2.3 Modelos constitutivos

XVII Reunión Nacional de Profesores de
Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica
Sociedad Mexicana de
Ingeniería Geotécnica, A.C.
Noviembre 14, 2012 – Cancún, Quintana Roo
ANÁLISIS NUMERICO Y LA IMPORTANCIA DE LOS MODELOS
CONSTITUTIVOS
Numerical analysis and the importance of constitutive models
Dennis Waterman 1, Alfonso Álvarez Manilla A 2
1 Plaxis,
2
BV
Geo Ingenieria Alfven, SA de CV
RESUMEN: Durante los últimos 20 años el uso de herramientas numéricas en la ingeniería geotecnia ha crecido
rápidamente. En algunos casos la herramienta numérica no es más que un método empírico, pero simplemente es más
rápido;o otras herramientas numéricas realmente usan métodos con conceptos diferentes de estos métodos empíricos.
Una de las mayores diferencias entre métodos empíricos y métodos numéricos como los indicados arriba son las
presuposiciones implícitas. Los métodos empíricos generalmente usan presuposiciones implícitas muy específicas
limitando el método a tipos de problemas específicos en que los métodos numéricos usan presuposiciones más
generales que no restringen tanto el uso a tipos específicos de problemas, como a tipos de suelos específicos, por
ejemplo. En este artículo se explican las diferencias de concepto entre métodos empíricos y numéricos así como la
importancia de seleccionar el modelo constitutivo adecuado pues para métodos numéricos el modelo constitutivo
determina la calidad de los resultados. Por medio de problemas típicos de ingeniería se presenta la influencia del
modelo constitutivo sobre los desplazamientos y fuerzas estructurales calculadas. Puede verse que la selección
incorrecta del modelo constitutivo podría dar resultados contradiciendo a lo que se esperaría mientras que el uso del
modelo constitutivo adecuado puede dar predicciones precisas de los desplazamientos.
ABSTRACT: During the last 20 years the use of numerical tools in geotechnical engineering has increased rapidly. In
some cases the numerical tool is not much more than an empirical method but simply much faster while other numerical
tools really use different concepts compared to empirical methods. One of the major differences between empirical
methods and numerical methods as indicated above are the implicit assumptions. Empirical methods generally use very
specific implicit assumptions limiting the method to specific problems where numerical methods use more general
assumptions that not so much limit the use to specific types of problems, but to for instance specific types of soil. In this
article the differences in concept between empirical and numerical methods is explained as well as the importance of
selecting the appropriate constitutive model as for numerical models the constitutive model determines, among others,
the quality of the results. By means of typical engineering problems the influence of the constitutive model on calculated
displacements and structural forces is shown. It can be seen that an incorrect selection of constitutive model may lead to
results contradicting ones expectation while the choice of an appropriate constitutive model may give a correct prediction
of the displacements.
1 INTRODUCCIÓN
1.1 Background
Durante los últimos 20 años el uso de herramientas
numéricas en la ingeniería geotecnia ha aumentado
rápidamente. En algunos casos la herramienta
numérica no es más que el método empírico pero
simplemente más rápido, pero otras herramientas
numéricas realmente usan métodos con conceptos
diferentes de estos métodos empíricos que se usa
normalmente para cálculos a mano. Esto incluye, por
ejemplo, el Método de Diferencias Finitas (MDF) y el
Método de Elementos Finitos (MEF). El usuario de
estos tipos de herramientas debería estar consciente
tanto de esta diferencia de concepto como de las
decisiones resultantes que tiene que tomar.
Básicamente, usar métodos numéricos avanzados
requiere una manera diferente de pensar sobre
problemas geotécnicos.
Una de las mayores diferencias entre métodos
empíricos y métodos numéricos, como se indicó
antes son las presuposiciones implícitas. Los
métodos
empíricos
usan
generalmente
presuposiciones implícitas muy específicas limitando
el método a tipos de problemas específicos en que
métodos numéricos usan presuposiciones más
generales que limitan tanto el uso a tipos de
problemas específicos, como a tipos específicos de
suelos, por ejemplo. Por ejemplo, si queremos
obtener el sistema de falla potencial para una
cimentación, un terraplén y una excavación,
necesitamos
diferentes
tipos
de
métodos
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
2
Análisis numérico y la importancia de los modelos constitutivos
empíricos: para la falla de una cimentación se usa un
método empírico que supone un superficie de falla
como la de Prandtl o Terzaghi, para falla de taludes
se necesita un método empírico que supone un
superficie de falla circular y para la falla de una
excavación se podría confiar en una falla de la zona
activa. En todos los casos hay una presuposición
“a-priori” de la forma de la superficie de falla. Los
métodos numéricos avanzados, por otra parte, no
tienen tal forma de presuposiciones; la forma de la
superficie de falla es en realidad un resultado del
cálculo y depende tanto de la geometría del
problema como del comportamiento del suelo.
Entonces, la decisión a tomar es como se modela el
suelo.
1.2 Presuposiciones y validación
Una pregunta usual de nuevos usuarios de software
de MEF que quieren calcular una carga sobre una
cimentación, es saber la cantidad de distribución
lateral que el programa toma en cuenta. Unas veces
es difícil explicar que tal forma de presuposición
sobre distribución lateral simplemente no existe en
programas de MEF o MDF mientras que la
distribución lateral es un resultado del cálculo en
base de, entre otras cosas, las propiedades del
suelo. Desde el punto de vista de un método
empírico la pregunta del usuario tiene sentido
perfectamente por que dicho tipo de método necesita
una presuposición del grado de distribución lateral
para determinar el nivel de esfuerzo como función de
la profundidad y por tanto el asentamiento de la
cimentación.
Para casos como indicados arriba las
presuposiciones necesarias en métodos empíricos
están bien documentadas y se pueden tomar en
cuenta fácilmente. No obstante, hay adicionalmente
un gran conjunto de presuposiciones en la teoría
fundamental que se tornan importantes al validar la
herramienta numérica con una solución analítica.
Desgraciadamente estas presuposiciones no son
ampliamente
conocidas
y
esto
resulta,
frecuentemente en un uso incorrecto de la
herramienta numérica para compararla con una
solución analítica y por eso se llega a la conclusión
incorrecta de que la herramienta numérica no
funciona bien.
Un ensayo popular de validación que muchos
ingenieros hacen directamente en programas de
Elementos Finitos es un sencillo ensayo 1D de
consolidación y comparar los resultados con la
solución analítica de Terzaghi. Muchas veces tal
comparación da diferencias significantes entre los
resultados del programa MEF y la solución analítica
de Terzaghi simplemente por que no se aplican las
limitaciones de la solución de Terzaghi de una
manera correcta en el modelo numérico. En breve, la
solución analítica de Terzaghi sólo es válida para
suelos lineal elásticos en un estado de esfuerzo
isotrópico y saturado en carga de compresión 1Dimensional. Significa que el modelo numérico
necesita un material lineal elástico sin peso de suelo
y agua para obtener un estado de esfuerzo
isotrópico, y, no menos importante sin Relación de
Poisson para crear un modelo
1dimensional. Si no se desempeña una de estas
condiciones el modelo numérico no va a dar los
mismos resultados que la solución analítica de
Terzaghi.
1.3 Modelos constitutivos
Como se indicó anteriormente, los métodos
empíricos se usan generalmente para tipos de
problemas muy específicos. Significa que el suelo
mismo se puede especificar con solo estos
parámetros que son importantes para este tipo de
problema especifico, por lo tanto, con sólo una
rigidez o solamente la cohesión y ángulo de fricción.
Adicionalmente, normalmente se presupone la
rigidez elástica y constante.
Por otra parte, solo un método numérico avanzado
se podría usar para una variación grande de
problemas y este solo puede dar resultados
plausibles si el comportamiento del suelo esta
modelado tan exacto como sea posible.
En consecuencia, para métodos numéricos el
modelo del suelo es una de las partes
fundamentales para resolver problemas geotécnicos.
Desafortunadamente el comportamiento del suelo es
muy complejo y no se le representa tan fácilmente
con un solo modelo numérico. Una investigación
pequeña de comportamiento de suelo nos enseña
que hay comportamiento diferente dependiendo del
tipo de suelo (arena, arcilla, turba), del tipo de carga
(carga primaria, descarga, recarga) y también de la
dirección de la carga (compresión, carga de corte,
carga cíclica). Además hay comportamiento
adicional como el de la dilatancia, comportamiento
no drenado y anisotropía así como comportamiento
más especial como suelos estructurados, ruptura de
granos y licuación. No debe sorprender que sea
virtualmente imposible encontrar todos estos
diferentes comportamientos en un solo modelo
matemático para suelo. Esto implica que en realidad
hay una variación grande de modelos matemáticos
para suelo, cada uno para suelos o comportamientos
muy específicos. Una herramienta numérica tiene
una cierta cantidad de estos modelos disponibles,
entonces la primera tarea de un usuario de esto tipo
de herramientas numéricas es determinar cual
modelo disponible tiene que usar para su problema
geotécnico. La selección depende en gran parte del
tipo de suelo y del tipo de carga esperado. Esto
automáticamente significa que para un proyecto
geotécnico con varias capas de suelo se podrían
necesitar diferentes modelos matemáticos para
modelar las capas.
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WATERMAN D. et al.
¿Cómo seleccionamos el modelo adecuado para
nuestro suelo? Para responder esta pregunta
tenemos primero que preguntarnos que tipo de
resultado queremos encontrar con nuestra análisis
numérico. La selección del modelo es más fácil si
estamos solo interesados en una manera de falla
(carga de falla, factor de seguridad), especialmente
si tenemos suelos drenados como arenas
comparado con querer obtener una predicción
precisa de deformaciones en suelos no drenados.
Si solo vamos a considerar falla y deformaciones
un modelo numérico bastante sencillo puede ser
suficiente. Los suelos fallan alcanzando un nivel
máximo de resistencia cortante y el comportamiento
de este es bien conocido. La mayoría de los modelos
supone un tipo de resistencia inicial a un nivel de
esfuerzo de cero (cohesión) combinado con un
incremento lineal de la resistencia cortante con
incremento de esfuerzo de compresión definido
usando lo que se conoce como el ángulo de fricción.
Este funciona bien para la mayoría de los suelos. El
nivel de falla para diferentes estados de esfuerzo
cortante no es constante y hay unos modelos que
reflejan este comportamiento, por ejemplo MohrCoulomb, Lade y Matsuoka-Nakai. Estos modelos
tienen en común que la predicción de la resistencia
cortante para condiciones de compresión triaxial es
la misma, y para los primeros dos modelos es
también la misma en condiciones de tensión triaxial,
pero son un poco diferentes para condiciones de
deformación plana. El modelo Mohr-Coulomb es el
más conservador en la predicción de la resistencia
cortante para deformación plana y quizás por eso es
el más usado. Modelos de tipo Cam-Clay, al otro
lado, tienen tradicionalmente una resistencia cortante
constante con variación de las condiciones
deviatóricas y por eso son menos adecuados para
modelar falla en deformación plana. Resumiendo, se
puede decir que cualquier modelo que usa MohrCoulomb o un criterio de falla similar es
generalmente adecuado para una predicción de falla
de suelo.
No obstante, si estamos interesados en
desplazamientos o si se trata de comportamiento no
drenado el comportamiento del suelo antes de la
falla es muy importante. En este caso la selección
del modelo depende considerablemente del tipo de
suelo y el tipo de carga prevista que va a ocurrir
durante la construcción del proyecto geotécnico
Para modelar adecuadamente las deformaciones
del suelo se debe comprender que en casi ninguna
circunstancia el suelo tiene comportamiento elástico
y por eso el modelo constitutivo seleccionado para
representar el suelo no podría ser un modelo
elástico, o por lo menos no para el tipo de carga que
es importante en nuestro proyecto. Se puede aceptar
un modelo constitutivo que tiene comportamiento
elástico para tipos de carga que no son importantes
en nuestro proyecto. Por ejemplo, el modelo CamClay Modificado es un modelo constitutivo con
3
comportamiento elásto-plástico con carga de
compresión para la primera carga (carga primaria),
pero con comportamiento elástico para carga
cortante, descarga y recarga. Entonces, modelar la
construcción de un terraplén, que es un problema de
carga de compresión primaria, se puede hacer bien
con el modelo Cam-Clay Modificado. Por otra parte,
la construcción de una excavación es a la vez un
problema de carga de tipo cortante y de descarga
para qué el modelo Cam-Clay Modificado no es
adecuado por que el comportamiento es
completamente elástico.
Un segundo elemento importante para obtener
deformaciones de suelo adecuadas es el principio
que la rigidez de suelo no es constante, pero
depende de diferentes factores. Generalmente,
depende del nivel de esfuerzo y adicionalmente
depende también del nivel de deformación si las
deformaciones son muy pequeñas o muy grandes.
Además, la rigidez depende del tipo de carga.
Entonces, independiente del tipo de suelo que se
quiere modelar, una rigidez aparte para diferentes
condiciones de carga, rigidez dependiente del
esfuerzo y, si es posible, rigidez alta para
deformaciones pequeñas incrementa notablemente
la calidad de la predicción de las deformaciones y
desplazamientos.
2 CASOS PRACTICOS
Para el análisis de la influencia de la selección del
modelo constitutivo se comparan los resultados de 3
problemas típicos de ingeniería: una excavación, un
túnel y un terraplén. Adicionalmente, se considera
cada problema para una arena típica y un arcilla
típica. Finalmente, para el problema de túnel, se
considera tanto un túnel profundo como un túnel
poco profundo.
2.1 Descripción del problema
2.1.1 Excavación
Se modela una excavación de 15m de profundidad y
30m de ancho como modelo de deformación plana
en 2D. El soporte de la excavación es una pantalla
de 25m de longitud con dos anclajes conectados a
5m y 10m profundidad respectivamente. Ambos
anclajes tienen una pre-tensión durante la
instalación. El orden de construcción por etapas es:
 Construcción de la pantalla
 Excavación de los primeros 5m
 Instalación del primero anclaje
 Excavación de los siguientes 5m
 Instalación del segundo anclaje
 Excavación de los últimos 5m.
El modelo se extiende hasta una profundidad de
4D debajo del fondo de la excavación, donde D es la
profundidad del la excavación (Meiβner, 2002 y
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
4
Análisis numérico y la importancia de los modelos constitutivos
Schweiger, 2002). El ancho se extiende por lo menos
3D más allá de los anclajes (Bakker, 2009).
2.1.2 Túnel
Un túnel con diámetro de 6m es construido con
escudo. La construcción por etapas se simplificó
mucho. El pasaje del TBM y la instalación del
revestimiento no se modela en fases separadas
como una etapa de construcción. Adicionalmente, la
reducción de volumen que resulta de la conicidad del
TBM y la inyección de lechada se modela como una
reducción de la sección transversal del túnel de 2%.
Esto resulta en la siguiente construcción por etapas:
 Excavación del túnel e instalación del
revestimiento.
 Aplicación de una contracción de 2% de la
sección transversal del túnel.
Debajo del túnel el modelo se extiende otros 3D
metros, donde D es el diámetro del túnel. Se
considera que el 2D inferior tiene una rigidez de
deformación pequeña según la recomendación de
Ruse (2003) y Brinkgreve (2006). El ancho del
modelo es 100m para evitar influencia del contorno.
2.1.3 Terraplén
Un terraplén de 10m de altura con una inclinación de
1:3 se construye en 5 capas de 2m. Como en la
comparación presentada en esta publicación se
considera el comportamiento del subsuelo, se
modela el terraplén como un material Mohr-Coulomb
para todos los cálculos. Para evitar la influencia de
los contornos el ancho se debe extender 2W más
allá la pie del terraplén, donde W es el ancho del
terraplén (Vermeer, 2010). La profundidad del
modelo se estableció a 2W también donde la ultima
W/2 se asumen que tiene una rigidez de
deformación pequeña (Brinkgreve, 2006).
2.2 Parámetros de suelo
Ambos, la arena y la arcilla tienen parámetros
representativos de rigidez y de resistencia en base
de ensayos odométricos y triaxial. La determinación
exacta de los parámetros directamente de los
ensayos queda fuera de esta publicación y
simplemente los valores se presentan aquí.
Parámetros adicionales obtenidos de correlaciones
se explican a continuación.
Se determinaron los parámetros de resistencia
directamente de los resultados de ensayos triaxial
disponibles que se pueden encontrar en tabla 1.
Tabla
1. Parámetros de resistencia de la arena y la arcilla.
_____________________________________________________
Parámetro
Material
Unidad
Arena
Arcilla
_____________________________________________________
Cohesión
1
1
kN/m2
Ángulo de fricción
35
22
°
Ángulo
de dilatancia
5
0
°
_____________________________________________________
Los parámetros de rigidez usados para todos los
modelos constitutivos son en base de la rigidez
triaxial de carga primaria E50, la rigidez odométrica
de carga primaria Eoed y la rigidez de
descarga/recarga de un ensayo triaxial Eur. Las tres
rigideces se usan como dependientes del esfuerzo
en base de la ley de potencia introducida por Janbu
(1963) y presentada en la ecuación 1.
E50  E
ref
50
Eoed  E
Eur  E
 
 3 
 pref 
ref
oed
ref
ur
m
  
 1 
 pref 
 
 3 
 pref 
m
(1)
m
con σ1, σ3 = esfuerzo principal mayor y menor, pref =
esfuerzo de referencia y m = potencia de la rigidez
dependiente del esfuerzo.
El parámetro m es un parámetro del material que
típicamente es 0.5 para arenas (Janbu, 1963) y 1.0
para arcillas (von Soos, 1990). El esfuerzo de
referencia se seleccionó arbitrariamente como 100
kPa de compresión. Adicionalmente, ecuación (2) da
relaciones típicas para las rigideces.
ref
ref
E50
 Eoed
ref
Eurref  3Eoed
(2)
E0ref  3Eurref
Ecuación (3) da relaciones similares para arcilla
blanda
ref
ref
E50
 2Eoed
ref
Eurref  6Eoed
(3)
E0ref  8Eurref
donde E0ref es la rigidez de deformación pequeña
(rigidez del campo lejano) usando la relación por
Alpan (1970). Al combinar los resultados de los
ensayos del laboratorio y las relaciones de las
ecuaciones (2) y (3) se determinó parámetros de
rigidez para la arcilla y la arena como se puede ver
en tabla 2.
Tabla 2. Parámetros de rigidez de la arena y la arcilla para
un
nivel de esfuerzo de referencia de pref = 100 kN/m2.
_____________________________________________________
Parámetro
Símbolo
Material
Unidad
Arena Arcilla
_____________________________________________________
Rigidez triaxial
E50
20.000 2.600 kN/m2
Rigidez odométrica
Eoed
20.000 1.725 kN/m2
Rigidez descarga/recarga
Eur
80.000 10.000 kN/m2
Rigidez deformación pequeña E0
200.000 80.000 kN/m2
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WATERMAN D. et al.
_____________________________________________________
2.3 Modelos constitutivos
Para comparar resultados de diferentes modelos
constitutivos se tomó en cuenta los siguientes
modelos:
 LE : Modelo lineal elástico
 MC: Modelo lineal elástico-perfectamente
plástico.
 SS: Modelo con endurecimiento de
compresión
 HS: Modelo con ambos endurecimiento de
compresión y de corte.
 HSS: Modelo con ambos endurecimiento de
compresión y de corte y rigidez de
deformación pequeña.
2.3.1 LE
Modelo según la ley de Hooke con una sola
rigidez constante.
2.3.2 MC
Modelo según la ley de Hooke con una sola
rigidez constante y una resistencia definida por el
criterio de falla de Mohr-Coulomb.
2.3.3 SS
Un modelo de tipo Cam-Clay con un criterio
adicional de falla de Mohr-Coulomb. La rigidez tiene
una dependencia de rigidez lineal fija, entonces
m=1.0 en ecuación (1).
Este modelo se usa típicamente para arcillas
normalmente consolidadas.
2.3.4 HS
Un modelo en base del modelo Cam-Clay con
endurecimiento adicional de corte según Duncan y
Chang (1970) y el criterio de falla de Mohr-Coulomb.
La rigidez depende del nivel de esfuerzo como en la
ecuación (1).
2.3.5 HSS
Un modelo similar al modelo HS pero con rigidez
adicional de deformación pequeña (Benz, 2006).
2.4 Modelos geométricas
Para comparar diferentes modelos constitutivos es
necesario reducir cada diferencia entre ellos tanto
como sea posible. Por eso es necesario de ajustar
para algunos modelos constititutivos tanto los
parámetros como la geometría.
2.4.1 La rigidez de modelos con una sola rigidez
Los modelos SS, HS y HSS hacen diferencia entre
comportamiento de cargar por primera vez (carga
primaria) y descarga/recarga, siendo esta ultima
considerablemente más rígida. Los modelos mismos
determinan cuando una condición de carga es carga
por primera vez o descarga/recarga y selecciona la
5
rigidez adecuada. Por otra parte, ambos modelos LE
y MC tienen una sola rigidez para todas las
condiciones de carga.
Para el caso práctico de la excavación y el túnel,
ambos casos típicos de descarga, la rigidez de los
modelos LE y MC se tomó de la rigidez de descarga
y recarga Eur. Para el terraplén, típicamente un
problema de compresión primaria, la rigidez de los
modelos LE y MC se tomó de la rigidez odométrica
Eoed.
2.4.2 Estratigrafía
Los modelos SS, HS y HSS tiene como parte del
modelo una rigidez dependiente del esfuerzo
mientras que los modelos LE y MC usan una rigidez
constante. Por eso, para los modelos LE y MC el
subsuelo está dividido en diferentes capas para usar
una rigidez más grande para el suelo a una
profundidad más grande. Cada capa de suelo tiene
su propia rigidez constante calculada con ecuación
(1) usando el esfuerzo inicial promedio y el valor de
m adecuado para la arcilla o la arena.
2.4.3 Rigidez de deformación pequeña
El modelo HSS toma automáticamente en cuenta
una rigidez más alta para niveles de deformación
pequeños. Para tomar en cuenta el efecto de la
rigidez de deformación pequeña con los otros
modelos constitutivos se introduce una capa
profunda de suelo con una rigidez alta en base de E0
cómo se especifica en la tabla 2.
2.4.4 Compatibilidad de parámetros
Como se menciona arriba, se pueden determinar
los parámetros de los modelos LE y MC de una
manera sencilla. No obstante, el modelo SS usa
parámetros del tipo Cam-clay: el índice modificado
de compresión * y el índice modificado de
expansión κ*. Estos parámetros se calcularon con
los parámetros de rigidez de la tabla 2 usando las
instrucciones de Brinkgreve et al. (2012), ve
ecuación (4).
* 
pref
ref
Eoed
2p
 *  refref
Eur
(4)
Con pref = 100 kN/m2. Para la capa profunda con
rigidez de deformación pequeña explicada en párrafo
2.3.3 se calculó el índice modificado de expansión en
base de E0 en lugar de Eur.
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6
Análisis numérico y la importancia de los modelos constitutivos
3 RESULTADOS
-300
Horizontal wall deflection [mm]
-200
-150
-100
-250
-50
0
0
3.1 Excavación
-5
-15
LE
MC
SS
HS
HSS
Depth [m]
-10
-20
-25
-30
-2500
-2000
Bending moment [kNm/m]
-1500
-1000
-500
0
500
1000
0
-5
-10
-15
Depth [m]
La figura 1 presenta el efecto de usar diferentes
modelos constitutivos con respecto a los
asentamientos atrás de la pantalla para la
excavación en arcilla. Se puede ver que los dos
modelos elásticos (LE y MC) resultan en una
elevación (parcial) atrás la pantalla que no es
razonable. Los modelos con comportamiento elastoplástico, por otra parte, pronostican bastantes
asentamientos.
De casos prácticos es conocido que a una
distancia de 2.5 a 3 veces la profundidad de la
excavación los asentamientos superficiales son
insignificantes. Para la excavación de 15m de
profundidad de esto caso práctico implica que a una
distancia de 35-45m de la pantalla los asentamientos
deberían ser pequeños. La figura 1 presenta que
para el modelo HSS los asentamientos a esta
distancia se reducen a menos que 10% del
asentamiento máximo directamente al lado de la
pantalla, pero los modelos HS y SS aún pronostican
asentamientos de 15-20% del valor máximo.
-20
LE
MC
SS
HS
HSS
-25
-30
Figura 2. Deformación de la pantalla (arriba) y momentos
flexionantes (abajo) para una excavación en arcilla,
calculado con diferentes modelos constitutivos.
40.00
Vertical displacement [mm]
20.00
0.00
-20.00
0
10
20
30
40
50
-40.00
-60.00
LE
MC
SS
HS
HSS
-80.00
-100.00
-120.00
Se obtuvo resultados similares para la excavación
en arena. La figura 3 presenta los asentamientos
atrás la pantalla para diferentes modelos
constitutivos.
20
LE
MC
HS
HSS
15
-160.00
Distance from wall [m]
Figura 1. Asentamiento atrás la pantalla para una
excavación en arcilla calculada con diferente modelos
constitutivos.
La figura 2 presenta el comportamiento de la
pantalla. De nuevo es visible que hay una gran
diferencia entre los resultados de los modelos
elásticos y los modelos elasto-plásticos con respecto
a la deformación de la pantalla. Lo más notorio para
el momento flexionante es que los modelos elastoplásticos pronostican un momento flexionante interior
más grande, pero solo un momento flexionante
menor al pie comparado de los modelos MC y SS.
Entonces, los modelos HS y HSS consideran que el
pie de la pantalla tiene una rotación libre pero los
modelos MC y SS consideran el pie como fijo. El
modelo LE es una excepción por que no pronostica
mucha deformación flexionante pero mueve la
pantalla como una traslación rígida.
Vertical displacement [mm]
-140.00
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-5
-10
-15
Distance from wall [m]
Figura 3. Asentamientos atrás la pantalla para una
excavación en arena calculado con diferentes modelos
constitutivos.
La figura 3 muestra que para la excavación en arena
ambos modelos LE y MC pronostican una elevación
del suelo. De manera similar a la excavación en
arcilla; también para la excavación en arena los
modelos HS y HSS dan una concavidad de
asentamiento donde el modelo HSS pronostica una
concavidad pero más estrecha y más razonable que
el modelo HS.
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WATERMAN D. et al.
-25
Horizontal wall deflection [mm]
-15
-10
-5
0
-20
5
0
10
0
10
-5
-10
Horz. distance from tunnel axis [m]
10
15
20
5
25
7
30
-15
LE
MC
HS
HSS
Depth [m]
-10
-20
Surface settlement [mm]
0
-20
LE
MC
SS
HS
HSS
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-25
-90
-100
-30
-500
-400
200
300
400
0
Figura 5: Asentamientos de terreno de un túnel poco
profundo en arcilla, calculado con diferentes modelos
constitutivos.
-5
-15
LE
MC
HS
HSS
Depth [m]
-10
-20
-25
-30
Figura 4. Deformación de la pantalla (arriba) y momentos
flexionantes (abajo) para una excavación en arena,
calculado con diferentes modelos constitutivos.
La figura 4 presenta los desplazamientos
horizontales y momentos flexionante de la pantalla.
Se puede ver que usando el modelo LE la pantalla
se mueve a fuera en lugar de a dentro, entonces la
excavación realmente ensancha. Este pronóstico
obviamente incorrecto también se puede obtener con
el modelo MC, pero generalmente para suelos más
densos y más rígidos que el que se usó en este caso
práctico. Respecto de los momentos flexionante de
la pantalla se puede observar que, similar a la
excavación en arcilla, los momentos flexionante
interiores son más pequeños para los modelos
elasto-plásticos que para los modelos elásticos. El
modelo LE da un momento flexionante de fijación al
pie de la pantalla que es el contrario de los
momentos flexionantes pronosticados con los
modelos HS y HSS. El momento flexionante
pronosticado con el modelo MC es muy pequeño.
3.2 Túnel
Además de la variación del tipo de suelo, arena o
arcilla, el caso práctico del túnel también tiene
variación de la profundidad del túnel. La profundidad
del túnel se mide de la clave del túnel y se varió de
0,5 y 5 veces el diámetro del túnel.
La figura 5 presenta los asentamientos
superficiales para diferentes modelos constitutivos
de un túnel a poca profundidad en arcilla.
Los asentamientos arriba del túnel no son tan
diferentes para los diferentes modelos constitutivos y
las cubetas de asentamiento tienen más o menos la
misma forma. El modelo LE tiene poco menos
asentamiento que los otros modelos y la cubeta que
resulta del modelo MC es un poco más inclinada.
No obstante, la figura 6 presenta los
asentamientos para el túnel profundo (la clave del
túnel es 5 veces el diámetro del túnel debajo el
superficie de terreno) y aquí hay una diferencia más
grande entre los resultados de los diferentes
modelos constitutivos. Es interesante que los
resultados del modelo más avanzado (HSS) en esta
investigación quedan bien los resultados de los
modelos elásticos sencillos, mientras los modelos
SS y HS pronostican cubetas bastante más
profundas y anchas. Este asentamiento más grande
resulta de la plasticidad adicional en estos modelos y
parece que la plasticidad a causa de la compresión
del suelo es considerablemente más grande que la
plasticidad de corte del suelo. No obstante, el
modelo HSS incluye rigidez de deformación pequeña
y este reduce el efecto de la plasticidad adicional con
referencia a los asentamientos.
0
10
Horz. distance from tunnel axis [m]
20
30
40
50
10
0
Surface settlement [mm]
-600
Bending moment [kNm/m]
-300
-200
-100
0
100
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
LE
MC
SS
HS
HSS
-90
-100
Figura 6: Asentamientos de terreno de un túnel profundo
en arcilla, calculado con diferentes modelos constitutivos.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
8
Análisis numérico y la importancia de los modelos constitutivos
Las figuras 7 y 8 presentan resultados similares
pero para el túnel en arena. Los resultados tienen la
misma tendencia que el túnel en arcilla con unas
pequeñas diferencias. Para el túnel poco profundo el
modelo
LE
pronostica
bastante
menos
asentamientos que los otros modelos y la cubeta de
asentamiento del modelo MC es un poco más
inclinada.
0
10
Horz. distance from tunnel axis [m]
20
30
40
3.3 Terraplén
Un problema de terraplén es diferente de una
excavación o un túnel por que no es un problema de
tipo descarga, pero es un problema de recarga (en
caso de subsuelo sobre consolidado) o un problema
de carga por primera vez.
La figura 9 presenta el asentamiento de la
superficie del terreno original debajo y al lado del
terraplén. Se indica donde está el pie del terraplén.
50
10
0
-10
-20
Horz. distance from centre line [m]
40
60
80
100
0
LE
MC
HS
HSS
-30
-40
-50
-60
-70
Figura 7: Asentamientos de terreno de un túnel poco
profundo en arena, calculado con diferentes modelos
constitutivos
Lo más notorio para el túnel profundo es que el
modelo
HSS
todavía
pronostica
menos
asentamientos que los dos otros modelos elastoplásticos en esta investigación, pero no tan poco
como los modelos elásticos LE y MC. Esto confirma
la idea que la introducción de comportamiento
plástico antes de falla como en los modelos SS, HS y
HSS incrementa los asentamientos y la rigidez de
deformación pequeña reduce el asentamiento. Para
la arcilla en esta investigación estos dos efectos se
anulan entre ellos al respecto de asentamientos,
pero los resultados del material arena muestran que
no es necesariamente siempre el caso.
0
10
Horz. distance from tunnel axis [m]
20
30
40
50
10
0
Surface settlement [mm]
20
200
Surface settlement [mm]
Surface settelement [mm]
0
-10
-20
-30
-40
LE
MC
HS
HSS
-50
-60
-200
-400
LE
MC
SS
HS
HSS
-600
-800
-1000
-1200
-1400
Toe of the embankment
-1600
-1800
Figura 9: Asentamiento de terreno de un terraplén sobre
arcilla usando diferentes modelos constitutivos.
Se puede ver que el asentamiento de terreno es casi
exactamente el mismo para los modelos LE y MC,
pero también que los asentamientos pronosticados
para los modelos SS, HS y HSS se parecen mucho.
Se puede explicar esto por el hecho que un terraplén
sobre suelo blando es un tipo de problema que tiene
mayormente endurecimiento de compresión y solo
poco endurecimiento de corte. Entonces, el
endurecimiento de corte adicional que existe en los
modelos HS y HSS pero no en el modelo SS tiene
solo poco efecto. Adicional, por que los
desplazamientos son muy grandes el efecto de
rigidez de deformación pequeña es insignificante por
que no hay deformaciones suficientemente
pequeñas sino hasta una profundidad muy grande
debajo del terraplén donde el cambio del nivel de
esfuerzo a causa de la construcción del terraplén es
muy pequeño. El efecto de compresión también
cuenta para el modelo MC comparado con el modelo
LE. Por que el suelo se comprime y no tiene mucho
esfuerzo cortante, el estado de esfuerzo no alcanza
el criterio de falla, que es un criterio de resistencia de
corte, y por eso el modelo MC se comporta
estrictamente elástico como el modelo LE.
-70
Figura 8: Asentamientos de terreno de un túnel profundo
en arena, calculado con diferentes modelos constitutivos.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
WATERMAN D. et al.
0
20
Horz. distance from center line [m]
40
60
80
100
Toe of the embankment
300
250
0
LE
MC
SS
HS
HSS
200
150
100
-50
-100
Figura 10: Desplazamientos horizontales de terreno para
un terraplén sobre arcilla usando diferentes modelos
constitutivos.
Una diferencia más significante se puede ver en la
figura 10 que presenta los desplazamientos
horizontales. Para los modelos elásticos LE y MC el
suelo esta siendo empujado hacia fuera por el
terraplén, con el desplazamiento máximo cerca del
pie del terraplén. No obstante, para los modelos
elasto-plástico el suelo al lado del terraplén se
mueve hacia el terraplén a dentro la cubeta de
asentamiento
causada
por
el
terraplén.
Adicionalmente, se puede ver que el desplazamiento
horizontal cerca el pie del terraplén pronosticado
para los modelos elásticos es más que dos veces
más grande que el pronóstico de los modelos elastoplástico.
20
Horz. distance from centre line [m]
40
60
80
100
50
Surface settlement [mm]
0
-50
-100
Toe of the embankment
-200
Horz. distance from center line [m]
40
60
80
100
10
0
0
20
20
50
-150
El modelo HSS pronostica menos asentamiento que
los modelos SS y HS.
LE
MC
HS
HSS
-250
Figura 11: Asentamiento de terreno de un terraplén sobre
arena usando diferentes modelos constitutivos.
Las figuras 11 y 12 presentan los mismos
resultados, pero para el terraplén sobre arena. A
causa de la rigidez alta de la arena los
asentamientos de terreno son bastante más
pequeños que los del terraplén sobre arcilla. Esto
resulta que ya hay rigidez de deformación pequeña a
una profundidad menor y entonces tomar en cuenta
esta rigidez de deformación pequeña tiene un efecto
mas significativo como se puede ver en la figura 11.
Horizontal displacement [mm]
Horizontal displacement [mm]
350
9
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
LE
MC
HS
HSS
Toe of the embankment
-90
-100
Figure 12: Desplazamientos horizontales de terreno de un
terraplén sobre arena usando diferente modelos
constitutivos.
Se puede ver en la figura 12 que para los modelos
elasto-plásticos el suelo de nuevo se mueve hacia el
centro del terraplén, tanto al lado del terraplén como
debajo del terraplén. A causa del asentamiento
pequeño el efecto del suelo empujado hacia fuera
debido al peso del terraplén es pequeño y de hecho
es más pequeño que el efecto del suelo siendo
movido hacía el centro. Para los modelos elásticos
todavía se empuja hacia afuera muy cerca el centro
del terraplén con solo poco desplazamiento
horizontal mas lejano.
4 LIMITACIONES
En esta publicación se hace una comparación
entre modelos constitutivos usando casos prácticos
limitados de arena y arcilla, en condiciones drenada
y normalmente consolidada. Se introdujo estas
limitaciones para reducir la complejidad de la
comparación, pero es importante de entender la
influencia de las presuposiciones.
Ambas arena y arcilla son materiales drenados en
esta comparación con la presuposición que los
resultados representan una solución a largo plazo.
No obstante, el comportamiento no drenado y
desarrollo de excesos de presiones intersticiales
juegan un papel importante en la resistencia del
suelo que no se toma en cuenta aquí. Los modelos
elásticos que se cargan sin drenar generalmente no
tienen un cambio de esfuerzos efectivos y el cambio
de excesos de presiones intersticiales es lo mismo
que la carga aplicada. Para modelos elasto-plásticos
con carga no drenada los esfuerzos efectivos
pueden cambiar y pueden reducir o incrementar la
resistencia no drenada que se puede alcanzar. Si se
toma en cuenta comportamiento no drenado en una
comparación de modelos constitutivos no es
suficiente con comparar asentamientos, pero
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
10
Análisis numérico y la importancia de los modelos constitutivos
también debería tomar en cuenta cambios de
resistencia y el factor de seguridad que resulta. No
obstante, esto queda al fuera del objetivo de esta
publicación.
La comparación presentada en esta publicación
usa dos diferentes materiales de suelo; una arcilla
blanda y una arena rígida. Los resultados de estos
dos suelos son bastante diferentes y entonces los
resultados obtenidos de los suelos en esta
publicación no se pueden transferir directamente a
otros tipos de suelo como turba, limo, roca o también
diferente tipos de arcilla o arena.
5 CONCLUSION
En esta publicación se hizo una comparación de
resultados para 3 diferentes tipos de problemas de
ingeniería (excavación, túnel y terraplén) en 2
diferentes tipos de suelo (arcilla y arena) usando
diferentes modelos constitutivos. Los parámetros de
suelo que se considera los más importantes, rigidez
y resistencia, se determinaron para cada modelo
constitutivo de tal manera que son iguales o por lo
menos comparables. Los modelos geométricos se
configuraron de tal manera que el comportamiento
del suelo esta representado de una manera parecida
para todos los modelos constitutivos.
Se compararon los resultados en base de
asentamientos y para el caso práctico de la
excavación también en base de los momentos
flexionantes. Se obtuvo grandes diferencias para los
asentamientos y momentos flexionantes para
diferentes modelos constitutivos y unas veces los
resultados aún son en base de un diferente
mecanismo como por ejemplo la fijación del pie de la
pantalla de la excavación y los desplazamientos
horizontales del terraplén.
En la práctica de ingeniería geotécnica si se usa
una herramienta numérica, se emplea mucho tiempo
en la determinación de parámetros adecuados para
ingresarlos en el software. No obstante,
prácticamente se emplea solo poco tiempo para
preguntarse que modelo constitutivo se debería usar
para representar el suelo y las condiciones de carga
lo mejor posible. Al primero preguntarnos a nosotros
mismos que modelo constitutivo se debería usar, se
puede mejorar la calidad de los resultados para que
después los parámetros del modelo determinen la
cantidad de los resultados que queremos obtener.
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