Optimización y Programación Lineal

Optimización y Programación Lineal
Problemas resueltos con el método gráfico
4 de junio de 2014
1. Resuelva el siguiente PL por el método gráfico
Max z = x1 + x2
Sujeto a:
x1 + x2 ≤ 4
x1 − x2 ≥ 5
x1 , x1 ≥ 0
Solución
En la figura 1 se observa que la región factible es vacı́a.
2. Resuelva el siguiente PL por el método gráfico
Max z = 4 x1 + x2
Sujeto a:
8 x1 + 2 x2 ≤ 16
5 x1 + 2 x2 ≤ 12
x1 , x1 ≥ 0
Solución
En la figura 2 se observa que las curvas de nivel de la función objetivo son paralelas a un lado de
la región factible que es hacia donde crece el valor de la función objetivo. Dos posibles soluciones
son P (x1 = 4/3, x2 = 8/3) y Q(x1 = 2, x2 = 0) ambas con evaluación z = 8. Pero cualquier punto
en el segmento P Q será máximo. Por tanto, el problema PL tendrá múltiples soluciones.
3. Resuelva el siguiente PL por el método gráfico
Max z = −x1 + 3 x2
Sujeto a:
x1 − x2 ≤ 4
x1 + 2 x2 ≥ 4
x1 , x1 ≥ 0
Solución
En la figura 3 se observa que la región factible no es acotada y hacia donde las curvas de nivel
crecen es en la dirección de no actotamiento. Por tanto, el PL no tendrá solución óptima y no es
acotado.
1
(0, 4)
x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
(4, 0)
(5, 0)
(0, −5)
x1 − x2 ≥ 5
Figura 1: Solución óptima al problema 1
(0, 8)
8 x1 + 2 x2 ≤ 16
(0, 6)
5 x1 + 2 x2 ≤ 12
P (4/3, 8/3)
∇z
(12/5, 0)
Q(2, 0)
z=8
Figura 2: Múltiples soluciones al problema 2
2
z = 26
z = 22
∇z
z = 18
z = 14
z = 10
z=6
z=2
(0, 2)
(4, 0)
x1 + 2 x2 ≥ 4
x1 − x2 ≤ 4
Figura 3: No acotamiento en el problema 3
4. Leary Chemical produce tres productos quı́micos: A, B y C. Estos productos se obtienen mediante
dos procesos: 1 y 2. El funcionamiento del proceso 1 durante una hora cuesta 4 dólares y produce 3
unidades del producto A, 1 unidad del producto B, y 1 unidad del producto C. El funcionamiento
del proceso 2 durante 1 hora cuesta 1 dolar y produce 1 unidad del producto A y 1 unidad
del producto B. Para satisfacer la demanda de los clientes hay que producir diariamente por lo
menos 10 unidades del producto A, 5 del producto B y 3 del producto C. Determine el modelo
que le permita a Leary Chemical minimizar el costo diario y que satisfaga las demandas diarias.
Resuelva este problema por el método gráfico.
Solución
Modelo PL
Variables de decisión
x1 el número de horas dedicadas al proceso 1
x2 el número de horas dedicadas al proceso 2
Objetivo
Minimizar el costo operativo diario z = 4 dolar
x + 1 dolar
x (dólares)
hora 1
hora 2
Restricciones
Satisfacer las demandas de los clientes
• Producto A generados: 3 x1 + 1 x2 ≥ 10
• Producto B generados: 1 x1 + 1 x2 ≥ 5
• Producto C generados: 1 x1 + 0 x2 ≥ 3
Naturales: x1 , x2 ≥ 0
Solución al PL
En la figura 4 se ilustra la región factible y la dirección del gradiente (lı́nea verde). Por tanto, el
óptimo (en este caso mı́nimo) lo alcanza x1 = 3 y x2 = 2 lo cual da z = 14: la estrategia óptima
de minimización es dedicar 3 horas al proceso 1 y 2 hora al proceso 2. Esto genera 11 productos
3
(0, 10)
3 x1 + x2 ≥ 10
x1 ≥ 3
x1 + x2 ≥ 5
(0, 5)
∇z
z(x1 = 3, x2 = 2) = 14
(10/3, 0)
(5, 0)
z = 20
z = 14
Figura 4: Solución óptima al problema de Leary Chemical
A, 5 productos B y 3 productos C a un costo total de 14 dólares. Observe que la región es infinita
pero sı́ existe valor óptimo.
5. La granjera Jane posee 45 acres de tierra. Ella puede plantar o trigo o maı́z. Por cada acre de
tierra sembrado con trigo le da una ganancia de 200 dólares, mientras que cada acre sembrado
con maı́z le da una ganancia de 300 dólares. La labor y el fertilizante requerido por cada acre
aparece en la siguiente tabla.
Trigo
Maı́z
Labor
3 trabajadores 2 trabajadores
Fertilizante
2 toneladas
4 toneladas
Se tienen disponibles 100 trabajadores y 120 toneladas de fertilizante. Determine un modelo PL
para determinar como Jane puede maximizar la ganancia de su tierra. Resuelva este problema
por el método gráfico.
Solución
Modelo PL
Variables de decisión
x1 el total de acres de tierra a ser plantados con trigo.
x2 el total de acres de tierra a ser plantados con maı́z.
Objetivo
Maximizar la utilidad z = 200 x1 + 300 x2
Restricciones
Recurso trabajadores requeridos: 3 x1 + 2 x2 ≤ 100
4
3 x1 + 2 x2 ≤ 100
(0, 50)
∇z
(0, 30)
z(x1 = 20, x2 = 20) = 10, 000
z = 15, 000
z = 10, 000
z = 5000
(60, 0)
2 x1 + 4 x2 ≤ 120
Figura 5: Solución gráfica al problema de la granjera Jane
Recurso fertilizante, toneladas de fertilizante usadas: 2 x1 + 4 x2 ≤ 120
Naturales: x1 , x2 ≥ 0
Solución al PL
En la figura 5 se ilustra la región factible y en lı́neas sólidas las curvas de nivel de k = 200 x+300 y.
Por lo tanto el óptimo está en x1 = 20,x2 = 20: la estrategia óptima de maximización es plantar
20 acres de trigo y 20 acres de maı́z. Esto utiliza todos los trabajadores y todo el fertilizante y
produce una utilidad de 10,000 dólares.
5