03. Ecuaciones escalares: métodos de Runge-Kutta

Métodos de Taylor
Métodos de un paso: generalidades
Métodos explícitos de Runge-Kutta
Métodos de Runge-Kutta explícitos de 2 etapas
E. de Ingenierías Industriales
2012-13
Métodos Matemáticos I
Jesús Rojo
03. Ecuaciones escalares: métodos de Runge-Kutta
Métodos de Taylor
Métodos de un paso: generalidades
Métodos explícitos de Runge-Kutta
Métodos de Runge-Kutta explícitos de 2 etapas
03. Ecuaciones escalares: métodos de
Runge-Kutta
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Métodos de Taylor
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Métodos explícitos de Runge-Kutta
Métodos de Runge-Kutta explícitos de 2 etapas
1 Métodos de Taylor
2 Métodos de un paso: generalidades
3 Métodos explícitos de Runge-Kutta
4 Métodos de Runge-Kutta explícitos de 2 etapas
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Métodos de Taylor
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Métodos de Runge-Kutta explícitos de 2 etapas
Métodos de Taylor
Consideremos lo que hemos llamado un problema tipo o problema
usual, consistente en una ecuación diferencial de primer orden en la
forma normal, que ahora será una ecuación escalar, y una condición
inicial
y 0 = f (x, y ) , y (a) = η ,
donde por lo tanto, la función f es
f : [a, b] × IR → IR ,
y en su dominio
D : x ∈ [a, b] ,
y ∈ (−∞, ∞) ,
es Lipschitziana respecto de la variable y , con constante de
Lipschitz L.
Ya sabemos que, en estas condiciones, en el intervalo [a, b] existe
una única solución y (x) del problema, que es la solución que
intentamos aproximar.
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Comenzaremos construyendo métodos para aproximar la solución
y (x) de un tipo llamado de los métodos de Taylor. No vamos a
ocuparnos apenas de estos métodos (no son muy útiles en la
práctica, como explicaremos luego), pero nos serán de utilidad
como referente de los de Runge-Kutta, que serán los que
centren nuestra atención. Su nombre hace referencia al
desarrollo de Taylor de la solución y (x).
Suponemos que nos movemos en la red usual de nodos
xn = a + n h ,
n = 0, . . . , N ,
que dividen el intervalo [a, b] en N subintervalos iguales y de
longitud h. Representamos, como ya hemos explicado, por yn la
aproximación
yn ∼ y (xn )
al valor y (xn ) de la solución en xn .
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El desarrollo de Taylor de y (x + h), con resto tras el segundo
término, es
h2 00
y (ζ)
2
h2 00
= y (x) + h f (x, y (x)) +
y (ζ) ,
2
y (x + h) = y (x) + h y 0 (x) +
y, la eliminación del término más pequeño, nos llevaba a
y (x + h) ∼ y (x) + h f (x, y (x)) ,
aproximación que sugería
yn+1 = yn + h T (1) (xn , yn , h) = yn + h f (xn , yn ) ,
que era el método de Euler. Hemos escrito T (1) (xn , yn , h) para
recordar con T (1) la serie de Taylor.
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Ahora hacemos lo mismo pero extendiendo la serie de Taylor a
un término más
y (x + h) = y (x) + h y 0 (x) +
h2 00
h3 000
y (x) +
y (ζ) .
2
6
Como antes, y 0 (x) = f (x, y (x)), pero ahora
d
f (x, y (x))
dx
= fx (x, y (x)) + fy (x, y (x)) y 0 (x)
y 00 (x) =
= fx (x, y (x)) + f (x, y (x)) fy (x, y (x)) .
O sea,
y (x + h) = y (x) + h T (2) (x, y (x), h) +
h3 000
y (ζ) ,
6
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donde hemos puesto
h
T (2) (x, y , h) = f (x, y ) + (fx (x, y ) + f (x, y ) fy (x, y )) .
2
Por el mismo argumento que antes
y (x + h) ∼ y (x) + h T (2) (x, y (x), h) ,
lo que lleva al método numérico
yn+1 = yn + h T (2) (xn , yn , h) ,
que es el llamado método de Taylor de orden 2.
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Como la expresión de T (2) (x, y , h) es un poco larga, escribimos
resumidamente
T (2) = f +
h
(fx + f fy ) ;
2
esta notación abreviada y otras similares que emplearemos hay que
entenderlas siempre de esta manera. O sea, lo anterior significa
T (2) (x, y , h) = f (x, y ) +
h
(fx (x, y ) + f (x, y ) fy (x, y ))
2
h
T (2) (x, y (x), h) = f (x, y (x))+ (fx (x, y (x))+f (x, y (x)) fy (x, y (x)))
2
h
T (2) (xn , yn , h) = f (xn , yn ) + (fx (xn , yn ) + f (xn , yn ) fy (xn , yn ))
2
etc.
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El error local cometido en este último método es
T (h) =
h3 000
y (ζ) = O(h3 )
6
y se trata de un método de orden 2, como su propio nombre
recuerda.
El método de Euler, que volvíamos a escribir aquí como
yn+1 = yn + h T (1) (xn , yn , h)
cometía un error de
T (h) =
h2 00
y (ζ) = O(h2 )
2
y era de orden 1 .
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Siguiendo la misma línea, tenemos el método de Taylor de
orden 3
yn+1 = yn + h T (3) (xn , yn , h) ,
o, más generalmente, el método de Taylor de orden n
yn+1 = yn + h T (n) (xn , yn , h) ,
donde ya las expresiones de T (3) o T (n) son más costosas de
obtener. Pero, por su importancia, tendremos que conocer su
fórmula, y lo haremos de forma sistemática un poco más adelante.
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El principal inconveniente práctico de estos métodos de Taylor es
que precisan del empleo de las derivadas fx , fy y otras sucesivas de
mayor orden. Estas derivadas no se pueden obtener (sin costo
importante) cuando la expresión de f (x, y ) es complicada o, peor
aún, cuando f (x, y ) sólo es conocida en forma numérica, lo que es
bastante usual como ya advertimos.
La principal variante que resuelve este problema es la de los
llamados métodos de Runge-Kutta que centrarán nuestra
atención en lo que sigue.
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El método de Euler y, más generalmente los métodos de
Taylor
yn+1 = yn + h T (1) (xn , yn , h) = yn + h f (xn , yn ) ,
yn+1 = yn + h T (n) (xn , yn , h) ,
son ejemplos de la fórmula general
yn+1 = yn + h Φ(xn , yn , h)
de los que conocemos como métodos explícitos de 1 paso.
En el primer caso es
Φ(xn , yn , h) = T (1) (xn , yn , h) = f (xn , yn ) ,
y en el segundo,
h
Φ(xn , yn , h) = T (2) (xn , yn , h) = f + (fx + f fy ) ,
2
particularizado para el caso de segundo orden.
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Para un método explícito de un paso yn+1 = yn + h Φ(xn , yn , h) se
define el Error local de truncación (LTE) como
Tn+1 (h) = y (xn+1 ) − y (xn ) − h Φ(xn , y (xn ), h) ,
o mejor, sin los subíndices n, como
T (h) = y (x + h) − y (x) − h Φ(x, y (x), h) ,
para la solución exacta y (x) del problema.
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Al desarrollar T (h)/h en potencias de h
T (h)
y (x + h) − y (x)
=
− Φ(x, y (x), h) ,
h
h
interviene el término que vamos a denotar por ∆(x, y (x), h)
y (x + h) − y (x)
h
que es un desarrollo abstracto para una función no concreta y (x)
con primeros términos
∆(x, y (x), h) =
h 00
h2 000
y (x) +
y (x) + · · ·
2
6
El término general de esta serie es
∆(x, y (x), h) = y 0 (x) +
hk−1 k)
y (x) .
k!
Aparece también Φ(x, y (x), h) que es la parte que depende del
método. Nosotros escribiremos ∆(h) y Φ(h) ya que nuestro interés
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escalares: métodos de Runge-Kutta
está en ver su funcionamiento al variar
h.
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Con esa notación
T (h)
= ∆(x, y (x), h) − Φ(x, y (x), h) = ∆(h) − Φ(h) .
h
Recordemos que la consistencia de un método es, o que un método
es consistente cuando
T (h)
lim
=0
h→0 h
Como ya vimos, eso quiere decir que, para los métodos consistentes,
el desarrollo de T (h) en potencias de h comienza en h2 , y el de
T (h)/h en h1 = h. Es decir que, para un método consistente,
T (h)
= ∆(h) − Φ(h) = O(h)
h
al menos, o sea, que al menos tiene orden 1.
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Generalizando esto, si el desarrollo de T (h)/h en potencias de h
comienza en hp (o T (h) en hp+1 , que es lo mismo) diremos que el
método tiene orden p .
Esto quiere decir que
T (h)
= ∆(h) − Φ(h) = O(hp )
h
(sin que sea cierto para valores mayores que p) o que
T (h) = O(hp+1 ) .
También equivale a decir que
T (h)
=0 y
h→0 hp
lim
T (h)
6= 0 .
h→0 hp+1
lim
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El método de Euler hacía
Φ(x, y , h) = f (x, y )
es decir, la diferencia
T (h)
= ∆(h) − Φ(h)
h
clausuraba el término y 0 (x) = f (x, y (x) de orden h0 de ∆(h),
hacía que T (h)/h comenzase por h2 y 00 (x) o sea que
T (h)/h = O(h) y así resultaba ser de orden 1.
Lo que sigue es, por ejemplo, intentar que Φ(h) reproduzca
ahora
h
h
f + y 00 (x) = f + (fx + f fy ) ,
2
2
0
1
que son los términos en h y h de ∆(h).
Hemos visto que esto es posible hacerlo tomando
Φ(x, y (x), h) = T (2) (x, y (x), h), o sea tomando el método de
Taylor de orden 2 .
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Pero no nos interesa hacerlo de esta manera (tomando derivadas
de f ), sino usando valores de la propia f . Y es lo que sigue a
continuación, los llamados ’métodos de Runge-Kutta’.
Empezaremos estudiando los métodos explícitos de esta familia,
que son los más fáciles de usar, dejando para más adelante
métodos similares que no son explícitos.
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Cada método de Runge-Kutta posee un determinado número
de ’etapas’, que denotaremos de momento por q, y que coincide
con el número de evaluaciones de la función f necesarias para
pasar de yn a yn+1 . El más elemental y primero de estos
métodos es el de Euler, que pasa de yn a yn+1 haciendo
yn+1 = yn + h f (xn , yn ) ,
con una simple evaluación de f . Emparentando este método con
los que presentamos a continuación, escribiremos
k1 = f (xn , yn ) ,
y
yn+1 = yn + h k1 .
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Pero de manera más general, un método de Runge-Kutta
explícito de q etapas comienza en cada paso (de xn a xn+1 )
realizando q evaluaciones de f que describiremos como
k1 = f (xn , yn ) ,
k2 = f (xn + c2 h, yn + a2,1 h k1 ) ,
k3 = f (xn + c3 h, yn + a3,1 h k1 + a3,2 h k2 ) ,
.. .. ..
. . .
kq = f (xn + cq h, yn + aq,1 h k1 + aq,2 h k2 + · · · + aq,q−1 h kq−1 ) ,
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en puntos cuyas abscisas son creadas por coeficientes o parámetros
c2 , c3 , . . . , cq desplazando la abscisa inicial xn y cuyas ordenadas
son creadas por coeficientes
a2,1
a3,1
..
.
a3,2
..
.
aq,1 aq,2
..
.
···
aq,q−1
que multiplican a h y a los anteriores valores de los ki calculados.
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Finalmente, el valor de yn+1 se obtiene como
yn+1 = yn + h (b1 k1 + b2 k2 + · · · + bq kq ) .
El valor de f (xn , yn ) que aparecía en el método de Euler se
substituye entonces por una media
b1 k1 + b2 k2 + · · · + bq kq
de las q avaluaciones k1 , k2 , . . . , kq obtenidas previamente.
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Resumiendo el proceso,
k1 = f (xn , yn ) ,
k2 = f (xn + c2 h, yn + a2,1 h k1 ) ,
k3 = f (xn + c3 h, yn + a3,1 h k1 + a3,2 h k2 ) ,
.. .. ..
. . .
kq = f (xn + cq h, yn + aq,1 h k1 + aq,2 h k2 + · · · + aq,q−1 h kq−1 ) ,
y
yn+1 = yn + h (b1 k1 + b2 k2 + · · · + bq kq ) .
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Los métodos descritos son de la forma
yn+1 = yn + h Φ(xn , yn , h) ,
donde ahora la función Φ(h) = Φ(xn , yn , h) viene dada por
Φ(h) = b1 k1 + b2 k2 + · · · + bq kq
o bien
Φ(h) = b1 k1 (h) + b2 k2 (h) + · · · + bq kq (h) ,
con los
ki (h) = f (xn + ci h, yn + ai,1 h k1 + ai,2 h k2 + · · · + ai,i−1 h ki−1 )
Cuando se necesite escribir Φ(x, y , h) en vez de Φ(h) = Φ(xn , yn , h)
escribiremos
ki = f (x + ci h, y + ai,1 h k1 + ai,2 h k2 + · · · + ai,i−1 h ki−1 ) ,
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Ya hemos explicado por qué las evaluaciones ki deben ser
consideradas las causantes de los cálculos más costosos para el
método y, por lo tanto, se debe considerar el número de
evaluaciones como la penalización que lleva el método para obtener
su objetivo, que será el de conseguir orden de consistencia mayor
de 1 .
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Ahora que tenemos métodos que usan únicamente valores de f
(y no de sus derivadas), nuestro objetivo es hacer que Φ(h)
reproduzca los primeros términos en ∆(h) hasta lograr que
T (h)
= ∆(h) − Φ(h) = O(hp )
h
para el entero p más grande posible. La relación es, como veremos,
algo irregular. La cuestión se puede plantear de dos maneras:
1
dado un número q de etapas, ¿qué orden puede alcanzarse?; y
2
dado un orden p, ¿que número mínimo de etapas permite
alcanzarlo?
Vamos a ir respondiendo (aunque lentamente) a ambas cuestiones.
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Escrito en nuestra forma actual de presentar las etapas, el método
de Euler o sus análogos de 1 etapa se escriben
y
Ahora
k1 = f (xn , yn ) ,
yn+1 = yn + h b1 k1 .
Φ(h) = b1 k1 (h) .
Es claro que la única opción para conseguir orden 1 es hacer
b1 = 1 , o sea,
Φ(h) = k1 (h) = f (x, y ) .
Observamos que no hacemos consideraciones sobre f y es que las
propiedades que obtengamos deben ser ciertas cuando f es
’abstracta’ o ’cualquiera’, con la sola condición de proporcionar
un problema de los que llamamos problema tipo.
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Podemos también intentar alcanzar orden 2 . Teniendo en cuenta
que
h
∆(x, y (x), h) = f + (fx + f fy ) + O(h2 ) ,
2
necesitaríamos con Φ(h) = k1 (h) = f (x, y ) reproducir esos
términos, salvo una diferencia de O(h2 ), lo que es claramente
imposible. Mejor resultado es el que vamos a obtener permitiendo
emplear una etapa más en cada paso.
Escribimos el método de Runge-Kutta explícito general de 2
etapas:
k1 = f (xn , yn ) ,
k2 = f (xn + c2 h, yn + a2,1 h k1 )
yn+1 = yn + h (b1 k1 + b2 k2 ) ,
que depende de los parámetros c2 , a2,1 , b1 y b2 (o sea, son
infinitos métodos diferentes con esta descripción).
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Ahora,
Φ(h) = b1 k1 + b2 k2
o bien Φ(h) = b1 k1 (h) + b2 k2 (h) .
Como
∆(h) = f +
h
(fx + f fy ) + O(h2 ) ,
2
necesitaríamos que
Φ(h) = f +
h
(fx + f fy ) + O(h2 ) .
2
Procedemos al cálculo de Φ(h) y lo hacemos con el mayor orden
posible, ya que las expresiones empiezan a ser algo largas.
Para Φ(h) es cierto el desarrollo
Φ(h) = Φ(0) + h Φ0 (0) + O(h2 ) .
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Φ(0) es
Φ(0) = b1 k1 (0) + b2 k2 (0)
y Φ0 (0) es
Φ0 (0) = b1 k10 (0) + b2 k20 (0) ,
lo que nos lleva a preocuparnos por obtener, por este orden, k1 (h) ,
k2 (h) , k1 (0) , k2 (0) , k10 (h) , k20 (h) , k10 (0) y k20 (0) .
Como ya hemos dicho, f y sus derivadas se entenderán en (xn , yn )
cuando no se indique nada en contrario; ahora bien, pondremos
f (xn + c2 h, yn + a2,1 h k1 ) o cosas similares cuando se trate de
evaluarlas en otros puntos.
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k1 (h) = f
k2 (h) = f (xn + c2 h, yn + a2,1 h k1 ) ;
para h = 0 el punto (xn + c2 h, yn + a2,1 h k1 ) se transforma en
(xn , yn ) , luego
k1 (0) = f
k2 (0) = f ;
Φ(0) vale entonces
Φ(0) = b1 k1 (0) + b2 k2 (0) = (b1 + b2 ) f .
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Prosiguiendo de forma análoga
k10 (h) = 0
k20 (h) = c2 fx (xn + c2 h, yn + a2,1 h k1 ) + a2,1 (k1 + h k10 ) fy (xn + c2 h, yn +
(empleamos repetidamente la regla de la cadena
d g (x, y (x))
d y (x)
= gx (x, y (x)) · 1 + gy (x, y (x))
dx
dx
teniendo en cuenta que dx/dx = 1);
para h = 0 sucede ahora
k10 (0) = 0
k20 (0) = c2 fx + a2,1 f fy ;
y Φ0 (0) vale
Φ0 (0) = b1 k10 (0) + b2 k20 (0) = b2 c2 fx + b2 a2,1 f fy .
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Finalmente, hemos obtenido
Φ(h) = (b1 + b2 ) f + h b2 c2 fx + h b2 a2,1 f fy + O(h2 ) .
Para lograr que
∆(h) − Φ(h) = O(h2 )
para f genérica, lo que hay que hacer es que
b1 + b2 = 1
b2 c2 = 1/2
b2 a2,1 = 1/2 .
Existen infinitas soluciones posibles; para describirlas podemos
tomar b2 = β 6= 0 (necesario para que puedan cumplirse las dos
últimas igualdades) y hacer
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b1 = 1 − β
b2 = β
1
c2 =
2β
1
a2,1 =
.
2β
O sea, los métodos de Runge-Kutta explícitos de 2 etapas y
orden 2 son
k1 = f (xn , yn ) ,
1
1
k2 = f (xn +
h, yn + a2,1
k1 )
2β
2β
yn+1 = yn + h ((1 − β) k1 + β k2 ) ,
(infinitos métodos diferentes descritos por un único
parámetro β 6= 0).
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Si se aspira a lograr el orden 3 con estos método de 2 etapas, hay
que tomar ahora
∆(h) = y 0 (x) +
h2 000
h 00
y (x) +
y (x) + O(h3 ) .
2
6
Pero ¿qué es y 000 (x)? Naturalmente, podemos hacer lo mismo que
hicimos con y 00 (x), derivando ahora
y 00 (x) = fx (x, y (x)) + f (x, y (x)) fy (x, y (x)) respecto de x (como
siempre, regla de la cadena, ...). Acaba siendo tedioso y difícil de
enmarcar en una hoja de papel.
El desarrollo de ∆(x, y (x), h) en función de f y de sus derivadas
parciales es ya medianamente grande y aumentará de forma
explosiva en cuanto aumentemos el orden que requerimos. Hacemos
un alto para dotarnos de una notación y algún procedimiento que
permitan mantener las cosas en tamaños adecuados para su lectura.
03. Ecuaciones escalares: métodos de Runge-Kutta