Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática (MAT021) 1er Semestre de 2010 1 Números Complejos Se define el conjunto de los números complejos como: C = {a + bi / a, b ∈ R , i2 = −1} Definición 1.1. Sea z, w ∈ C tal que z = x + iy en donde x, y ∈ R. Se define: 1. La parte real de z, denotado por Re{z}, al número real x. Esto es Re{z} = x. 2. La parte imaginaria de z, denotado por Im{z}, al número real y. Esto es Im{z} = y. 3. z = w si Re{z} = Re{w} e Im{z} = Im{w}. 1.1 Operatoria Sean z1 , z2 ∈ C de modo que z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 con x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R. Se define: 1. La suma de z1 y z2 como: z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ). 2. La multiplicación de z1 y z2 como: z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) Elemento Neutro para la Suma Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Sea e ∈ C de modo que e = e1 + ie2 con e1 , e2 ∈ R, y que z + e = z, es decir, que e es el elemento neutro para la suma. z+e = (x + iy) + (e1 + ie2 ) = (x + e1 ) + i(y + e2 ) = x + iy Esto quiere decir que x + e1 = x y que y + e2 = y. De esta manera se concluye que el elemento neutro para la suma viene dado por e = 0 + i0 = 0. Elemento Neutro para la Multiplicación Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Sea e ∈ C de modo que e = e1 + ie2 con e1 , e2 ∈ R, y que z · e = z, es decir, que e es el elemento neutro para la multiplicación. z·e = (x + iy) · (e1 + ie2 ) = (xe1 − ye2 ) + i(xe2 + e1 y) = x + iy Esto quiere decir que xe1 − ye2 = x y que xe2 + e1 y = y. De esta manera se concluye que el elemento neutro para la multiplicación viene dado por e = 1 + i0 = 1. MAT021 (Complemento) - Paralelo 12 1 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática Elemento Inverso para la Suma Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Sea w ∈ C de modo que w = w1 + iw2 con w1 , w2 ∈ R, y que z + w = 0, es decir, que w es el elemento inverso para la suma. z+w = (x + iy) + (w1 + yw2 ) = (z + w1 ) + i(y + w2 ) = 0 + i0 Esto quiere decir que x + w1 = 0 y que y + w2 = 0. De esta manera se concluye que el elemento inverso para la suma viene dado por w = (−x) + i(−y). Este elemento será denotado por “ −z ”. Elemento Inverso para la Multiplicación Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Sea w ∈ C de modo que w = w1 + iw2 con w1 , w2 ∈ R, y que z · w = 1, es decir, que w es el elemento inverso para la multiplicación. z·w = (x + iy) · (w1 + iw2 ) = (xw1 − yw2 ) + i(xw2 + w1 y) = 1 + i0 Esto quiere decir que xw1 − yw2 = 1 y que xw2 + w1 y = 0. De esta manera se concluye que el elemento inverso para la multiplicación viene dado por −y x +i 2 w= 2 x + y2 x + y2 Este elemento será denotado por “ z −1 = z1 ”. Se puede demostrar que (C, +, ·) cumple con los axiomas de cuerpo. Ejercicio 1.1. Encontrar las partes real e imaginaria de z 3 si z = x + iy con x, y ∈ R Ejercicio 1.2. Calcular i457 + i−245 + 2i200 + i 1.2 Conjugado y Módulo Definición 1.2. Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. Se define el conjugado de z como z = x − iy. Notar que siempre se cumplirá que z + z = 2 Re (z) y que z − z = 2 Im (z) i. Ası́ Re (z) = z+z 2 y z−z 2i A partir de esta definición se tendrán las siguientes propiedades. Im (z) = Propiedades 1.1. Sean z, w ∈ C. Entonces se cumple que: MAT021 (Complemento) - Paralelo 12 2 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática 1. z = z. 2. z + w = z + w. 3. z · w = z · w. 4. Si w 6= 0 entonces z w = z w. n 5. (z n ) = (z) . 6. Si z 6= 0 entonces z −1 = z . z·z 7. z = z ⇔ z ∈ R. Definición 1.3. Sea z ∈ C. Se define el módulo de z (la norma de z) como |z| = √ z · z. p Notar que si z = x + iy con x, y ∈ R entonces se tendrá que |z| = x2 + y 2 . Con esta observación se puede concluir que Re (z) ≤ |z| y que Im (z) ≤ |z|. A continuación se presentan algunas propiedades de la norma de un número complejo. Propiedades 1.2. Sean z, w ∈ C. Entonces se cumple que: 1. |z| ≥ 0 y |z| = 0 ⇔ z = 0. 2. |z · w| = |z| · |w|. 2 3. |z| = z · z 4. |z| = |z| 5. Si w 6= 0, wz = |z| |w| 6. ||z| − |w|| ≤ |z + w| ≤ |z| + |w|. 1.3 Forma Polar de un Número Complejo Sea z ∈ C de modo que z = x + iy con x, y ∈ R. De aquı́ se observa que x = R cos θ, y = R sin θ y R = |z| = partir de esto: MAT021 (Complemento) - Paralelo 12 p x2 + y 2 . Además se tendrá que tan θ = y/x. A 3 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática θ= y arctan x y arctan x + π , si x 6= 0 ∧ z está en el primer o cuarto cuadrante , si x 6= 0 ∧ z está en el segundo o tercer cuadrante π 2 −π 2 , si x = 0 ∧ y > 0 , si x = 0 ∧ y < 0 Notar que z = x + iy = |z|(cos θ + i sin θ). Si se define cis θ = cos θ + i sin θ, entonces todo número complejo podrá ser expresado de la forma z = |z| cis θ. Propiedades 1.3. Sean z1 , z2 ∈ C de modo que z1 = |z1 | cis θ1 y z2 = |z2 | cis θ2 . Entonces se tiene que: 1. z1 · z2 = |z1 | · |z2 | cis (θ1 + θ2 ). 2. z1 z2 = |z1 | |z2 | cis(θ1 − θ2 ). 3. z1 = |z1 | cis(−θ1 ). 4. z1−1 = 1 |z1 | cis (−θ1 ), si z 6= 0. Ejemplo 1.1. Como ejemplo de una aplicación de esta forma de representar a los números complejos, considere la función φ : C −→ C definida por φ(z) = iz. Esta función representa una rotación en el plano complejo. En efecto, se tiene que z = |z| cis θ e i = cis π2 , luego φ(z) = |z| cis θ + π2 . 1.4 Teorema de Moivre Sean z1 , z2 ∈ C de modo que z1 = |z1 | cis θ1 y z2 = |z2 | cis θ2 . Si z1 = z2 entonces se tendrá que |z1 | = |z2 | y que cis θ1 = cis θ2 . Por la igualdad de números complejos se concluye que θ1 = θ2 + 2kπ con k ∈ Z. Teorema 1.1. Sea z ∈ C de modo que z = |z| cis θ, y n ∈ N. Entonces se cumple que z n = |z|n cis(nθ). La demostración de este teorema es por inducción sobre n. Una aplicación de este teorema es la obtención de las raı́ces n-ésimas de un número complejo (en particular, un número real). Para ilustrar esto primero se considerará un ejemplo y luego se dará una formulación general. Ejemplo 1.2. Obtener las raı́ces n-ésimas de la unidad. Resolver este problema es encontrar n números w, de √ modo que wn = 1. Por notación se tendrá que w = n 1. Se tiene que w = |w| cis θ y que 1 = cis 0. Por el teorema de Moivre, wn = |w|n cis(nθ). Por hipótesis tenemos que wn = 1 cis 0, luego se concluye que |w|n = 1 y cis(nθ) = cis 0. De aquı́: |w| = 1 y nθ = 2kπ con k ∈ Z. k=0 , θ0 = 0 , w0 = 1 k=1 , θ1 = 2π/n , w1 = cis(2π/n) k=2 , θ2 = 4π/n , w2 = cis(4π/n) .. . . , .. k =n−1 , θn−1 = 2(n − 1)π/n , wn−1 = cis(2(n − 1)π/n) k=n , θn = 2π , wn = 1 MAT021 (Complemento) - Paralelo 12 . , .. 4 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática Notar que para k = n se empieza a repetir la solución. Luego las raı́ces de la unidad vienen dadas por: wn = cis( 2kπ n ) con k = 0, 1, . . . , n − 1. Sea z ∈ C y n ∈ N. Se calculará la raı́z n-ésima de z, esto es, encontrar n números w de modo que wn = z. Se tiene que z = |z| cis θz y w = |w| cis θw . Por el teorema de Moivre, wn = |w|n cis(nθw ). Luego |w|n = |z| y nθw = θz + 2kπ con k = 0, 1, . . . , n − 1. √ Las raı́ces n-ésima de z, n z, vienen dadas por: p n 2 |z| cis θz +2kπ n con k = 0, 1, . . . , n − 1. Ejercicios Propuestos 1. Exprese los siguientes números complejos en su forma polar, y luego ubı́quelos en el plano complejo. √ a) 2 − 2i b) −1 + 3i c) √ √ 2 2 + 2 2i d) e) √ −2 3 − 2i f) g) 7 h) i) 3 + 3i −i √ 3 3i − 2 2 1+i 2. Resuelva las siguientes ecuaciones en el campo de los números complejos. a) z 4 + 8iz = 0 b) z 4 + 2z 2 + 2 = 0 c) z 3 + 3z 2 + z − 5 = 0 d) 9z 2 + 6(4 − 3i)z − (1 + 9i) = 0 e) z3 − 1 + i = 0 f) 2z 4 + z 2 − z + 1 = 0 (raı́z cúbica de la unidad es una raı́z) 3. Calcule: √ 1 a) (2 3 − 2i) 2 b) (−4 + 4i) 5 √ 1 (2 + 2 3i) 3 d) (−16i) 4 c) e) g) √ 3 8 √ 1 (−8 − 8 3i) 4 f) h) 1 1 √ 4 √ 16 2i 4. Encuentre z ∈ C que cumpla con θ ∈ [π, 3π/2], Re(z) = √ √ 3 Im(z) y que |z|2 + 3 z · z − 4 = 0. 5. Pruebe las siguientes identidades trigonométricas utilizando la forma compleja del seno y del coseno. 3 1 sin θ − sin 3θ. 4 4 1 1 3 4 (b) cos θ = cos θ + cos 2θ + . 8 2 8 (a) sin3 θ = MAT021 (Complemento) - Paralelo 12 5