Problemas resueltos vectores capitulo 3 fisica

PROBLEMAS RESUELTOS VECTORES
CAPITULO 3 FISICA TOMO 1
Cuarta, quinta y sexta edición
Raymond A. Serway
VECTORES
3.1 Sistemas de coordenadas
3.2 Cantidades vectoriales y escaleras
3.3 Algunas propiedades de vectores
3.4 Componentes de un vector y unidades vectoriales
Erving Quintero Gil
Ing. Electromecánico
Bucaramanga – Colombia
2010
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1
Problema 3.1 serway sexta edición. Problema 3.3 serway cuarta edición.
Las coordenadas polares de un punto son r = 5.5 m y θ = 240°. ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas de
este punto?
cos 240 =
X
X
=
r
5,5
X
X = 5,5 cos 240
Θ = 2400
X = 5,5 * (-0,5)
r = 5,5
X = - 2,75 metros
sen 240 =
Y
Y
Y
=
r
5,5
Y = 5,5 sen 240
Y = 5,5 * (-0,866)
Y = - 4,76 metros
Problema 3.2 serway cuarta edición
Si las coordenadas rectangulares y polares de un punto son (2,Y) y (r,300) respectivamente. Determine Y y r.
Coordenadas cartesianas (2, Y)
Coordenadas polares (r, 300)
Y Y
tg 30 =
=
X
2
Y = 2 * tg 30
Y = 2 * (0,5773)
Y
(2 , Y)
r
Θ = 300
X=2
Y = 1,15 metros
cos 30 =
r =
X 2
=
r
r
2
2
=
= 2,3 metros
cos 30 0,866
r = 2,3 metros
Problema 3.2 serway sexta edición
Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares (2.5 m, 300) y (3.8 m, 120°). Determine (a) las
coordenadas cartesianas de estos puntos y (b) la distancia entre ellos.
Y
Y
sen 30 = 1 = 1
r
2,5
Y1 = 2,5 sen 30
2
Y1 = 2,5 * 0,5
Y1 = 1,25 metros
Y1
X
X
cos 30 = 1 = 1
r
2,5
(X1, Y1)
r = 2,5
Θ = 300
X1 = 2,5 cos30
X1 = 2,5 * 0,866
X1 = 2,16 metros
sen 120 =
X1
(X1 , Y1) = (2.16 , 1.25) metros
Y2 Y2
=
r
3,8
(X2, Y2)
Y2 = 3,8 sen 120
Y2
r = 3,8
Y2 = 3,8 * 0,866
Y2 = 3,29 metros
cos 30 =
X2 X2
=
r
3,8
Θ = 1200
X2
X2 = 3,8 cos 120
X2 =3,8 * (-0,5)
X2 = - 1,9 metros
(X2 , Y2) = (-1.9 , 3.29) metros
ΔX = (X2 – X1 )= (-1.9 – 2.16)
ΔX = (- 4.06)
d
(X2, Y2)
ΔY = (Y2 – Y1 )= (3.29 – 1.25)
ΔY = (2.04)
d=
(ΔX )2 + (ΔY )2
d=
(− 4.06)2 + (2.04)2
(16.48) + (4.1616)
d=
d = 20,6416
Y1 = 1,25
X2 = -1,9
Y2 = 3,29
(X1, Y1)
X1 = 2,16
d = 4,54 metros
Problema 3.3 serway sexta edición
Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el
origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto
que tiene coordenadas (2, 1) m, (a) ¿qué tan lejos está de la esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su posición en
coordenadas polares?
3
r=
(X )2
+ (Y )2
r=
(2)2
+ (1)2
Y=1
r = 4 +1
r
r= 5
Θ
r = 2,23 m
tg θ =
(2, 1)
X=2
Y 1
= = 0,5
X 2
θ = arc tg 0,5
β = 26,560
Problema 3.4 serway sexta edición. Problema 3.1 serway cuarta edición.
Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas (2, -4) m y ( -3, 3) m. Determine (a) la distancia
entre estos puntos y (b) sus coordenadas polares.
(x1, y1) = (2, -4)
(x2, y2) = (-3, 3)
d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
(-3,3)
d2 = (-3 - 2)2 + (3 - [ - 4])2
d2 = (-5)2 + (3 + 4)2
d2 = (-5)2 + (7)2
d
d2 = (25) + (49)
d2 = (74)
(2,-4)
d = 8,6 m
r=
(X )2
+ (Y )2
r=
(2)2
+ (- 4 )2
θ
2
r = 4 + 16
β
r = 20
r
r = 4,47 m
Y -4
tg β =
=
=-2
X
2
-4
(2,-4)
β = arc tg -2
β = - 63,430
4
r2 = - 32 + (3)2
(-3,3)
r2 = 9 + 9
Y=3
r1
r2 = 18
β
r = 4,24 m
tg β =
θ1
X = -3
Y 3
= = -1
X 3
β = arc tg - 1
β = - 450
θ1 + β = 1800
θ1 = 1800 - 45
θ1 = 1350
Problema 3.8 serway sexta edición.
Un avion vuela 200 km rumbo al oeste desde la ciudad A hasta la ciudad B y después 300 km en la direccion
de 30 grados al noroeste de la ciudad B hasta la ciudad C.
a) En línea recta, que tan lejos esta la ciudad C de la ciudad A.
b) Respecto de la ciudad A en que dirección esta la ciudad C?
cos 30 =
BX
300
C
BX = 300 cos 30
B
BX = 300 * (0,866)
BX = 259,8 metros
B
B
RX = BX + 200
RX = 259,8 + 200
RX = 459,8 metros
C
sen 30 = Y
300
CY
R
300 km
300
β
B
BX
A
200 km
Est
CY = 300 sen 30
CY = 300 * 0,5
CY =150 metros
POR PITAGORAS
R2 = (CY)2 + (RX)2
R2 = (150)2 + (459,8)2
R2 = 22500 + 211416,04
R2 = 233916,04
R = 483,64 metros
5
tg β =
CY
150
=
= 0,326228
R X 459,8
Tg β = 0,326228
β = arc tg 0,326228
β = 18,060
La ciudad C esta a 483,64 km de la ciudad A. La ciudad C esta 18,06 grados al Nor-Oeste de la ciudad A.
Las coordenadas cartesianas de un punto del plano xy son (x,y) = (-3.5,-2.5) m, como se ve en la figura 3.3.
Hállense las coordenadas polares de este punto.
r=
(X )2
+ (Y )2
-3,5
θ
r = (- 3,5)2 + (- 2,5)2
β
r = 12,25 + 6,25
r
r = 4,3
tgβ =
y
- 2,5 m
=
= 0,714
x
- 3,5 m
-2,5
tg β = 0,714
β = arc tg 0,714
β = 35,520
θ = 180 + β
θ = 180 + 35,52
θ = 215,520
Problema 3.16 serway cuarta edición.
Un perro que busca un hueso camina 3,5 metros hacia el sur, después 8,2 metros en un ángulo de 300 al
Nor-Este y finalmente 15 metros al Oeste. Encuentre el vector de desplazamiento resultante del perro
utilizando técnicas graficas.
sen 30 =
BY
8,2
BY = 8,2 * sen 30
BY = 8,2 * 0,5
BY = 4,1 metros
15 metros
D
C
B
AY
B
B
3,5 + AY = BY
3,5 + AY = 4,1
AY = 4,1 – 3,5
AY = 0,6 metros
cos 30 =
BX
8,2
Oeste
R
β
A
3,5 metros
8,2 metros
BY
300
DX
B
BX = 8,2 * cos 30
B
6
BX = 8,2 * 0,5866
BX = 7,1 metros
B
B
15 = DX + BX
15 = DX + 7,1
15 – 7,1 = DX
DX = 7,9 metros
tgβ =
AY
0,6
=
= 7,5949 *10 - 2
Dx
7,9
tg β = 7,5949 * 10- 2
β = arc tg 7,5949 * 10- 2
β = 4,340
R=
(A Y )2
R=
(0,6)2
+ (D X )2
+ (7,9)2
R = 0,36 + 62,41
R = 62,77
R = 7,92 metros
7