TEMA IV Series numéricas. Índice 1. Series numéricas. 2

Departamento de Matemática Aplicada
Escuela Politécnica Superior de Alcoy
Universidad Politécnica de Valencia
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA
UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA
TEMA IV
Series numéricas.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
Índice
Series numéricas.
Propiedades generales de las series.
Series de términos positivos. Convergencia.
Series alternadas.
Series de términos arbitrarios.
Ejercicios propuestos.
Series Numéricas
Definición 1.1
A partir de una sucesión dada {an }∞
n=1 y sumando sus términos sucesivamente, es posible construir una nueva
de
la
siguiente
forma:
sucesión {Sn }∞
n=1
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
...
n
P
Sn = a1 + a2 + . . . + an =
am
m=1
∞
La sucesión {Sn }∞
n=1 se conoce como la sucesión de sumas parciales de {an }n=1 . El término Sn se
conoce como suma parcial n-ésima.
Llamaremos serie numérica asociada a la sucesión {an }∞
n=1 (o de término general an ) a la expresión formal:
∞
X
an = a1 + a2 + . . . + an + . . .
n=1
mediante la cual representamos, en caso de existir, el valor al que tienden los resultados obtenidos sumando
los términos consecutivos de la sucesión {an }∞
n=1 , es decir, el lı́mite de la nueva sucesión de sumas parciales
{Sn }∞
.
Atendiendo
al
comportamiento
de
la
sucesión de sumas parciales, tendremos la siguiente clasificación
n=1
de las series (carácter de la serie):
Diremos que la serie numérica
∞
P
n=1
an es convergente y que su suma es S ∈ R si la sucesión {Sn }∞
n=1 es
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convergente y tiende a S. Escribiremos en este caso
∞
X
an = lı́m Sn = S
n=1
n→∞
Diremos que la serie numérica es divergente en caso contrario, es decir, cuando la sucesión {Sn }∞
n=1
diverge. En este caso, la podremos clasificar de la siguiente forma:

a +∞



a −∞ ½
Divergente
finitamente oscilante


 oscilante
infinitamente oscilante
Ejemplo 1
∞
P
1.
2.
3.
4.
5.
(−1) es divergente a −∞
n=1
∞
P
n es divergente a +∞
n=1
∞
P
(−1)n+1 es divergente finitamente oscilante
n=1
∞
P
(−1)n n es divergente infinitamente oscilante
´
1
1
−
es convergente a 1
n
n+1
n=1
∞ ³
P
n=1
Ejemplo 2 (La serie geométrica)
Llamaremos serie geométrica a la que tiene como expresión:
∞
X
ar
n−1
n=1
=
∞
X
arn = a + ar + ar2 + ar3 + . . . + arn + . . .
n=0
donde r es un número real al que llamaremos razón de la serie y a ∈ R, a 6= 0.
Para este tipo de series es posible encontrar una expresión sencilla para su sucesión de sumas parciales
{Sn }∞
n=1 en función de a y de la razón r de la serie. Esto permitirá estudiar su carácter con facilidad:
Si r = 1, es evidente que Sn = an. Tomando lı́mites tendremos
lı́m Sn = lı́m an = ±∞, según el signo de a
n→∞
n→∞
.
Si r 6= 1, vamos a encontrar, en este caso, una expresión sencilla de Sn :
½
Sn = a(1 + r + r2 + . . . + rn−1 )
rSn = a(r + r2 + . . . + rn )
restando ambas expresiones:
Sn − rSn = Sn (1 − r) = a(1 − rn )
de donde despejando Sn obtenemos:
Sn =
a(1 − rn )
.
(1 − r)
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Tomando lı́mites tendremos:
 a

1−r


±∞ (según el signo de a)
a
n
lı́m Sn =
lı́m (1 − r ) =
n→∞

1 − r n→∞
no existe (finitamente oscilante)



no existe (infinitamente oscilante)
si
si
si
si
|r| < 1
r>1
r = −1
r < −1
En consecuencia, de acuerdo con los resultados anteriores, podemos asegurar que la serie geométrica es:
convergente, si |r| < 1
divergente a ±∞ , si r ≥ 1
divergente oscilante, si r ≤ −1
En caso de que converja, es decir cuando |r| < 1, la suma de la serie geométrica será:
∞
X
arn−1 =
n=1
∞
X
arn =
n=0
a
1−r
Ejemplo 3 (La serie armónica)
Llamamos serie armónica a la asociada a la sucesión { n1 }∞
n=1 , es decir a:
∞
X
1
1 1 1
1
= 1 + + + + ... + + ...
n
2
3
4
k
n=1
Esta serie es divergente a +∞ ya que su sucesión de sumas parciales:
Sn = 1 +
1
1 1 1
+ + + ... +
2 3 4
n
diverge a +∞ (por ser monótona creciente y no acotada superiormente).
2.
Propiedades Generales de las Series
Proposición 1 (Condición necesaria de convergencia)
Si la serie
∞
P
n=1
an es convergente entonces lı́m an = 0.
n→∞
Por tanto, si la sucesión {an }∞
n=1 no converge a cero entonces la serie diverge necesariamente. En cambio,
si la sucesión converge a 0, no podemos afirmar nada sobre la convergencia de la serie.
Ejemplo 4
∞
P
Por la condición necesaria de convergencia, la serie
n=1
n2 +3n
2n2 +5
n2 +3n
2
n→∞ 2n +5
es divergente pues lı́m
= 1/2 6= 0.
Proposición 2 (Propiedades)
1.
Sean dos series
∞
P
n=1
an y
∞
P
n=1
bn convergentes con sumas S1 y S2 respectivamente, entonces se cumple:
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∞
P
n=1
∞
P
n=1
2.
Si
∞
P
n=1
(an ± bn ) =
λan = λ
∞
P
n=1
∞
P
n=1
an +
∞
P
n=1
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bn = S1 ± S2 .
an = λS1 para todo λ ∈ R.
an es convergente, su carácter y su suma no cambian al sustituir grupos de términos consecutivos
por sus sumas (es decir, asociando). Lo mismo ocurre cuando la serie es divergente a ±∞. (Con una
serie oscilante no se verifica esto).
3.
El carácter de una serie no se altera si se suprime o se añade un número finito de sumandos. Por
tanto, si una serie es convergente con suma S la serie obtenida al suprimir los k primeros términos,
será convergente con suma S − K, siendo K la suma de los términos suprimidos.
4.
Si
∞
P
n=1
5.
Si
∞
P
n=1
3.
an diverge y λ 6= 0 entonces
an y
∞
P
∞
P
(λan ) también diverge.
n=1
bn divergen simultáneamente a ±∞ entonces también
n=1
∞
P
n=1
(an + bn ) diverge a ±∞.
Series de términos positivos. Convergencia
Definición 3.1
∞
P
Diremos que la serie
an es de términos positivos si an ≥ 0 para todo n ∈ N.
n=1
También se pueden tratar como series de términos positivos aquellas que cumple an ≥ 0 para todo n ≥ n0
(es decir, a partir de un cierto ı́ndice).
Estas series cumplen que la sucesión de sumas parciales es creciente, y por tanto, toda serie de términos
positivos es siempre convergente o divergente a +∞ según sea acotada o no la sucesión {Sn }∞
n=1 .
Veamos ahora algunos criterios de convergencia para las series de términos positivos.
Proposición 3 (Criterio de comparación)
Sean
n≥
∞
P
n=1
n0 .
Si
an y
∞
P
n=1
Si
∞
P
n=1
∞
P
n=1
bn dos series de términos positivos tales que an ≤ bn para todo
bn es convergente =⇒
an es divergente =⇒
∞
P
n=1
∞
P
n=1
an es también convergente.
bn es divergente.
Ejemplo 5
Estudia el carácter de la serie
∞
X
3n − 2
.
2n + 5n
n=1
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Ejemplo 6
Estudia el carácter de la serie
∞
X
5n + 3n
.
4n
n=1
Proposición 4 (Criterio de comparación con el lı́mite)
Sean
∞
P
n=1
an y
∞
P
n=1
bn dos series de términos positivos. Sea
an
.
bn
L = lı́m
n→∞
Si L ∈ R y L 6= 0 entonces ambas series tienen el mismo carácter. Es decir,
 P
∞
∞
P

an converge ⇐⇒
bn converge

n=1
n=1
∞
∞
P
P


an diverge ⇐⇒
bn diverge
n=1
n=1
 P
∞
∞
P

bn converge =⇒
an converge

Si L = 0 y
n=1
n=1
∞
∞
P
P


an diverge =⇒
bn diverge
n=1
n=1
 P
∞
∞
P

bn diverge =⇒
an diverge

Si L = +∞ y
n=1
n=1
∞
∞
P
P


an converge =⇒
bn converge
n=1
n=1
Ejemplo 7
Estudia el carácter de la serie
∞
X
2n
.
n2
n=1
Ejemplo 8
Usando el ejemplo anterior, estudia el carácter de la serie
∞
X
n2n + 5
.
4n3 + 3n
n=1
Proposición 5 (Criterio de la integral)
Sea una serie
∞
P
n=1
an de términos positivos y sea f (x) una función continua, no cre-
ciente en [1, +∞[ tal que f (n) = an .
Si
Si
R +∞
1
R +∞
1
f (x)dx es convergente, entonces
∞
P
n=1
f (x)dx es divergente, entonces
∞
P
n=1
an es convergente.
an es divergente.
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Ejemplo 9 (Serie armónica generalizada)
Prueba que la serie armónica generalizada, dada por la expresión
∞
X
1
,
p
n
n=1
p∈R
es convergente si p > 1 y divergente si p ≤ 1.
Proposición 6 (Criterio de d’Alembert o del cociente)
Sea
∞
P
n=1
an una serie de términos positivos y supongamos que existe
lı́m
n→∞
Si λ < 1 =⇒
∞
P
n=1
an+1
= λ.
an
an converge.
Si λ > 1 (incluido λ = +∞) =⇒
∞
P
n=1
an diverge.
Si λ = 1 no podemos concluir nada.
Ejemplo 10
Estudia el carácter de la serie
∞
X
n3
.
n!
n=1
Proposición 7 (Criterio de Cauchy o de la raı́z)
Sea
∞
P
n=1
an una serie de términos positivos y sea
λ = lı́m
n→∞
Si λ < 1 =⇒
∞
P
n=1
√
n
an .
an converge.
Si λ > 1 (incluido λ = +∞) =⇒
∞
P
n=1
an diverge.
Si λ = 1 no podemos concluir nada.
Ejemplo 11
Estudia el carácter de la serie
¶n
∞ µµ
X
n+1
n=1
n
2n + 1
+
n
¶−n
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Proposición 8 (Criterio de Raabe)
Sea
∞
P
n=1
an una serie de términos positivos y sea
µ
¶
an+1
n.
1−
n→∞
an
λ = lı́m
Si λ > 1 =⇒
∞
P
n=1
an converge.
∞
P
Si λ < 1 (incluido λ = +∞) =⇒
n=1
an diverge.
Si λ = 1 no podemos concluir nada.
Ejemplo 12
Estudia el carácter de la serie
¶2
∞ µ
X
1 · 4 · 7 · · · (3n − 2)
3 · 6 · 9 · · · 3n
n=1
Proposición 9 (Criterio de Pringsheim o del producto)
Sea
∞
P
n=1
an una serie de términos positivos. Si p ∈ R y
lı́m an np = λ.
n→∞
½
Si λ ∈ R y λ 6= 0 entonces
si p > 1, la serie converge.
si p ≤ 1, la serie diverge.
Si λ = 0 y p > 1, la serie converge.
Si λ = +∞ y p ≤ 1, la serie diverge.
Nota 1
El criterio anterior se deduce directamente de aplicar el criterio de comparación con el lı́mite a la serie de
∞
∞
P
P
1
términos positivos
an usando para comparar la serie armónica generalizada
np , ya que
n=1
n=1
an
n→∞ 1p
n
λ = lı́m
= lı́m an np .
n→∞
Ejemplo 13
Estudia el carácter de la serie
∞
X
1
√
n
n
n
n=1
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Proposición 10 (Criterio del logaritmo)
Sea
∞
P
n=1
an una serie de términos positivos y supongamos que existe
³
λ = lı́m
n→∞
Si λ > 1 (incluı́do λ = +∞), la serie
ln
∞
P
n=1
´
ln(n)
∞
P
n=1
Si λ < 1, la serie
1
an
.
an converge.
an diverge.
Si λ = 1, entonces no podemos concluir nada.
Ejemplo 14
Estudia el carácter de la serie
∞
X
1
(ln(n))ln(n)
n=2
4.
Series alternadas
Definición 4.1
∞
P
Diremos que la serie
an es alternada, si se cumple
n=1
an · an+1 < 0
para todo n ∈ N, es decir, sus términos son alternativamente positivos y negativos.
∞
∞
P
P
La forma más común de representarla es
(−1)n an siendo an ≥ 0, o también
(−1)n+1 an .
n=1
n=1
También podemos considerar que una serie es alternada si an · an+1 ≤ 0 para todo n ≥ n0 , es decir, a
partir de un cierto ı́ndice.
Proposición 11 (Criterio de convergencia de Leibnitz)
Sea
∞
P
(−1)n an una serie alternada (an ≥ 0) tal que {an }∞
n=1 es una sucesión monóto-
n=1
na decreciente. Entonces
lı́m an = 0 ⇐⇒
n→∞
∞
X
(−1)n an es convergente.
n=1
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Ejemplo 15
Comprueba que la siguiente serie alternada es convergente:
∞
X
(−1)n
n=1
1
n
Ejemplo 16
Estudia el carácter de la serie alternada
∞
X
(−1)n+1
n=1
5.
n−2
n2 + 3n
Series de términos arbitrarios
Definición 5.1
∞
P
Decimos que una serie
an es de términos arbitrarios si no es necesariamente ni de términos positivos ni
n=1
alternada.
Definición 5.2
∞
∞
P
P
Se dice que la serie de términos arbitrarios
an es absolutamente convergente si la serie
|an | es convern=1
gente.
Ejemplo 17
∞
P
Comprueba que la serie
an donde an =
n=1
(
1
n2
−1
n3
n=1
si n par
, es absolutamente convergente.
si n impar
Proposición 12
Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Nota 2
∞
P
El recı́proco del teorema anterior no es cierto. Basta considerar la serie
(−1)n n1 (ver Ejemplo 15).
n=1
Nota 3
El teorema anterior es de gran importancia para el estudio de la convergencia de series de términos arbitrarios
ya que al estudiar la serie de los módulos, podemos utilizar todos los criterios anteriormente vistos para series
de términos positivos.
6.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1 P
∞
Dada la serie
an , se sabe que la sucesión de sumas parciales {Sn }∞
n=1 viene dada por Sn =
todo n ∈ N.
n=1
3n+2
n+4
para
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1.
Halla el término general an de la serie.
2.
Estudia el carácter de la serie.
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Ejercicio 2
∞
∞
P
P
Sean
an y
bn dos series convergente de términos positivos. Demostrar que las siguientes series son
n=1
n=1
también convergentes:
1.
∞
P
n=1
2.
∞ √
P
n=1
3.
a2n .
∞
P
n=1
an bn
an b n
an +bn
Ejercicio 3
Considérese un cuadrado de lado a. A dicho cuadrado se le pega en la parte inferior del lado derecho, un
cuadrado de lado a/2. A este nuevo cuadrado se le pega igualmente en la parte inferior del lado derecho de
a
la a/2
2 = 4 . Suponiendo que el proceso se itera indefinidamente, calcular el área de la figura formada y el
perı́metro exterior.
a
a/2
......
Ejercicio 4
Se suelta una bola desde una altura de 6 metros y empieza a botar sin desplazarse respecto de la vertical. Si
en cada bote alcanza 3/4 de la altura del bote anterior, halla la distancia total que recorre la bola.
Ejercicio 5
Estudia el carácter de las siguientes series numéricas:
(a)
(e)
(i)
∞
P
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n3
2n
(b)
n2
3n
(f )
nn cos(nπ)
(n!)2
(j)
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n=1
2n
3n +n
(c)
√1
n
(g)
∞
P
n=1
∞
P
n=1
n3 +3
5n +2
(d)
ln(n)
n
(h)
∞
P
n=1
∞
P
n=1
cos(nπ)
n2
cos(n)
√
n n
(n+1)n
en 2
Ejercicio 6 (Examen Enero 2002)
Considérese la serie que tiene por término general
an =
3n2 − 4n + 2
.
2n2 − n + 1
¿Se trata de una serie convergente? Razona la respuesta.
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Ejercicio 7 (Examen Enero 2002)
Estudia el carácter de las siguientes series:
∞
∞
P
P
2
(a)
(−1)n 2nn
(b)
n=1
Ejercicio 8 (Examen Enero 2002)
Estudia el carácter de la serie
n=1
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sen2 (n3 )
n3
¶
∞ µ
X
1 + 2 2 + 32 + · · · + n2
n3
n=1
Ejercicio 9 (Examen Julio 2002)
Estudia el carácter de las siguientes series:
∞ ¡√
∞
¢2
P
P
n
(a)
3 − 21n
(b)
n=1
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA
n=1
.
3n2 −2n+1
(n+1)!
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