Margen de Riesgo, Clave para Calculo de Reservas.

XXVI
C
ONGRESO
NACIONAL DE
ACTUARIOS
Solvencia II
“El Margen de Riesgo”
México
Por: Pedro Aguilar B.
[email protected]
[email protected]
Septiembre 2013
XXVI
CONGRESO
NACIONAL DE
ACTUARIOS
Contenido
1.
Aspectos Generales sobre Margen de Riesgo
2.
La Problemática
3.
Planteamiento de una Posible Solución
4.
Ejemplos y Conclusiones
XXVI
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El Concepto de Margen de Riesgo
El margen de riesgo, en términos de la directiva europea se define como:
“El margen de riesgo será igual al coste de financiación de un importe de fondos propios
admisibles igual al capital de solvencia obligatorio necesario para asumir las obligaciones de
seguro y reaseguro durante su período de vigencia.”
“La tasa de coste del capital empleada será igual al tipo adicional, por encima del tipo de
interés sin riesgo pertinente, que tendría que satisfacer una empresa de seguros o de reaseguros
por mantener un importe de fondos propios admisibles, igual al capital de solvencia obligatorio
necesario para asumir las obligaciones de seguro y de reaseguro durante el período de
vigencia de las mismas.”
“No obstante, cuando los flujos de caja futuros asociados a las obligaciones de seguro o
reaseguro puedan replicarse con fiabilidad utilizando instrumentos financieros en los que se
pueda observar un valor de mercado fiable, el valor de las provisiones técnicas asociadas con
esos flujos de caja futuros se determinará a partir del valor de mercado de dichos instrumentos
financieros.”
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El Concepto de Margen de Riesgo
Se ha explicado el margen de riesgo como, un elemento integrante de las reservas:
Capital Disponible
Requerimiento de Capital
de Solvencia (SCR)
Margen de Riesgo
Mejor Estimador
Activos que cubren
reservas técnicas
Source: CEIOPS
Activos a
valor de
mercado
Reservas Técnicas para
riesgos no hedgeable
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El Concepto de Margen de Riesgo
A medida que avanza la implementación del nuevo esquema regulatorio en México, han ido
surgiendo preguntas relevantes respecto al Margen de Riesgo (MR):
¿El MR de un
BEL negativo,
debe ser negativo,
cero o positivo?
¿El RCS
puede ser
creciente con
el tiempo?
¿El MR debe
ser equivalente
al margen de
utilidad?
¿A mayor
BEL
mayor
MR?
¿El MR
debe ser un
valor
inferior a la
reserva?
¿Pueden
existir
reservas con
MR cero?
¿Los
seguros
flexibles
debe tener
MR?
¿Qué
reservas
tienen
MR?
XXVI
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Contenido
1.
Aspectos Generales sobre Margen de Riesgo
2.
La Problemática
3.
Planteamiento de una Posible Solución
4.
Ejemplos y Conclusiones
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El Concepto de Margen de Riesgo
La problemática:
1. El nuevo esquema regulatorio adoptado en México, implica la estimación de obligaciones
mediante los flujos totales de ingresos y egresos, lo que generará que algunas reservas
tengan valores negativos.
2. Asimismo algunos métodos preliminares para el cálculo del margen de riesgo sugieren
prorratear el Requerimiento de Capital Global (RCS), en función del valor de las reservas
al momento del cálculo, para efectos de asignar a cada línea de negocio la porción de
Requerimiento de capital que le corresponde (Base de Capital (BC)).
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El Concepto de Margen de Riesgo
La problemática:
3. Como resultado del prorrateo se obtienen bases de capital negativas cuando en una línea de
negocios el monto de las reservas es negativo, lo cual produciría a su vez un Margen de
Riesgo negativo dado que la fórmula de cálculo es:
Ejemplo:
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏
𝑀𝑅 = 𝐵𝐶0 ∗ (𝑟 − 𝑖)
𝑡=1
BEL
Dotales
Temporales
Total
RCS
Base de Capital
Margen de
Riesgo
Duración
¿MR<0?
5,000,000
100,000.00
475,000.00
7
332,500.00
-1,000,000
500,000.00
-95,000.00
5
-47,500.00
4,000,000
380,000.00
380,000.00
285,000.00
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El Concepto de Margen de Riesgo
La problemática:
4. Otro problema que se produce es que debido a que las reservas no siempre guardan
proporcionalidad con el valor del riesgo implícito en una línea de negocios (riesgo de
desviación), entonces, la determinación de la base de capital mediante prorrateo puede
generar márgenes de riesgo desproporcionados. Ello es muy visible en carteras que tienen
un componente de riesgo pequeño, pero con una reserva muy grande debido al componente
de ahorro, como en el caso de seguros dotales o flexibles.
𝑛
Ejemplo:
𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏
𝑀𝑅 = 𝐵𝐶0 ∗ (𝑟 − 𝑖)
¿El MR de los seguros
temporales debe ser
menor que el de los
Dotales?
𝑡=1
BEL
RCS
Base de Capital
/marginal
Duración
Margen de
Riesgo
Dotales
5,000,000
100,000.00
316,666.67
7
221,666.67
Temporales
1,000,000
500,000.00
63,333.33
5
31,666.67
Total
6,000,000
380,000.00
380,000.00
253,333.33
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Aspectos Generales sobre Margen de Riesgo
2.
La Problemática
3.
Planteamiento de una Posible Solución
4.
Ejemplos y Conclusiones
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El Margen de Riesgo es un componente de las reservas técnicas que generalmente es concebido
con la siguiente estructura:
Reserva=BEL+MR
BEL
MR
Sin embargo pudiera ser:
Reserva=BEL+MR
BEL
MR
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La proporcionalidad entre el BEL y el MR, está determinada por la diferencia que existe entre
la media y el percentil al 99.5% de función de distribución de pérdidas:
BEL
VaR (95th Percentil)
A mayor dispersión
mayor margen de riesgo.
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A menor desviación, menor margen de riesgo:
BEL
VaR (95th Percentil)
A menor dispersión
menor margen de riesgo.
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El Concepto de Margen de Riesgo
Una cuestión que es muy relevante desde un punto de vista actuarial es que aún cuando la
media sea un valor negativo, el RCS debe ser siempre positivo:
BEL< 0
VaR > 0
A mayor dispersión
mayor margen de riesgo.
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El Margen de Riesgo, desde un punto de vista actuarial, debe representarse como el valor
actual de los costos futuros del capital regulatorio futuro (𝑅𝐶𝑆𝑡 ):
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ (𝑟𝑡 − 𝑖𝑡 ) ∗ 𝑅𝐶𝑆𝑡
𝑀𝑅 =
𝑡=1
Que se puede representar también en términos de RCS inicial, como:
𝑛
𝑣𝑡
𝑀𝑅 = 𝑅𝐶𝑆0
𝑡=1
∗ 𝑟𝑡 − 𝑖𝑡
𝑅𝐶𝑆𝑡
∗
𝑅𝐶𝑆0
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El Concepto de Margen de Riesgo
Si las tasas 𝑟, 𝑖 se toman a valor promedio, entonces:
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝑅𝐶𝑆𝑡
𝑀𝑅 = (𝑟 − 𝑖)
𝑡=1
Que se puede representar también como:
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝐹𝐷𝑡
𝑀𝑅 = 𝑅𝐶𝑆0 ∗ (𝑟 − 𝑖)
𝑡=1
𝐹𝐷𝑡 =
𝑅𝐶𝑆𝑡
𝑅𝐶𝑆0
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El Concepto de Margen de Riesgo
Se puede observar que para determinar el margen de riesgo, es necesario conocer el valor
futuro del RCS, o bien su variación futura (incremento o decremento). Considerando que
el RCS es una variable aleatoria, si se pudiese estimar su valor esperado a cada año,
entonces:
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝐸(𝑅𝐶𝑆𝑡 )
𝑀𝑅 = (𝑟 − 𝑖)
𝑡=1
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El Concepto de Margen de Riesgo
Ante la dificultad práctica de estimar el RCS para cada año futuro, resulta útil encontrar
una forma de medir la variación futura del RCS, a partir del valor que tiene al momento
inicial (𝑅𝐶𝑆0 ) , es decir, interesa conocer una función que permita determinar el
incremento o decremento futuro del RCS en cada año t. Para ello se parte de que:
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝐹𝐷𝑡
𝑀𝑅 = 𝑅𝐶𝑆0 ∗ (𝑟 − 𝑖)
𝑡=1
𝑅𝐶𝑆𝑡
𝐹𝐷𝑡 =
𝑅𝐶𝑆0
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El Concepto de Margen de Riesgo
Hasta ahora se ha definido el cálculo del margen de riesgo, mediante una fórmula que
sólo toma en cuenta la disminución que podría tener debido a las tasas de caducidad y de
muerte, es decir:
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏
𝑀𝑅 = 𝑅𝐶𝑆0 ∗ (𝑟 − 𝑖)
𝑡=1
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏
= 𝐵𝐶0 ∗ (𝑟 − 𝑖)
𝑡=1
Definiendo la duración como:
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏
𝐷=
𝑡=1
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El Concepto de Margen de Riesgo
Sin embargo, como se vio anteriormente, el 𝑅𝐶𝑆𝑡 , guarda relación con la forma en que se
comporte la diferencia entre el percentil y la media. En ese sentido, sería adecuado tomar
como factor de variación futura del RCS (𝐹𝐷𝑡 ), alguna forma de aproximación de la
variación de las desviaciones respecto de la media 𝜎𝑡 :
𝑛
𝑣𝑡
𝑀𝑅 = 𝑅𝐶𝑆0 ∗ (𝑟 − 𝑖)
𝑡=1
𝐹𝐷𝑡 =
𝑅𝐶𝑆𝑡
𝑅𝐶𝑆0
∗
𝜏
𝑡𝑝𝑥
𝜎𝑡
∗
𝜎0
𝜎
= 𝜎𝑡
0
Donde:
𝜎𝑡 es el valor de diferencia entre el percentil al 99.5% y el valor de la media, ambos al
momento t.
𝜎0 es el valor de diferencia entre el percentil al 99.5% y el valor de la media, ambos al
momento 0.
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El Concepto de Margen de Riesgo
Para ello, partiremos de que en los seguros de largo plazo, una forma de estimar las
desviaciones es mediante la diferencia entre la reserva matemática estimada con una tabla
media ( 𝑡𝑣𝑥𝐴 ) y la misma reserva estimada con una tabla recargada al 99.5% ( 𝑡𝑣𝑥𝐵 ), es decir:
𝜎𝑡 ≈ 𝑡𝑣𝑥𝐵 − 𝑡𝑣𝑥𝐴
Donde
𝐴
𝑡 𝑣𝑥
es el BEL valuado con una tabla media.
𝐵
𝑡 𝑣𝑥
es el BEL valuado con una tabla ajustada al 99.5%.
De manera que una forma de estimar la variación porcentual que tendrá el RCS en el
futuro respecto del momento inicial, sería:
𝐵
𝐴
𝑅𝐶𝑆𝑡 𝜎𝑡
𝑡𝑣𝑥 − 𝑡𝑣𝑥
𝐹𝐷𝑡 =
≈
=
𝑅𝐶𝑆0 𝜎0 0𝑣𝑥𝐵 − 0𝑣𝑥𝐴
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De manera que el margen de riesgo quedará dado por:
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏 ∗
𝑀𝑅 ≈ 𝑅𝐶𝑆0 ∗ (𝑟 − 𝑖)
𝑡=1
𝜎𝑡
𝜎0
Si consideramos que 𝑅𝐶𝑆0 se refiere a la base de capital específica de algún plan j (𝐵𝐶𝑗 ),
al momento de valuación del MR, entonces:
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏 ∗
𝑀𝑅 ≈ 𝐵𝐶𝑗 ∗ (𝑟 − 𝑖)
𝑡=1
𝜎𝑡
𝜎0
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Por otra parte, una consecuencia que se deriva de lo anterior, es la base de capital que en
esos casos se puede estimar mediante un prorrateo del RCS global (𝑅𝐶𝑆𝑇0 ), respecto de
la desviación del plan i en el año cero, es decir, si se tiene una cartera con n líneas de
negocio (tipos de planes), entonces, la base de capital para el plan tipo i (𝐵𝐶𝑖 ), será:
−1
𝑛
𝐵𝐶𝑖 = 𝑅𝐶𝑆𝑇0 ∗ 𝜎𝑖
𝜎𝑘
𝑘=1
Asimismo, la duración quedaría dada como:
𝑛
𝑣𝑡
𝐷=
𝑡=1
∗
𝜏
𝑡𝑝𝑥
𝜎𝑡
∗
𝜎0
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Contenido
1.
Aspectos Generales sobre Margen de Riesgo
2.
La Problemática del Enfoque Actual
3.
Planteamiento de una Posible Solución
4.
Ejemplos y Conclusiones
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Ejemplo: Seguro Temporal
Seguro temporal 20, edad 60, plazo de pago de primas 20, suma asegurada $50,000.00
moneda nacional.
𝐵
𝑡𝑣𝑥
𝐴
𝑡𝑣𝑥
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Ejemplo: Seguro Temporal
Valor de 𝜎𝑡 .
𝜎𝑡 = 𝑡𝑣𝑥𝐵 − 𝑡𝑣𝑥𝐴
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Ejemplo: Seguro Temporal
Valor de
𝜎𝑡
𝜎0
𝜎𝑡
𝜎0
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El Concepto de Margen de Riesgo
Si se integra la probabilidad de persistencia de la póliza y el valor presente, entonces el
comportamiento de valor futuro para un peso el RCS (𝑅𝐶𝑆𝑡 ) sería:
𝑅𝐶𝑆𝑡 ≈ 1 ∗ 𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏 ∗
𝜎𝑡
𝜎0
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La duración para ese plan sería:
𝜏
𝑡 𝑝𝑥
1
0.71774
0.57078
0.47756
0.41202
0.36291
0.32446
0.29337
0.26760
0.24580
0.22704
0.21065
0.19613
0.18310
0.17127
0.16037
0.15021
0.14061
0.13140
0.12247
𝑣𝑡
1
0.95226
0.89823
0.84185
0.78560
0.73096
0.67877
0.62947
0.58322
0.54004
0.49985
0.46252
0.42790
0.39581
0.36610
0.33860
0.31316
0.28962
0.26784
0.24770
𝐹𝐷𝑡
1.00
1.02
1.03
1.05
1.07
1.08
1.10
1.11
1.12
1.13
1.13
1.12
1.10
1.07
1.01
0.92
0.79
0.60
0.35
-
𝑖
5.01%
5.01%
5.51%
5.91%
6.22%
6.47%
6.67%
6.84%
6.97%
7.09%
7.18%
7.26%
7.33%
7.39%
7.44%
7.49%
7.53%
7.56%
7.59%
7.62%
𝜏 𝑡
𝑡𝑝𝑥 *𝑣 *𝐹𝐷𝑡
1
0.6945
0.5293
0.4217
0.3449
0.2870
0.2418
0.2053
0.1753
0.1501
0.1285
0.1095
0.0927
0.0773
0.0632
0.0498
0.0370
0.0246
0.0123
-
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏 ∗
𝐷≈
𝑡=1
𝜎𝑡
= 4.6448
𝜎0
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Para un seguro ordinario de vida para una persona de la misma edad, y con la misma
suma asegurada, las reservas serían de:
𝐵
𝑡𝑣𝑥
𝐴
𝑡𝑣𝑥
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Valor de 𝜎𝑡 sería:
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Si se integra la probabilidad de persistencia de la póliza 𝑡𝑝𝑥𝜏 y el valor presente, entonces
la duración y el comportamiento de valor futuro, para un peso el RCS (𝑅𝐶𝑆𝑡 ) sería:
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏 ∗
𝐷≈
𝑡=1
𝜎𝑡
= 5.5821
𝜎0
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Si se calcula el mismo seguro ordinario de vida pero para una persona de edad 30,
entonces:
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏 ∗
𝐷≈
𝑡=1
𝜎𝑡
= 6.013
𝜎0
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Ejemplo de Prorrateo
−1
𝑛
𝐵𝐶𝑖 = 𝑅𝐶𝑆𝑇0 ∗ 𝜎𝑖
𝜎𝑘
𝑘=1
𝐴
𝑡 𝑣𝑥
Tipo de Seguro
Temporal
-$
29.12
Dotal
$ 29,993.23
Vitalicio
$
Total
$ 29,603.70
-360.41
𝜎𝑖
Edad
SAi
año póliza
t
$ 1,185.93 $ 1,215.05
40
$ 50,000.00
6
$ 30,124.28
40
$ 50,000.00
15
40
$ 50,000.00
11
𝐵
𝑡 𝑣𝑥
$ 131.05
2,031.11 $ 2,391.52
$ 33,341.32
$ 3,737.63
RCSTo
Base de
Capital (BCi)
$ 383.60
$ 1,180.00
$ 41.37
$ 755.02
$ 1,180.00
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Conclusiones:
1. El prorrateo del RCS tomando como base el BEL, podría originar imprecisiones en el
cálculo del margen de riesgo, una fórmula actuarialmente más adecuada sería:
−1
𝑛
𝐵𝐶𝑖 = 𝑅𝐶𝑆𝑇0 ∗ 𝜎𝑖
𝜎𝑘
𝑘=1
2. Aun cuando el BEL sea negativo el Margen de riesgo es siempre positivo.
3. La fórmula de margen de riesgo debe tomar en cuenta la forma en que se comportará la
varianza del riesgo en el futuro.
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏 ∗
𝑀𝑅 ≈ 𝑅𝐶𝑆0 ∗ (𝑟 − 𝑖)
𝑡=1
𝜎𝑡
𝜎0
4. La fórmula de duración debe incluir un factor adicional que corresponde a la forma que
variará el RCS en cada uno de los años futuros.
𝑛
𝑣 𝑡 ∗ 𝑡𝑝𝑥𝜏 ∗
𝐷=
𝑡=1
𝜎𝑡
𝜎0
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¿Preguntas?
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