Coordenadas polares

Tema 30
Coordenadas polares
Matemáticas
Para representar un punto P en el plano cartesiano hemos fijado
dos rectas perpendiculares orientadas, los ejes X y Y, y referido
sus distancias a cada una como, sus coordenadas: la distancia al
eje Y la llamamos abscisa (x) y la distancia al eje X la llamamos
ordenada (y). Así, nombramos P (x, y).
Para el nuevo sistema, que llamaremos sistema de coordenadas
polares, fijamos un punto O que llamamos polo y la semirrecta
ordenada OX. Referimos cada punto P del plano a su distancia
al polo r = OP que llamamos radio vector y al ángulo θ que es el
ángulo de rotación del segmento orientado OP desde el eje polar.
Nombramos el punto P(r, θ). En la figura aparecen las representaciones de los puntos (3, 45º) y (5, −60º).
Y
45˚
3
X
vector con signo contrario lo nombramos como (θ + 180°) o
(θ + 180°) + 360°n.
Si P(r, θ) es un punto del plano con coordenadas polares, P también puede representarse como:
P(r, θ + 360°n), P(–r, θ + 180°), P(–r, (θ + 180°) + 360°n) en
donde n es un entero.
Ahora debemos relacionar la representación polar de un punto
con la representación cartesiana. Para hacerlo nos bastará determinar para cada radio vector y cada ángulo, la abscisa y la ordenada correspondientes aplicando propiedades de los triángulos
rectángulos.
Ejemplo
Establezcamos las componentes en el otro sistema.
A (3,45˚)
O
9
P (1, 1), Q (4, 60º).
5
O
X
−60˚
B (5,−60˚)
Y
Aunque generalmente el radio vector se toma positivo cuando se
mide sobre el lado terminal del ángulo positivo de rotación, también se puede tomar sobre la semirrecta opuesta al lado terminal
del ángulo positivo de rotación y en tal caso el radio vector se
toma negativo. El ángulo de rotación se toma positivo o negativo,
según que se gire a partir del eje polar en sentido contrario o en el
mismo sentido de las manecillas del reloj.
Sabemos que el ángulo θ es coterminal con otros muchos y por
eso se puede nombrar como θ + 360°n; pero si tomamos el radio
Para el punto P (1, 1) se tiene que r = 12 + 12 = 2 y como
para el triángulo rectángulo cuyos catetos son congruentes los
ángulos agudos son congruentes, entonces θ = 45°. Por tanto la
expresión polar del punto P es P
(
)
2 , 45ϒ . Veamos la figura.
Y
( 2, 45˚) = P (1,1)
O
45˚
2
X
Matemáticas
Para el punto Q (4, 60º) basta considerar la circunferencia de
radio OB = 4 x y en ella el triángulo OQA que es rectángulo en A,
porque QA es la altura del triángulo OQB y es mediana. Por tanto
( )
5
( )
del punto Q serán 1 ( 4 ) ,
2
1
()
c.
(5, −30º)
d.
(−2, −90º)
b.
c.
d.
Ubica ahora, en el plano anterior, los puntos para los cuales
se cumple: r = θ, r = θ , r = 2θ. ¿Qué diferencias hay entre
2
las tres gráficas resultantes? ___________________
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Localiza sobre el plano cartesiano un triángulo equilátero
de lado a > 0, cuya base esté sobre el eje X y sea simétrico
respecto del eje Y. Determina la representación cartesiana
y polar de los vértices. Haz lo mismo para un cuadrado de
lado a > 0 cuyos ejes de simetría sean los ejes X y Y.
(
)
Los ejercicios 8 a 12 realízalos con un grupo de compañeros o
compañeras.
8
Expliquen el proceso geométrico que permite calcular las
coordenadas cartesianas del punto (r, 30º). _____________
__________________________________________________
9
A cada punto del plano polar corresponde una pareja de la
forma (r, θ). ¿Cómo condicionar r y θ para obtener aquellos
puntos que pertenecen al semiplano cartesiano con y > 0?
Expliquen. ______________________________
(7, 180º) _____
(1, −675º) _____
Escribe en forma polar los siguientes números complejos.
a. 2 − 2i
= _______ b. 3 + 3i = _______
b. −2, − 2 3 = _______ d.
0, − 1 = _______
2
l radio vector es 3
E
El ángulo es 60º
El radio vector es menor que 2
El ángulo es mayor que 90º y menor que 150º.
6
(5, −60º) _______
Expresa, en forma de pares ordenados de números reales y
binomial, los siguientes complejos dados en representación
polar.
a. a.(−1, 90º) _____
b. c.(−3, 270º) _____
4
)
Representa cada punto usando cinco parejas diferentes.
a. (2, 45º) _______
3
(
= Q 2, 2 3 .
Ubica en el plano polar los puntos cuyas coordenadas polares son:
a. 3 , 45ϒ 2
b. (−3, 60º)
2
3 4
2
Traza sobre un plano circunferencias de radios 1, 2, 3, 4,
5 cm y ángulos cuyas medidas varíen de 30º en 30º. Ubica
en este plano los puntos que cumplan cada condición.
a.
b.
c.
d.
OA = 1 OB y AQ = 3 OB (aplicando el teorema de Pitágoras
2
2
al triángulo OQA). De esta manera, las coordenadas cartesianas
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Matemáticas
10 ¿Cómo condicionar r y θ para obtener los puntos que están
en una semirrecta cuyo origen es el punto (0, 0) y x > 0?
Expliquen. _______________________________________
11 Encuentren la forma de todos los complejos, en forma
polar (r, θ), cuya abscisa en el sistema cartesiano es r .
2
__________________
12 Hallen la forma de todos los complejos, en forma poy
= −1.
lar (r, θ), tal que en el sistema cartesiano
x
2
_________________________
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