l_Capitulo 8_Pruebas estadísticas

Capitulo 8. Pruebas estadísticas
8.1 Introducción
Existen pruebas estadísticas que por lo general son utilizadas para verificar la
homogeneidad de las varianzas y comparar pares de medias. El test de Bonferroni, los test
estadísticos de igualdad de varianza, la comparación entre medias, los métodos de comparación
de pares de media de tratamientos, así, el test de Tukey, el test de T de Student, el test de la
amplitud Múltiple de Duncan y el análisis de varianza son los más usados en el análisis de
experimentos.
8.2 Método de Bonferroni
El modelo para el estudio del análisis de varianza con un único factor es dado por:
(8.1)
Se sabe que los estimadores de la media y de los efectos de los tratamientos son dados por:
(8.2)
(8.3)
Y el intervalo de confianza para la media del i-ésimo tratamiento es dado por:
(8.4)
El intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos tratamientos, es dado por:
(8.5)
Los intervalos de confianza, expresados por las ecuaciones (8.4) y (8.5) son intervalos
considerados como uno de cada vez. O sea, el nivel de confianza,
una estimativa en particular.
70
, se aplica solamente a
Muchas veces, es esta interesado en determinar
confianza. La probabilidad de que
intervalos de interés, con
de
intervalos estén simultáneamente correctos es en el mínimo
. La probabilidad
frecuentemente es llamada de coeficiente global de confianza. Eso
implica que a medida que
aumenta, el nivel de confianza del conjunto de intervalos de confianza
disminuye. Con la finalidad de contornear ese problema, en vez de usar
(8.4) y (8.5), debe usarse
en las ecuaciones
. Ese procedimiento es conocido como el método de Bonferroni,
permitiendo al experimentalista construir un conjunto de
intervalos simultáneos de confianza
para las medias de los tratamientos o para la diferencia entre las medias de los tratamientos para
los cuales el nivel global de confianza es en lo mínimo
Al final de cualquier planeamiento, se precisa verificar la adecuación del modelo
matemático obtenido y la validad de las suposiciones hechas.
8.3 Test estadísticos para la igualdad de la varianza
Aunque la desigualdad de varianza puede ser evaluada por el análisis de los gráficos de
los residuos, existen pruebas estadísticas que son más precisos.
Una prueba bastante usada es la prueba de Bartlett. El test calculará una estadística,
cuya distribución de la muestra es bien aproximada por la distribución
libertad, cuando las
, con (
) grados de
muestras aleatorias fueran provenientes de poblaciones normales
independientes. La estadística de prueba es dada por:
(8.6)
Donde:
(8.7)
(8.8)
71
(8.9)
Siendo,
la varianza de la muestra de la i-esima población. La cantidad
cuando las varianzas muéstrales
fueran iguales. Así, rechazamos
rechazaremos
distribución
difieren mucho; siendo igual a cero cuando todas las
si los valores de
solamente si
, con
es grande
; siendo
fueran muy grandes; o sea,
el punto porcentual superior de la
grados de libertad.
El inconveniente de la prueba de Bartlett es el hecho de ser muy sensible a la suposición
de la normalidad. Luego de existir alguna duda con relación a esa suposición, el test no debe ser
usado.
Existen otros test estadísticos para la igualdad de varianza, tal como el test modificado de
Levene, que es un procedimiento muy bueno y robusto cuando hay desvíos en la normalidad. El
test usa el desvío absoluto de las observaciones
del tratamiento,
en cada tratamiento en relación a la mediana
. Los desvíos son dados por:
(8.10)
La prueba modificada de Levene evalúa si la media de esos desvíos son o no iguales para
todos los tratamientos.
Si los desvíos medios fueran iguales, las varianzas de las observaciones en todos los
tratamientos serán las mismas. La estadística de prueba usada en el test de Levene es una usual
estadística F, usada para testar la igualdad de medias, aplicada a los desvíos absolutos.
8.4 Comparaciones entre medias
Lo que se ha presentado en los puntos anteriores, en el análisis de varianza, es
determinar si hay globalmente diferencia entre las medias de los tratamientos. Eso quiere decir
que no se sabe exactamente que media difiere. Los procedimientos usados para comparar grupos
de medias o medias individuales es el llamado de métodos de comparación múltiple.
72
8.4.1 Métodos gráficos de comparación
Las medias de la resistencia pueden ser colocadas en una línea para cada valor del tenor
de algodón, conforme mostrado en la Fig. 8.1, analizando esa figura, se tiene una idea cualitativa
de que medias tienen o no valores aproximadamente iguales.
Figura 8.1 Medias de las resistencias, como una función del tenor de algodón
(Montgomery, 2001)
8.4.2 Contrastes
Como se observa, existen diferencias entre las medias de los tratamientos, pero no se
sabe exactamente entre cuales ocurre esa estadística.
Imaginemos que se quiera mostrar que no existe diferencia entre los tratamientos 4 y 5; o
sea:
(8.11)
O también:
(8.12)
Y que la media de los niveles más bajos no difiera de la media de los niveles superiores:
(8.13)
O también:
(8.14)
En general, un contraste es una combinación lineal de parámetros de la forma:
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(8.15)
Donde las constantes,
,….
de los contrastes deben sumar cero, esto es:
0, de esta forma, las hipótesis anteriores pueden ser expresadas como:
(8.16)
(8.17)
Las constantes para la ecuación (8.16) son:
constantes para la ecuación (8.17)
;
y
; y las
.
La prueba de hipótesis envolviendo contrastes puede ser hecho de dos maneras básicas.
El primer método usa el test t.
Escriba el contraste de interés en términos de los totales de los tratamientos:
(8.18)
La varianza de
es
cuando los tamaños de las muestras en cada
tratamiento son iguales. Si la hipótesis nula en la ecuación (8.16) fuera verdadera, la razón:
(8.19)
Tendrá una distribución N(0,1) como la varianza
su estimativa, la media cuadrática del error:
es generalmente desconocida, se usa
resultando en la estadística de prueba:
(8.20)
La hipótesis nula, será entonces rechazada si
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La segunda manera usa el test F. el cuadrado de una variable aleatoria , con
libertad, es una variable aleatoria F, con grados de libertad iguales a 1 y
grados de
, para el numerador y el
denominador respectivamente, así:
(8.21)
La hipótesis nula será rechazada si
; otra forma de escribir la ecuac. (8.21)
(8.22)
(8.23)
En el caso de tratamientos con diferentes tamaños de muestra, los siguientes cambios
deben ser hechos:
(8.24)
(8.25)
(8.26)
8.4.3 Métodos para la comparación de pares de medias de tratamientos
La idea ahora es comparar todos los pares de medias de tratamientos, resultando las siguientes
hipótesis:
;
; Para todo
Las pruebas que serán presentadas aquí, son utilizados después que, a través de un análisis de
varianza, fuera verificada la existencia de una diferencia global entre los tratamientos.
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8.4.3.1 Test de Tukey
Tukey (1953) propuso un procedimiento para testar la hipótesis nula, con
siendo
exactamente el nivel global de significancia, cuando las muestras tienen tamaños iguales, y en el
máximo , cuando las muestras tienen tamaños diferentes.
El test de Tukey utiliza la distribución de la estadística de amplitud en la forma de Student
(8.27)
Siendo:
, la mayor y menor media respectivamente.
(8.28)
Siendo : el numero de grados de libertad, asociado con
,y
se halla en las tablas
estadísticas.
Si el valor absoluto de la diferencia entre dos medias fuera mayor de
entonces
debe
ser rechazada.
Para muestras con tamaños diferentes, la ecuación (8.28) es modificada para:
(8.29)
La versión para muestras de tamaños diferentes es a veces llamada de procedimiento de TukeyKramer.
8.4.3.2 Método de la mínima diferencia significativa (LSD) de Fisher
La estadística de prueba para la hipótesis:
es:
(8.30)
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Un par de medias será estadísticamente diferente, si:
(8.31)
Si las muestras tuvieran el mismo tamaño; entonces:
(8.32)
Note que el riesgo global
, puede ser considerablemente aumentado usando este método.
Específicamente en la medida que
aumenta, el error tipo I, del experimento entre el
número de experimentos en el cual un error de tipo I es hecho y el número total de experimentos
se torna grande.
8.4.3.3 Test de la amplitud múltiple de Duncan
El test, desarrollado por Duncan (1955) es largamente utilizado para comparar pares de
medias. Para el test de Duncan, las medias de los tratamientos (con el mismo tamaño de
muestras) son colocadas en orden creciente y el error estándar de cada media es determinado
por:
(8.33)
En el caso de muestras con tamaño diferentes,
de las
debe ser cambiado por la media harmónica,
,
, quedando con:
(8.34)
En las tablas estadísticas, se presentan los valores de las amplitudes
. En el que
es el nivel de significancia y
asociado a la media cuadrática del error
.
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para
es el número de grados de libertad
Un conjunto de
amplitudes de mínima significancia deber ser obtenido, a través de:
(8.35)
Las diferencias observadas entre las medias son probadas, comenzando con la mayor
versus la menor y luego entonces comparadas con
.
A seguir, una nueva diferencia entre las medias es calculada, comenzando con la próxima
mayor versus la próxima menor, y entonces comparada con
. El proceso continua hasta el
final. Si una diferencia observada fuera mayor que la correspondiente amplitud de mínima
significancia,
, se concluye que el par de medias en cuestión es estadísticamente diferente.
Para evitar contradicción, ninguna diferencia entre un par de medias será considerada
significante, si esas dos medias envolvidas estuvieran entre dos medias que no difieran
significativamente.
El test de Duncan es muy efectivo en detectar diferencias entre medias, cuando
diferencias reales existen. Esa es la razón por la cual el test referido es bastante popular.
8.4.3.4 Métodos para la comparación de pares de medias de tratamiento
El modulo ANOVA de Statistica realiza todas estas pruebas de hipótesis a respecto de la
igualdad de medias de los tratamientos. Supongamos que se desea unificar el efecto porcentual
de algodón en la resistencia de un tejido, los siguientes datos experimentales fueron recogidos y
colocados en una planilla que se presenta en la tabla 8.1.
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Tabla 8.1 Base de datos del porcentaje de algodón en la resistencia de un tejido
concentracion(%) resistencia
15
7
15
7
15
15
15
11
15
9
20
12
20
17
20
12
20
18
20
18
25
14
25
18
25
18
25
19
25
19
30
19
30
25
30
22
30
19
30
23
35
7
35
10
35
11
35
15
35
11
Fuente: Montgomery (2001)
Accione el modulo del ANOVA del programa de Statistica, obteniendo la siguiente ventana
tal como se presenta en la Fig. 8.1
Figura 8.1 Ventana del análisis de ANOVA
Seleccione la opción One-way ANOVA, visto que solo existe un factor para ser analizado.
Luego presione OK y si se seleccionará las variables, la siguiente ventana surgirá, tal como se
presenta en la Fig.8.2.
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Figura 8.2 Ventana para seleccionar All efects
El análisis de varianza es obtenida rápidamente al seleccionarse la opción All effects,
resultando en la Fig.8.3.
Figura 8.3 Ventana del resultado del análisis de varianza
Esa misma diferencia, con la barra de error, puede ser vista en forma grafica,
escogiéndose la opción. All effects/graphs y presionándose OK. Resultando en la Fig.8.4
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"Var1"; LS Means
Current effect: F(4, 20)=14,757, p=,00001
Effective hypothesis decomposition
Vertical bars denote 0,95 confidence intervals
26
24
22
Resistencia
20
18
16
14
12
10
8
6
4
15
20
25
30
35
Porcentaj e de algodon(%)
Figura 8.4 Influencia del porcentaje de algodón sobre la resistencia del tejido
La media cuadrada del error (Fig.8.3) es 8,06. El test F muestra que hay una diferencia
estadísticamente significativa entre los tratamientos. No se sabe por en cuanto, donde esta esa
diferencia.
Se usan, entonces los test, ya referidos, seleccionándose la opción More results, se
obtiene la siguiente ventana, tal como se muestra en la Fig. 8.5;
Figura 8.5 Ventana de Anova
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Las pruebas que se necesitan hacer se encuentran en la pasta Post-hoc que al ser
seleccionada, resulta en la Fig.8.6:
Figura 8.6 Ventana de ANOVA
A partir de aquí, se selecciona el factor que se quiere analizar y presionando el test
deseado, resultando una serie de ventanas dadas a continuación, cada una siendo referente a un
método, tal como mostrado los resultados en las Figuras 8.7, 8.8, 8.9 y 8.10
Figura 8.7 Ventana del resultado con el método de Fisher LSD
Figura 8.8 Ventana del resultado con el método de Bonferroni
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Figura 8.9 Ventana del resultado con el método de Scheffe
Figura 8.10 Ventana del resultado con el método de Tukey
Como visto anteriormente, no solo existe diferencia entre las medias de los tratamientos
2y3 y 1y5. El método de Scheffé presenta menos diferencias significativas que los demás
métodos.
Estos métodos son validos si la varianza se muestra homogénea. Entonces las pruebas
vistas anteriormente deben ser hechas a fin de verificar si esa suposición está siendo atendida
para esos datos.
El programa de Statistica, realiza esas pruebas y se selecciona la pasta Assumptions,
resultado en: las pruebas de Cochran, Hartley, Bartlett y Levene resultan en las ventanas dadas a
continuación y presentadas en las figuras 8.11 y 8.12 respectivamente.
Como el valor p fue mayor que 0,05; la hipótesis de homogeneidad es aceptada.
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Figura 8.11 Ventana del test de Hartley, Cochran y Bartlett de homogeneidad de varianza
Figura 8.12 Ventana del test de Leven de homogeneidad de varianza
Otro grafico importante es aquel que relaciona la desviación estándar (o varianza) con las medias
de los tratamientos.
No puede haber cualquier correlación entre esas dos variables.
El grafico puede ser hecho en Statistica, si al seleccionar la opción Plot means vs Std,
deviations. Por la Fig 8.13, se percibe que no hay correlación entre la desviación estándar y la
media de los tratamientos.
Means vs. Std.Dvs: Var2
Effect: "Var1"
3,4
3,2
Standard Deviations
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Means
Figura 8.13 Relación entre los desvíos estándares y las medias
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