Tema 6. Combinación lineal de variables

Análisis de Datos I
Esquema del Tema 6
Tema 6. Combinación lineal de variables
1. DOS VARIABLES
MEDIA
VARIANZA
2. J VARIABLES
MEDIA
VARIANZA
3. EJEMPLOS (resueltos)
4. EJERCICIOS
__________________
Bibliografía: Tema 6 (pág. 165-174)
Ejercicios recomendados: 1, 2, 4, 5, 7, 8,
9, 10 y 11.
Carmen Ximénez
1
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 6
1. DOS VARIABLES
X
Suma, Ti = Xi + Yi
S X
T  X Y
MEDIA:
VARIANZA:
Y
ST2  Sx2  S y2  2  Sxy
Y
2
x
S xy
S yx
S y2
X
Y
S
Resta, Ti = Xi - Yi
T  X Y
MEDIA:
VARIANZA:
ST2  Sx2  Sy2  2  Sxy
2. J VARIABLES
Caso 1: Suma de J variables Ti = Xi1 + Xi2 +... + XiJ
Nos centraremos en el caso de tres variables: Ti = Xi1 + Xi2 + Xi3
Matriz de Varianzas- Covarianzas, S:
X1 X 2 X 3
S12 S12 S13
S21 S22 S23
S31 S32 S23
X
S 1
X2
X3
X1
X2
Matriz de Correlaciones, R:
R
X1
X2
X1
X2
X3
1
r12
1
r13
r23
X3
1
X3
T  X1  X 2  X3
2
2
2
2
VARIANZA: ST  S1  S 2  S 3  2( S12  S13  S 23 )
MEDIA:
Caso 2: Combinación lineal de J variables Ti = k1 ·Xi1 + k2 ·Xi2
Matriz de Varianzas- covarianzas, S:
k1 X 1 k2 X 2
kX
S 1 1
k2 X 2
S12
S21
X1
MEDIA:
S12
S22
X2
k12  S21 k1k2  S12
k2k1  S21 k22  S22
k1  X1 k2  X2
T  k1  X 1  k2  X 2
VARIANZA:
Carmen Ximénez
ST2  k12  S12  k22  S 22  2( k1k 2  S12 )
2
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 6
3. EJEMPLOS RESUELTOS
EJEMPLO 1:
Administramos un test de Ansiedad “antes” (X) y “después” (Y) de aplicar un
tratamiento. Se define D como la diferencia entre las puntuaciones antes y después
del tratamiento (efectividad del tratamiento) y T como la suma entre las puntuaciones
antes y después (nivel global).
Xi
8
5
8
7
7
Yi
2
5
1
3
4
Obtenga las medias y varianzas de D y T.
Solución 1: Aplicando las propiedades
Xi
8
5
8
7
7
35
Yi
2
5
1
3
4
15
Xi Yi
16
25
8
21
28
98
Xi2
64
25
64
49
49
251
Yi2
4
25
1
9
16
55
35
7;
5
X 
Y 
15
3
5
251 2
 7  1, 2 ; SY2  55  32  2
5
5
98
S xy   7  3  1,4
5
S2X 
Medias: D  X  Y  7  3  4 Varianzas:
S2D  S2X  SY2  2  S xy  1, 2  2  (2)( 1,4)  6
ST2  S2X  SY2  2  S xy  1, 2  2  (2)( 1, 4)  0, 4
T  X  Y  7  3  10
Solución 2: Cálculo directo
Xi
8
5
8
7
7
35
Yi
2
5
1
3
4
15
Di
6
0
7
4
3
20
Ti
10
10
9
10
11
50
Di2
36
0
49
16
9
110
Ti2
100
100
81
100
121
502
D
20
4;
5
S 2D 
502
110
2
 102  0, 4
 4 2  6 ; ST 
5
5
T 
50
 10
5
Solución 3: A partir de la matriz S
X
S= Y
X
1,2
-1,4
Y
-1,4
2
Medias:
7
3
Carmen Ximénez
D  X Y  7  3  4
...…. -0,2
...…. 0,6
0,4
.....…. 10
T  X  Y  7  3  10
S2D  S2X  SY2  2  S xy  1, 2  2  (2)( 1,4)  6
ST2  S2X  SY2  2  S xy  1, 2  2  (2)( 1, 4)  0, 4
3
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 6
EJEMPLO 2:
Se han obtenido los siguientes datos en tres ítems:
X1
X2
X3
1
4
2
3
5
6
5
3
7
Media: Varianza:
3
2,67
4
0,67
5
4,67
X1 2,67 0,67 3,33 
S  X2 
0,67 0,33


X 3 
4,67 
1. Obtenga la matriz de correlaciones
2. Obtenga la media y varianza para las variables U, V y W. Donde:
a) U = X1 + X2
b) V = X2 – X3
c) W = X1 + X2 + X3
Solución:
- 0,67
1. r12  S12 
 -0,50 ;
S1  S2
2,67 0,67
r23 
r13 
S13
3,33

 0,95 ;
S1  S3
2,67 4,67
S23
- 0,33

 0,19
S2  S3
0,67 4,67
X 1 1 0, 50
1
R  X2 

X 3 
0, 95 
0,19 

1 
2. a) U = X1 + X2
U  X1  X 2  3 4  7
S 2U  S X2 1  S X2 2  2  S X 1 X 2  2, 67  0, 67  (2)(  0, 67)  2
b) V = X2 – X3
V  X 2  X 3  4  5  1
S 2V  S X2 2  S X2 3  2  S X 2 X 3  0, 67  4, 67  (2)(  0, 33)  6
c) W = X1 + X2 + X3
W  X 1  X 2  X 3  3  4  5  12
SW2  SX21  SX2 2  SX2 3  2(SX1X2  SX1X3  SX2 X3 ) 
 2, 67  0, 67  4, 67  2(  0, 67  3, 33  0, 33)  12, 67
Carmen Ximénez
4
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 6
4. EJERCICIOS
EJERCICIO 1
Se dispone de los datos descriptivos para las variables V, X e Y:
V
X
Y
12
10
14
V
S=
10
15
9
X
14
9
20
Y
35
17
26
1. Obtenga la matriz de correlaciones
2. Obtenga la media y varianza de la variable T1 = V - X
3. Obtenga la media y varianza de la variable T2 = V + X + Y
EJERCICIO 2
Tras medir en una muestra las variables
E : Extroversión
S=
B: Búsqueda de sensaciones nuevas
I: Impulsividad
C: Control
Se obtuvieron los siguientes estadísticos:
E
B
I
C
E
16
B
20,4
36
I
12
18
25
C
-3,2
12
-15
16
35
45
37
18
1. Obtenga la matriz de correlaciones
2. Obtenga las medias y varianzas de las siguientes variables:
Orientación externa,
T1 = E + B
Hiperactividad,
T2 = I - C
Externalidad irreflexiva, T3 = E + B + I
Carmen Ximénez
5