Introducci]na las Subastas de M^ltiples Objetos

Introducción a las Subastas de Múltiples Objetos
Alvaro J. Riascos Villegas
Universidad de los Andes
Abril de 2010
Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de losIntroducción
Andes)
a las Subastas de Múltiples Objetos
Abril de 2010
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Ejemplos: Subastas de múltiples objetos
Consideramos subastas simultáneas de múltiples objetos del mismo
bien.
Suponemos que no hay complementaridades entre los objetos: La
valoración marginal de ganar un segundo objeto es menor que la del
primer objeto.
Vamos a considerar los tres formatos más importantes para subastar
K objetos idénticos: discriminatoria, Vickrey y uniforme.
Cada jugador debe mandar K ofertas bki que satisfacen
b1i
b2i
... bKi .
bji es la disponibilidad de i a pagar por la j ésima unidad.
Sea B i el conjunto de todas las ofertas válidas de i. B i
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RK+ .
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Ejemplos: Subastas de múltiples objetos
KI
Sea c : RKI
+ ! R+ el vector ordenado (de mayor a menor) de las
I K ofertas.
K (I 1 )
Sea c i : RKI
el vector de K (I
+ ! R+
ordenado (de mayor a menor) que enfrenta i.
1) de ofertas
ck i es la k-ésima oferta más alta que enfrenta i.
Regla de asignación: Si i tiene exactamente k K de la K ofertas
más altas (entonces se le asigan k objetos), es decir si bki > cK i k +1
and bki +1 < cK i k , y de…nimos:
q i (b ) =
donde q i bji
q i b1i , ..., q i bki , ...q i bKi
= 1 8j
k de lo contrario q i bji = 0
En caso de empate por una unidad, se asigna con la misma
probabilidad a los agentes que empatan.
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Ejemplos: Subastas de múltiples objetos
Esta estrutura es común a los tres tipos de subastas que vamos a
considerar.
La diferencia entre ellas se debe a la regla de asignación (en particular,
la componente que determina el pago esperado de cada agente).
En la subasta dsicriminatoria si el agente i gana exactamente k i
ki
unidades entonces paga,
∑ bki .
k =1
Obsérvese que cuando K = 1 es la subasta al primer precio.
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Ejemplos: Subastas de múltiples objetos
En la subasta uniforme todas las unidades son vendidas al precio que
agota la oferta y la demanda (precio de equilibrio).
Suponemos que este precio es el más alto perdedor
Puesto que i gana exactamente k i > 0 unidades si y sólo si:
bki i > cK i
k i +1
y bki i +1 < cK i
Entonces la oferta más alta perdedora es:
n
p (b ) = max bki i +1 , bK i
k i +1
ki
o
Luego cada agente paga por cada unidad ganada p (b )k i .
Obsérvese que cuando K = 1 ésta se reduce al a subasta al segundo
precio. Sin embargo NO es una generalización apropiada a múltiples
unidades.
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Ejemplos: Subastas de múltiples objetos
En la subasta de Vickrey i gana exactamente k i > 0 unidades si y
sólo si:
bki i > cK i k i +1 y bki i +1 < cK i k i
y paga por la k ésima unidad cK i
k i +k
.
Luego su pago total es:
ki
∑ cK i k + k
i
k =1
La subasta de Vickrey es la generalización apropiada de la subasta al
segundo precio.
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Ejemplos: Subastas de múltiples objetos
Example
Supongamos que K = 6 y tenemos 3 agentes participando. Supongamos
que las ofertas son:
b 1 = (50, 47, 40, 32, 15, 5)
b 2 = (42, 28, 20, 12, 7, 3)
b 3 = (45, 35, 24, 14, 9, 6)
Denotamos por c el vector ordenado de mayor a menor de todas las
ofertas:
c = (50, 47, 45, 42, 40, 35, 32, ...)
1
1
3
2
1
3
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Ejemplos: Subastas de múltiples objetos
Example
Ofertas y ordenamiento:
b 1 = (50, 47, 40, 32, 15, 5)
b 2 = (42, 28, 20, 12, 7, 3)
b 3 = (45, 35, 24, 14, 9, 6)
c
= (50, 47, 45, 42, 40, 35, 32, ...)
1
1
3
2
1
3
Las seis más altas son las ganadoras. Por lo tanto el agente 1 gana 3
unidades, el agente 2 gana 1 unidad y el agente 3 gana 2 unidades. El
precio de cierre es 32 (el más alto perdedor).
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Ejemplos: Subastas de múltiples objetos
Otra forma de determinar el precio de cierre es utilizando la oferta
residual que enfrenta el agente i,
(
)
s
i
(p ) = max K
∑ d j (p ), 0
j 6 =i
El precio de cierre (el más alto perdedor) se puede de…nir como el
más alto tal que:
s i (p ) < d i (p )
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Ejemplos: Subastas de múltiples objetos
Grá…camente:
Oferta residual
.
p
. .
.
. .
0
1
2
3
Precios de cierre
.
Más alto perdedor
.
4
K
Demanda de unidades
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El agente gana exactamente k i unidades cuando:
bki i
> cK i
bki i +1
i
< cK
k i +1
ki
Cuando
bki i = cK i
k i +1
hay empate entre dos agentes por las últimas unidades. El precio de
corte se puede escribir como:
n
o
p = max bki i +1 , cK i k i +1 = max bki i +1
i
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Ejemplos: Subastas de múltiples objetos
Example
En el ejemplo anterior:
c3
1
= 35, c4
1
= 28
y el agente 1 gana exactamente 3 unidades porque:
b3 1 = 40 > c4
b4
1
= 32 < c3
1
1
= 28
= 35
y el precio de cierre es:
p = max b41 , c4
1
= max f32, 28g = 32
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Example
El pago en la subasta de Vickrey para el agente i es:
c6 i + c5 i + c4 i = b32 + b33 + b22
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En la subasta de Vickrey es un equilibrio en estrategias dominantes
(débil) revelar la verdadera valoración, b V (x ) = x.
En particular, la subasta de Vickrey asigna de forma e…ciente.
Sin embargo, puede resultar en asignaciones "injustas". Supongamos
que K = 2, x 1 = (10, 6), x 2 = (9, 2). En este caso, cada agente se
lleva una unidad.
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