1. A cada par de puntos diferentes corresponde un

Material preparado para el curso MA-0270 Geometría I
II-2015
CAPÍTULO 2: CONJUNTOS, NÚMEROS REALES Y RECTAS
Ejercicios complementarios
1. Identifique la forma que tiene cada una de las siguientes proposiciones
PROPOSICIÓN
FORMA
1. A cada par de puntos diferentes corresponde un
número positivo único.
2. B está entre A y C sii A, B, C son puntos
distintos de una misma recta y AB + BC = AC.
3. Dados dos puntos cualesquiera, hay solamente
una recta que los contiene.
4. Si A está entre B y C entonces
llaman rayos opuestos.
5. Sea
y
se
un rayo y sea x un número positivo.
Existe solamente un punto P de
x.
tal que AP =
6. Todo segmento tiene exactamente un punto
medio.
7. Sean x, w, z las coordenadas de los puntos A, B
y C respectivamente. Si x < w y w < z entonces B
está entre A y C.
8. El punto B se llama el punto medio del
segmento
sii B está entre A y C, y AB = BC.
2. Para los condicionales identificados en el ejercicio anterior, escriba la proposición recíproca y
determine su valor de verdad.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
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3. A continuación se presentan dos enunciados y su respectiva demostración. Éstas están incompletas.
Analice el texto y complételas, de manera tal, que sean verdaderas.
TEOREMA 2-1: EL TEOREMA DE LOCALIZACIÓN DE PUNTOS.
Sea
un rayo y sea x un número positivo. Entonces, existe exactamente un punto P de
que AP=x.
tal
Demostración
Sabemos que: (1) x > 0  (2)
Hay que demostrar: P 
es un rayo.
 AP=x.
Dados los punto A  B, por _______________________________________ existe
única (3).
Luego, por _______________________________________ puede escogerse un
sistema de
coordenadas tal que la coordenada de A sea 0 y la coordenada de B sea r, siendo r > 0.
Dado (1), por ______________________ y el orden de los números reales, se tiene que 0 < x < r
 0 < r < x (4).
Por el ________________________________________, existe un único punto P 
, tal que la
coordenada de P sea x. (5)
Ahora, por _____ y _____, sabemos que A, B y P son puntos de una misma recta, y por _____,
aplicando ____________________________, se concluye que P está entre A y B  B está entre
A y P. En ambos casos, por definición de ________________, se cumple que P 
.
Luego, por ________________________________, AP = 0 – x = –x = x, por premisa ______,
y definición de ________________________________.
 ______________________________________________________________________.
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TEOREMA 2-2
Todo segmento tiene exactamente un punto medio
Demostración
Considere un segmento
cualquiera, y el rayo
.
Por ______________________________________________ y la definición de ____________________,
AB > 0, luego
.
Por el _________________________, existe un punto P único sobre
y la coordenada de P sea
Por
, tal que la coordenada de A sea 0
.
_______________________________________,
considérese
,
y
por
________________________________, considérese x la coordenada de B.
Nótese que, por _____________________________ y la definición de ____________________,
AB = 0 – x = – x = x.
Ahora, dado que A, P y B son puntos de una misma recta, y por 0 <
< AB, por
__________________________, P está entre A y B. Por lo tanto, por la definición
___________________________, P es el punto medio de
.
Luego, por ____________________________________, el punto P es único, por lo que
tiene
exactamente un punto medio.
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