Ideas básicas sobre gravitación

FÍSICA 2º BACHILLERATO
Juan Jesús Pascual
GRAVITACIÓN
1.
Introducción.
Uno de los grandes retos intelectuales del hombre ha sido entender el movimiento planetario. En un primer momento se pensó
que los cuerpos celestes se movían entorno a la Tierra, describiendo círculos concéntricos. Luego se supuso que, si bien los astros
se trasladaban entorno a la Tierra, lo hacían ya no siguiendo circunferencias, sino epicicloides. Más adelante se quitó a la Tierra
del centro del universo, colocando al Sol en su lugar, pero manteniendo las órbitas circulares.
Ya por último, se adoptaron las órbitas elípticas para todos los planetas que se trasladan alrededor del Sol.
2.
Leyes de Kepler
Kepler, además de descubrir que los planetas se mueven en órbitas elípticas y no circulares, entorno al Sol, matematizó sus ideas.
a)
Ley de las órbitas:
Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas, en uno de cuyos focos está el sol.
b)
Ley de las áreas:
Toda línea que une un planeta con el sol barre áreas iguales, A, en tiempos iguales, t.
También podemos expresar esta idea como sigue:
La velocidad aerolar es constante, entendiendo por velocidad aerolar a la
superficie barrida por la línea en la unidad de tiempo.
La idea queda bien reflejada en la figura 2-a.
Hasta Kepler, siempre se había creído que la velocidad de los planetas entorno
al Sol era constante.
Demostración:
La figura 2-b representa el área que barre el planeta de masa m en un tiempo ∆t , que es el que tarda en desplazarse una
distancia ∆r . Vamos a denotar a esa área por ∆A
Recordamos ahora que el área de un paralelogramo, que tiene
por lados adyacentes a los vectores r y ∆r , viene dada por
Área = r ×∆r , como se denota en la figura 2-c:
∆r
Á re a = r × ∆ r
r
Como ∆A es la mitad de esa área, entonces podemos escribir que ∆A =
1 r ×∆r , y haciendo las manipulaciones
2
apropiadas:
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Gravitación
Física 2º Bachillerato
∆A =
1 ∆A 1 ∆A
1 ∆A
L
r × v ⋅∆t ⇒
= r× v ⇒
=
r × mv ⇒
=
, en donde L = r × mv es el módulo del momento
2
∆t
2
∆t
2m
∆t
2m
angular, el cual es una constante. Así que:
c)
∆A
∆A
dA
= cte , o lo que es lo mismo lim
= cte ⇒
= cte
∆t→∞ ∆t
dt
∆t
Ley de los periodos:
El cuadrado del periodo de cualquier planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita, es decir, T 2 ∝ r 3 .
Demostración de la ley de los periodos para el caso especial de una órbita circular:
Si la órbita de un planeta es circular, tanto su velocidad aerolar como lineal serán constantes. Las fuerzas gravitatoria y
centrípeta han de ser iguales. Si su velocidad lineal es v y el radio de la órbita es r, entonces se tiene que cumplir:
Fg = Fc ⇒ G
Mm mv 2
=
r2
r
A partir de esta expresión, buscamos la relación más sencilla entre T y r. Recordando que la relación entre el periodo de
2πr
un movimiento circular y la velocidad lineal es T =
se tiene que:
v
 2πr 
m 

Mm mv
Mm
 T 
4π 3
G 2 =
⇒G 2 =
⇒ T2 =
r ⇒ T2 ∝ r3
r
r
r
r
GM
2
2
3.
Ley de gravitación de Newton
La fuerza que se ejercen entre sí dos masas separadas por una distancia r es:
Gm 1m 2 Nm
F1,2 = −
u 1,2 , con G = 6, 67 ⋅ 10−11
2
r1,2
kg
4.
Energía potencial gravitatoria
La definición general de la energía potencial viene dada por la expresión dU = −F ⋅ ds , en donde F es la fuerza que actúa sobre la
partícula y ds el desplazamiento de la partícula.

Mm 
Para la energía potencial gravitatoria, tendremos dU g = −Fg ⋅ ds ⇒ dU g = −Fg ⋅ u r ⋅ u r ⋅ dr = −Fg ⋅ dr ⇒ dU g = −−G 2  ⋅ ds , es

r 
decir:
dU g = G
Mm
⋅ dr .
r2
Si integramos ambos miembros de esta ecuación:
∫ dU = ∫ G
Mm
Mm
⋅ dr ⇒ U = −G
+ U 0 , con U 0 una constante de integración.
r2
r
Si consideramos que en r = ∞ el valor de U es cero, entonces U 0 = 0 . Así que, la expresión de la energía potencial gravitatoria
es U = −G
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Mm
r
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5.
Gravitación
Energía mecánica
Energía mecánica de un sistema es la suma de las energías cinética y potencial. En el caso de la energía mecánica gravitatoria de
un sistema formado por dos cuerpos de masa M y m, la energía mecánica es:
E = Ec + Ep =
1
Mm
mv 2 − G
2
r
Esta expresión nos permite calcular, por ejemplo, la velocidad de escape de un cuerpo de masa m ligado a un planeta de masa M.
Cálculo de la velocidad de escape de un cuerpo en la Tierra.
Para que un cuerpo escape de la Tierra, su energía mecánica tiene que ser como mínimo igual a cero, es decir, la condición
mínima es Emin = 0 . Esto implica que:
1
Mm
1
Mm
2
Emin = mv 2 − G
= 0 ⇒ mv escape
=G
, con R el radio de la Tierra, M la masa de la Tierra
2
R
2
R
Despejando la velocidad de escape, vescape , obtenemos que: vescape =
2GM
.
R
Como el módulo del campo gravitatorio sobre la superficie terrestre es
GM
, la expresión anterior se puede escribir así:
R2
vescape = 2 ⋅ g ⋅ R
6.
Campo gravitatorio.
F
GM El campo gravitatorio terrestre en general está dado por g (r) = = − 2 u r
m
r
*****
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