7. PÉNDULO DE TORSIÓN

Práctica 7
Péndulo de torsión.
7. PÉNDULO DE TORSIÓN
OBJETIVO
El objetivo de la práctica es comprobar la dependencia del momento de inercia I de un
objeto respecto a la distancia al centro de rotación y realizar la medición del momento de
inercia de un cuerpo de forma complicada.
MATERIAL
Péndulo de torsión (alambre metálico y objeto de I desconocido)
Cronómetro
Dos esferas iguales de masa conocida
Regla graduada
http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac07.pdf
1
Práctica 7
Péndulo de torsión.
FUNDAMENTO
Cualquier movimiento puede descomponerse como combinación de movimientos lineales
y de rotación.
Si el momento cinético lineal de un cuerpo se define como p = m v ; el momento
angular de un cuerpo rígido en rotación es otra magnitud vectorial que se define como el
producto del momento de inercia y la velocidad angular, L = I ω .
Para un movimiento lineal la actuación de una fuerza F es la responsable de que p
varíe con el tiempo; de forma que el parámetro p se conserva si existe una resultante
de fuerzas nula. De la misma manera, en un movimiento circular la actuación del
momento creado por una fuerza, M, origina una variación de L con el tiempo; por lo que
si no se aplica externamente ningún momento de una fuerza, se cumple el principio de
conservación del momento angular L.
El momento de inercia I, definido respecto a un eje específico de rotación, es el
equivalente a la masa m en la analogía lineal, de la misma manera que ω es equivalente
a la velocidad lineal v. Tanto I como ω dependen de la distancia radial R al eje de giro,
parámetro que caracteriza el movimiento rotatorio junto a la masa y la velocidad.
El momento de inercia de una masa puntual de masa m con respecto a un eje de giro se
define como I = m R2 , siendo R la distancia al eje de giro. Para un cuerpo extendido, la
fórmula general de I se construye integrando elementos infinitesimales de masa a partir
de esta básica definición.
El péndulo de torsión es un mecanismo
particularmente útil para medir el momento de
inercia de un objeto de forma complicada.
Está formado por un alambre metálico que por un
extremo lleva suspendido un objeto por su centro de
masa, en el caso de esta práctica una barra
rectangular con orificios (ver figura).
M
M
Cuando a la barra suspendida le aplicamos un par
r'
de fuerzas retorciendo el alambre un ángulo θ, éste
ejerce sobre la barra un momento de una fuerza M
r''
recuperador alrededor del alambre que se opone al
desplazamiento θ y de módulo proporcional al
ángulo; M = -Kθ , donde K es el coeficiente de
torsión del alambre.
Cuando dejamos oscilar
libremente la barra (considerando despreciable el rozamiento con el aire), se origina un
movimiento angular armónico simple, cuyo periodo T (tiempo transcurrido en realizar
una oscilación completa) viene dado por la expresión
T = 2π
http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac07.pdf
I
K
[7-1]
2
Práctica 7
Péndulo de torsión.
O sea, que el periodo de oscilación es función de el momento de inercia de la barra
problema alrededor del eje de rotación, I , y del coeficiente de torsión del alambre, K . 1
Como desconocemos el valor de K , para calcular I utilizaremos dos cuerpos de
geometría conocida.
Si colocamos sobre la barra dos esferas, cada una de masa M , a la misma distancia r’
del alambre, el nuevo periodo de oscilación viene dado por la fórmula:
T ' = 2π
I + I'
K
[7-2]
donde I' es el momento de inercia de las dos esferas respecto al eje de rotación del
sistema, de valor conocido:
I' = 2M r' 2
[7-3]
siendo r' la distancia del eje de rotación al centro de masa de las esferas.
De las ecuaciones [7-1] y [7-2], eliminando K, se obtiene el momento de inercia de la
barra problema en función del de las esferas y los diferentes periodos de oscilación, que
se medirán en esta práctica:
I = I'
T2
T ' 2 −T 2
[7-4]
MÉTODO
Si se gira la barra un ángulo alrededor del alambre, que actúa como eje de giro vertical,
y se deja en libertad, comenzará a oscilar en un plano horizontal.
Cuando el movimiento sea uniforme se cronometra el tiempo de 40 oscilaciones
completas (una oscilación completa es la que ocurre entre el punto de distancia angular
máxima con respecto a la posición de equilibrio hasta que retorna a él de nuevo,
habiendo pasado dos veces por la posición de equilibrio; es decir, ida y vuelta).
El periodo experimental T vendrá dado por
T = t / 40
[7-5]
Esta operación se repite 3 veces para determinar el periodo medio de oscilación.
Coloca las dos esferas en los dos orificios más próximos (distancia r') y luego en los más
alejados (distancia r'') y determina los nuevos periodos de oscilación T’ y T’’ del sistema.
Calculando los momentos de inercia de las esferas I’ e I’’’, y aplicando para cada caso la
fórmula (7-4), se obtendrán de este modo dos estimaciones diferentes del momento de
inercia I de la barra.
1
Alonso Finn, Física Vol. I, pág. 371.
http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac07.pdf
3
Práctica 7
Péndulo de torsión.
Nombre
Curso
Fecha :
Apellidos
Grupo
Letra de prácticas
DATOS EXPERIMENTALES
Sobre la precisión del cronómetro de que dispones, establece la incertidumbre de tu
medida personal para cronometrar tiempos.
APARATO DE MEDIDA
(variable a medir)
Cronómetro (t)
Precisión del
aparato (unidades)
Incertidumbre de la
medida (unidades)
Δt =
Anota los valores de la masa M de una de las esferas y de las posiciones r’ y r’’ de las
mismas respecto al eje de giro (están indicadas sobre el montaje experimental).
Para simplificar, consideraremos constantes estos valores (ΔM = Δr’ = Δr’’ = 0).
Masa
(unidades)
Radio de giro 1
(unidades)
M=
r’=
Radio de giro 2
(unidades)
r’’=
a) Medida de los períodos
Anota en la tabla adjunta las medidas obtenidas, expresando los valores de t que mides
de forma concordante a tu incertidumbre de medida directa Δt .
Los valores de las incertidumbres indirectas ΔT y ΔT2 las calcularás posteriormente.
Tabla (7.1):
Variable
Con Esferas
Sin esferas
R=r'
R=r''
Tiempo de 40 t1=
oscilaciones
t=
ti = (t ± Δt) s 2
t’1=
t’’1=
t’2=
t’’2=
t3 =
t’3=
t’’3=
T1 =
T’1=
T’’1=
T2 =
T’2=
T’’2=
T3 =
T’3=
T’’3=
T '=
T ''=
T '2 =
T ' '2 =
Período
T=t/40
(unidades)
Valor medio de
T =
T (unidades)
Valor medio de
T2 =
T2 (unidades)
http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac07.pdf
4
Práctica 7
Péndulo de torsión.
Nombre
Curso
Fecha :
Apellidos
Grupo
Letra de prácticas
b) Momento de inercia de las esferas respecto al eje de giro.
Si M es la masa de cada esfera y r’, r’’ las distancias relativas al eje de rotación, refleja
los cálculos de los respectivos momentos de inercia I' e I'', y rellena la siguiente tablas:
VARIABLE
I'=2M(r')2
VALOR (unidades)
I''=2M(r'')2
c) Momento de inercia de la barra.
Refleja los cálculos de I1 e I2 , que son dos estimaciones del momento de inercia de la
barra respecto al mismo eje de rotación.
I1 = I '
T2
=
T '2 − T 2
T2
I2 = I ' ' 2 2 =
T ' ' −T
Valor medio: I =
I1 + I 2
=
2
Tabla (7.2):
VARIABLE
I1
VALOR (unidades)
I2
I
medio
http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac07.pdf
5
Práctica 7
Péndulo de torsión.
Nombre
Curso
Fecha :
Apellidos
Grupo
Letra de prácticas
RESULTADOS EXPERIMENTALES
(A) Deduce las expresiones generales de las incertidumbres de medida indirecta ΔT y
ΔT2 , a partir de su dependencia de las medidas directas realizadas.
FÓRMULAS GENÉRICAS
ΔT =
ΔT2 =
Calcula numéricamente ΔT :
ΔT =
Para los tres casos considerados, calcula la desviación máxima Dm y las
incertidumbres ΔTmedio y Δ(Tmedio)2, sin redondear a una cifra significativa e indicando las
unidades respectivas en los paréntesis de la tabla.
Recuerda que ΔT medio = máx (ΔT, Dm). y que Dm = (Tmáx-Tmín)/2
D m(
Sin esferas
)
ΔTmedio (
2
Δ(Tmedio) (
Con esferas a r’
Con esferas a r’’
)
)
(B) Refleja las fórmulas genéricas de las incertidumbres indirectas Δ I1 , Δ I2 y Δ Imedio ,
considerando que ΔI’ = ΔI’’ = 0, o sea, que Ii = Ii (Ti).
FÓRMULAS GENÉRICAS
Δ Ii
Δ Imedio
Refleja los cálculos correspondientes a los valores con los que rellenar la tabla 7.3:
http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac07.pdf
6
Práctica 7
Péndulo de torsión.
Nombre
Curso
Fecha :
Apellidos
Grupo
Letra de prácticas
Expresa en las dos primeras columnas, sin redondear, los valores obtenidos en las
medidas indirectas de la tabla (7.2) para el momento de inercia de la barra y las
incertidumbres de medida indirecta ΔI1 , ΔI2 y ΔImedio ; y en la columna de resultados,
expresados de la forma (Medida ± ΔMedida), los valores en concordancia decimal con las
incertidumbres, a su vez redondeadas a una sola cifra significativa.
Indica las unidades utilizadas en cada caso.
Tabla (7.3):
VARIABLE
I1
VALORES
INCERTIDUMBRES
RESULTADOS (unidades S.I.)
I2
Imedio
(C) ¿Qué error relativo (ΔImedio/Imedio) has cometido en el cálculo de Imedio? ¿Qué
porcentaje del momento de inercia representa su incertidumbre?
http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac07.pdf
7
Práctica 7
Nombre
Curso
Fecha :
Péndulo de torsión.
Apellidos
Grupo
Letra de prácticas
CUESTIONES
¿Qué fuentes de error encuentras en la práctica?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
¿Qué ocurre con la velocidad de movimiento de la barra al poner las dos esferas sobre
ella en la primera posición, y luego al ponerlas en la posición más alejada del eje de giro?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Atendiendo a la ecuación (7.1) y a la definición de momento de inercia, ¿es este
comportamiento coherente con la dependencia del momento de inercia respecto a la
masa y respecto a la distancia al eje de giro?.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
En cualquier movimiento que realice un cuerpo, el principio de conservación de la
energía mecánica se expresaría:
Trabajo + energía potencial + energía cinética de traslación + energía cinética de
rotación = constante.
Si para un péndulo de torsión se tiene que Trabajo=Mθ y Ec rot= (1/2) I ω2, indica
brevemente cómo contribuyen todos los sumandos, p.ej. para la barra sin esferas en la
primera parte del experimento.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Piensa:
¿Qué ocurriría en un tiovivo que gira a una velocidad angular ω si los niños que viajan en
él se acercan simultáneamente al eje del mismo?
________________________________________________________________________
¿Por qué la persona que patina sobre hielo extiende los brazos cuando quiere dejar de
dar vueltas?
_______________________________________________________________________
http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac07.pdf
8