Tema 1: Introducción: Parámetros de antenas y fórmula de Friis

RADIACIÓN Y PROPAGACIÓN
J.L. Besada Sanmartín, M. Sierra Castañer
[email protected]
[email protected]
Grupo de Radiación. Dpto. SSR. ETSI Telecomunicación.
Universidad Politécnica de Madrid
RADIACIÓN Y PROPAGACIÓN. DPTO. SEÑALES, SISTEMAS Y RADIOCOMUNICACIONES
Tema 1: Introducción: Parámetros de
antenas y fórmula de Friis
• Fundamentos de Radiación.
• Propiedades del campo lejano.
• Parámetros fundamentales de antenas:
• Impedancia de entrada
• Diagramas de radiación
• Ganancia
• Polarización
• Fórmula de Friis.
• Temperatura de Ruido de Antena
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RDPR-1- 2
1
Definición de Antena
• Una antena es un “dispositivo generalmente metálico especialmente diseñado para
radiar y recibir ondas de radio” que adapta la salida del transmisor o la entrada del
receptor al medio.
• Las propiedades que debe reunir una buena antena son:
– Buen Rendimiento de radiación
ηrad =
Pradiada
≤1
Pentregada
– Diagrama de radiación adecuado a la aplicación
– Buena adaptación a la línea de transmisión
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Definición de Antenas
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2
Historia de las antenas
• 1844: Telegrafía por hilo
• 1864: Ecuaciones de Maxwell
• 1878: Telefonía por hilo
• 1886: Experimento radio de Hertz
• 1897: Patente de telegrafía sin hilos de
Marconi
• 1901: Primeras comunicaciones
transatlánticas de Marconi
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Bandas de Frecuencia de
Radio
Analog and Digital Mobile Services
DBS: Direct Broadcasting Services
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3
Tipos de Antenas
• Según el “modo de
radiación” se definen cuatro
grupos de antenas:
– elementos de corriente
– antenas de onda
progresiva,
– arrays y
– aperturas.
Aperturas
Arrays
Onda Progresiva
Elementos
Frecuencia (Hz)
10K 100K 1M
10M
100M
1G
10G
100G
Aperturas
Arrays
Onda Progresiva
Elementos
Tamaño de antena en λ
0.01 0.1
1
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10
100
1000
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Antenas Lineales
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4
Arrays
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Aperturas (Bocinas)
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5
Aperturas (Reflectores)
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Aperturas (Lentes)
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6
Ecuaciones de Maxwell
CAMPOS
E: Intensidad de campo eléctrico
H: Intensidad de campo magnético
D: Inducción de campo eléctrico
B: Inducción de campo magnético
FUENTES
ρ: Densidad de carga eléctrica
J: Densidad de corriente
Jc: D. de Corriente de Conducción
MEDIO
ε: Permitividad eléctrica
µ: Permeabilidad magnética
σ: Conductividad
r
r
∇ × E = − j ωB
r
r r
∇ × H = j ωD + J
r
∇⋅D = ρ
r
∇⋅B = 0
r
∇ ⋅ J + jωρ = 0
r
r
D = εE
r
r
B = µH
r
r
J c = σE
Ley de Faraday
Ley de Amper generalizada
Ley de Gauss
Continuidad de Flujo Magnético
Ecuación de Continuidad
Ecuaciones
Constitutivas
de la Materia
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RDPR-1- 13
Régimen permanente sinusoidal
• Las antenas son dispositivos de banda ancha, y se pueden analizar por lo
tanto en régimen permanente sinusoidal.
• El campo y la corriente se expresan en el dominio de la frecuencia como
funciones complejas con parte real e imaginaria. Así en un sistema
ortonormal (u1,u2,u3)
r r
E(r ) = E1û1 + E 2 û 2 + E 3 û 3
I = I r + jI i = I o ⋅ e jφ
E1 = Re[E1 ] + j Im[E1 ] = E1r + jE1i
E 2 = Re[E 2 ] + j Im[E 2 ] = E 2 r + jE 2i
E 3 = Re[E 3 ] + j Im[E 3 ] = E 3r + jE 3i
• Las expresiones instantáneas de la corriente y del campo en el dominio del
tiempo se obtienen como:
[ ]
I(t ) = Re Ie jωt = I r cos ωt − Iisenωt = I o cos(ωt + φ)
[
]
r r
r r
E( r , t ) = Re E(r )e jωt = (E1r û1 + E 2 r û 2 + E 3r û 3 ) cos ωt − (E1i û1 + E 2i û 2 + E 3i û 3 )senωt
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7
Condiciones de contorno
Condiciones de contorno de
Conductor Real
δ =1
σ≠∞
r
E⎫
z
−
r⎪
H⎬ ∝ e δ
r⎪
J⎭
z
πfµσ
Zs =
Condiciones de contorno de
Conductor Perfecto.
1+ j
σδ
profundidad de penetración
J
Js
r
E=0
r
H=0
n̂
H tan
E tan
r
r
J s = n̂ × H
r
ρs = n̂ ⋅ D
σ=∞
r
r
n̂ × E = − Zs H tan
r
r
n̂ ⋅ H = 0 ⇒ H nor = 0
n̂
r
n̂ × E = 0 ⇒ E tan = 0
r
r
n̂ ⋅ H = 0 ⇒ H nor = 0
H tan
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RDPR-1- 15
Distribución de Corriente
• Es la función que define la forma que
toma la corriente sobre la antena
• Está fijada por las condiciones de
Γ =1
contorno de las E. Maxwell.
– En régimen permanente sinusoidal
basta con aplicar:
Et (sobre conductores)=0
• En algunos casos la distribución se
modela utilizando razonamientos muy
simples: p.e., la figura justifica la
distribución aproximada en onda
estacionaria típica de un dipolo.
⎞
⎛L
I( z) = I 0 sen k 0 ⎜ − z⎟
⎠
⎝2
No radia si s<<λ
⎞
⎛L
I( z) = I 0 sen k 0 ⎜ − z ⎟
⎠
⎝2
Γ <1
Onda esférica radiada
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8
Distribución de Corriente:
Variación temporal
• Para un dipolo λ/2
Corriente instantánea:
[
]
I(z, t ) = Re I(z )e jωt = I 0 cos(k 0 z ) cos(ωt )
Amplitud compleja:
I(z ) = I 0 cos(k 0 z )
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Mecanismo de Radiación
I(z, t ) = I(z )sen (ωt )
• Generación de las líneas de campo para
un dipolo
+++
++
+
– (a) Durante el primer cuarto de periodo la
corriente acumula carga positiva en el
semibrazo superior y negativa en el inferior,
cerrándose el circuito a través de las
corrientes de desplazamiento que siguen las
líneas de campo.
– (b) En el siguiente cuarto de periodo la
corriente se invierte generando corrientes de
desplazamiento (líneas de campo) de
sentido contrario que empujan a las
anteriores hacia fuera.
– (c) Finalizado el primer semiperiodo la
carga es nula sobre todo el dipolo y las
líneas de campo se cierran sobre si mismas.
−
−−
−−−
a) t=T/4
b) t=T/2
c) t>T/2
t=0
T/8
T/4
3T/8
• Evolución de la onda radiada en
régimen permanente sinusoidal.
– Las ondas electromagnéticas radiadas se
comportan de un modo parecido a las ondas
de agua en un estanque.
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9
Potenciales Retardados
• Los problemas electromagnéticos de geometría abierta como los de antenas se
resuelven más fácilmente si se introducen unos potenciales auxiliares derivados de
las Ecuaciones de Maxwell
r
– A (potencial vector magnético)
r
r
r
r
ya que
∇⋅B = 0 ⇒ B = ∇×A
∇⋅ ∇×A ≡ 0
(
)
– Φ (potencial escalar)
r
r
2
∇ × E = − jω B
k o ≡ ω2 µ 0 ε 0
r
r
∇ × E = − jω ∇ × A
r
r
r
r
∇ × E + jωA = 0 ⇒ E + jωA = −∇Φ ya que ∇ × (∇Φ ) ≡ 0
(
- Ecuaciones de onda:
)
r
r
r
∆A + ω2µ 0 ε 0 A = −µJ
∆Φ + ω2µ 0 ε 0 Φ = −
- Campos eléctricos y magnéticos:
r
r
r
r
1
H = ∇×A
E = −∇Φ − jωA
µ0
r
E=
ρ
ε0
r
1
∇×H
jωε 0
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Campos Radiados por un
Elemento de Corriente
ẑ
r µ 0 e − jk 0 r 6447448
A=
Idl r̂ cos θ − θˆ sen θ
4π r
(
r
r
1
H = ∇×A
µ0
r
r
1
E=
∇×H
jωε 0
r
r
z
)
r
I
J = ẑ
S
µ0 , ε0
Idl
x
y
• Los campos que produce el elemento de corriente en el origen, válidos para cualquier
punto del espacio, son:
r
Idlsenθ ⎛
1 ⎞ − jk r
H = φˆ
⎜ jk 0 + ⎟e 0
4πr ⎝
r⎠
r jηIdl ⎡
jk
senθ ⎛ k 02 jk 0 1 ⎞⎤ − jk 0 r
⎛ 0 1⎞
⎜ − + 2 + 3 ⎟⎟⎥ e
E=
⎢r̂ cos θ⎜ 2 + 3 ⎟ + θˆ
2πk 0 ⎣
r ⎠
2 ⎜⎝ r
r
r ⎠⎦
⎝ r
η = µ o ε o = 120π = 377Ω
(Impedancia intrínseca del vacío)
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RDPR-1- 20
10
Campos Lejanos de un
Elemento de Corriente
• Si k0r>>1 (r>>λ) predominan los términos en 1/r frente a 1/r2 o 1/r3,
obteniendo las siguientes expresiones válidas para campo lejano :
r
e − jk 0 r ˆ
H = jk 0 Idl sen θ
φ
4πr
r
e − jk 0 r ˆ
E = jηk 0 Idl sen θ
θ
4πr
r
r
z
µ0 , ε0
Idl
Campos de radiación:
E ⊥ r, H⊥ r, E⊥ H
x
y
• La densidad de Potencia Radiada (dada por el vector de Poynting) está dirigida
radialmente hacia afuera y decrece como 1/r2 para un medio sin pérdidas (onda
esférica progresiva):
⎡ I 2 dl 2 k o 2 ηsen 2 (θ) ⎤
r
r r
1 2
1
< S >= Re E × H * = ⎢
E r̂
⎥ r̂ =
2 2
2η
32π r
2
⎢⎣
⎥⎦
• Los términos de los campos en 1/r2 y 1/r3 representan energía reactiva
almacenada en dichos campos, con valores apreciables sólo cerca de la antena.
[
]
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Longitud de onda
• Para visualizar la onda radiada conviene comparar las expresiones instantáneas de la
fuente de corriente y el potencial generado (para el campo es similar):
I( t) = Re[I exp( jωt)] = I cos(ωt)
[
]
r r
r
⎡
⎡ ⎛ r ⎞⎤
e − jk 0 r jωt ⎤
C
C
A( r , t ) = Re Ae jωt = Re ⎢ẑC1
e ⎥ = ẑ 1 cos(ωt − k 0 r ) = ẑ 1 cos ⎢ω⎜ t − ⎟⎥
r
r
r
⎣ ⎝ c ⎠⎦
⎣
⎦
– r/c=tiempo de propagación o retardo que tarda la onda en viajar desde el foco
emisor al punto de observación.
– A gran distancia, en un intervalo ∆r<<r, la onda esférica se comporta como
plana de longitud de onda (distancia entre dos puntos equifásicos consecutivos)
λ = cT = c f =
2π 1
2π
=
ω µ0ε0 k 0
cons tan te de propagacion = k 0 = ω µ 0 ε 0 = 2π λ
Longitud de onda en cm : λ (cm ) = 30 f (GHz )
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RDPR-1- 22
11
Radiación de una Antena
z
• Una distribución real de corriente
se supone formada por infinitos elementos
dV de corriente J situados en r’.
dV j
rr
J ( r′)
r r
r − r′
rrr '
r′
P
r
r
r r
r r µ e − jk 0 r − r′ r r
dA ( r ) = 0
J (r ′)dV
r r
4π r − r ′
x
y
• El potencial total radiado será la superposición.
r r
r
r r µ0 J(rr′)e− jk0 r −r′
A(r ) = ∫
dV′
r r
V′
4π
r − r′
r r
r
r r µ 0 Js (rr ′)e − jk 0 r − r′
A(r ) =
∫S′ r r dS′
4π
r − r′
Volumen
Superficie
r r
r r µ 0 I(rr′)e − jk 0 r − r′ r
A( r ) =
∫L′ r r d l′
4π
r − r′
Antena de hilo
(diámetro << λ)
RADIACIÓN Y PROPAGACIÓN. DPTO. SEÑALES, SISTEMAS Y RADIOCOMUNICACIONES
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Campos de Radiación de una
Antena: Regiones
• El espacio que envuelve una antena se subdivide en tres regiones:
– Región de Campo Próximo Reactivo (r<λ)
– Región de Campo Próximo Radiante (incluye la Zona de Fresnel)
– Región de Campo Lejano (Zona de Radiación, Zona de Fraunhofer):
• Lo zona más importante en comunicaciones es la campo lejano (donde se situará la
antena receptora). Esta zona comienza donde el diagrama de radiación ya está
formado.
Las condiciones de campo lejano son:
r≥
2 D2
λ
y r >> λ
D: Dimensión máxima de la Antena
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RDPR-1- 24
12
Campos de Radiación:
aproximación de campo lejano
• Estamos en Campo lejano cuando k0 r >>1 y r>>r’max ⇔ r >>λ , r ≥ (2D2)/λ
I
r
r′
r r µ e − jk 0 r
A(r ) = 0
4π r
•
∫ I(r′)e
r
r
jk 0 r̂ ⋅ r ′
L
P
r r
R = r − r′
r − jk rr − rr′ r
r r µ
I( r ′)e 0
A(r ) = 0 ∫
dl
r r′
4π L
r−r
r
r
r
r$ ⋅ r ′
r
dl
r r
r
R = r − r ′ ≈ r − r$ ⋅ r ′
Los campos de Radiación cuando k0r >>1 valen:
(
((
)
) )
r
r
jω
r̂ × A
H=−
η
r
r
E = − jω r̂ × A × r̂
r
r r̂ × E
H=
ηr
r
E = η H × r̂
(
r r
E⊥ H
r
E⊥$r
r
H⊥r$
)
RDPR-1- 25
RADIACIÓN Y PROPAGACIÓN. DPTO. SEÑALES, SISTEMAS Y RADIOCOMUNICACIONES
Condición de Campo Lejano
• Dada una antena de diámetro D, si el
error de fase cometido con la
aproximación de campo lejano es inferior
a π/8 radianes, el error en el cálculo de
los campos es reducido. Así se calcula la
condición de campo lejano.
r
R aprox = r − r̂ ⋅ r′ = r
D
r
r′
R = r2 +
P
D2
4
⎛
⎞
⎛ ⎛ 1 D2
⎞ ⎞
D2
D2 π
ε fase = k o ⎜ r 2 +
− r ⎟ = k o ⎜⎜ r ⎜⎜1 +
+ L⎟⎟ − r ⎟⎟ ≈ k o
=
2
⎜
⎟
4
8r 8
⎠ ⎠
⎝ ⎝ 2 4r
⎝
⎠
rMinima ≈
2 D2
λ
dB
• Este criterio de rmin=2D2/λ es necesario
aplicarlo a la hora de realizar medidas de
antenas directamente en campo lejano, si
bien a veces es insuficiente para medir
lóbulos secundarios muy bajos.
RADIACIÓN Y PROPAGACIÓN. DPTO. SEÑALES, SISTEMAS Y RADIOCOMUNICACIONES
RDPR-1- 26
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Propiedades del campo lejano
• Los campos lejanos de cualquier antena cumplen:
– La onda electromagnética radiada se expande (propaga) radialmente en todas las
direcciones del espacio.
– La dependencia de E y H con r es siempre la de una onda esférica e-jk0r/r. Los campos
decrecen con la distancia como 1/r
– Los campos E y H dependen de θ y φ puesto que la onda esférica es no homogénea.
Para analizar su variación se utiliza el siguiente sistema esférico.
z
θ
r̂ ⇔ (θ, φ)
φ
x
y
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ φ < 2π
RDPR-1- 27
RADIACIÓN Y PROPAGACIÓN. DPTO. SEÑALES, SISTEMAS Y RADIOCOMUNICACIONES
Propiedades del campo lejano
• Los campos de radiación de cualquier antena cumplen:
z
– La onda esférica radiada se comporta localmente como plana:
r
E ⊥ r̂
r
H ⊥ r̂
Fijada una dirección (θ,φ):
θ
r r
E⊥H
E = ηH
– Los campos E y H no poseen componente radiales:
φ$
r$
φ
θ$
x
y
0≤θ≤ π
r r
A( r ) = A r r$ + A θ θ$ + A φ φ$ ⎫⎪
r
r
⎬
E = − jω $r × A × $r ⎪
⎭
((
) )
Er = 0
E θ = − jω A θ
Hr = 0
Eθ Hφ = η
E φ = − jω A φ
− Eφ Hθ = η
0 ≤ φ < 2π
– La densidad de potencia que transporta la onda decrece como 1/r2. Si el medio no tiene
pérdidas toma el valor:
r
r r
2
1
1
2
< S >= Re E × H * =
E θ (r, θ, φ ) + E φ (r, θ, φ ) r̂
2
2η
[
]
[
]
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RDPR-1- 28
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Vector de Poynting y Unidades
• Densidades de Corriente: J = I/dS [A/m2], Js=I/dC [A/m]
• Campos: E [V/m], H [A/m]
• Densidad de Potencia transportada por la onda radiada=<S>
r r
– < S >= 1 Re E × H * [watios/m2]
2
r
r
– E y H Amplitudes complejas de los campos en valores de pico.
[
]
• Permitividad del vacío:
• Permeabilidad del vacío:
• Conductividad:
• Velocidad de propagación:
• Impedancia del vacío:
ε0 =
1
10 − 9 [ Faradios / m ]
36 π
µ 0 = 4 π 10 −7 [ Henrios / m ]
σ [1 / Ω ⋅ m = Siemens]
c=1
µ 0 ε 0 = 3 ⋅ 108 [ m / s]
η0 = Z 0 = E H =
µ 0 ε 0 = 120 π = 377 [Ω ]
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