienda
4
Vivienda
A
Vector propio
1/1
3/1
5/1
1/1
0,2808
1/1
3/1
5/1
1/1
0,2808
1/1
3/1
1/3
0,1070
1/1
1/5
0,0505
1/1
0,2808
Vivienda 4
Vivienda A
CR
0,95%
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
102
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Tabla 6.24. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las viviendas
en función de la variable categoría de la zona.
Variable secundaria: Anchura de calle.
En este caso al ser una variable cuantificada, la ponderación se calcula
directamente por normalización por la suma sin necesidad de plantear la matriz de
comparaciones pareadas. Tabla 6.25.
Valor de la variable
Ponderación
Vivienda 1
5
0,1470
Vivienda 2
7
0,2058
Vivienda 3
4
0,1176
Vivienda 4
10
0,2941
Vivienda A
8
0,2352
SUMA
34
1
Tabla 6.25. Calculo de los pesos o proporción relativa de las viviendas en función de
la variable anchura de calle
Variable secundaria: Fachada
Matriz de comparaciones pareadas
Vivienda 1 Vivienda 2 Vivienda 3 Vivienda 4 Vivienda A
Vivienda 1
Vivienda 2
Vivienda 3
1/1
1/1
1/1
3/1
1/1
0,2308
1/1
1/1
3/1
1/1
0,2308
1/1
3/1
1/1
0,2308
1/1
1/3
0,0769
1/1
0,2308
Vivienda 4
Vivienda A
CR
Vector
propio
0,00%
Tabla 6.26. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las viviendas en
función de la variable fachada.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
103
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Variable secundaria: Ascensor
Matriz de comparaciones pareadas
Vivienda 1 Vivienda 2 Vivienda 3 Vivienda 4 Vivienda A
Vivienda 1
1/1
Vivienda 2
Vector
propio
1/1
3/1
9/1
1/1
0,2854
1/1
3/1
9/1
1/1
0,2854
1/1
7/1
1/3
0,116
1/1
1/9
0,0273
1/1
0,2854
Vivienda 3
Vivienda 4
Vivienda A
CR
2,02%
Tabla 6.27. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las viviendas en
función de la variable ascensor.
Variable secundaria: Estado de conservación
Matriz de comparaciones pareadas
Vivienda 1 Vivienda 2 Vivienda 3 Vivienda 4 Vivienda A
Vivienda 1
1/1
Vivienda 2
Vector
propio
1/5
3/1
3/1
1/5
0,1535
1/1
3/1
3/1
1/1
0,3595
1/1
1/1
1/3
0,0638
1/1
1/3
0,0638
1/1
0,3595
Vivienda 3
Vivienda 4
Vivienda A
CR
Tabla 6.28. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las viviendas en
función de la variable estado de conservación.
Variable secundaria: Calidad de los materiales y acabado
Matriz de comparaciones pareadas
Vivienda 1 Vivienda 2 Vivienda 3 Vivienda 4 Vivienda A
Vivienda 1
Vivienda 2
1/1
Vector
propio
1/1
5/1
7/1
3/1
0,3459
1/1
5/1
7/1
3/1
0,3459
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
104
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Vivienda 3
1/1
Vivienda 4
3/1
1/7
0,0606
1/1
1/9
0,0325
1/1
0,2152
Vivienda A
CR
9,36%
Tabla 6.29. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las viviendas en
función de la variable calidad de los materiales y acabado.
Variable secundaria: Superficie
Al ser una variable cuantificada, como ya se vió en el caso de la anchura de
calle, la ponderación se calcula directamente por normalización por la suma sin
necesidad de plantear la matriz de comparaciones pareadas.
Valor de la variable
Ponderación
Vivienda 1
95
0,1970
Vivienda 2
87
0,1804
Vivienda 3
110
0,2282
Vivienda 4
100
0,2074
Vivienda A
90
0,1867
SUMA
482
1
Tabla 6.30. Calculo de los pesos o proporción relativa de las viviendas en función de
la variable superficie.
Variable secundaria: Luminosidad y ventilación
Matriz de comparaciones pareadas
Vivienda 1 Vivienda 2 Vivienda 3 Vivienda 4 Vivienda A
Vivienda 1
1/1
Vivienda 2
Vector
propio
1/5
1/1
3/1
1/3
0,0999
1/1
5/1
7/1
3/1
0,5005
1/1
3/1
1/3
0,0999
1/1
1/7
0,0423
1/1
0,2573
Vivienda 3
Vivienda 4
Vivienda A
CR
2,94%
Tabla 6.31. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las viviendas
en función de la variable luminosidad y ventilación.
Variable secundaria: Calefacción-aire acondicionado
Matriz de comparaciones pareadas
Vivienda 1 Vivienda 2 Vivienda 3 Vivienda 4 Vivienda A
Vivienda 1
1/1
1/1
1/1
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
9/1
1/1
Vector
propio
0,2432
105
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Vivienda 2
1/1
Vivienda 3
1/1
9/1
1/1
0,2432
1/1
9/1
1/1
0,2432
1/1
1/9
0,0270
1/1
0,2432
Vivienda 4
Vivienda A
CR
0,00%
Tabla 6.32. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las viviendas en
función de la variable calefacción-aire acondicionado.
Variable secundaria: Terrazas
Matriz de comparaciones pareadas
Vivienda Vivienda Vivienda
1
2
3
Vivienda 1
Vivienda 2
1/1
Vivienda
4
Vivienda
A
Vector
propio
3/1
3/1
1/1
1/1
0,2727
1/1
1/1
1/3
1/3
0,0909
1/1
1/3
1/3
0,0909
1/1
1/1
0,2727
1/1
0,2727
Vivienda 3
Vivienda 4
Vivienda A
CR
0,00%
Tabla 6.33. Matriz de comparaciones pareadas y vector propio de las viviendas en
función de la variable terrazas.
Variable secundaria: Distancia a centro urbano
Tanto esta variable como la siguiente Distancia a parada de autobús son
variables cuantificadas por lo que el cálculo de su ponderación se hace directamente,
como ya se ha visto. Pero, además, ambas variables son inversas por lo que
previamente se transforman en directas mediante el cociente.
Valor de la variable
(kms)
Variable
transformada
Vector propio
Vivienda 1
0,50
2
0,3252
Vivienda 2
0,75
1,33
0,2162
Vivienda 3
1,50
0,66
0,1073
Vivienda 4
2,00
0,50
0,0813
Vivienda A
0,60
1,66
0,2699
6,15
1
SUMA
Tabla 6.34. Cálculo del vector propio de las viviendas en función de la variable calidad
distancia a centro urbano.
Variable secundaria : Distancia a parada del autobús
Valor de la variable
Variable
Vector propio
(km)
transformada
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
106
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Vivienda 1
0,20
5,00
0,2084
Vivienda 2
0,15
6,66
0,2776
Vivienda 3
0,30
3,33
0,1388
Vivienda 4
0,25
4,00
0,1667
Vivienda A
0,20
5,00
0,2084
23,99
1
SUMA
Tabla 6.35. Cálculo del vector propio de las viviendas en función de la variable
distancia a parada autobús.
Con los vectores propios obtenidos a través de las matrices de comparación
pareadas de las distintas viviendas para cada variable secundaria se construye una
matriz 5*12.
El producto de esta matriz por la matriz columna 12*1 de las variables
secundarias dará una matriz columna 5*1.Tabla 6.36
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
107
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I). Proceso Analítico Jerárquico
PRODUCTO MATRICES
Matriz parcelas en función de cada variable secundaria
Matriz Variables secundarias
Matriz
Producto
0,2808
0,1470
0,2308
0,2854
0,1535
0,3459
0,1970
0,0999
0,2432
0,2727
0,3252
0,2084
0,0461
0,2456
0,2808
0,2058
0,2308
0,2854
0,3595
0,3459
0,1804
0,5005
0,2432
0,0909
0,2162
0,2776
0,0092
0,2536
0,1070
0,1176
0,2308
0,1166
0,0638
0,0606
0,2282
0,0999
0,2432
0,0909
0,1073
0,1388
0,0084
0,1586
0,0505
0,2941
0,0769
0,0273
0,0638
0,0325
0,2074
0,0423
0,0270
0,2727
0,0813
0,1667
0,0328
0,0909
0,2808
0,2352
0,2308
0,2854
0,3595
0,2152
0,1867
0,2573
0,2432
0,2727
0,2699
0,2084
0,0763
0,2512
0,0495
0,1336
0,0495
0,2829
0,0495
0,1967
0,0656
Tabla 6.36. Producto de la matriz de vectores propios de las viviendas para cada variable explicativa por la matriz columna de la ponderación
de las variables explicativas secundarias. El producto resultante es la matriz columna que expresa la ponderación de las viviendas en función
de todas las variables explicativas utilizadas (tanto primarias como secundarias) y en función de su peso
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
108
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
La matriz producto obtenida indica la ponderación de las distintas viviendas
(incluida la a valorar) en función de todas las variables explicativas del precio.
Como se conoce el precio de las viviendas testigo, se calcula el ratio precio /
ponderación
Precio €/m2
Ponderación
Precio/Ponderación
Parcela 1
3000
0,2456
12.214,90
Parcela 2
2750
0,2536
11.652,50
Parcela 3
1900
0,1586
10.215,05
Parcela 4
1100
0,0909
12.101,21
Ratio medio Precio/ponderación
11.545,91
Tabla 6.37. Cálculo del ratio valor vivienda/Ponderación.
Conocido el ratio precio / ponderación, el producto de dicho ratio por la
ponderación de la vivienda a valorar dará el precio de esta.
VALOR m2 vivienda A = 11.545,91 * 0,2512 = 2.900,33 € / m2
VALOR VIVIENDA A = 2.900,33 € / m2 * 90 m2 = 261.029 €
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
109
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Anexo I
EJEMPLO 1. VALORACIÓN DE UN ACTIVO AGRARIO
En este anexo se desarrolla con detalle el cálculo del Ejemplo 1. Valoración de
un inmueble agrario visto en este capítulo, pero en este caso se presentan todos los
pasos con detalle incluidas las pantallas de Excel para todos los cálculos.
Como se recordará, en este ejemplo se plantea la valoración de una parcela
destinada al cultivo agrícola y la única información cuantitativa que se tiene es el
precio de cuatro transacciones recientes de 4 parcelas parecidas, como aparece en la
Tabla A.1.
El experto visita las parcelas testigo y problema y basándose en sus
conocimientos agronómicos y de la zona, decide elegir como variables explicativas:
El estado vegetativo. Representa el desarrollo de la plantación, su situación
sanitaria y de cultivo y en definitiva es un indicador de su capacidad productiva.
El microclima. Variable que representa la bondad del entorno del cultivo, factor
fundamental para medir el riesgo de la producción y la propia supervivencia del cultivo.
Ambas variables son de tipo cualitativo y por lo tanto no están cuantificadas. Por
lo tanto el valorador tiene que ponderar dichas variables entre si y además cuantificar
cada parcela para cada una de ellas, utilizando para ello AHP.
Se parte pues de la información de la Tabla A.1.
PARCELAS
VALOR ESTADO VEGETATIVO MICROCLIMA
1
4.000
2
1.600
3
5.550
4
9.800
X
Tabla A.1. Información inicial.
Utilizando la Tabla fundamental de comparación por pares ya conocida. Tabla
A.2.
VALOR
DEFINICIÓN
COMENTARIOS
1
Igual importancia
El criterio A es igual de
importante que el criterio B
3
Importancia moderada
La experiencia y el juicio
favorecen ligeramente al
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
111
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
criterio A sobre el B
5
Importancia grande
La experiencia y el juicio
favorecen fuertemente al
criterio A sobre el B
7
Importancia muy grande
El criterio A es mucho mas
importante que el B
9
Importancia extrema
La mayor importancia del
criterio A sobre el B esta
fuera de toda duda
Valores intermedios entre los anteriores, cuando es
necesario matizar
2,4,6 y 8
Si el criterio A es de importancia grande frente al criterio B
las notaciones serían las siguientes.
Recíprocos de lo anterior
Criterio A frente a criterio B 5/1
Criterio B frente a crierio A 1/5
Tabla A.2. Escala fundamental de comparación por pares (Saaty, 1980)
Se plantea la matriz de comparación pareada de las variables explicativas. Tabla
A.3.
ESTADO VEGETATIVO
MICROCLIMA
ESTADO VEGETATIVO
1/1
5/1
MICROCLIMA
1/5
1/1
Tabla A.3. Matriz de comparación pareada de las variables explicativas
El primer paso es comprobar su consistencia. Para ello se suman las columnas
(Tabla A.4) y se normalizan por la suma cada uno de los elementos de la matriz (Tabla
A.5).
ESTADO VEGETATIVO
MICROCLIMA
ESTADO VEGETATIVO
1
5
MICROCLIMA
0,2
1
SUMA
1,2
6
Tabla A.4. Suma de columnas de la matriz
ESTADO VEGETATIVO
MICROCLIMA
ESTADO VEGETATIVO
0,8333
0,8333
MICROCLIMA
0,1666
0,1666
Tabla A.5. Matriz normalizada por la suma
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
112
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Se suman las filas de la matriz normalizada. Tabla A.6.
ESTADO
VEGETATIVO
MICROCLIMA
SUMA
ESTADO
VEGETATIVO
0,8333
0,8333
1,6666
MICROCLIMA
0,1666
0,1666
0,3332
Tabla A.6. Suma de las filas de la matriz normalizada
La suma de los elementos de la matriz normalizada constituye el vector media de
sumas o vector de prioridades globales o vector B.
T
1.6666 0.3332 
B=
;
= [0.8333 ; 0.1666]
2 
 2
Utilizando la hoja de calculo Excel. Asistente de funciones. Funciones
matemáticas y trigonométricas. MMULT. Pantalla A.1.
Pantalla A.1. Asistente de funciones. Funciones matemáticas y trigonométricas.
MMULT
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
113
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Realizamos el producto de la matriz original por el vector B (que es otra matriz
en este caso columna). Pantalla A.2.
Pantalla A.2. Producto de la matriz original por el vector B
La forma de realizar este producto es la siguiente. Seleccionamos en el asistente
de funciones ƒx dentro de la categoría Matemáticas y trigonométricas la función
MMULT. Introducimos en las celdas Matriz 1 y Matriz 2 las matrices que queremos
multiplicar. Previamente se seleccionan las celdas donde debe aparecer el producto
buscado (en este caso F4:F5). Aceptamos al mismo tiempo que pulsamos las teclas
Ctrl+Shift, y en las celdas seleccionadas aparecerá el producto buscado.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
114
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Pantalla A.3. Vector fila total o vector C
El producto de las dos matrices aparece en las celdas F4:F5 seleccionadas
previamente y es el vector fila total o vector C.
1,6663
0,3333
El vector fila total hallado C, se divide por el vector de prioridades globales B.
Pantalla A.4.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
115
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Pantalla A.4. Cociente matrices C/B
El vector D obtenido, se suman sus elementos y se promedia, obteniéndose la
λmax.
λmax =
1.996 + 2.004
=2
2
Conocido la λmax. Se calcula el Índice de consistencia CI.
CI =
λ max − n
n −1
=
2−2
=0
1
Y a partir de CI y del valor de la consistencia aleatoria (Tabla A.7) se calcula el
Ratio de Consistencia
Tamaño de la matriz (n) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Consistencia aleatoria
0,00 0,00 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49
Tabla A.7. Valores de la consistencia aleatoria en función del tamaño de la matriz
RC =
0
=0
0
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
116
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
En este caso el RC es 0 ya que la consistencia de una matriz de rango 2 solo
50
puede ser cero .
Comprobada la consistencia se pasa a calcular el vector propio de la matriz,
también mediante la función MMULT. El proceso consiste en multiplicar la matriz
original por ella misma, la matriz resultante se suman las filas y cada elemento de ella
se normaliza por la suma. El vector obtenido es una aproximación al vector propio
buscado. Se repite el proceso hasta que los cuatro primeros decimales del vector
propio sean iguales al del anterior. En ese momento la aproximación encontrada es
suficiente.
En nuestro ejemplo la matriz de comparaciones pareadas de las variables la
multiplicamos por ella misma. Pantalla A.5.
Pantalla A.5. Producto de la matriz por si misma
La matriz resultante se suman sus filas y se normaliza por la suma, obteniéndose
una aproximación al vector propio buscado. Pantalla A.6.
Aunque el cálculo de la consistencia con la matriz (2X2) que habíamos planeado no era necesario, ya
que siempre debe ser cero, no hemos querido obviarlo para no confundir al lector, además que la sencillez
de su cálculo sirve de introducción al método. Dentro de este mismo ejemplo veremos el mismo proceso
y con el mismo detalle para una matriz de rango 5.
50
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
117
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Pantalla A.6. Primera aproximación al vector propio
Se repite el proceso, esto es la matriz resultante del producto anterior se
multiplica por ella misma, se suman sus filas y se normaliza por la suma, obteniéndose
la segunda aproximación al vector propio. Pantalla A.7.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
118
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Pantalla A.7. Segunda aproximación al vector propio
El segundo cálculo del vector propio coincide en los cuatro primeros decimales
con el anterior con lo que la aproximación encontrada ya es suficiente.
El resumen de la consistencia y vector propio calculado se encuentra en la tabla
A.8.
ESTADO
VEGETATIVO
MICROCLIMA
VECTOR
PROPIO
ESTADO
VEGETATIVO
1/1
5/1
0,8333
MICROCLIMA
1/5
1/1
0,1667
CR
0,00%
Tabla A.8 . Matriz de comparaciones pareadas de las variables explicativas,
consistencia y vector propio
Este resultado nos indica que la variable mas importante es el Estado vegetativo
y en una proporción del 83,33%, mientras que la importancia de la segunda el
Microclima es solo del 16,67%.
El siguiente paso es establecer la Matriz de comparaciones pareadas y sus
vectores propios, de las parcelas en función de cada una de las variables explicativas.
Estado vegetativo y microclima.
Planteamos primero la matriz con respecto al estado vegetativo. Tabla A.9.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
119
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
PARCELA 1
PARCELA 2
PARCELA 3
PARCELA 4
PARCELA X
1/1
3/1
1/1
1/3
1/1
1/1
1/3
1/7
1/3
1/1
1/3
1/1
1/1
3/1
PARCELA 1
PARCELA 2
PARCELA 3
PARCELA 4
PARCELA X
1/1
Tabla A.9. Matriz de comparaciones pareadas de las parcelas en función del estado
vegetativo
Calculamos su consistencia siguiendo el mismo proceso visto anteriormente..
PARCELA 1
PARCELA 2
PARCELA 3
PARCELA 4 PARCELA X
PARCELA 1
1,0000
3,0000
1,0000
0,3333
1,0000
PARCELA 2
0,3333
1,0000
0,3333
0,1429
0,3333
PARCELA 3
1,0000
3,0000
1,0000
0,3333
1,0000
PARCELA 4
3,0000
7,0000
3,0000
1,0000
3,0000
PARCELA X
1,0000
3,0000
1,0000
0,3333
1,0000
6,3333
17,0000
6,3333
2,1429
6,3333
Tabla A.9. Matriz de comparaciones pareadas de las parcelas en función del estado
vegetativo sumadas las columnas
Normalizamos la matriz, sumamos las filas y promediamos, obteniendo el vector
media de sumas o de prioridades globales B. Tabla A.10.
SUMA
PROMEDIO
0,1579
0,1765
0,1579
0,1556
0,1579
0,8057
0,1611
0,0526
0,0588
0,0526
0,0667
0,0526
0,2834
0,0567
0,1579
0,1765
0,1579
0,1556
0,1579
0,8057
0,1611
0,4737
0,4118
0,4737
0,4667
0,4737
2,2995
0,4599
0,1579
0,1765
0,1579
0,1556
0,1579
0,8057
0,1611
1
1
1
1
1
Tabla A.10. Cálculo del vector media de sumas o de prioridades globales B
Multiplicamos la matriz original por el vector B. Pantalla A.8.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
120
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Pantalla A.8. Producto de la matriz original por el vector B
El producto de ambas matrices nos da el vector C. Pantalla A.9.
Pantalla A.9. Cálculo del vector C
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
121
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Se divide C/B. Tabla A.11.
Matriz C
Matriz B
Cociente
0,8068
0,1611
5,0065
0,2835
0,0567
5,0024
0,8068
0,1611
5,0065
2,3069
0,4599
5,0162
0,8068
0,1611
5,0065
Tabla A.11. Cociente de C/B
Se calcula λmax , CI y CR.
λmax =
CI =
CR =
5.0065 + 5.0024 + 5.0065 + 5.0162 + 5.0065
= 5.0076
5
λ max − n
n −1
=
5.0076 − 5
= 0.0018
4
0.0018
= 0.00171
1.11
CR = 0,17%<10%
Comprobada la consistencia de la matriz pasamos a calcular su vector propio,
como ya sabemos mediante MMULT multiplicando la matriz por si misma hasta
encontrar un vector propio que no difiera del anterior en las cuatro primeras cifras
decimales. Pantallas A.10, 11, 12 y 13.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
122
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Pantalla A.10. Selección de MMULT
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
123
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Pantalla A.11. Primera aproximación al vector propio
Pantalla A.12. Segunda aproximación al vector propio
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
124
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
Pantalla A.13. Tercera y aproximación al vector propio
En la pantalla A.13 ya se consigue una aproximación suficiente al vector propio
51
por lo que no es necesario seguir el proceso .
En la Tabla A. 12. aparece el resumen de la consistencia y vector propio de la
matriz de comparación pareada de las parcelas en función de a la variable explicativa
estado vegetativo.
PARCELA
1
PARCELA
2
PARCELA
3
PARCELA
1
PARCELA
2
PARCELA
3
PARCELA
4
PARCELA
X
VECTOR
PROPIO
1/1
3/1
1/1
1/3
1/1
0,1610
1/1
1/3
1/7
1/3
0,0566
1/1
1/3
1/1
0,1610
1/1
3/1
0,4604
1/1
0,1610
PARCELA
4
PARCELA
X
CR
0,17%
Tabla A.12. Matriz de comparaciones pareadas de las parcelas en función del estado
vegetativo, consistencia y vector propio
51
Normalmente con tres o cuatro aproximaciones se llega al resultado buscado.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
125
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
El mismo proceso se sigue con la matriz de comparación pareada de las
parcelas en función de la variable explicativa microclima. El resumen de la matriz junto
con su ratio de consistencia y su vector propio aparece en la Tabla A.13.
PARCELA
1
PARCELA
2
PARCELA
3
PARCELA
4
PARCELA
X
VECTOR
PROPIO
1/1
1/1
1/5
1/1
1/3
0,0876
1/1
1/5
1/1
1/3
0,0876
1/1
5/1
3/1
0,5007
1/1
1/3
0,0876
1/1
0,2364
PARCELA
1
PARCELA
2
PARCELA
3
PARCELA
4
PARCELA
X
CR
0,90%
Tabla A.13. Matriz de comparaciones pareadas en función del microclima,
consistencia y vector propio
Con las ponderaciones obtenidas tanto de las variables como de las parcelas
se calcula la ponderación final de las parcelas en función de las dos variables
utilizadas, mediante el producto de las dos matrices obtenidas como aparece en la
Tabla A.14.
Vectores propios parcelas
Ponderación variables
Ponderación Parcelas
0,1610
0,0876
0,8333
0,1488
0,0566
0,0876
0,1667
0,0618
0,1610
0,5007
0,2176
0,4604
0,0876
0,3983
0,1610
0,2364
0,1736
Tabla A.14. Calculo de las Ponderaciones de las parcelas
Con la ponderación obtenida y los valores de las parcelas testigo se calculan
los ratios y el ratio medio (Tabla A.15).
VALOR
PARCELAS
PONDERACIÓN
4.000
0,1488
26.888
1.600
0,0618
25.904
5.550
0,2176
25.504
PARCELAS
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
RATIOS
126
Capítulo 6. Métodos de valoración con información cualitativa (I).
Proceso Analítico Jerárquico
9.800
0,3983
24.607
RATIO MEDIO
25.725
Tabla A.15. Cálculo de los ratios y del ratio medio
Conocido el ratio medio, el producto de él por la ponderación de la parcela
a valorar dará el valor buscado.
Valor X = Ratio medio * Peso parcela X = 25.725* 0,1736 = 4.465 €
El valor de la parcela problema X es de 4.465 € , valor que ha sido determinado
teniendo en cuenta todas las variables explicativas elegidas estado vegetativo y
microclima, así como su peso 0,8333 y 0,1667 respectivamente.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
127
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Capítulo 7. Métodos de valoración con
información cualitativa (II). El Proceso Analítico
Jerárquico agregado
7.1 INTRODUCCIÓN
Una de las características interesantes de AHP es que puede ser aplicado de
forma individual o de forma colectiva, en este caso, mediante la utilización de grupos
de expertos, grupos que pueden a su vez ser homogéneos (por ejemplo en una
valoración agraria de cierta importancia intervienen varios Ingenieros Agrónomos) o
bien estar formados por subgrupos no homogéneos (por ejemplo en una valoración de
deportistas intervienen distintos grupos, un grupo formado por entrenadores, otro
grupo de ejecutivos y otro de aficionados).
La aplicación por parte de un solo experto ha sido vista en el capitulo anterior.
En este capítulo vamos a desarrollar la utilización de AHP cuando intervienen
varios expertos, para ello, en todos los casos, habrá que hacer una agregación de las
distintas preferencias manifestadas, agregación que es distinta en función de la
composición del grupo, si es homogéneo o no.
En el supuesto de tener que agregar preferencias de un grupo homogéneo de
expertos utilizaremos la programación por metas ponderada.
En el caso de varios grupos de expertos, homogéneos dentro de cada grupo,
pero no homogéneos entre grupos utilizaremos la Programación por metas ponderada
y la Programación por metas extendida.
En los puntos siguientes vamos a ver como utilizar cada una de las variantes de
GP dichas anteriormente y después veremos su aplicación en dos ejemplos.
7.2 AGREGACIÓN DE PREFERENCIAS
Hemos dicho en el punto anterior que una de las características importantes de
AHP es que permite la intervención en un mismo proceso de valoración de varios
expertos, caso frecuente en valoraciones de cierta importancia y en valoraciones con
repercusiones de tipo político.
Los distintos expertos que pueden intervenir en una valoración pueden ser de
dos tipos.
•
Expertos homogéneos: Son expertos integrantes de un grupo y que
tienen entre ellos una serie de coincidencias como pueden ser la
formación, el área de trabajo profesional, la finalidad de su trabajo etc.
Ejemplos de este tipo de expertos serían: Grupo de economistas
valorando una empresa. Grupo de técnicos agrícolas valorando una
explotación agrícola-
•
Expertos no homogéneos: Son aquellos expertos integrantes de un grupo
cuya visión del valor de los activos es distinto, por su formación, por su
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
129
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
estilo de vida etc. Ejemplos de este tipo de expertos serían: Grupo
formado por ingenieros y ecologistas para valorar un espacio
medioambiental. Grupo de economistas y sindicalistas valorando una
empresa pública.
En los puntos siguientes vamos a desarrollar como llegar a una solución única
en una valoración cuando interviene un grupo de expertos tanto en el caso de grupo
homogéneo como no homogéneo. Tenemos que llegar a un valor final resultado de la
agregación de las preferencias de los distintos expertos.
7.2.1 Agregación de las preferencias de un grupo homogéneo de expertos
La agregación se puede realizar utilizando la Programación por metas
ponderadas52, aunque también algunos autores53 la realizan mediante la Media
geométrica.
En ambos métodos se parte de las preferencias de cada experto puestas de
manifiesto a través de la correspondiente matriz de comparación pareada y su vector
propio. Los distintos vectores propios de los distintos expertos es lo que utilizando uno
de los instrumentos dichos anteriormente vamos a agregar de forma que al final se
tenga un único vector propio o vector de ponderación fruto del consenso de todos los
expertos.
Mediante la Programación por metas ponderadas metodología que vamos a
utilizar en nuestro caso, a partir de las preferencias individualizadas se modeliza dicha
WGP que como se sabe minimiza la suma de las desviaciones a cada uno de los
respectivos pesos, sujeto a las restricciones de que los pesos finales obtenidos se
desvíen lo mínimo de cada uno de los pesos determinados por cada individuo. El
resultado obtenido normalizado dará los pesos agregados buscados. El modelo es el
siguiente.
q
m
Min ∑ ∑ ( nij + p ij )
i =1 j =1
s.a.
wis + nij + p ij = wij
i ∈ {1, K , q}, j ∈ {1, K , m}
(7.1)
siendo:
wis = Ponderación de cada experto para cada variable.
nij = Desviaciones negativas a la ponderación agregada.
pij = Desviaciones positivas a la ponderación agregada.
wij = Ponderación agregada para cada variable.
Para poder realizar el procedimiento de agregación, como hemos dicho
anteriormente, es necesario contar previamente con las preferencias de los distintos
expertos que intervienen en la valoración. Esta determinación de las preferencias
individuales se puede realizar utilizando una encuesta, cuyo contenido se desarrolla en
el punto 6.3 y en el Anexo de este capítulo.
Con la información de las distintas encuestas se plantearán las correspondientes
matrices de comparación pareadas, se comprobará su consistencia (en el supuesto de
que no sea suficientemente consistente se mejora siguiendo el procedimiento que se
52
53
LINARES Y ROMERO (2002).
MORENO –JIMENEZ (2002), CARDELLS y REYNA (1999)
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
130
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
verá en el punto 6.4. de este capítulo) y si su consistencia no es suficiente a pesar de
su mejora se elimina. Finalmente, se calculan sus vectores propios, que indican las
ponderaciones de los distintos expertos.
7.2.2 Agregación de las preferencias de un grupo no homogéneo de
expertos
En algún tipo de valoraciones, puede darse el caso de intervenir en el proceso
de valoración grupos distintos de valoradores con intereses no coincidentes. Un
ejemplo evidente de este supuesto es la valoración medioambiental donde cualquier
espacio natural tiene valores distintos para los distintos actores sociales
(Administración, técnicos, empresarios, ecologistas etc). Este caso ha sido estudiado
Linares y Romero (2002) y por Cardells y Reyna (1999), y también puede abordarse a
través de una encuesta a los distintos individuos de cada colectivo. Con dicha
encuesta se determina la ponderación de cada individuo y en este caso la agregación
se realiza en dos fases, una primera por grupos homogéneos mediante la
Programación por metas ponderadas y posteriormente una segunda de agregación de
los distintos grupos mediante Programación por metas extendido, llegándose también
al final a una ponderación social agregada que permite el cálculo del valor.
a) Para la agregación de preferencias de los grupos homogéneos, se
plantea el modelo WGP como hemos visto en 6.2.1.
b) Cuando hay que agregar ponderaciones de expertos no homogéneos,
con opiniones muy dispares el modelo a utilizar es el de GP extendido. El
modelo para obtener la ponderación agregada es el siguiente.
Q
(1 − λ ) * D + λ ‡”(ni + pi )
Min
i =1
s.a.
q
∑ (n
i =1
+ pi1 ) − D ≤ 0
i1
M
q
∑ (n
i =1
m1
+ p m1 ) − D ≤ 0
wis + nij − p ij = wij
q
∑ (n
i =1
i1
i ∈ {1, K , q}, j ∈ {1, K , m}
(7.2)
+ pi1 ) − D1 = 0
M
q
∑ (n
i =1
im
+ p m1 ) − D1 = 0
∑∑ (n
q
m
i =1 j =1
ij
+ pij ) − Z = 0
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
131
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Siendo:
D = Distancia máxima.
wis = Ponderación de cada experto para cada variable.
nij = Desviaciones negativas a la ponderación agregada.
pij = Desviaciones positivas a la ponderación agregada.
wij = Ponderación agregada para cada variable.
Z = Suma de las desviaciones.
λ = constante. Según el valor de esta constante el modelo se transforma
Si λ = 0 es el modelo GPMINMAX.
Si λ = 1 es el GP ponderado.
Dando valores intermedios a λ se obtienen distintas agregaciones. De esta forma
se puede elegir aquella agregación que mejor se adapte a las circunstancias de la
valoración.
7.3 ENCUESTA
El diseño de la encuesta debe de ser muy cuidadosa, tanto en el contenido como
en la presentación, ya que es importante que cada uno de los expertos que intervenga
tenga muy claro el procedimiento a seguir.
La encuesta que se propone (Anexo) debe de tener el siguiente contenido.
•
Objetivo de la encuesta
•
Justificación de la encuesta
•
Metodología propuesta
•
Encuesta propiamente dicha.
7.4 MEJORA DE LA CONSISTENCIA DE LAS MATRICES
En todos los casos de utilización de matrices de comparación (incluido el visto
en el capítulo anterior de un solo valorador) puede darse la circunstancia que alguna
de las matrices planteadas no sea consistente, cuando esto sucede se puede mejorar
la consistencia de dos formas.
La primera, como ya se dijo en el capítulo 5, siguiendo a Saaty consiste en
clasificar las actividades mediante un orden simple basado en las ponderaciones
obtenidas con la matriz planteada, y desarrollar, teniendo en cuenta el conocimiento
de la categorización previa, una segunda matriz de comparación por pares. En general
la consistencia debe ser mejor.
La segunda forma de mejorar la consistencia es mediante la aplicación de la
programación por metas, planteándose el siguiente modelo de Programación por
metas ponderadas en el cual se exige a cada valor de la variable que cumpla las
restricciones de semejanza, reciprocidad y consistencia.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
132
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Min‡”(nl(1) + pl(1) ) + ‡”(n s( 2) + p s( 2 ) ) + ‡”(nt(3) + pt( 3) )
l
s
t
s.a.
wij − mij + nl(1) − pl(1) = 0,
wij ∗ w ji + n s(2 ) − p s(2 ) = 1,
l = 1, 2,K , n(n − 1), Semejanza.
s = 1, 2 ,K , n(n − 1) / 2 Re ciprocidad
wij ∗ w jk − wik + nt(3) − pt(3) = 0,
L ≤ wij ≤ U
(7.3)
t = 1, 2 , K , n(n − 1)(n − 2) Consistencia
∀i, j.
Siendo:
wij = Nueva ponderación.
mij = Ponderación original.
nl(1) = Desviaciones negativas
pl(1) = Desviaciones positivas
El modelo plantea la minimización de las distancias sujeto a tres restricciones:
•
La primera es que los elementos de la matriz consistente sean
semejantes a los de la matriz original.
•
La segunda es que se cumpla la restricción de reciprocidad, o sea que la
matriz sea recíproca.
•
La tercera es que se cumpla la condición de consistencia, que es el
objetivo de la transformación.
Con el fin de aclarar los conceptos de agregación y consistencia vistos en este
capítulo vamos a ver dos ejemplos.
En el primero Valoración de deportistas se parte de un grupo homogéneo de
expertos y se plantea el supuesto de que una de las matrices no es consistente.
En el segundo Valoración de un espacio medioambiental, el grupo de expertos
no es homogéneo.
7.5 EJEMPLO 1. VALORACIÓN DE DEPORTISTAS
En este apartado se describe la metodología para calcular el valor de traspaso
de un deportista (futbolista, baloncestista, etc.) en función de la información del
mercado de traspasos de dichos deportistas. En el ejemplo se utilizará el Proceso
Analítico Jerárquico, así como la mejora de la consistencia de una matriz y la
agregación de preferencias.
Dicha valoración parte de la opinión de distintos expertos en la materia, que
54
definen sus opiniones a través de un cuestionario . En este cuestionario los expertos
primero ponderan la importancia de las variables, dentro de un panel de características
o variables explicativas previamente seleccionadas por el decisor. En la segunda parte
54
En el Anexo se presenta un cuestionario para la aplicación del Proceso Analítico Jerárquico a la
valoración agraria. Dicho cuestionario con pequeñas adaptaciones básicamente de denominación sirve
para cualquier tipo de valoración.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
133
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
del cuestionario los expertos ponderan los deportistas testigo y el a valorar en función
de las variables fijadas.
Finalmente y a partir de la información volcada por los expertos y de la
información del mercado de traspasos pertinente el comité valorador determina el valor
buscado del deportista a valorar, utilizando como se ha dicho anteriormente el Proceso
Analítico Jerárquico.
El problema planteado es calcular el valor de traspaso de un jugador de fútbol X
que ocupa la posición de delantero centro.
La información de la que se parte es la de la Tabla 7.1 en la que se recoge el
valor del traspaso reciente de 4 jugadores que ocupan la misma posición en el campo
(delantero centro) que el que se pretende valorar.
JUGADOR VALOR DE TRASPASO (millones €)
1
45
2
12
3
15
4
9
X
Tabla 7.1. Valor de traspaso de 4 delanteros centro
Se eligen 6 expertos conocedores del mercado de futbolistas a los que se
plantea en un primer contacto la elección de las variables o características de los
jugadores que en su opinión mas influyen en su precio o valor.
A la vista de las respuestas anteriores el centro decisor elige como variables
explicativas del precio para este tipo de jugador las tres siguientes.
•
Variable A. Goles por partido.
•
Variable B. Nº de años que le quedan en pleno rendimiento (33-edad)
•
Variable C. Imagen comercial
extradeportivos para el club).
(capacidad
de
generar
recursos
Se presentan estas características a los expertos y se les somete a una primera
encuesta, cuyo objetivo es determinar la ponderación de las variables explicativas
elegidas, mediante la notación de las comparaciones pareadas que aparecen en la
Tabla 7.2. Para comparar se utiliza la escala fundamental para comparación por pares.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
134
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
COMPARACIÓN PAREADA
NOTACIÓN
Goles por partido frente a Nº de años que le quedan en pleno
rendimiento
Goles por partido frente a Imagen comercial
Nº de años que le quedan en pleno rendimiento frente a Imagen
comercial.
Tabla 7.2. Encuesta ponderación de variables explicativas
Con las contestaciones a esta encuesta se construye la matriz correspondiente y
tras comprobar su consistencia se calcula su vector propio.
Definidas las ponderaciones de las distintas variables explicativas, se pasa a
analizar estas.
De las tres variables seleccionadas, dos son cuantitativas y se puede conocer su
cuantificación, (Goles por partido y Nº de años que le quedan en pleno rendimiento) y
la tercera es cualitativa. De las dos primeras la ponderación se deduce rápidamente
mediante la normalización por la suma, para la tercera variable se necesitará las
matrices de comparación pareada de los expertos, para ello se les pasara la encuesta
de la Tabla 7.3.
VARIABLE EXPLICATIVA: Imagen comercial
COMPARACIÓN
NOTACIÓN
JUGADOR 1 frente a JUGADOR 2
JUGADOR 1 frente a JUGADOR 3
JUGADOR 1 frente a JUGADOR 4
JUGADOR 1 frente a JUGADOR X
JUGADOR 2 frente a JUGADOR 3
JUGADOR 2 frente a JUGADOR 4
JUGADOR 2 frente a JUGADOR X
JUGADOR 3 frente a JUGADOR 4
JUGADOR 3 frente a JUGADOR X
JUGADOR 4 frente a JUGADOR X
Tabla 7.3. Encuesta variable explicativa Imagen comercial
Visto el procedimiento se pasa a presentar las distintas matrices elaboradas a
partir de las opiniones de los 6 expertos.
Primero las matrices para ponderar las tres variables explicativas seleccionadas.
Tablas 7.4, 7.5, 7.6, 7.7, 7.8 y 7.9.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
135
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
EXPERTO Nº 1
Variables
explicativas
A
B
C
VECTOR PROPIO
A
1/1
9/1
7/1
0,7928
1/1
1/2
0,0760
1/1
0,1312
B
C
CR = 2,1%
Tabla 7.4. Experto nº 1. Matriz de comparaciones pareadas de las variables
explicativas.
EXPERTO Nº 2
Variables
explicativas
A
B
C
VECTOR PROPIO
A
1/1
5/1
7/1
0,7396
1/1
2/1
0,1666
1/1
0,0938
B
C
CR = 1,3%
Tabla 7.5. Experto nº 2. Matriz de comparaciones pareadas de las variables
explicativas
EXPERTO Nº 3
Variables
explicativas
A
B
C
VECTOR PROPIO
A
1/1
9/1
7/1
0,7854
1/1
1/2
0,0658
1/1
0,1458
B
C
CR = 2,1%
Tabla 7.6. Experto nº 3. Matriz de comparaciones pareadas de las variables
explicativas
EXPERTO Nº 4
Variables
explicativas
A
B
C
VECTOR PROPIO
A
1/1
5/1
3/1
0,6370
1/1
1/3
0,1047
1/1
0,2583
B
C
CR = 3,7%
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
136
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Tabla 7.7. Experto nº 4. Matriz de comparaciones pareadas de las variables
explicativas.
EXPERTO Nº 5
Variables
explicativas
A
B
C
VECTOR PROPIO
A
1/1
5/1
3/1
0,6370
1/1
1/3
0,1047
1/1
0,2583
B
C
CR = 3,7%
Tabla 7.8. Experto nº 5. Matriz de comparaciones pareadas de las variables
explicativas
EXPERTO Nº 6
Variables
explicativas
A
B
C
VECTOR PROPIO
A
1/1
9/1
7/1
0,7928
1/1
1/2
0,0760
1/1
0,1320
B
C
CR = 2,1%
Tabla 7.9. Experto nº 6. Matriz de comparaciones pareadas de las variables
explicativas
Las seis matrices son consistentes, en todas ellas su CR está por debajo del 5%
exigido para las matrices de rango 3.
Pero las comparaciones pareadas no coinciden en todos los casos (salvo la 1 y
la 6 y la 4 y la 5) (Tabla 7.10), por lo que hay que calcular un vector propio resultante
de la agregación de todos los vectores propios. Se plantea pues el modelo de
Programación por metas ponderadas para agregación de preferencias.
Variables explicativas
A
B
C
Experto 1
0,7928
0,0760
0,1312
Experto 2
0,7396
0,1666
0,0938
Experto 3
0,7854
0,0658
0,1488
Experto 4
0,6370
0,1047
0,2583
Experto 5
0,6370
0,1047
0,2583
Experto 6
0,7928
0,0760
0,1312
Tabla 7.10. Tabla resumen de los vectores propios de las matrices de comparaciones
pareadas de las variables explicativas
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
137
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Se plantea el modelo de agregación de preferencias.(7.1)
q
m
Min ∑∑ (nij + pij )
i =1 j =1
s.a.
wis + nij + pij = wij
i ∈ {1,K, q}, j ∈ {1,K, m}
que en este caso, sería.
Min = n11 + p11 + n12 + p12 + n13 + p13 + n14 + p14 + n15 + p15 + n16 + p16 + n21 + p 21 + n22 + p 22 +
n23 + p 23 + n24 + p 24 + n25 + p 25 + n26 + p 26 + n31 + p31 + n32 + p32 + n33 + p33 + n34 + p34 + n35 +
p35 + n36 + p36 ;
s.a.
w1 + n11 − p11 = 0,7928;
w1 + n12 − p12 = 0,7396;
w1 + n13 − p13 = 0,7854;
w1 + n14 − p14 = 0,6370;
w1 + n15 − p15 = 0,6370;
w1 + n16 − p16 = 0,7928;
w2 + n21 − p 21 = 0,0760;
w2 + n22 − p 22 = 0,1666;
w2 + n23 − p 23 = 0,0658;
w2 + n24 − p 24 = 0,1047;
w2 + n25 − p 25 = 0,1047;
w2 + n26 − p 26 = 0,0760;
w3 + n31 − p31 = 0,1312;
w3 + n32 − p32 = 0,0938;
w3 + n33 − p33 = 0,1488;
w3 + n34 − p34 = 0,2583;
w3 + n35 − p35 = 0,2583;
w3 + n36 − p36 = 0,1312;
Resolviendo el modelo con LINGO el vector propio final es el de la tabla 7.11.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
138
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Variables Explicativas
Peso
A
0,7396
B
0,0760
C
0,1312
Tabla 7.11. Vector propio agregado de las variables explicativas
Definida ya la ponderación de las variables explicativas, se pasa a la segunda
fase que es calcular los vectores propios de los distintos futbolistas para cada variable
explicativa.
En este caso de las tres variables explicativas dos son cuantitativas (Goles por
partido y el nº de años que le quedan en pleno rendimiento (33-edad)) y pueden
cuantificarse y ponderarse con la información que existe en los distintos medios de
información deportivos (Tabla 7.12).
JUGADOR
Goles por
partido
Ponderación
goles por
partido
Años de
rendimiento
Ponderación
años de
rendimiento
1
0,81
0,2988
5
0,2000
2
0,28
0,1032
4
0,1600
3
0,42
0,1540
10
0,4000
4
0,57
0,2103
2
0,0800
X
0,63
0,1600
4
0,1600
Tabla 7.12. Cuantificación y ponderación de las variables goles por partido y años que
le quedan al jugador de pleno rendimiento
La tercera variable Imagen comercial su ponderación se calcula mediante las
respectivas matrices de comparación pareada deducidas de la segunda encuesta
planteada a los expertos. Tablas 7.13, 7.14, 7.15, 7.16, 7.17 y 7.18.
Experto nº 1
VARIABLE EXPLICATIVA: IMAGEN COMERCIAL
JUGADORES
1
2
3
4
X
1
1/1
9/1
9/1
7/1
3/1
1/1
1/3
1/5
1/7
1/1
1/2
1/6
1/1
1/4
2
3
4
1/1
X
CR = 6,52%
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
139
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Tabla 7.13. Experto nº 1 Matriz de comparación pareada de los futbolistas en función
de la imagen comercial
Experto nº 2
VARIABLE EXPLICATIVA: IMAGEN COMERCIAL
JUGADORES
1
2
3
4
X
1
1/1
9/1
7/1
5/1
5/1
1/1
1/5
1/7
1/7
1/1
1/3
1/3
1/1
1/1
2
3
4
1/1
X
CR = 7,60%
Tabla 7.14. Experto nº 2 Matriz de comparación pareada de los futbolistas en función
de la imagen comercial
Experto nº 3
VARIABLE EXPLICATIVA: IMAGEN COMERCIAL
JUGADORES
1
2
3
4
X
1
1/1
9/1
8/1
9/1
5/1
1/1
1/3
1/1
1/7
1/1
2/1
1/6
1/1
1/6
2
3
4
1/1
X
CR = 7,5%
Tabla 7.15. Experto nº 3 Matriz de comparación pareada de los futbolistas en función
de la imagen comercial
Experto nº 4
VARIABLE EXPLICATIVA: IMAGEN COMERCIAL
JUGADORES
1
2
3
4
X
1
1/1
9/1
9/1
8/1
7/1
1/1
1/1
1/3
1/5
1/1
1/3
1/5
1/1
1/3
2
3
4
1/1
X
CR = 6,8%
Tabla 7.16. Experto nº 4. Matriz de comparación pareada de los futbolistas en función
de la imagen comercial
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
140
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Experto nº 5
VARIABLE EXPLICATIVA: IMAGEN COMERCIAL
JUGADORES
1
2
3
4
X
1
1/1
9/1
9/1
5/1
5/1
1/1
1/1
1/7
1/5
1/1
1/7
1/5
1/1
1/5
2
3
4
1/1
X
CR = 7,6%
Tabla 7.17. Experto nº 5 Matriz de comparación pareada de los futbolistas en función
de la imagen comercial
Experto nº 6
VARIABLE EXPLICATIVA: IMAGEN COMERCIAL
JUGADORES
1
2
3
4
X
1
1/1
9/1
7/1
8/1
8/1
1/1
1/6
1/7
1/7
1/1
1/3
1/3
1/1
1/1
2
3
4
1/1
X
CR = 13,89%
Tabla 7.18. Experto nº 6 Matriz de comparación pareada de los futbolistas en función
de la imagen comercial
Todas las matrices, salvo la planteada por el Experto nº 6 son consistentes (CR
< 10%, consistencia máxima para matrices de rango 5).
La matriz del experto nº 6 tiene que mejorar su consistencia para poder ser
utilizada. Se plantea el modelo (7.3).
20
(
)
10
(
)
60
(
Min∑ nl(1) + pl(1) + ∑ n s( 2) + p s( 2 ) + ∑ nt( 3) + pt( 3)
l =1
s =1
)
t =1
s.a.
wij − mij + nl(1) − pl(1) = 0 l ∈ {1, K,20} Condición de semejanza
wij * w jk − wik + nt(3 ) − pt(3 ) = 0 t ∈ {1, K,60} Condición de consistencia
wij * w ji + n s(2 ) − p s(2 ) = 1 s ∈ {1, K,10} Condición de reciprocidad
1
≤ wij ≤ 9
9
para ∀i, j
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
141
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Que en este caso, sería.
Min = n11 + p11 + n 21 + p 21 + n31 + p 31 + n 41 + p 41 + n51 + p51 + n61 + p 61 + n71 + p 71 +
n81 + p81 + n91 + p91 + n101 + p101 + n111 + p111 + n121 + p121 + n131 + p131 + n141 + p141 +
n151 + p151 + n161 + p161 + n171 + p171 + n181 + p181 + n191 + p191 + n 201 + p 201 + n12 + p12 +
n 22 + p 22 + n32 + p32 + n 42 + p 42 + n52 + p52 + n62 + p 62 + n72 + p 72 + n82 + p82 + n92 +
p92 + n102 + p102 + n13 + p13 + n 23 + p 23 + n33 + p33 + n 43 + p 43 + n53 + p53 + n63 + p 63 +
n73 + p 73 + n83 + p83 + n93 + p93 + n103 + p103 + n113 + p113 + n123 + p123 + n133 + p133 +
n143 + p143 + n153 + p153 + n163 + p163 + n173 + p173 + n183 + p183 + n193 + p193 + n 203 + p 203
+ n 213 + p 213 + n 223 + p 223 + n 233 + p 233 + n 243 + p 243 + n 253 + p 253 + n 263 + p 263 + n 273 +
p 273 + n 283 + p 283 + n 293 + p 293 + n303 + p303 + n313 + p313 + n323 + p323 + n333 + p333 +
n343 + p343 + n353 + p353 + n363 + p363 + n373 + p373 + n383 + p 383 + n393 + p393 + n403 +
p 403 + n 413 + p 413 + n 423 + p 423 + n 433 + p 433 + n 443 + p 443 + n 453 + p 453 + n 463 + p 463 +
n 473 + p 473 + n 483 + p 483 + n 493 + p 493 + n503 + p503 + n513 + p 513 + n523 + p523 + n533 +
p533 + n543 + p543 + n553 + p553 + n563 + p 563 + n573 + p573 + n583 + p583 + n593 + p593 +
n603 + p 603 ;
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
142
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
s.a.
Condición de semejanza
w12 − 9 + n11 − p11 = 0;
w13 − 7 + n21 − p 21 = 0;
M
w53 − 3 + n191 − p191 = 0;
w54 − 1 + n201 − p 201 = 0;
Condición de consistencia
w12 * w21 + n12 − p12 = 1;
w13 * w31 + n22 − p 22 = 1;
M
w34 * w43 + n82 − p82 = 1;
w35 * w53 + n92 − p92 = 1;
Condición de reciprocidad
w13 * w32 − w12 + n13 − p13 = 0;
w14 * w42 − w12 + n23 − p 23 = 0;
w15 * w52 − w12 + n33 − p33 = 0;
w12 * w23 − w13 + n43 − p 43 = 0;
M
w23 * w31 − w21 + n133 − p133 = 0;
w24 * w41 − w21 + n143 − p143 = 0;
M
w32 * w21 − w31 + n253 − p 253 = 0;
w34 * w41 − w31 + n263 − p 263 = 0;
M
w43 * w21 − w41 + n373 − p373 = 0;
w44 * w31 − w41 + n383 − p383 = 0;
M
w52 * w21 − w51 + n493 − p 493 = 0;
w53 * w31 − w51 + n503 − p503 = 0;
M
w53 * w34 − w54 + n603 − p 603 = 0;
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
143
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
1
9
1
9
M
1
9
1
9
M
1
9
1
9
M
1
9
1
9
M
1
9
1
9
M
1
9
≤ w11 ≤ 9;
≤ w12 ≤ 9;
≤ w21 ≤ 9;
≤ w22 ≤ 9;
≤ w31 ≤ 9;
≤ w32 ≤ 9;
≤ w41 ≤ 9;
≤ w42 ≤ 9;
≤ w51 ≤ 9;
≤ w52 ≤ 9;
≤ w55 ≤ 9;
Resolviendo este modelo con LINGO obtenemos los valores de los distintos wij
que permiten construir una matriz consistente Tabla 7.20.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
144
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Experto nº 6
VARIABLE EXPLICATIVA: IMAGEN COMERCIAL
JUGADORES
1
2
3
4
5
1
1/1
9
7
2.33
2.33
1/1
0,777
0,259
0,259
1/1
1/3
1/3
1/1
1/1
2
3
4
1/1
5
CR = 0,00%
Tabla 7.20. Matriz de comparaciones pareadas del experto nº 6 con consistencia
corregida
Con todas las matrices ya consistentes se calculan los vectores propios
correspondientes, que son los que aparecen en la Tabla 7.21
VECTORES PROPIOS EN FUNCION DE LA IMAGEN COMERCIAL
Expertos
Jugadores
1
2
3
4
5
6
1
0,5411
0,5649
0,5944
0,6424
0,5667
0,4734
2
0,0322
0,0289
0,0390
0,0419
0,0365
0,0526
3
0,0586
0,0773
0,0734
0,0419
0,0365
0,0677
4
0,0988
0,1644
0,0424
0,0913
0,2324
0,2032
5
0,2692
0,1644
0,2509
0,1825
0,1280
0,2032
Tabla 7.21. Vectores propios de las matrices de comparación pareada para la variable
explicativa Imagen comercial
Como las ponderaciones de los distintos expertos varía se realiza la agregación
de las mismas utilizando la programación por metas como en el caso de las matrices
de las variables explicativas.
Se plantea el modelo ya conocido (7.1).
Min∑∑ (nij + pij )
5
6
i −1 j =1
s.a.
wij − aij + nij − pij = 0 i ∈ {1,K ,5}, j ∈ {1,K ,6}
que en este caso, sería.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
145
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Min = n11 + p11 + n12 + p12 + n13 + p13 + n14 + p14 + n15 + p15 + n16 + p16 + n21 + p 21 + n 22 + p 22 +
n23 + p 23 + n24 + p 24 + n 25 + p 25 + n26 + p 26 + n31 + p31 + n32 + p32 + n33 + p33 + n34 + p34 + n35 +
p35 + n36 + p36 + n 41 + p 41 + n42 + p 42 + n43 + p 43 + n44 + p 44 + n 45 + p 45 + n46 + p 46 + n51 + p51 +
n52 + p52 + n53 + p53 + n54 + p54 + n55 + + n61 + p 61 + n62 + p 62 + n63 + p 63 + n64 + p 64 + n65 +
p 65 + n66 + p 66
s.a.
w1 + n11 − p11 = 0,5411;
w1 + n12 − p12 = 0,5649;
w1 + n13 − p13 = 0,5944;
w1 + n14 − p14 = 0,6424;
w1 + n15 − p15 = 0,5667;
w1 + n16 − p16 = 0,4734;
w2 + n21 − p 21 = 0,0322;
w2 + n22 − p 22 = 0,0289;
w2 + n23 − p 23 = 0,0390;
w2 + n24 − p 24 = 0,0419;
w2 + n25 − p 25 = 0,0365;
w2 + n26 − p 26 = 0,0526;
w3 + n31 − p31 = 0,0586;
w3 + n32 − p32 = 0,0773;
w3 + n33 − p33 = 0,0734;
w3 + n34 − p34 = 0,0419;
w3 + n35 − p35 = 0,0365;
w3 + n36 − p36 = 0,0677;
w4 + n41 − p 431 = 0,0988;
w4 + n42 − p 42 = 0,1644;
w4 + n43 − p 43 = 0,0424;
w4 + n44 − p 44 = 0,0913;
w4 + n45 − p 45 = 0,2324;
w4 + n46 − p 46 = 0,2032;
w5 + n51 − p51 = 0,2692;
w5 + n52 − p52 = 0,1644;
w5 + n53 − p53 = 0,2509;
w5 + n54 − p54 = 0,1825;
w5 + n55 − p55 = 0,1280;
w5 + n56 − p56 = 0,2032;
Resolviendo con LINGO los pesos agregados son
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
146
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
0,5649
0,0365
0,0586
0,0988
0,1825
Después de este proceso se tiene el vector propio agregado de todos los
jugadores en función de la variable cualitativa Imagen comercial y con ello se completa
el cálculo de todos los vectores propios de los jugadores con respecto a las tres
variables explicativas (Tabla 7.22).
JUGADOR
Ponderación goles Ponderación años
partido
rendimiento
Ponderación Imagen
comercial
A
0.2988
0,2000
0,5649
B
0.1032
0,1600
0,0365
C
0.1540
0,4000
0,0586
D
0.2103
0,0800
0,0988
X
0.2324
0,1600
0,1825
Tabla 7.22. Vectores propios de los jugadores en función de las tres variables
explicativas
El producto de la matriz formada por los vectores propios de los jugadores con
respecto a cada variable explicativa por el vector propio de las variables explicativas,
dará la ponderación de los jugadores en función de todas las variables y su peso o
ponderación. Tabla 7.23
Vectores propios jugadores
Ponderación
variables
Ponderación
jugadores
0,2988
0,2000
0,5649
0,7396
0,3103
0,1032
0,1600
0,0365
0,0760
0,0933
0,1540
0,4000
0,0586
0,1312
0,1520
0,2103
0,0800
0,0988
0,1746
0,2324
0,1600
0,1825
0,2080
Tabla 7.23. Producto de matrices para obtener la ponderación de los jugadores en
función de todas las variables explicativas y de su peso o ponderación
Conocidas las ponderaciones de los jugadores testigo y el valor de su traspaso,
se obtiene el ratio valor traspaso / ponderación. Tabla 7.24.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
147
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
JUGADOR
PONDERACION
VALOR
(millones €)
1
0,3103
45
2
0,0933
12
3
0,1520
15
4
0,1746
9
RATIO
SUMA
0,7302
81
110,9361
Tabla 7.24. Ratio valor traspaso / Ponderación
El producto del ratio obtenido por la ponderación del jugador X nos dará el valor
buscado.
VALOR X = 110,9 * 0,2080 = 23,71 €
7.6 EJEMPLO 2.
MEDIOAMBIENTAL
VALORACIÓN
DE
UN
ESPACIO
Para desarrollar esta valoración y con el objetivo de utilizar la Programación por
metas extendida para la agregación de preferencias de grupos no homogéneos se va
a utilizar un caso inspirado en el planteamiento presentado por Cardells y Salvador en
su libro Manual de Valoración de árboles y arbustos, pero en el que se han tenido que
cambiar los datos de partida para adaptarlos a las necesidades del ejemplo que no
son otras como ya se ha dicho al principio que el tener que obtener una preferencia
agregada cuando se parte de preferencias de expertos con formación e intereses muy
encontrados. En este caso se pretende valorar una serie de espacios
medioambientales muy diversos en su hábitat como son Espartizales, Romerales,
Zonas de matorral, Pinar y Encinar. Para esta valoración se van a utilizar los precios
medios de Cereal y Marjal tomados de las estadísticas del MAPA así como un panel
de expertos estructurado como aparece en la tabla 7.25.
EXPERTO
TITULACIÓN
1
Ingeniero de Montes
2
Ingeniero de Montes
3
Ingeniero de Montes
4
Ingeniero de Montes
5
Ingeniero Agrónomo
6
Ingeniero Agrónomo
7
Ingeniero Agrónomo
8
Ingeniero Agrónomo
9
Ldo. C. Biológicas
10
Ldo. C. Biológicas
11
Ldo. C. Biológicas
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
148
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
12
Ldo. C. Biológicas
Tabla 7.25. Formación académica de los expertos
Se elige esta composición de expertos con el fin de obtener ponderaciones
distintas por grupos, que estarán definidas por su formación y su experiencia
profesional.
Planteadas las respectivas matrices de comparación pareadas a cada experto se
llega a las ponderaciones de la Tabla 7.26
Expertos
Cereal
Espartizal
Romeral
Matorral
Pinar
Encinar
Marjal
1
5,2
8,3
9,1
9,4
22,1
38,1
7,8
2
3,1
6,5
12,0
7,1
19,4
45,0
6,9
3
3,5
9,0
8,6
13,0
28,2
28,2
9,5
4
4,8
9,0
10,0
10,2
18,7
35,0
12,3
5
21,3
2,7
2,7
8,1
13,2
18,0
34,0
6
19,4
3,8
4,7
8,2
8,2
22,7
33,0
7
23,7
5,1
8,2
6,0
15,2
16,4
25,4
8
22
6,0
5,1
3,3
12,2
14,4
37,0
9
3,8
12,8
13,3
15,1
17,5
19,2
18,3
10
3,7
13,0
9,2
21,1
10,8
21,1
21,1
11
4,6
9,0
12,0
16,6
15,6
26,5
15,7
12
8,8
7,7
8,8
10,3
20,6
17,4
26,4
Tabla 7.26. Ponderación de los distintos expertos
La observación de las ponderaciones pone en evidencia que hay tres grupos
diferenciados de preferencias en función de la titulación. Para la obtención de una sola
ponderación se va a utilizar el siguiente procedimiento.
Dentro de cada grupo se obtendrá la preferencia agregada utilizando la
Programación por metas ponderada.
Con las tres ponderaciones agregadas por grupos se obtendrá finalmente una
última agregación mediante la Programación por metas extendida.
Agregación de preferencias dentro de cada grupo homogéneo.
Grupo Ingenieros de montes
Expertos
Cereal
Espartizal
Romeral
Matorral
Pinar
Encinar
Marjal
1
5,2
8,3
9,1
9,4
22,1
38,1
7,8
2
3,1
6,5
12,0
7,1
19,4
45,0
6,9
3
3,5
9,0
8,6
13,0
28,2
28,2
9,5
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
149
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
4
4,8
9,0
10,0
10,2
18,7
35,0
12,3
Tabla 7.27. Ponderación de los Ingenieros de montes
Se plantea el modelo ya conocido (7.1).
Min∑∑ (nij + pij )
7
4
i =1 j =1
s.a.
wi − a ji + nij − p ij = 0; i ∈ {1, K ,7}, j ∈ {1, K ,4}
∑∑ (n
7
4
i =1 j =1
ij
+ p ij ) − z = 0
Se resuelve con LINGO, dando los siguientes resultados
w1 = 3,5
w2 = 8,3
w3 = 10,0
w4 = 10,2
w5 = 22,1
w6 = 38,1
w7 = 7,8
Grupo de Ingenieros Agrónomos
Expertos
Cereal
Espartizal
Romeral
Matorral
Pinar
Encinar
Marjal
5
21,3
2,7
2,7
8,1
13,2
18,0
34,0
6
19,4
3,8
4,7
8,2
8,2
22,7
33,0
7
23,7
5,1
8,2
6,0
15,2
16,4
25,4
8
22
6,0
5,1
3,3
12,2
14,4
37,0
Tabla 7.28. Ponderación de los Ingenieros Agrónomos
Se plantea el modelo ya conocido (7.1).
Se resuelve con LINGO, dando los siguientes resultados
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
150
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
w1 = 22,0
w2 = 5,1
w3 = 5,1
w4 = 8,1
w5 = 13,2
w6 = 16,4
w7 = 34,0
Grupo de Licenciados en Ciencias Biológicas
Expertos
Cereal
Espartizal
Romeral
Matorral
Pinar
Encinar
Marjal
9
3,8
12,8
13,3
15,1
17,5
19,2
18,3
10
3,7
13,0
9,2
21,1
10,8
21,1
21,1
11
4,6
9,0
12,0
16,6
15,6
26,5
15,7
12
8,8
7,7
8,8
10,3
20,6
17,4
26,4
Tabla 7.29. Ponderación de los Licenciados en Ciencias Biológicas
Se plantea el modelo ya conocido (7.1).
Se resuelve con LINGO, dando los siguientes resultados
w1 = 4,6
w2 = 9,0
w3 = 12,0
w4 = 15,1
w5 = 15,6
w6 = 19,2
w7 = 18,3
Al final de este proceso de agregación por grupos homogéneos se tienen tres
ponderaciones una por cada grupo. Tabla 5.54
Grupo de
Expertos
Cereal
Espartizal
Romeral
Matorral
Pinar
Encinar
Marjal
I. Montes
3,5
8,3
10,0
10,2
22,1
38,1
7,8
I.
22,0
5,1
5,1
8,1
13,2
16,4
34,0
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
151
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Agrónomos
Ldo
Biológicas
4,6
9,0
12,0
15,1
15,6
19,2
18,3
Tabla 7.30. Ponderación agregada por grupos
Realizada la agregación por grupos homogéneos resulta aún más evidente que
cada grupo pondera de forma distinta los diferentes espacios ambientales ponderación
que es el resultado de sus diferentes concepciones del espacio en función de sus
distintas formaciones académicas.
Para obtener una ultima agregación se va a utilizar la programación por metas
extendidas.
Se plantea el siguiente modelo.
Min(1 − λ ) * D + λ * ∑∑ (nij + pij )
7
3
i =1 j =1
s.a.
nij + pij − D = 0;
wi − aij + nij − pij = 0;
∑∑ (n
7
3
i =1 i =1
ij
+ pij ) − z = 0;
nij + pij − Di = 0;
Desarrollado el modelo en este caso sería.
 n11 + p11 + n11 + p11 + n11 + p11 + n11 + p11 + n11 + p11 + 

Min = (1 − K ) * D + K * 
 n11 + p11 +

min=(1K)*D+K*(n11+p11+n12+p12+n13+p13+n21+p21+n22+p22+n23+p23+n31+p31+n32+p
32+n33+p33+n41+p41+n42+p42+n43+p43+n51+p51+n52+p52+n53+p53+n61+p61+n
62+p62+n63+p63+n71+p71+n72+p72+n73+p73);
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
152
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
s.a.
(n11 + p11 ) − D ≤ 0;
(n12 + p12 ) − D ≤ 0;
(n13 + p13 ) − D ≤ 0;
(n21 + p 21 ) − D ≤ 0;
(n22 + p 22 ) − D ≤ 0;
(n23 + p 23 ) − D ≤ 0;
(n31 + p31 ) − D ≤ 0;
(n32 + p32 ) − D ≤ 0;
(n33 + p33 ) − D ≤ 0;
(n41 + p 41 ) − D ≤ 0;
(n42 + p 42 ) − D ≤ 0;
(n43 + p 43 ) − D ≤ 0;
(n51 + p511 ) − D ≤ 0;
(n52 + p52 ) − D ≤ 0;
(n53 + p53 ) − D ≤ 0;
(n61 + p61 ) − D ≤ 0;
(n62 + p62 ) − D ≤ 0;
(n63 + p63 ) − D ≤ 0;
(n71 + p71 ) − D ≤ 0;
(n72 + p72 ) − D ≤ 0;
(n73 + p73 ) − D ≤ 0;
w1 + n11 − p11 = 4,8;
w5 + n51 − p51 = 19,4;
w1 + n12 − p12 = 22,0;
w5 + n52 − p52 = 13,2;
w1 + n13 − p13 = 4,6;
w5 + n53 − p53 = 17,5;
w2 + n21 − p 21 = 9,0;
w6 + n61 − p 61 = 35,0;
w2 + n22 − p 22 = 5,1;
w6 + n62 − p62 = 16,4;
w2 + n23 − p 23 = 12,8;
w6 + n63 − p 63 = 19,2;
w3 + n31 − p31 = 10,0;
w7 + n71 − p 71 = 7,8;
w3 + n32 − p32 = 5,1;
w7 + n72 − p72 = 34,0;
w3 + n33 − p33 = 12,0;
w7 + n73 − p 73 = 18,3;
w4 + n 41 − p 41 = 10,2;
w4 + n 42 − p 42 = 8,1;
w4 + n 43 − p 43 = 16,6;
n11 + p11 + n12 + p12 + n13 + p13 + n21 + p 21 + n22 + p 22 + n23 + p 23 + n31 + p31 +
n32 + p32 + n33 + p33 + n41 + p 41 + n42 + p 42 + n43 + p 43 + n51 + p51 + n52 + p52 +
n53 + p53 + n61 + p 61 + n62 + p 62 + n63 + p 63 + n71 + p71 + n72 + p 72 + n73 + p 73 − z = 0;
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
153
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
(n11 + p11 ) − D1 = 0;
(n12 + p12 ) − D2 = 0;
(n13 + p13 ) − D3 = 0;
(n21 + p 21 ) − D1 = 0;
(n22 + p 22 ) − D2 = 0;
(n23 + p 23 ) − D3 = 0;
(n31 + p31 ) − D1 = 0;
(n32 + p32 ) − D2 = 0;
(n33 + p33 ) − D3 = 0;
(n41 + p 41 ) − D1 = 0;
(n42 + p 42 ) − D2 = 0;
(n43 + p 43 ) − D3 = 0;
(n51 + p511 ) − D1 = 0;
(n52 + p52 ) − D2 = 0;
(n53 + p53 ) − D3 = 0;
(n61 + p61 ) − D1 = 0;
(n62 + p62 ) − D2 = 0;
(n63 + p63 ) − D3 = 0;
(n71 + p71 ) − D1 = 0;
(n72 + p72 ) − D2 = 0;
(n73 + p73 ) − D3 = 0;
Se resuelve con LINGO dando valores a λ. El resultado aparece en las Tablas
7.31, 7.32 y 7.33.
W4
W5
W6
W7
Z
D
D1
14,9 18,2 18,2
21,2
25,9
29,5
20,9
255,5
13,1
13,1
13,1 13,1
0,1 10,4 3,2 17,8
9,3
21,4
25
20,9
224
13,1
13,1
13,1
W1
0
W2
W3
D2
D3
5,8
0,2 9,65 3,95 6,95 10,05 20,65 24,25 21,65 218,75 13,85 13,85 12,35 5,05
0,3 9,65 3,95 6,95 10,05 20,65 24,25 21,65 218,75 13,85 13,85 12,35 5,05
0,4 9,65 3,95 6,95 10,05 20,65 24,25 21,65 218,75 13,85 13,85 12,35 5,05
0,5 9,65 3,95 6,95 10,05 20,65 24,25 21,65 218,75 13,85 13,85 12,35 5,05
0,6 9,65 3,95 6,95 10,05 20,65 24,25 21,65 218,75 13,85 13,85 12,35 5,05
0,7 9,65 3,95 6,95 10,05 20,65 24,25 21,65 218,75 13,85 13,85 12,35 5,05
0,8 9,65 3,95 6,95 10,05 20,65 24,25 21,65 218,75 13,85 13,85 12,35 5,05
0,9 9,65 3,95 6,95 10,05 20,65 24,25 21,65 218,75 13,85 13,85 12,35 5,05
1
9,65 3,95 6,95 10,05 20,65 24,25 21,65 218,75 13,85 13,85 12,35 5,05
Tabla 7.31. Ponderación obtenida por Programación por metas extendida en funcion
de λ
λ
0
0,1
W5
W6
14,9 18,2 18,2 21,2
25,9
29,5
20,9 255,5 13,1
13,1
13,1 13,1
10,4 3,2 17,8
21,4
25
20,9 224,0 13,1
13,1
13,1
W1
W2
W3
W4
9,3
W7
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
Z
D
D1
D2
D3
5,8
154
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
(0,2-1] 9,65 3,95 6,95 10,05 20,65 24,25 21,65 218,7 13,85 13,85 12,35 5,05
Tabla 7.32. Ponderación por intervalos obtenida por Programación por metas
extendida en funcion de λ
Normalizando los valores
λ
0
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W7
Z
D
D1
D2
D3
0,100 0,122 0,122 0,142 0,174 0,198 0,140 255,5 13,1
13,1
13,1 13,1
0,1 0,096 0,029 0,164 0,086 0,197 0,231 0,193 224,0 13,1
13,1
13,1
5,8
(0,20,099 0,040 0,071 0,103 0,212 0,249 0,222 218,7 13,85 13,85 12,35 5,05
1]
Tabla 7.33. Pesos normalizados por intervalos en función del valor de λ
En este caso se obtienen tres posibles soluciones en funcion del valor de λ que
se utilice. Este hecho hace muy interesante esta metodología sobre todo en
valoraciones del tipo que estamos tratando o sea valoraciones con implicaciones de
tipo político o social. El centro decisor dispone de distintos valores en función de que
colectivo quiere primar en la valoración.
En el ejemplo propuesto si el decisor opta por la mejor solución técnica optaría
por los valores del intervalo (0,2 1] ya que es en él donde se obtiene la Z minima
(218,75). Esta solucion contiene la Programación por metas ponderada (λ = 1).
Si el decisor quisiera favorecer la opinión de los Ingenieros de Montes optaría
por la solución λ = 0,1 en la cual la distancia a la opinión de los Ingenieros de Montes
es menor que en la anterior (13,1 frente a 13,85), aunque aumenta Z y también la D2 y
D3 .
La solución λ = 0 (GPMinmax) no es interesante porque empeora en todo sin
favorecer a ningún grupo.
De las estadísticas del MAPA se obtienen los precios de cereal y marjal en el
año 2002. Con estos precios y en función de la λ escogida por el decisor se obtienen
en cada caso los ratios Precio / Ponderación y el ratio medio correspondiente (Tabla
7.34).
Precios MAPA año
2002 (€/Ha)
Ponderación
RATIOS
Cereal
8.211
0.096
85.531
Marjal
18.484
0,193
95.772
RATIO MEDIO
90.651
Tabla 7.34. Cálculo del Ratio medio
Multiplicando las ponderaciones de cada uno de los espacios medioambientales
por el ratio medio se obtiene el valor buscado.
Para λ =(0,1] Tabla 7.35.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
155
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Espartizal
Romeral
Matorral
Pinar
Encinar
Pesos
normalizados
0,029
0,164
0,086
0,197
0,231
VALOR €/Ha
2.628
14.866
7.795
17.858
20.940
Tabla 7.35. Valores de los distintos espacios medioambientales para λ = 0,1
Para λ =(0,2 1] Tablas 7.36 y 7.37.
Precios MAPA año
2002 (€/Ha)
Ponderación
RATIOS
Cereal
8.211
0.099
82.939
Marjal
18.484
0,222
83.261
RATIO MEDIO
83.100
Tabla 7.36. Cálculo del Ratio medio
Espartizal
Romeral
Matorral
Pinar
Encinar
Pesos
normalizados
0,040
0,071
0,103
0,212
0,249
VALOR €/Ha
3.324
5.900
8.559
17.617
20.691
Tabla 7.37. Valores de los distintos espacios medioambientales para λ=(0,2)
ANEXO. ENCUESTA PARA DETERMINAR LA PREFERENCIA DE
LOS EXPERTOS
1. OBJETIVO DE LA ENCUESTA
El objetivo de esta encuesta es llegar a determinar el valor de una finca agrícola.
Para ello se va a utilizar los conocimientos y la experiencia de un grupo de valoradores
entre los que se encuentra usted.
A través de esta encuesta se le va a pedir su opinión sobre distintas aspectos de
dicha finca, comparándola con otras fincas testigo y utilizando una metodología que se
explica en el punto 3.
Mediante la agregación de los resultados obtenidos por las distintos valoradores
consultados se llegará finalmente a un valor final.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
156
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
2. JUSTIFICACIÓN DE LA ENCUESTA
Esta metodología se justifica en aquellos casos como el que nos ocupa en que
no existe una suficiente información cuantificada que nos permita aplicar otros
métodos. La metodología utilizada con la información deducida de la encuesta permite
cuantificar las variables y llegar al cálculo de un valor final.
3. METODOLOGÍA PROPUESTA
La metodología propuesta se basa en el método denominado Proceso Analítico
Jerárquico y consiste en obtener unas matrices de comparaciones pareadas utilizando
las comparaciones obtenidas entre distintos elementos.
Para esas comparaciones se utiliza la siguiente escala fundamental de
comparaciones pareadas.
VALOR
DEFINICIÓN
Comentarios
1
Igual importancia
El criterio A es igual de
importante que el criterio B
3
Importancia moderada
La experiencia y el juicio
favorecen ligeramente al
criterio A sobre el B
5
Importancia grande
La experiencia y el juicio
favorecen fuertemente al
criterio A sobre el B
7
Importancia muy grande
El criterio A es mucho mas
importante que el B
9
Importancia extrema
La mayor importancia del
criterio A sobre el B esta
fuera de toda duda
2,4,6 y 8
Valores intermedios entre los anteriores, cuando es
necesario matizar
Recíprocos de lo anterior
Si el criterio A es de importancia grande frente al criterio B
las notaciones serían las siguientes.
Criterio A frente a criterio B 5/1
Criterio B frente a crierio A 1/5
En la encuesta se le va a pedir que compare utilizando la tabla anterior Primero
las variables explicativas seleccionadas y posteriormente las distintas parcelas o fincas
agrícolas (tanto las testigo como la a valorar o problema) entre si y para cada variable
explicativa.
4. PROCEDIMIENTO
El procedimiento a seguir será el siguiente.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
157
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
Primero se le indicaran las variables explicativas seleccionadas para realizar la
valoración. Estas variables habrán sido determinadas por un estudio previo en el que
se determinaran cuales son las variables mas importantes que influyen en el precio.
Conocidas esas variables se le pide que compare dos a dos utilizando la escala
fundamental vista anteriormente. Supongamos que se trabaje con cuatro variables A,
B, C y D las comparaciones pedidas serían las siguientes
COMPARACION
NOTACION
Variable A frente a B
Variable A frente a C
Variable A frente a D
Variable B frente a C
Variable B frente a D
Variable C frente a D
Tenga en cuenta al hacer las comparaciones que las primeras comparaciones
van definiendo las posteriores.
Posteriormente y previa identificación de la fincas agrícolas testigo y la a valorar
o problema, se le pedirá que utilizando el mismo mecanismo compare las fincas o
parcelas agrícolas entre si en función de cada una de las variables explicativas.
Supongamos que se utilizan las fincas M, N, O y P como testigos para obtener el valor
de la finca problema X, se le pedirá que para cada variable compare las fincas entre si
utilizando también la Escala fundamental.
VARIABLE A
COMPARACIONES
NOTACION
La Finca M es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la N
La Finca M es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la O
La Finca M es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la P
La Finca M es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la X
La Finca N es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la O
La Finca N es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la P
La Finca N es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la X
La Finca O es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la P
La Finca O es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la X
La Finca O es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la X
Las comparaciones entre parcelas se plantean para todas las variables
explicativas utilizadas.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
158
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
5. ENCUESTA
Las variables explicativas seleccionadas son
Variable 1:
Variable 2:
Variable 3:
Variable 4:
Variable 5:
Las parcelas testigo son
Parcela testigo 1:
Parcela testigo 2:
Parcela testigo 3:
Parcela testigo 4:
Parcela testigo 5:
Parcela testigo 6:
La parcela a valorar
Compare las variables explicativas entre ellas utilizando la Tabla
fundamental
COMPARACION
NOTACION
Variable _ frente a _
Variable _ frente a _
Variable _ frente a _
Variable _ frente a _
Variable _ frente a _
Variable _ frente a _
Compare las parcelas entre si en función de cada variable utilizando la
tabla fundamental
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
159
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
VARIABLE _________
COMPARACIONES
NOTACION
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
VARIABLE _________
COMPARACIONES
NOTACION
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
VARIABLE _________
COMPARACIONES
NOTACION
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
VARIABLE _________
COMPARACIONES
NOTACION
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
160
Capítulo 7. Métodos de valoración con información cualitativa (II). El
Proceso Analítico Jerárquico agregado
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
VARIABLE _________
COMPARACIONES
NOTACION
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
La Finca _ es teniendo en cuenta esta variable con respecto a la _
______________ a ______ de______________ del 20__
Fdo. __________________________
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
161
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
8.1 INTRODUCCIÓN
En capítulos anteriores hemos visto como aplicar en valoración la Programación
por metas y el AHP, el primero en situaciones en las que se cuenta con información
cuantitativa y el segundo cuando la información es tan escasa que el experto solo
parte del conocimiento de los precios de los testigos.
En el caso de la aplicación de AHP uno de los inconvenientes que se le achaca
es la subjetividad del método, en el sentido de que toda la información que se utiliza,
salvo los precios de los testigos, es creada por el propio valorador, en este sentido hay
que decir.
1. El método se aplica en situaciones en que el experto no puede conseguir
información cuantificada, por lo tanto son valoraciones que no pueden ser
abordadas por ninguna otra metodología.
2. La información es creada o elaborada por el valorador, pero es evidente
que este como experto es capaz de aportar una información objetiva al
método.
3. AHP aporta al experto una metodología que le ayuda a reflexionar de una
forma sistemática y ordenada con lo que consigue objetivizar al máximo
sus evaluaciones.
4. Hemos visto también en el capítulo anterior que el método puede ser
utilizado por un grupo de expertos con lo cual el resultado final no ya
depende de un solo valorador sino de la opinión y conocimientos de
varios.
Existe otra posibilidad en el camino de utilizando la filosofía y la metodología de
AHP ir reduciendo al máximo la dependencia de los conocimientos del experto En esa
línea en este capítulo se presentan dos modelos de valoración multicriterio que son el
resultado de la utilización conjunta de la GP y AHP, dichos modelos los hemos
denominado modelo bietápico y modelo trietápico.
8.2 MODELO MULTICRITERIO BIETÁPICO
El modelo bietápico resulta de una combinación de los métodos AHP y GP, si
bien el primero de ellos no se emplea en su totalidad. En la primera etapa del modelo,
basándose en la filosofía de AHP, se plantea para cada variable explicativa la
correspondiente matriz de comparación pareada entre los testigos, e incluyendo al
activo a valorar. A partir de cada una de estas matrices se obtiene un vector propio
que ordena y pondera cada uno de los testigos en función de la variable explicativa
correspondiente. La información obtenida en cuanto a la ponderación de estos testigos
es la que posteriormente, en la segunda etapa del modelo, es utilizada en la
programación por metas para conseguir la función de determinación del valor. El
programa lineal de GP es el encargado de definir los coeficientes asociados a cada
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
163
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
una de las variables explicativas, así como el término independiente si resultara
distinto de cero.
El valor del activo problema se consigue sustituyendo, en la función obtenida
anteriormente, las ponderaciones de las variables explicativas correspondientes al
activo a valorar.
La utilización de GP queda justificada porque nos permite obtener los pesos o
ponderaciones de cada variable explicativa sin tener que realizar las comparaciones
pareadas entre ellas, con lo cual se disminuye la posible subjetividad que se
introduciría en el modelo a través de las opiniones del experto para establecer estas
comparaciones pareadas. Otra posibilidad propia de GP y no contemplada por AHP,
es la de modelizar relaciones no lineales entre variables explicativas y la variable a
explicar55.
En las secciones siguientes se desarrollan dos ejemplos de aplicación del
modelo en una valoración de un activo agrario y de un inmueble urbano.
8.3 EJEMPLO 1. APLICACIÓN DEL MODELO BIETÁPICO A LA
VALORACIÓN DE UN ACTIVO AGRARIO
El experto se enfrenta a la valoración de una parcela y la única información
cuantitativa que tiene es el precio por unidad de superficie de cuatro transacciones
recientes de 4 parcelas comparables, como aparece en la Tabla 7.1.
El experto visita las parcelas testigo y problema y basándose en sus
conocimientos agronómicos y de la zona, decide elegir como variables explicativas:
•
El estado vegetativo: Variable que representa el desarrollo, estado
sanitario y capacidad productiva del mismo.
•
El microclima. Variable que representa la bondad del entorno del cultivo y
que condiciona su desarrollo favorable.
PARCELAS
VALOR (u.m.)
1
4.000
2
1.600
3
5.550
4
9.800
ESTADO
VEGETATIVO
MICROCLIMA
X
Tabla 8.1. Información de partida con la que cuenta el experto
ETAPA 1. El primer paso es teniendo en cuenta la Escala fundamental de
comparación por pares vista en el capítulo 5 plantear las matrices de comparación
55
En efecto, cuando en AHP se comparan los criterios, el valor asignado a la relación entre dos
cualesquiera de ellos es fija (lineal), e independiente de los valores concretos que puedan tomar los
testigos en esos criterios. Sin embargo, puede que ese coeficiente dependa de los valores concretos de
los testigos, por lo que no parece que la relación lineal entre los criterios asumida por AHP tenga por qué
ser la única concebible.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
164
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
pareadas, el cálculo de su consistencia y sus vectores propios de las parcelas en
función de cada una de las variables explicativas, Estado vegetativo (Tablas 8.2 y 8.3),
y microclima (Tablas 8.4 y 8.5).
PARCELA 1
PARCELA 1
PARCELA 2
PARCELA 3
PARCELA 4
PARCELA X
1/1
3/1
1/1
1/3
1/1
1/1
1/3
1/7
1/3
1/1
1/3
1/1
1/1
3/1
PARCELA 2
PARCELA 3
PARCELA 4
PARCELA X
1/1
RC = 0,20%
Tabla 8.2. Matriz de comparaciones pareadas en función del estado vegetativo
0,1610
0,0566
0,1610
0,4604
0,1610
Tabla 8.3. Ponderación de las parcelas en función del estado vegetativo.
PARCELA
1
PARCELA
2
PARCELA 1
PARCELA 2
PARCELA 3
PARCELA 4
PARCELA
X
1/1
1/1
1/5
1/1
1/3
1/1
1/5
1/1
1/3
1/1
5/1
3/1
1/1
1/3
PARCELA
3
PARCELA
4
PARCELA
X
1/1
RC = 0,9%
Tabla 8.4. Matriz de comparaciones pareadas en función del microclima.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
165
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
0,0876
0,0876
0,5007
0,0876
0,2364
Tabla 8.5. Ponderación de las parcelas en función del microclima.
ETAPA 2. Calculadas las ponderaciones de las parcelas en función de cada
variable explicativa se pasa a la segunda etapa del modelo que es la aplicación de GP
a la información obtenida.
PARCELAS
VALOR (u.m.)
ESTADO
VEGETATIVO
MICROCLIMA
1
4.000
0,1610
0,0876
2
1.600
0,0566
0,0876
3
5.550
0,1610
0,5007
4
9.800
0,4604
0,0876
0,1610
0,2364
X
Tabla 8.6. Ponderación de las parcelas para cada variable explicativa
A partir de la información de la Tabla 8.6, que recoge las ponderaciones de todas
las parcelas para cada variable explicativa y el valor de las parcelas testigo, se plantea
el siguiente modelo.
Min = n1 + p1 + n2 + p 2 + n3 + p3 + n4 + p 4 ;
s.a.
a0 n − a0 p + a1 ∗ 0.1610 + a 2 ∗ 0.0876 + n1 − p1 = 4.000 ;
a0 n − a0 p + a1 ∗ 0.0566 + a 2 ∗ 0.0876 + n2 − p 2 = 1.600 ;
a0 n − a0 p + a1 ∗ 0.1610 + a 2 ∗ 0.5007 + n3 − p3 = 5.550 ;
a0 n − a0 p + a1 ∗ 0.4604 + a 2 ∗ 0.0876 + n4 − p 4 = 9.800 ;
n1 + p1 + n2 + p 2 + n3 + p3 + n4 + p 4 = z ;
Se resuelve con LINGO y se obtiene la función.
Valor = 73,17 + 20.307,08 * x1 + 4.308,74 * x2
Sustituyendo los valores de la parcela X en la función anterior, se obtiene el
valor de esta por unidad de superficie.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
166
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
Valor X =73,17+20.307,08*0,1610+4.308,74*0,2364 = 4.361 u.m.
z = 279,94
Mediante el modelo bietápico de valoración se ha obtenido el valor de la unidad
de superficie una parcela X partiendo de variables cualitativas que han sido
cuantificadas en el propio modelo y de forma que el valor obtenido es una función de
todas las variables explicativas utilizadas y de la importancia o ponderación de ellas.
Además la ponderación o peso de las variables explicativas se ha deducido
directamente de la información de mercado sin intervención del experto.
8.4 ADECUACIÓN DEL MODELO
Si aplicamos el Índice de adecuación conocido a los datos obtenidos:
z = 279,94
z´= 9.750 (Tabla 8.7)
Parcelas
Valor
Diferencias absolutas con solución naive
1
4.000
1.238
2
1.600
3.638
3
5.550
313
4
9.800
4.563
SUMA
9.750
Tabla 8.7. Diferencias absolutas con el modelo naive
Se obtiene un Índice del 96,12%
 279.94 
I a = 1 −
 ∗ 100 = 97,13%
9750 

Se observa como el alto valor del Índice nos indica una alta adecuación de la
función obtenida.
8.5 EJEMPLO 2. APLICACIÓN DEL MODELO BIETÁPICO A LA
VALORACIÓN DE UN INMUEBLE URBANO
En este ejemplo vamos a plantear el problema de determinar un precio por m2 de
un inmueble urbano partiendo de una información puramente cualitativa. El experto se
enfrenta a la necesidad de determinar dicho precio y solo cuenta con el conocimiento
de 5 transacciones recientes en la misma ciudad de inmuebles parecidos y de los
cuales conoce el precio por m2 de la transacción ocurrida recientemente.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
167
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
El experto, conocedor de la zona en la que trabaja y basándose en su
experiencia como valorador, decide utilizar como variables explicativas:
•
La calidad del entorno donde se ubican los edificios, valorándose como
calidad los servicios de todo tipo existentes, la existencia de zonas
verdes, la falta de contaminación, etc.
•
La calidad del edificio, entendiéndose como tal la calidad de los
materiales, la existencia de servicios como ascensor, aire acondicionado,
etc.
•
Estado de conservación del edificio, tanto en su fachada como en el
interior.
Veamos cómo se plantea el modelo bietápico para abordar este problema a
partir de la información de la Tabla 8.8.
EDIFICIOS
VALOR por
m2
1
1.650
2
700
3
1.425
4
1.600
5
3.100
CALIDAD
ENTORNO
CALIDAD
EDIFICIO
ESTADO DE
CONSERVACIÓN
X
Tabla 8.8. Información de partida con la que cuenta el experto
ETAPA 1. El primer paso es teniendo en cuenta la Escala fundamental de
comparación por pares plantear las matrices de comparación pareadas, el cálculo de
su consistencia y sus vectores propios de los inmuebles urbanos en función de cada
una de las variables explicativas. Calidad del entorno (Tablas 8.9 y 8.10), Calidad del
edificio (Tablas 8.11 y 8.12) y Estado de conservación (Tablas 8.13 y 8.14).
EDIFICIO
1
EDIFICIO
1
EDIFICIO
2
EDIFICIO
3
EDIFICIO
4
EDIFICIO
5
EDIFICIO
X
1/1
3/1
3/1
1/3
1/5
1/3
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
168
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
EDIFICIO
2
1/1
EDIFICIO
3
1/1
1/7
1/9
1/7
1/1
1/7
1/9
1/7
1/1
1/3
1/1
1/1
3/1
EDIFICIO
4
EDIFICIO
5
EDIFICIO
X
1/1
RC = 2,55%
Tabla 8.9. Matriz de comparaciones pareadas en función de la Calidad del entorno
0,0825
0,0328
0,0328
0,2069
0,4381
0,2069
Tabla 8.10. Ponderación de las parcelas en función de la Calidad del entorno
EDIFICIO
1
EDIFICIO
2
EDIFICIO
3
EDIFICIO
1
EDIFICIO
2
EDIFICIO
3
EDIFICIO
4
EDIFICIO
5
EDIFICIO
X
1/1
3/1
1/3
1/1
1/5
1/1
1/1
1/7
1/3
1/9
1/3
1/1
3/1
1/3
3/1
1/1
1/5
1/1
1/1
5/1
EDIFICIO
4
EDIFICIO
X
EDIFICIO
X
1/1
RC = 5,98%
Tabla 8.11. Matriz de comparaciones pareadas en función de la Calidad del edificio
0,0891
0,0343
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
169
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
0,2355
0,0891
0,4630
0,0891
Tabla 8.12. Ponderación de las parcelas en función de la Calidad del edificio
EDIFICIO
1
EDIFICIO
1
EDIFICIO
2
EDIFICIO
3
EDIFICIO
4
EDIFICIO
5
EDIFICIO
X
1/1
5/1
3/1
1/1
1/1
3/1
1/1
1/3
1/5
1/5
1/3
1/1
1/3
1/3
1/1
1/1
1/1
3/1
1/1
3/1
EDIFICIO
2
EDIFICIO
3
EDIFICIO
4
EDIFICIO
X
EDIFICIO
X
1/1
RC = 2,07%
Tabla 8.13. Matriz de comparaciones pareadas en función de la Calidad del Estado de
conservación
0,2194
0,0403
0,0820
0,2194
0,2194
0,2194
Tabla 8.14. Ponderación de las parcelas en función de la Calidad del Estado de
conservación
ETAPA 2. Calculadas las ponderaciones de los inmuebles en función de cada
variable explicativa se pasa a la segunda etapa del modelo que es la aplicación de GP
a la información obtenida.
EDIFICIOS VALOR
CALIDAD
ENTORNO
CALIDAD
EDIFICIO
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
ESTADO
CONSERVACIÓN
170
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
1
1.650
0,0825
0,0891
0,2194
2
700
0,0328
0,0343
0,0403
3
1.425
0,0328
0,2355
0,0820
4
1.600
0,2069
0,0891
0,2194
5
3.100
0,4381
0,4630
0,2194
0,2069
0,0891
0,2194
X
Tabla 8.15. Precio y ponderación de los edificios para cada variable explicativa
A partir de la información de la Tabla 8.15, que recoge las ponderaciones para
todas las variables explicativas y los precios de los inmuebles, se plantea el siguiente
modelo.
Min = n1 + p1 + n2 + p 2 + n3 + p3 + n4 + p4 + n5 + p5 ;
s.a.
a0 n − a0 p + a1 ∗ 0.0825 + a 2 ∗ 0.0891 + a3 ∗ 0.2194 + n1 − p1 = 1.650;
a0 n − a0 p + a1 ∗ 0.0328 + a 2 ∗ 0.0343 + a3 ∗ 0.0403 + n2 − p 2 = 700;
a0 n − a0 p + a1 ∗ 0.0328 + a 2 ∗ 0.2355 + a3 ∗ 0.0820 + n3 − p3 = 1.425;
a0 n − a0 p + a1 ∗ 0.2069 + a2 ∗ 0.0891 + a3 ∗ 0.2194 + n4 − p 4 = 1.600;
a0 n − a0 p + a1 ∗ 0.4381 + a 2 ∗ 0.4630 + a3 ∗ 0.2194 + n1 − p1 = 3.100;
n1 + p1 + n2 + p 2 + n3 + p3 + n4 + p 4 + n5 + p5 = z ;
Se resuelve con LINGO y se obtiene la función.
Valor = 400,17+ 1.189,64*x1+2.746,62 * x2 +4.133,78 * x3
z = 197,99
Sustituyendo los valores del inmueble X en la función anterior, se obtiene el valor
buscado.
Valor X =
1.797 u.m.
400,17+1.189,64*0,2069+2.746,62 * 0,0891 + 4.133,78* 0,2194 =
Mediante el modelo bietápico de valoración se ha obtenido el valor de un
inmueble urbano X partiendo de variables cualitativas que han sido cuantificadas en el
propio modelo y de forma que el valor obtenido es una función de todas las variables
explicativas significativas utilizadas y de la importancia o ponderación de ellas.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
171
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
8.6 ADECUACIÓN DEL MODELO
Si aplicamos el Índice de adecuación visto en la sección 2 a la función obtenida.
z= 197,99
z´= 2.730 (Tabla 8.16)
Parcelas
Valor
Diferencias absolutas con solución naive
1
1.650
85
2
700
835
3
1.425
310
4
1.600
135
5
3.100
1.365
SUMA
2.730
Tabla 8.16. Diferencias absolutas con el modelo naive
Siendo el Índice de adecuación del 92,74%.
 197.99 
I a = 1 −
 ∗ 100 = 92.74%
2730 

8.7 MODELO TRIETÁPICO MULTICRITERIO DE VALORACIÓN
Una de las ampliaciones que permite el modelo propuesto es la intervención de
distintos expertos en la determinación del valor. Esta característica es interesante
sobre todo para valoraciones de cierta importancia, bien por su importe o por sus
repercusiones sociales, ya que permite llegar a un valor final, resultado no solo de la
apreciación de un único valorador sino del consenso de un grupo de ellos.
El procedimiento a seguir en este caso estaría compuesto por tres etapas.
ETAPA 1. Coincide con la del modelo bietápico, pero en lugar de ser un único
experto el que plantea las matrices de comparación pareada, son varios expertos los
que elaboran por separado el conjunto de matrices, con lo cual al final se tendrán
tantos grupos de vectores propios (en función de las distintas variables) como expertos
hayan intervenido. Es lógico pensar que aunque los vectores propios tengan una
estructura de ponderación similar56 no serán exactamente iguales, por lo tanto hay que
llegar a una ponderación única agregada de todas las ponderaciones.
56
Este supuesto se da cuando los expertos que intervienen son de formación, conocimientos e intereses
parecidos; en este caso el método propuesto es el adecuado. Puede darse el caso de que los expertos no
coincidan en los supuestos mencionados, esto suele suceder con frecuencia en valoraciones que van a
influir en decisiones de tipo político o con repercusión social y por lo tanto las ponderaciones son bastante
o muy distintas unas de otras. En dicho supuesto la agregación debe de realizarse utilizando el modelo
extendido de GP (véase Linares y Romero, 2002).
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
172
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
ETAPA 2. La agregación de las distintas ponderaciones se realizan utilizando la
Programación por metas, planteando el siguiente modelo (Linares y Romero, 2002):
Min = ∑∑ (nij + pij );
q
m
i =1 j =1
s.t.
[17]
w + nij − pij = wi ;
s
i
j
i ∈ {1, K , q}, k ∈ {1,K , N j }
donde w ij representa el peso otorgado por el experto j al testigo i; n ij y p ij son
las variables desviación negativa y positiva, respectivamente, ligadas al testigo i y
experto j; w si representa el peso consensuado buscado para el testigo i, donde el
supraíndice s hace referencia al criterio. Se resolverán tantos modelos GP como
criterios analizados.
ETAPA 3. Situados en este punto se sigue el proceso idéntico a la segunda
etapa del modelo bietápico. Esto es, a partir de las preferencias agregadas se plantea
el modelo de GP. Su resolución proporciona el valor buscado, que en este caso no es
producto de la opinión de un solo experto, sino que es consecuencia del conocimiento
de varios expertos.
8.8 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MODELO TRIETÁPICO
Vamos a utilizar, para mayor comprensión del proceso, el mismo ejemplo del
modelo bietápico, pero en este caso son varios los valoradores que intervienen en
busca de un valor de consenso en función de la opinión de todos ellos.
ETAPA 1. Partimos de la misma información que en el modelo bietápico, tabla 1,
pero ahora son tres los expertos que van a determinar el valor de la parcela problema.
Se eligen también como variables explicativas el Estado vegetativo y el Microclima.
Cada experto plantea sus matrices de comparación pareadas de las parcelas en
función de cada variable explicativa, de las cuales después de medir su consistencia
se calculan los vectores propios.
Tendremos tres ponderaciones (una por cada experto) de las parcelas para cada
variable explicativa. Tablas 8.17 y 8.17
Parcelas
EXPERTO 1
EXPERTO 2
EXPERTO 3
1
0,1610
0,1322
0,1234
2
0,0566
0,0784
0,0440
3
0,1610
0,1322
0,1234
4
0,4604
0,3647
0,3592
x
0,1610
0,2952
0,3501
Tabla 8.17. Ponderaciones de los tres expertos en función del Estado vegetativo
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
173
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
Tenemos que llegar en cada caso a una ponderación agregada. Planteamos el
modelo de GP.
Min = n11 + p11 + n12 + p12 + n32 + p13 + n21 + p 21 + n22 + p 22 + n23 + p 23 + n31 + p31 +
n32 + p32 + n33 + p33 + n41 + p 41 + n42 + p 42 + n43 + p 43 + n51 + p51 + n52 + p52 + n53 + p53 ;
s.a.
w1 + n11 − p11 = 0,1610;
M
M
w5 + n53 − p53 = 0,3501;
Resolviendo con LINGO obtenemos el vector de ponderacion agregado.
W = ( 0,1322; 0,0566; 0,1322; 0,3647; 0,3952)-T
La tabla 8.18 expresa las ponderaciones de los tres expertos para la variable
explicativa microclima.
Parcelas
EXPERTO 1
EXPERTO 2
EXPERTO 3
1
0,0876
0,0698
0,0890
2
0,0876
0,1362
0,1715
3
0,5007
0,2788
0,4790
4
0,0876
0,0698
0,0890
x
0,2364
0,4454
0,1715
Tabla 8.18. Ponderaciones de los tres expertos en función del microclima
Planteamos el modelo de GP.
Min = n11 + p11 + n12 + p12 + n32 + p13 + n21 + p 21 + n22 + p 22 + n23 + p 23 + n31 + p31 +
n32 + p32 + n33 + p33 + n41 + p 41 + n42 + p 42 + n43 + p 43 + n51 + p51 + n52 + p52 + n53 + p53 ;
s.a.
w1 + n11 − p11 = 0,0876;
M
M
w5 + n53 − p53 = 0,1715;
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
174
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
Resolviendo con LINGO obtenemos el vector de ponderacion agregado.
W = ( 0,0876;0,1362;0,4790;0,0876;0,2364)-T
Con los vectores de ponderación agregados (Tabla 8.19) finaliza la Etapa 2 del
modelo.
PARCELAS
VALOR
ESTADO
VEGETATIVO
MICROCLIMA
1
4.000
0,1610
0,0876
2
1.600
0,0566
0,0876
3
5.550
0,1610
0,5007
4
9.800
0,4604
0,0876
0,1610
0,2364
X
Tabla 8.19. Precio y ponderación de las parcelas para cada variable explicativa
ETAPA 3. Esta etapa es similar a la dos del modelo bietápico, partiendo de las
ponderaciones agregadas planteamos el modelo de GP con la ponderación de los
testigos con el fin de obtener la función que explica el valor de ellos con las variables
explicativas utilizadas.
Min = n1 + p1 + n2 + p 2 + n3 + p3 + n4 + p 4 ;
s.a.
a1 * 0,1322 + a 2 * 0,0876 + n1 − p1 = 4.000;
a1 * 0,0566 + a 2 * 0,1362 + n2 − p 2 = 1.600;
a1 * 0,1322 + a 2 * 0,4790 + n3 − p3 = 5.500;
a1 * 0,3647 + a 2 * 0,0876 + n4 − p 4 = 9.800;
Resolvemos con LINGO y nos da la función.
V = 25.825,42 * a1 + 4.354,65 * a2
Si sustituimos los valores de la parcela X en dicha función
Vx = 25.825,42 * 0,1610 + 4.354,65 * 0,2364 = 5.187,27 €
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
175
Capítulo 8. Modelos de valoración compuestos
Valor de la parcela teniendo en cuenta el criterio de tres valoradotes.
Nuevos métodos de valoración. Modelos multicriterio.
176
Capítulo 9. Bibliografía I
Capítulo 9. Bibliografía
9.1 VALORACIÓN
R. ALONSO y T. IRURETAGOYENA. Casos prácticos de Valoración Agraria., 1990.
MAPA. Madrid.
R. ALONSO, P. ARIAS, y T. IRURETAGOYENA. Un modelo de valoración para la
determinación
del
justiprecio
en
el
procedimiento
de
expropiación
forzosa.
Investigación Agraria: Economía 6-2:133-146, 1991.
R. ALONSO y J. LOZANO. El método de las dos funciones de distribución: Una
aplicación a la valoración de fincas agrícolas en las comarcas Centro y Tierra de
Campos (Valladolid). Anales del INIA ,Economía 9:295-325, 1993.
R. ALONSO, T. IRURETAGOYENA, J. LOZANO, y A. Serrano. Los costes de
oportunidad derivados de la posesión e inversión en tierra en los trienios 1983-85.
Investigación Agraria.Economía, 1993.
R. ALONSO y A. Serrano. Los métodos multicriterio discretos discretos aplicados
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R. ALONSO y D. L. MARTÍN. Un análisis económico-financiero de las empresas
agroalimentarias que cotizan en la Bolsa de Madrid. . Investigación Agraria: Economía,
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R. ALONSO, A. SERRANO, y A. VILLA. Los modelos de comportamiento como
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Capítulo 9. Bibliografía I
del sector de alimentación que cotizan en la Bolsa de Madrid. Investigación Agraria:
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Análisis temporal de las ventas y estimación del valor residual de
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J. AZNAR, J. L. PEREZ-SALAS, y RIBAL J. Practicas de valoracion. Editorial UPV.
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los métodos y sus limitaciones. Información Comercial Española, 751:37-46, 1995.
E. BALLESTERO. Sobre el método analítico de valoración. . Revista de Estudios
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E. BALLESTERO. Valoración de fincas. ASPA, nº 89., 1970.
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Estudios Agrosociales, 85, Octubre-Diciembre:75-78, 1973.
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