Problemas 28-31 - Universidad Michoacana de San Nicolás de

Ejercicios: Mecánica Clásica (maestrı́a)
Olivier Sarbach
Instituto de Fı́sica y Matemáticas
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
2 de julio de 2013
Problema 28 (transformaciones canónicas)
(a) Demuestre que cualquier transformación (q, p) 7→ (Q, P ) de la forma
Qα (q),
Pα (q, p) =
f
X
∂qβ
pβ
∂Qα
β=1
es canónica.
(b) Consideramos una partı́cula en un campo magnético externo estacionario,
H(x, p) =
2
1 e
p − A(x) .
2m
c
Demuestre que una transformación de norma A(x) 7→ A(x)+∇χ(x) puede
ser compensada por una transformación canónica.
(c) En clase derivamos la siguiente familia de transformaciones canónicas
(q1 , q2 , p1 , p2 ) 7→ (Q1 , Q2 , P1 , P2 ),
P1
1
sen α p2 ,
β
1
= cos α q2 + sen α p1 ,
β
= −β sen α q2 + cos α p1 ,
P2
= −β sen α q1 + cos α p2 ,
Q1
Q2
=
cos α q1 +
donde α, β ∈ R (β 6= 0) son parámetros.
Verifique que (Q, P ) satisfacen las relaciones
{Qα , Qβ } = {Pα , Pβ } = 0,
1
{Pα , Qβ } = δαβ .
(1)
(2)
(3)
(4)
Problema 29 (corchete de Poisson)
(a) Demuestre que el corchete de Poisson satisface las siguientes propiedades:
(i) {F, G} = −{G, F }
(ii) {F + G, H} = {F, H} + {G, H}
(iii) {F G, H} = F {G, H} + {F, H}G (regla de Leibnitz)
(iv) {F, {G, H}} + {G, {H, F }} + {H, {F, G}} = 0 (identidad de Jacobi)
para todas las funciones F, G, H : Γ → R sobre el espacio fase.
(b) Demuestre que el corchete de Poisson es invariante bajo transformaciones
canónicas.
(c) Sean F, G : Γ → R dos constantes de movimiento. Demuestre que {F, G}
también es una constante de movimiento.
(d) Sea XF = −J∇F el campo vectorial Hamiltoniano asociado a F : Γ → R.
Demuestre la identidad
[XF , XG ] = XK ,
K = {F, G}.
Problema 30 (partı́cula en un campo magnético
homogéneo)
Consideramos una partı́cula de masa m y carga e que se mueve bajo la
influencia del potencial armónico V (x, y, z) = k(x2 + y 2 + z 2 )/2 y un campo
magnético uniforme descrito por el potencial vectorial A(x, y, z) = B0 (0, x, 0).
Escriba la función Hamiltoniana para el sistema y resuelva las ecuaciones
de movimiento aplicando la transformación canónica (1,2,3,4) con una elección
apropiada de α y β.
Problema 31 (ecuación de Hamilton-Jacobi)
Consideramos el problema de una partı́cula de masa m en un potencial
central V (r). En clase vimos que en coordenadas polares el sistema está descrito
por la función Hamiltoniana
H(r, ϑ, ϕ, pr , pϑ , pϕ ) =
p2ϕ
p2r
p2
+ V (r).
+ ϑ2 +
2m 2mr
2mr2 sen2 ϑ
Resuelva la ecuación de Hamilton-Jacobi mediante el ansatz de separación
S(r, ϑ, ϕ) = R(r) + Θ(ϑ) + Φ(ϕ),
sin suponer que la trayectoria esté confinada al plano equatorial ϑ = π/2.
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