Herramientas básicas de

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Herramientas básicas de
Matemáticas
David Casado
Universidad Complutense de Madrid
∟ Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
∟ Departamento de Estadística e Investigación Operativa II
31 enero 2014
∟ David Casado de Lucas
Puedes no imprimir este archivo y consultarlo en formato digital, ahorrarás papel y tinta. Si decides imprimirlo,
por favor hazlo en papel reciclado, a doble cara y con poca tinta. Sé ecológico. Muchas gracias.
Índice
Teoría de conjuntos
Álgebra y Análisis
2
4 – 14
Combinatoria
14 – 15
Probabilidad y Estadística
15 – 37
Apéndices
38 – 39
Referencias
39
Prólogo
Escribo este documento para mis estudiantes (de Estadística). Espero que sea útil para otras personas. Al final
de cada sección se ha añadido un cuadro de texto, para que los estudiantes anoten lo que quieran
(normalmente es necesario sobreescribir el archivo o guardarlo con un nombre differente).
Agradecimientos
Este documento ha sido creado con LibreOffice, OpenOffice.Org, GIMP y R. Doy las gracias a aquellos que
hacen que estos programas informáticos estén disponibles gratuitamente. De vez en cuando dono dinero a este
tipo de proyectos.
Nota cultural
En las expresiones numéricas escritas con cifras, la normativa internacional establece el uso de la coma para
separar la parte entera de la parte decimal. La coma debe escribirse en la parte inferior del renglón, nunca en la
parte superior: π = 3,1416. Pero también se acepta el uso anglosajón del punto, normal en algunos países
hispanoamericanos (→ punto, 4.4): π = 3.1416. (De: Diccionario panhispánico de dudas, de las Academias de
la lengua española, accesible aquí.)
Más matemáticas más básicas
Véase Repaso de matemáticas elementales, en http://www.casado-d.org/edu/RepasoMatematicas.pdf.
Teoría de conjuntos
Álgebra y Análisis
Algunas expresiones
Teorema binomial
Potenciación y radicación
Funciones elementales
Exponencial y logaritmo
Funciones trigonométricas
Ecuación de segundo grado
Desigualdades
Derivación
Tabla de derivadas
Integración
Optimización de funciones: máximos y mínimos locales
Logaritmo de funciones positivas
Compleción de expresiones
Sumar y restar una cantidad
Multiplicar y dividir por una cantidad
Combinatoria
Probabilidad y Estadística
Axiomas
Experimento y variable aleatoria
Definiciones
Propiedades y resultados
Esperanza o media
Varianza
Momentos
Covarianza y correlación
Distribución de Poisson
Suma de variables de Poisson
Distribución normal
Estandarización
Suma de variables normales
Probabilidades y cuantiles: la ecuación Fθ(a) = p
¿Por el qué me preguntan?
Pregunta indirecta
Otros tipos de sucesos
Formas de buscar soluciones
Operando en la ecuación
Consultando una tabla
Discreción y acotamiento
Simetría
Tablas de una o dos colas
Utilizando un programa informático
Sucesiones de variables aleatorias
Tipos de convergencia
Algunos resultados teóricos
Estimaciones puntuales. Estadísticos y estimadores
Tipos de consistencia
Método de los momentos
Método de máxima verosimilitud
Intervalos de confianza
Definición e interpretación
Método de la cantidad pivotal
Margen de error
Tamaño muestral mínimo
Contrastes de hipótesis
1
Herramientas básicas de Matemáticas
Definición e interpretación
Proceso de contraste
Apéndices
Ecuaciones aleatorias y no aleatorias
Alfabeto griego
Prefijos métricos
Referencias
Teoría de conjuntos

Unión: El suceso A∪ B ocurre cuando alguno de los sucesos A o B sucede.

Intersección: El sucedo A∩ B ocurre cuando ocurren A y B a la vez.

Exclusión mutua: A y B son mutuamente excluyentes (o disjuntos) si A∩ B=∅ .

Complemento:

Diferencia: El suceso A ∖ B= A∩B c ocurre cuando A ocurre y B no ocurre.

Diferencia simétrica: El suceso A Δ B=(A∖ B)∪( B ∖ A) ocurre cuando sólo uno de A y B ocurre.
Ac ocurre cuando A no ocurre. Entonces, A∪ Ac =Ω y A∩ Ac =∅.
Mis notas:
Álgebra y Análisis
Algunas expresiones
2
2
2
2
(a+ b) =(a+ b)(a+ b)=a + ab+ ba+ b =a + 2ab+ b
2
(a−b) 2=(a−b)(a−b)=a 2−ab−ba+ b2=a 2−2ab+ b 2
(a+ b)( a−b)=a 2−ab+ ba−b 2=a 2 −b2
2
Herramientas básicas de Matemáticas
(a+ b) 2−( c+ d )2=(a+ b+ c+ d )⋅(a+ b−c−d )
(Utilizando la igualdad anterior.)
(a+ b)(a 2−ab+ b 2)=⋯=a 3+ b 3
(a−b)(a 2+ ab+ b 2)=⋯=a 3−b 3
Si n! denota el factorial de n, esto es, n !=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋯2⋅1 , los coeficientes binomiales se definen
como
( nk) = k !⋅( nn−k! ) ! .
Teorema binomial
Se cumple que
()
()
()
()
( nk) =( n−kn ) ,
( )
()
( kn) x y
(x+ y )n= n x n y 0 + n x n−1 y 1+ n x n−2 y 2+ ⋯+ n x n−k y k + ⋯+ n x 1 y n −1+ n x 0 y n
0
1
2
k
n−1
n
()
n
(x+ y )n=∑k=0 n x n−k y k
k
o, dado que
n
(x+ y )n=∑ k=0
Como caso particular,
()
n
(1+ x)n=∑k=0 n x k
k
Nota: 0! = 1 y 1! = 1.
Nota: Hay una relación entre los coeficientes binomiales (o combinatorios) y el triángulo de Pascal. De la Wikipedia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial
http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal
Estos coeficientes también aparecen en Combinatoria.
Mis notas:
Potenciación y radicación
Para números reales a > 0 y b > 0, y enteros (o también reales) n, m:
(1)
(3)
(5)
(7)
(9)
(11)
(13)
a 0=1
1n=1
a n a m=a n+ m
an
=a n−m
am
n
a
an
= n
b
b
n
√ ab= n √ a⋅n √ b
n
a n / m=( m √ a ) = m √ a n
(2)
a 1=a
(4)
a =
(6)
(8)
(10)
()
(12)
3
1
an
(a n )m=a nm
a n bn =( ab)n
a 1/ m= m √ a ,
n
a
n a
=n√
b
√b
−n
√
Herramientas básicas de Matemáticas
a 1/ 2= √ a
k
n−k
Nota: No es cierto: (i) Que
2
n
n
a =b
↔
a=b.
Por ejemplo,
(+ 1)2=(−1)2 .
(ii) Que
n
a =a
m
↔
n=m .
Por ejemplo,
3
(+ 1) =(+ 1) .
Mis notas:
Funciones elementales
Exponencial y logaritmo
Las propiedades de las funciones exponenciales, ax, son las mismas que en Potenciación y radicación. Para las
funciones logarítmicas (a > 0),
(1)
(3)
(5)
(7)
log a (a)=1
log a ( x y )=log a ( x )+ log a ( y)
1
log a
=log a ( x−1 )=−log a ( x)
x
log ( x)
log a ( x)= b
logb (a)
()
(2)
(4)
(6)
log a (1)=0
log a ( x n )=n log a (x )
x
log a
=log a (x )+ log a ( y−1)=log a ( x)−log a ( y )
y
()
Dado que ax y log(x) son una la inversa de otra, en el sentido funcional, se cumple que
(8)
log a (a x )=x
(9)
a
log a( x)
=x
Nota: El logaritmo natural o neperiano, caso a = e = 2.71..., se denota usualmente como ln ó log.
(Caso a > 1)
Corriendo el siguiente código de R:
x = seq(from=-5, to=+5, by=0.01) # Grid of values
f1 = exp(x)
f2 = log(x[x>0])
yLim = c(-5,+5)
x11()
# New window to plot the two functions
plot(x, f1, xlim=c(min(x),max(x)), ylim = yLim, xlab='x',
ylab='f(x)',main='Exponencial y logaritmo', type='l')
lines(x[x>0], f2)
Mis notas:
Funciones trigonométricas
Funciones directas:
sen(α)=
co
h
cos (α)=
co
sen( α) h co
tg (α)=
= =
cos (α) c a ca
h
ca
h
4
Herramientas básicas de Matemáticas
Funciones inversas, en el sentido numérico:
csc(α)=
entonces
1
h
=
sen (α) c o
sec(α)=
sen( α)csc( α)=1
1
h
=
cos (α) c a
cot( α)=
cos (α) sec( α)=1
cos (α) c a
= ,
sen(α) c o
tg (α) cot(α)=1
Funciones inversas, en el sentido funcional:
arcsen( x)=α ↔ sen( α)=x
entonces
arccos( x)=α ↔ cos (α)= x
arctg ( x)=α ↔ tg (α)=x ,
sen( arcsen( x ))= x
cos (arccos( x ))=x
tg (arctg ( x ))=x
arcsen(sen ( x ))= x
arccos(cos ( x ))=x
arctg (tg ( x ))=x
Algunas propiedades y fórmulas:
sen( x)2 + cos( x)2 =1
1+ tg ( x )2=1+
sen( x )2 cos (x )2+ sen ( x )2
1
=
=
2
2
cos( x)
cos( x)
cos (x )2
sen( x± y)=sen( x) cos( y)±cos( x)sen ( y )
cos ( x± y )=cos ( x )cos ( y )∓sen( x) sen( y )
tg ( x± y )=
tg( x)±tg ( y )
1∓tg ( xy)
entonces
entonces
sen( 2 x)=2 sen( x) cos ( x)
cos (2 x )=cos (x )2−sen( x) 2
tg (2 x )=
entonces
2 tg (x)
1−tg ( x 2 )
( ) ( )
x+ y
x− y
cos( x)+ cos ( y)=2 cos (
cos (
)
2
2 )
x+ y
x− y
cos (x)−cos ( y)=−2 sen (
sen
( 2)
2 )
x
1−cos( x)
x
1+ cos ( x )
x
1−cos ( x )
sen ( ) =±
cos ( ) =±
tg ( ) =±
2
2
2
√ 2
√ 2
√ 1+ cos ( x )
sin( x)±sin ( y)=2 sin
x± y
x∓ y
cos
2
2
Algunos valores:
(Las raíces cuadradas de
los numeradores son una
regla mnemotécnica)
0º
30º
45º
60º
90º
0
π/6
π/4
π/3
π/2
sen(α)
√0/2 = 0
√1/2 = 1/2
√2/2
√3/2
√4/2 = 1
cos(α)
√4/2 = 1
√3/2
√2/2
tg(α)
0
1/√3 = √3/3
1
√1/2 = 1/2 √0/2 = 0
√3
-------
Las siguientes relaciones pueden deducirse fácilmente dibujando los ángulos en el círculo unitario:
sin( π ∓α)=cos (α)
sen(−x )=−sen( x)
sen( 2 π−α)=−sen(α)
sen( π∓α)=±sen (α)
2
5
Herramientas básicas de Matemáticas
cos (−x)=cos( x)
cos (2 π−α)=cos (α)
tg (−x)=−tg (x )
cos ( π ∓α)=±sin(α)
2
cos (π∓α)=−cos(α)
tg (2 π−α)=−tg (α)
1
cos ( π ∓α)=±
2
tg(α)
tg (π∓α)=∓tg(α)
Figuras:
De la Wikipedia:
Mis notas:
Ecuación de segundo grado
El Teorema Fundamental del Álgebra garantiza que hay dos soluciones, ambas reales o ambas complejas (un
par de números complejos conjugados). Las soluciones de la ecuación general
2
a x + b x+ c=0
pueden obtenerse completando cuadrados:
2
→
a x + b x=−c
→
(
√ a x+
b
2√ a
)
2
( √ a x) + 2 √ a
2
=−c+
(√)
b
b
2√ a
x=−c
2
→
2 a
→
√ a x+
→
b
2√ a
2
( √ a x) + 2 √ a
√
= −c+
b2
2
( 2 √ a)
b
2√ a
→
x+
(√)
b
2 a
√ a x=
2
=−c+
(√)
b
2
2 a
−b √ b2 −4ac
±
2√ a
2√ a
−b±√ b2 −4ac
x=
2a
Normalmente aplicamos esta última fórmula, pero si la olvidamos también podemos repetir los pasos
anteriores.
De la Wikipedia
6
Herramientas básicas de Matemáticas
Mis notas:
Desigualdades
Las desigualdades son expresiones algebraicas que involucran relaciones como «menor» (<), «menor o igual»
(≤), «mayor» (>) y «mayor o igual» (≥). Para trabajar con ellas, es útil ver antes las ideas que hay detrás de las
igualdades.
Igualdades
Se cumple que:
(a) Transitividad: Si a = b y b = c, entonces a = c.
(b) Adición y sustración: Dado que los dos miembros son iguales, ambos permanecen iguales después de
sumarles o restarles la misma cantidad.
(c) Multiplicación y división: Dado que los dos miembros son iguales, ambos permanecen iguales
después de multiplicarlos o dividirlos por la misma cantidad.
(d) Transformación general: Dado que los dos miembros son iguales, ambos permanecen iguales
después de aplicarles la misma transformación. Algunas transformaciones interesantes son:
f(x) = x+c y f(x) = x–c llevan a (b).
f(x) = cx y f(x) = x/c llevan a (c).
f(x) = 1/x, definida para x ≠ 0, lleva a que a = b → 1/a = 1/b (para a y b no nulos).
f(x) = x2 lleva a que a = b → a2 = b2.
f(x) = log(x), definida para x > 0 (se puede definir para x < 0 utilizando números complejos).
f(x) = √x, definida para x ≥ 0 (se puede definir para x < 0 utilizando números complejos).
f(x) = |x|.
Hablando con ligereza se dice que algunas cantidades «se mueven» de un miembro al otro, desde un
numerador a un denominador o viceversa, pero de hecho nada se mueve: lo que sucede es que estas cantidades
desaparecen porque se le aplica una cantidad opuesta a ambos miembros, de manera que el par se convierte en
el elemento neutro (cero para la suma y uno para la multiplicación). Por ejemplo:
2
2
2
2x −3=1 → 2x −3+ 3=1+ 3 → 2x =1+ 3 →
1 2 1
1+ 3
2x = (1+ 3) → x 2=
=2 → x=±√ 2
2
2
2
Desigualdades
Para las desigualdades, algunos cálculos son algo más difíciles que para las igualdades, pero la forma de
pensar es la misma:
7
Herramientas básicas de Matemáticas
(a) Transitividad: Si una primera cantidad es menor que una segunda cantidad, y esta segunda es menor
que una tercera, entonces la primera es menor que la tercera.
Si a < b y b < c, entonces a < c (lo mismo se cumple con ≤, > o ≥ en vez de <)
Si a < b y b ≤ c, entonces a < c (lo mismo se cumple con > y ≥ en vez de < y ≤)
Si a < b y b = c, entonces a < c (lo mismo se cumple con ≤, > o ≥ en vez de <)
(b) Adición y sustración: Si un miembro es menor o igual (por ejemplo) que otro, sigue siendo menor o
igual cuando a ambos se les suma o resta la misma cantidad.
Si a < b, entonces a + c < b + c y a − c < b − c (lo mismo se cumple con ≤, > o ≥ en vez de <)
(c) Multiplicación y división: Si un miembro es menor o igual (por ejemplo) que otro, sigue siendo
menor o igual cuando a ambos se les multiplica o divide por la misma cantidad positiva, pero se
convierte en mayor o igual si a ambos miembros se les multiplica o divide por la misma cantidad
negativa.
Para c positiva y a < b, ac < bc y a/c < b/c (lo mismo se cumple para ≤, > o ≥ en vez de <)
Para c negativo y a < b, ac > bc y a/c > b/c (lo mismo se cumple con > y < en vez de < y >,
con ≤ y ≥ en vez de < y >,
y con ≥ y ≤ en vez de < y >)
Como caso particular (c = –1): si a < b entonces −a > −b, si a > b entonces −a < −b, si...
(d) Transformación general: En general, la relación de una desigualdad cambia después de aplicar la
misma transformación a ambos miembros. Esto depende tanto de los miembros concretos como de la
transformación particular. Es necesario razonar con algunas propiedades en mente, por ejemplo: (1) si
a < b y g(x) es estrictamente creciente, entonces g(a) < g(b); (2) si a < b y g(x) es estrictamente
decreciente, entonces g(a) > g(b); (3)...
f(x) = x+c y f(x) = x–c llevan a (b). (Ambas son crecientes.)
f(x) = cx y f(x) = x/c llevan a (c). (Ambas son crecientes para c > 0 y decrecientes para c < 0.)
f(x) = 1/x, definida para x ≠ 0, lleva a a = b → 1/a = 1/b. (Es decreciente pero discontinua.)
f(x) = x2 (Es decreciente en x < 0 y creciente en x > 0.)
f(x) = log(x), definida para x > 0. (Es creciente.)
f(x) = √x, definida (números reales) para x ≥ 0. (Es creciente para las raíces positivas.)
f(x) = |x| (Es decreciente en x < 0 y creciente en x > 0.)
El dibujo de una función nos dice cómo cambia una inigualdad cuando a sus dos miembros se les
aplica la función.
8
Herramientas básicas de Matemáticas
Cualquier función estrictamente creciente (decreciente) preserva (invierte) el orden de las cantidades,
lo que implica que las funciones g(x) y f(g(x)) tienen los máximos y mínimos relativos en las mismas
posiciones (aunque los valores que alcanzan ambas funciones en estas posiciones son distintos).
Cuando el interés está en la posición, este hecho puede utilizarse es más fácil trabajar con f(g(x)). Estas
afirmaciones se pueden probar fácilmente utilizando la regla de la cadena, aunque sólo se incluye aquí
un ejemplo:
(e) La función g ( x)=( x−1)2+ 2 tiene un mínimo en x0 = 1:
g ' (x )=2( x−1)=0 → x 0=1 es un extremo
g ' ' ( x)=2 > 0 → El extremo es un mínimo
2
Para la función estrictamente creciente f (x )=e x , se cumple que h( x)= f (g ( x ))=e( x−1 ) + 2 tiene
también un mínimo en x0 = 1:
2
h ' ( x)=e(x−1) + 2 2( x−1)=0 → x 0=1 es un extremo
( x−1) +2 2
2
(x−1) + 2
2
h ' ' ( x )∣x=x =[ e
2 ( x−1) +e
2 ]∣x= x =e 2 > 0 → El extremo es un mínimo
2
2
0
0
2
Para la función estrictamente decreciente f (x )=e− x , se cumple que h( x)= f ( g (x ))=e−( x−1) −2
tiene un máximo en 1:
2
h ' ( x)=e(x−1) + 2 2( x−1)=0 → x 0=1 es un extremo
−( x−1 ) −2 2
2
−( x−1) −2
−2
h ' ' ( x )∣x=x =[ e
2 ( x−1) −e
2 ]∣x=x =−e 2 > 0 → El extremo es un máximo
2
2
0
0
Ver Logaritmo de la función sobre la importancia de log(x) cuando se buscan máximos y mínimos.
Entonces, los posibles cambios en las desigualdades se pueden deducir. Por ejemplo, si f(x) = 1/x:
Si a y b son ambas positivas o ambas negativas
Si a < b entonces 1/a > 1/b
Si a > b entonces 1/a < 1/b
Si alguno de a ó b es negativo (pero no ambos)
Si a < b entonces 1/a < 1/b
Si a > b entonces 1/a > 1/b
O, para f(x) = log(x):
Si a y b son positivos (necesario para aplicar esta función),
Si a < b entonces log(a) < log(b)
Mis notas:
Derivación
Tabla de derivadas
•
x a , donde a es un número real → ax a −1 (a puede ser positivo, negativo, entero, decimal...)
•
1
x
•
x →
→
−1
x2
1
2 x
(Es un caso particular del punto anterior.)
(Es un caso particular del primer punto.)
9
Herramientas básicas de Matemáticas
1
log a e
x
•
log a  x 
•
ln  x
•
a
x
→
a x ln a 
•
e
x
→
e
•
sen  x
→
cos  x 
•
cos ( x )
→
−sen  x 
•
tg  x 
•
arcsen x
→
1
 1−x 2
•
arccos x
→
−1
 1−x 2
•
arctg  x
→
1
x
→
x
(Es un caso particular del punto anterior.)
(Es un caso particular del punto anterior.)
1
cos x2
→
→
ó 1+ tg ( x )2 (Ambas expresiones son equivalentes.)
1
2
1x
Combinaciones de funciones
•
Adición: f  x g  x⋯
•
Sustración: f  x −g  x−⋯
•
Multiplicación: f  x ⋅g  x 
•
Multiplicación por una constante: c⋅ f  x 
•
División:
•
Inversión, en el sentido numérico:
•
•
f x
g x
f '  x g '  x⋯
→
→
→
f '  x− g '  x−⋯
f '  x⋅g  x  f  x ⋅g '  x 
→
c⋅ f '  x  (Es un caso particular del punto anterior.)
f '  x ⋅g  x− f  x⋅g '  x
g 2 x 
→
− f ' x
(Es un caso particular del punto anterior.)
f 2  x
1
Inversión, en el sentido funcional: f −1( x) →
f ' ( f −1 ( x ))
1
f x
→
Composición: ( g ∘ f )( x)=g ( f (x )) → g '  f  x ⋅ f '  x  (Regla de la cadena)
La tabla anterior de derivadas y la regla de la cadena implican que:
•
a
a −1
f  x  , donde a es un número real → a f  x  f '  x 
•
1
f ( x)
•
√ f ( x)
•
log a  f  x 
→
→
−1
f ' ( x) (Es un caso particular del punto anterior.)
f ( x)2
1
f ' (x ) (Es un caso particular del primer punto.)
2 √ f ( x)
→
1
log e  f '  x 
f x a
10
Herramientas básicas de Matemáticas
1
f '  x  (Es un caso particular del punto anterior.)
f x
•
ln  f  x
→
•
a f x
→
a
f x
ln a f '  x 
•
e
f  x
→
e
f  x
f '  x  (Es un caso particular del punto anterior.)
•
sen f  x 
→
cos  f  x  f '  x 
•
cos  f  x 
→
−sen  f  x  f '  x
•
tg  f  x 
•
arcsen f  x
→
1
f '  x
 1− f  x 2
•
arccos f  x
→
−1
f '  x
 1− f  x 2
•
arctg  f  x
→
1
f '  x
cos  f  x2
ó
[1tg  f  x 2 ] f '  x
1
f '  x
1 f  x 2
→
Nota: Para recordar esta última tabla a partir de la primera: (1) x → f(x) and (2) · f '(x).
Mis notas:
Integración
Integrales indefinidas
Propiedades
•
•
•
∫ [ f  xg  x ⋯]dx=∫ f  x  dx∫ g  x dx⋯
Sustración: ∫ [ f  x−g  x −⋯]dx=∫ f  x  dx−∫ g  x dx−⋯
Multiplicación por una constante: ∫ k⋅ f  x dx=k⋅∫ f  x dx
Adición:
Integrales inmediatas
Para resolver estas integrales, normalmente es suficiente tener en mente la Tabla de derivativas; algunas veces
es necesario ajustar o reescribir factores: véanse los ejemplos dados en Sumar y restar una cantidad y
Multiplicar y dividir por una cantidad. Integrales algo más complicadas se han resuelto en [1].
Integrales definidas
Propiedades
b
•
b
a
b
•
b
∫ [ f ( x)± g ( x )]dx=∫ f ( x) dx±∫ g ( x ) dx
a
a
b
∫ k⋅ f  x dx=k⋅∫ f  x dx
a
a
11
Herramientas básicas de Matemáticas
b
•
∫ k dx =k⋅b−a
a
a
•
∫ f  x  dx=0
a
b
•
a
∫ f  x  dx=−∫ f  x dx
a
b
•
∫
a
b
c
b
f (x )dx=∫ f ( x ) dx+ ∫ f (x )dx , if a<c<b
a
c
Teoremas
Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral
x
d
∫ f t dt= f  x
dx a
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral o Regla de Barrow
b
∫ f  x  dx=F b−F a 
a
donde F(x) es la integral indefinida de f(x), es decir, F'(x) = f(x).
Algunas aplicaciones: cálculo de áreas
b
Área bajo una función positiva =
∫
b
Área sobre una función negativa = −∫ f  x dx
f  x  dx
a
a
c
Área determinada por una función positiva en x < c y negativa en x > c =
b
∫
a
f  x  dx−∫ f  x  dx (a<c<b)
c
c
∫ g  x− f  x dx ,
Área determinada por dos funciones =
si g(x) es siempre mayor que f(x)
a
(en otro caso, se deben considerar varios intervalos)
b
Área de la superficie generada al girar una gráfica sobre el eje horizontal =
∫ 2 f  x   1 f '  x 2 dx
a
Algunas aplicaciones: cálculo de la longitud de arco
b
Longitud de una curva  t = x t , y t =
∫  x ' t2 y ' t 2 dt
a
b
Longitud de un gráfico   x= x , f  x =
∫  1 f '  x 2 dx
a
Algunas aplicaciones: cálculo de volúmenes
b
Volumen cuyas secciones sonA(x) =
∫ A( x)dx
(Principio de Cavalieri / Método de las secciones)
a
12
Herramientas básicas de Matemáticas
b
Volumen determinado al girar un gráfico alrededor del eje horizontal =
∫  f  x2 dx
a
(pensar en el método anterior)
b
Volumen determinado al girar un gráfico sobre el eje vertical =
∫ 2 x f  x dx
a
(pensar en cortezas cilíndricas de radio x y altura f(x))
Mis notas:
Optimización de funciones: máximos y mínimos locales
Una variable
Para encontrar los valores extremos x0 de una función derivable unidimensional f(x), debe resolverse la
ecuación
d
f ( x )=0 ,
dx
dado que es una condición necesaria. La segunda derivada contiene información sobre la forma de la función:
d2
f (x ) < 0 , la función f(x) tiene un máximo relativo o local en x0.
(a) Si
dx 2
d2
f (x ) > 0 , la función f(x) tiene un mínimo relativo o local en x0.
(b) Si
dx 2
d2
f (x ) = 0 , la función f(x) tiene un punto de inflexión en x0.
(c) Si
dx 2
Dos variables
Para encontrar los valores extremos (x0,y0) de una función derivable bidimensional f(x,y), debe resolverse el
sistema de ecuaciones
∂ f ( x , y )=0
∂x
∂ f ( x , y )=0
∂y
{
dado que supone una condición necesaria. La derivadas de segundo orden contienen información sobre la
forma de la función y para D = B2–AC, donde
2
A= ∂ 2 f (x , y ),
∂x
(a)
(b)
(c)
(d)
B=
2
∂
f ( x , y ),
∂x∂y
2
C= ∂ 2 f ( x , y ) ,
∂y
Si D < 0 y A < 0, la función f(x,y) tiene un máximo relativo o local en (x0,y0).
Si D < 0 y A > 0, la función f(x,y) tiene un mínimo relativo o local en (x0,y0).
Si D > 0, la función f(x,y) tiene un punto de inflexión en (x0,y0).
Si D = 0, no se puede decir nada sobre el comportamiento de la función f(x,y) en (x0,y0).
Logaritmo de funciones positivas
Cualquier función estrictamente creciente (decreciente) f(x) preserva (invierte) el orden de las cantidades, lo
13
Herramientas básicas de Matemáticas
que implica que las funciones g(x,y) y f(g(x,y)) tienen los máximos y mínimos relativos en las mismas
posiciones (aunque los valores que alcanzan ambas funciones en esas posiciones son distintos). Cuando el
interés está en la posición, este hecho puede utilizarse si es más fácil trabajar con f(g(x,y)). Dado que f(x) =
log(x) es estrictamente creciente —véase la figura en Exponencial y logaritmo—, convierte los productos en
sumas y los exponentes en factores multiplicativos, frecuentemente se utiliza para buscar la posición de los
máximos y mínimos relativos (nótese que, dado que la función logaritmo está definida sólo para x positivos,
es necesario que g(x,y) > 0). Ver, por ejemplo, los ejercicios de [1].
Mis notas:
Compleción de expresiones
En ocasiones nos gustaría tener una cantidad concreta en la expresión con la que estamos trabajando. Algunos
trucos para hacerla aparecer son los siguientes:
Sumar y restar una cantidad
f (x )= f (x )+ 0= f ( x )+ c−c=[ f ( x )+ c ]−c
Ejemplo:
x2
x 2+ 1−1
x 2 + 1−1
dx=
dx=
∫ x 2+ 1 ∫ x 2+ 1
∫ x 2+ 1 dx=∫ 1 dx−∫ x 21+ 1 dx=x−arctg ( x )+ c
Mis notas:
Multiplicar y dividir por una cantidad
c
1
f ( x )= f (x )⋅1= f ( x)⋅ =[ f (x )⋅c ]⋅
c
c
Ejemplo:
3
1
3
1
3
1
3
∫ x 2 e x dx =∫ 3 3 x 2 e x dx= 3 ∫ 3 x 2 e x dx= 3 e x + c
Mis notas:
Combinatoria
Sea A = {a1, a2, ..., an} un conjunto de elementos distintos. Para formar todos los posibles vectores de tamaño
k, donde los elementos deben ser diferentes (k < n) y su posición (en el vector) tiene significado, hay n
candidatos para la primera posición, n–1 candidatos para la segunda... y n–(k–1) para la k-ésima posición. El
número total de posibles vectores es:
V nk =n⋅( n−1)⋅(n−2)⋯(n−[k −1])=
n!
.
( n−k ) !
Si los elementos pueden repetirse, está permitido cualquier valor para k (menor, igual o mayor que n) y hay n
candidatos para cada posición, por lo que:
14
Herramientas básicas de Matemáticas
VRkn=n⋅n⋅⋯n=n k .
Si deben colocarse todos los elementos de A, esto es, si la longitud del vector es n, los elementos deben ser
diferentes y su posición tiene significado, el número de posibles vectores es:
P n=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋯1=n ! ,
esto es, P n=V nn . Si se permiten elementos repetidos, podemos empezar considerando que a1 aparece k
veces. Definamos A' = {a1,1, a1,2,... a1,k, ak+1, ..., an}, donde a1,1, a1,2,... a1,k son indistinguibles. Entonces, hay Pn
posibles vectores, de los cuales Pk son indistinguibles (para cada combinación global):
PRkn =
Pn n !
= .
Pk k !
Ahora, si se permite que p elementos se repitan, y ai aparece ki veces, con
PR
k 1, k 2, ⋯, k p
n
k 1, k 2, ⋯, k p−1
=⋯=
PRn
Pk
=
p
p
∑i=1 k i =n ,
n!
.
k 1 !⋅k 2 ! ⋯k p !
Para formar todos los posibles vectores de tamaño k, donde los elementos deben ser diferentes (entonces k <
n) y su posición no tiene significado, Pk de ellos son indistinguibles (todas las posibles permutaciones de las
posiciones, no los propios elementos) por lo que:
k
C kn =
Vn
n!
=
= n .
P k (n−k )!⋅k ! k
()
Por último, si ai de A aparece ki veces (la longitud del vector puede ser menor, igual o mayor que n) y la
posición no tiene significado, es posible pensar en un vector con k elementos y (n–1) símbolos separadores
que dividen el vector en n regiones con ki posiciones, una para cada ai. Entonces, cuando se eligen las
posiciones de los k elementos —o, alternativamente, de los símbolos— el vector está determinado, por lo que
k
k
CR n=C k+ n−1 .
Mis notas:
Probabilidad y Estadística
Para experimentos aleatorios o estocásticos, todos los posibles resultados («cosas que pueden ocurrir»)
forman el espacio muestral Ω . Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, y puede ser
elemental o ser la unión o intersección de otros; todos estos sucesos forman una colección A (σ-álgebra) de
subconjuntos del espacio muestral. Hay una función P (probabilidad) que asigna a cada suceso un número
entre 0 y 1 (probabilidad). Una distribución de probabilidad está determinada una vez que se conocen los
valores y sus probabilidades. Es suficiente con definir esta función sobre una base de A. Por ejemplo, la
colección de sucesos {X ≤ x} es una base de la σ-álgebra definida para variables aleatorias reales (σ-álgebra
de Borel); por este motivo la función de distribución determina la distribución de probabilidad.
15
Herramientas básicas de Matemáticas
Axiomas
La probabilidad P debe verificar algunos axiomas:
a) P (Ω)=1
b) P (A)≥0
∀A∈ A
∞
c) Para sucesos mutuamente excluyentes (disjuntos) Ai, P (U ∞i=1 Ai)=∑ P( Ai )
i =1
Mis notas:
Experimento y variable aleatoria
Una variable aleatoria es una función que traduce la información de un experimento al lenguaje numérico.
Por ejemplo, para el experimento de lanzar una moneda:
→ X →
Ω
ℝ
{Cara}
→
{X = 1}
{Cruz}
→
{X = 0}
Como consecuencia, aparece otro espacio de probabilidad. En este documento, las letras A y B representarán
sucesos en cualquiera de los dos espacios. Sin embargo, podemos hablar directamente de variables aleatorias,
sin mencionar ningún experimento, como «modelos teóricos que pueden utilizarse para representar cualquier
experimento de un tipo concreto».
Mis notas:
Definiciones
Número de casos favorables a A
.
Número de casos posibles

Regla de Laplace: Cuando es posible contar, P (A)=

Probabilidad condicional: Si P (B)≠0 ,

Independencia: A y B son independientes si P (A∣B)=P ( A) , esto es, si a A no le influye B.
P ( A∣B)=
P ( A∩ B)
.
P ( B)
Mis notas:
16
Herramientas básicas de Matemáticas
Propiedades y resultados
La mayoría de estos puntos son fáciles de recordar o deducir dibujando diagramas de Venn.
P (∅)=0 .

Suceso vacío:

Inclusión:

Exclusión mutua: Si A∩ B=∅ ,

Complemento: 1=P (Ω)=P (A∪ Ac )= P( A)+ P ( Ac ) → P (Ac )=1−P ( A) .

Unión (2):
A⊆ B → P ( A)≤P (B). También, P (A∩ B)≤P (A) y P (A∩ B)≤P (B).
P ( A∩B)=P (∅)=0 .
P (A∪ B)=P (A)+ P (B)− P( A∩B) .
Como consecuencia, P (A∪ B)≤P (A)+ P (B) . Si A∩ B=∅ ,

P (A∪ B)=P (A)+ P (B) .
Intersección (2): P (A∩ B)=P (B)⋅P ( A∣B).
Se cumple que P ( A∩B)=P ( A)+ P ( B)−P ( A∪B) , por lo que P ( A∩B)≤P ( A)+ P ( B) .
Por otro lado, si P (A∣B)=P ( A) entonces P (A∩ B)=P (B)⋅P ( A).
A⊆ B → P (B ∖ A)=P ( B)− P( B∩ A) .

Diferencia:

Diferencia simétrica:

Probabilidad condicional: Como P (A∩ B)=P (B∩A) , ahora P (B)⋅P ( A∣B)=P ( A)⋅P (B∣A).

Independencia: P (A∩ B)=P (A)⋅P ( B).

Probabilidad total:
P ( A Δ B)= P( {A ∖ B }∪{B ∖ A})=P ( A)+ P (B)−2P( A∩ B).
P (S )=P ( ∪ni=1 {S ∩ Ai })=P ( A1)⋅P ( S∣A1 )+ P ( A2 )⋅P ( S∣A2 )+⋯+ P ( An )⋅P ( S∣An ).

Teorema de Bayes:
P (Ai∣S )=
P( Ai)⋅P (S∣Ai)
P ( Ai )⋅P (S∣Ai)
=
.
P(S )
P (A1 )⋅P (S∣A1)+ P( A2 )⋅P (S∣A2)+ ⋯+ P ( An)⋅P (S∣An)

Intersección (n): P( ∩kj=1 A j)=P ( A 1)⋅P ( A 2∣A 1)⋅P( A 3∣A 1∩ A2 )⋯P( A k∣∩k−1
j=1 A j )

k
Unión (n): P( ∪j=1 A j) =
Por tanto, P( ∪kj=1 A j) ≤
∑1≤ j≤k P (A j ) − ∑1≤i< j≤k P( Ai∩ A j ) + ⋯
⋯ + ∑1≤i< j<k ≤k P ( Ai∩ A j∩ A k ) ++ (−1)k+1 P( ∩kj=1 A j)
k
∑j =1 P( A j ) .
Mis notas:
17
Herramientas básicas de Matemáticas
Esperanza o media
Definición
➔
Para una variable aleatoria discreta: E ( X )=∑Ω x i f (x i )=∑Ω x i P( X = x i)
➔
Para una variable aleatoria continua: E ( X )=∫Ω x f ( x)dx
Para cualquier función g,
E (g ( X ))=∑Ω g ( xi ) f (x i ) y E (g ( X ))=∫Ω g ( x ) f ( x)dx .
Propiedades principales
(1) Si c es un número, E (c)=c
(2) Si c es un número, E (cX )=c E( X )
(3)
E ( X + Y )=E ( X )+ E( Y )
E ( X −Y )= E( X )−E (Y )
(4) Si c es un número, E ( X + c)=E (X )+ c (Puede ser visto como un caso particular del punto 2.)
(5) Si X e Y son independientes, E ( X⋅Y )=E ( X )⋅E (Y )
Nota: Algunas veces las propiedades (2) y (3) se resumen en
Nota: Una demostración sencilla
E (aX ±bY )=a E ( X )±b E (Y ).
E ( X −Y )= E( X +(−Y ))= E( X )+ E (−Y )=E ( X )+(−E(Y ))= E( X )−E (Y ) .
Estimador o «versión muestral»
Cuando se utiliza una muestra aleatoria simple X1,X2,...,Xn (elementos independientes e idénticamente
distribuidos), el estimador más natural de E ( X ) es la media muestral:
̄ = 1 ∑i=1 X i
X
n
n
n
∑i=1
Escrita como
( X ⋅1n ) , la media muestral recuerda a la esperanza de una variable discreta (una muestra
i
«es siempre discreta», incluso para variables continuas Xi). Algunas propiedades teóricas importantes son:
(
)
1 n
1
Xi = E
∑
i=1
n
n
( ∑i=1 X i ) = 1n ∑i =1 E ( X i ) = 1n n E ( X ) =E ( X ) =μ
n
(a)
̄ )=E
E(X
(b)
n
̄ )=Var 1 ∑ X i = 1 Var
Var ( X
n i=1
n
(
)()
2
n
(∑
n
i=1
)
Xi =
Independencia de Xi
1 n
1
σ2
Var
X
=
n
Var
(
X
)
=
∑
(
)
i
n
n 2 i=1
n2
(c) Algunas otras propiedades, similares a las de la contraparte poblacional E ( X ) , son fáciles de
̄ + c , cX =c X
̄,
X + Y = X̄ + Ȳ , ...
probar: X + c= X
Mis notas:
Varianza
Definición
➔
Para una variable aleatoria discreta:
2
Var ( X )= E([ X − E( X )]2)=∑Ω [ x i−E ( X )]2 f (x i )=∑Ω [ x i−∑Ω x j f ( x j )] f (x i )
18
Herramientas básicas de Matemáticas
➔
Para una variable aleatoria continua:
2
Var ( X )= E([ X − E( X )] 2)=∫Ω [ x−E ( X )]2 f ( x)dx =∫Ω [ x−∫Ω y f ( y)dy ] f (x )dx
Propiedades principales
(1) Si c es un número, Var (c )=0
(2) Si c es un número, Var (cX )=c 2 Var ( X )
(3)
Var ( X +Y )=Var ( X )+Var (Y )+ 2Cov( X , Y )
Var ( X −Y )=Var ( X )+ Var (Y )−2Cov( X , Y )
Las variables independientes están incorreladas (lo contrario no es siempre cierto), Cov( X ,Y )=0 ,
por lo que
Var ( X + Y )=Var ( X )+ Var (Y ) y Var ( X −Y )=Var ( X )+ Var (Y )
(4) Si c es un número, Var ( X + c)=Var ( X ) (Puede verse como un caso particular del punto 2.)
(5)
Var ( X )= E( X 2 )−E ( X )2 (La varianza se calcula aplicando la definición o esta propiedad.)
Nota: Algunas veces las propiedades (2) y (3) se resumen en
2
2
Var (aX ±bY )=a Var ( X )+b Var (Y ).
Var ( X −Y )=Var ( X +(−Y ))=Var ( X )+Var (−Y )+2Cov( X ,−Y )
(Utilizando una propiedad de la covarianza) =Var ( X )+Var (Y )+(−2Cov ( X ,Y ))=Var (X )+ Var (Y )−2Cov( X , Y ).
Nota: Una demostración sencilla
Estimadores o «versiones muestrales»
Cuando se utiliza una muestra aleatoria simple X1,X2,...,Xn, los estimadores más naturales de Var ( X ) son la
varianza muestral y la cuasivarianza muestral:
s 2=
1 n
1 n
1 n
[ X i − X̄ ] 2= ∑i =1 [ X i − ∑ j=1 X j ]
∑
i =1
n
n
n
(
2
2
y S =
n
1
[ X i− X̄ ]2
∑
i
=1
n−1
)
2
1 n
1
X
]
⋅ , la varianza muestral recuerda a
∑
j
j =1
n
n
la varianza de una variable discreta. Algunas propiedades teóricas importantes son:
(Se cumple que ns2 = (n–1)S2.) Escrita como
(a)
n
∑i=1
[ X i−
(
n
n
n
1 n
̄ ]2= 1 ∑ X i2−( X
̄ ) 2= 1 ∑ X 2i − 1 ∑ X i
[ X i− X
∑
i=1
i=1
i=1
i
=1
n
n
n
n
calculada aplicando la definición o esta propiedad.)
s 2=
(b)
E (s 2)=⋯=Var ( X )−
(c)
E (S 2 )=⋯=Var ( X )
)
2
(La varianza muestral es
Var ( X ) n−1
=
Var ( X ) . Nótese que E (s 2) → Var ( X ) cuando n crece.
n
n
Nota: Los puntos (b) y (c) justifican la existencia de la cuasivarianza muestral.
Programas informáticos: Dado que S2 es un estimador insesgado de la varianza y s2 es sólo asintóticamente
insesgado, generalmente se implementa en los programas informáticos el primero bajo el nombre «varianza»
(o variance). Para probar cuál está implementado en un programa, es suficiente evaluar la función, digamos
3
var(), con el conjunto de datos (1,2,3); entonces, ̄x =2 y ∑i=1 ( x i− ̄x )2=(1−2)2 + (2−2) 2+ (3−2)2=2 ,
por lo que si s2 está implementada, var(1,2,3)= 2/3 mientras que si S2 está implementada,
var(1,2,3)= 2/2 = 1. También se puede consultar la ayuda del programa.
19
Herramientas básicas de Matemáticas
Mis notas:
Momentos
Definición
➔
Para una variable aleatoria discreta, el momento de orden r centrado con respecto a cero es
μ r ( X )=E ( X r )=∑Ω x ri f ( x i )
y el momento de orden r centrado con respecto a la media es
r
σ r ( X )=E ([ X −E ( X )] r )=∑Ω [ x i− E( X )]r f ( xi )=∑Ω [ x i −∑ Ω x j f ( x j)] f ( x i )
➔
Para una variable aleatoria continua, el momento de orden r centrado con respecto a cero es
r
r
μ r ( X )=E ( X )=∫Ω x f (x )dx
y el momento de orden r centrado con respecto a la media es
r
σ r ( X )=E ([ X −E ( X )] r )=∫Ω [ x−E ( X )] r f ( x )dx=∫Ω [ x−∫Ω y f ( y) dy ] f ( x)dx
Estimadores o «versiones muestrales»
Cuando se utiliza una muestra aleatoria simple X1,X2,...,Xn, los estimadores más naturales posibles de los
momentos son, respectivamente
mr =
1 n
X ri
∑
i
=1
n
y
s r=
r
1 n
1 n
1 n
r
̄
[
X
−
X
]
=
[
X
−
X
]
∑
∑
∑
i
i
j
n i=1
n i =1
n j=1
Sobre la convergencia de estos estimadores a su contraparte poblacional, véase Algunos resultados teóricos.
Nota: En la literatura se utilizan distintas letras para denotar todos estos momentos.
Mis notas:
Covarianza y correlación
Definición
➔
Para un par de variables aleatorias discretas:
Cov( X ,Y )= E([ X −E ( X )][Y − E(Y )])=∑Ω
=∑Ω
➔
X
∑Ω ( [ xi −∑Ω
Y
X
X
∑Ω ( [ x i −E ( X )][ y j−E (Y )] f (x i , y j ) )
Y
x k f X ( x k )][ y j−∑Ω y l f Y ( y l )] f ( x i , y j ) )
Y
Para un par de variables aleatorias continuas:
Cov( X ,Y )= E([ X −E ( X )][Y − E(Y )])=∫Ω
=∫Ω
X
∫Ω
Y
X
∫Ω [ x− E( X )][ y− E(Y )] f ( x , y)dx dy
Y
[x −∫Ω k f X (k ) dk ][ y−∫Ω l f Y (l ) dl] f ( x , y ) dx dy
20
X
Y
Herramientas básicas de Matemáticas
En ambos casos, debe utilizarse la distribución conjunta de (X,Y) para la esperanza exterior, y las
distribuciones marginales en las interiores.
Propiedades principales
(1)
Cov( X , X )= E([( X )−E ( X )]⋅[ X −E ( X )])=E ([( X )−E ( X )] 2)=Var ( X )
(2)
Cov( X 1+ X 2, Y )=E ([( X 1+ X 2 )−E ( X 1 + X 2 )]⋅[Y −E (Y )])
=E ([ X 1+ X 2−E ( X 1)−E ( X 2 )]⋅[Y −E (Y )])=⋯=Cov ( X 1, Y )+ Cov ( X 2, Y )
(3) Si c es un número, Cov( X , c)=E ([ X −E ( X )]⋅[c−c ])=0
(4) Si c es un número, Cov( X + c ,Y )=Cov( X ,Y )+ Cov( c ,Y )=Cov( X , Y )
(5) Si c es un número, Cov( cX , Y )=E ([cX −c E( X )]⋅[Y −E (Y )])=c Cov ( X , Y )
(6)
Cov( X ,Y )=E ( X⋅Y )−E ( X ) E (Y ) (La covarianza es calculada aplicando la definición o esta
propiedad.)
Correlación
En ambos casos (variables discretas y continuas), se define en términos de las correspondientes covarianzas:
Corr ( X , Y )=
Cov( X ,Y )
Cov( X , Y )
=
√ Cov ( X , X ) √ Cov (Y , Y ) √ Var ( X ) √ Var (Y )
Las propiedades básicas de la correlación pueden deducirse de las de la covarianza.
Estimadores o «versiones muestrales»
En la literatura se definen también estimadores o «versiones muestrales» de la covarianza y la correlación.
Mis notas:
Distribución de Poisson
Suma de variables de Poisson
Teorema 1vp
Dadas variables aleatorias independientes (X1, ..., Xn) tales que Xi sigue una distribución de Poisson de
parámetro λi se tiene que
X i ∼ P( λi )
then
X 1+ X 2+ ⋯+ X n ∼ P (λ 1+ λ 2+ ⋯+ λ n)
Mis notas:
21
Herramientas básicas de Matemáticas
Distribución Normal
Estandarización
La siguiente transformación de la variable X,
Z=
X −μ
√ σ2
=
X −μ
,
σ
donde μ y σ2 son la media y la varianza de X, se llama estandarización. Como caso particular, cuando
X sigue una distribución normal, se cumple que
Teorema 1vn
Z=
Cuando X ∼N (μ , σ2 ), si
X −μ
√σ
2
X −μ
= σ , entonces Z ∼N (0 , 1)
Este resultado nos permite referir cualquier variable normalmente distribuida a la distribución normal
estándar. Como consecuencia, la tabla de esta distribución basta.
Mis notas:
Suma de variables normales
Para variables aleatorias independientes, si X, X1, X2,..., Xn siguen una distribución N(μx,σx2), Y sigue una
distribución N(μY,σY2) y c es una constante:
(1)
2
2
2
X
2
y
X + c∼N (μ X + c , σ X )
X −c∼N (μ X −c , σ X )
(
2
μ σ
X
∼N X , X2
c
c c
(2)
cX ∼ N (c μ X , c σ )
y
(3)
X + Y ∼ N (μ X + μY , σ2X + σ 2Y )
y
)
X −Y ∼ N (μ X −μY , σ2X + σ 2Y )
Algunos corolarios de los resultados anteriores son:
(a) De (1) y (2),
X −μ X
√σ
2
X
X −μ
= σ X ∼N (0 , 1)
X
(b) De (3), X 1 + X 2+ ⋯+ X n∼N (nμ X , n σ 2X )
(c) De (b) y (a),
( X 1 + X 2 +⋯+ X n)−nμ X
√n σ
2
X
∼ N (0,1)
2
X 1+ X 2+ ⋯+ X n
σ
̄ ∼N (μ X , X )
(d) De (b) y (2),
=X
n
n
̄ −μ X
X̄ −μ X X
= σ
=∼ N ( 0,1)
X
(e) De (d) y (a),
σ2X
√n
n
σ 2X σ 2Y
σ 2X σ 2Y
̄ + Ȳ ∼ N (μ X + μ X ,
̄ −Ȳ ∼ N (μ X −μ X ,
(f) De (d) y (3), X
+
) y X
+
)
n
n
n
n
√
22
Herramientas básicas de Matemáticas
X̄ −μ X
Nota: Debido al resultado (e), la cantidad
√
σ2X
n
∼ N (0,1)
se denomina versión estandarizada de la cantidad aleatoria X. Cuando la
X̄ −μ X
varianza poblacional es desconocida, es estimada, y se cumple (para una población normal) que
√
2
S
n
∼ t n−1 ,
donde S2 es la
cuasivarianza muestral y tk es la distribución t; debido a este resultado, la cantidad anterior se denomina versión studentizada de X. Ambas
cantidades son adimensionales y pueden ser vistas como medidas del error relativo al estimar la media poblacional utilizando la media muestral
como estimador.
Mis notas:
Puntos teóricos: Sobre el teorema del límite central y aproximaciones, véase Algunos resultados teóricos.
Probabilidades y cuantiles: la ecuación Fθ(a) = p
La ley de distribución de una variable aleatoria X está determinada una vez que se conocen los posibles
valores y sus probabilidades. Matemáticamente, es suficiente conocer las probabilidades de los sucesos de la
forma{X ≤ x} para cualquier x. Esta información está contenida en la función de distribución, Fθ(x) = Pθ(X ≤
x), donde θ representa los parámetros de la familia o modelo. Para leyes «con buen comportamiento», existe
otra función fθ(x) —la función de masa para variables discretas y la función de densidad para variables
continuas— tal que la función de distribución se puede escribir en términos de ella. En Inferencia Estadística,
frecuentemente necesitamos enfrentarnos a expresiones como:
P θ ( X ≤a )= p , esto es, F θ (a)= p ,
donde θ son los parámetros, a es el cuantil y p es la probabilidad.
¿Por el qué me están preguntando?
La ecuación anterior involucra a θ, a y p, y pueden preguntarnos por cualquiera de las tres cantidades. El
problema general puede formularse como:
De F θ (a)= p , encuentra la cantidad desconocida (incógnita) dadas las otras dos.
Nota: Para estadísticos, funciones que dependen de una (muestra aleatoria) simple de tamaño n, en ocasiones el interés está en el parámetro n de
Pθ(Tn ≤ x) = p.
Pregunta indirecta
De hecho, se nos puede preguntar de una forma menos directa, y necesitaremos encontrar una función de la
incógnita antes de encontrar la propia incógnita. Esto puede suceder, por ejemplo, cuando:
1
Conocemos la distribución de X, necesitamos trabajar con un suceso como {g1(X) ≤ g2(a)} y no
conocemos la distribución de g1(X). Si g1 es invertible el suceso puede escribirse como {X ≤ g1–1(g2(a))},
{X < g1–1(g2(a))}, {X ≥ g1–1(g2(a))} ó {X > g1–1(g2(a))}, dependiendo de los miembros de la desigualdad y
de cuándo g1–1 es creciente o decreciente, estrictamente o no.
2
No conocemos la distribución de X, necesitamos trabajar con un suceso como {X ≤ g2(a)} y hay un
resultado teórico que proporciona la distribución de g1(X). Entonces, el suceso puede expresarse como
23
Herramientas básicas de Matemáticas
{g1(X) ≤ g1(g2(a))}, {g1(X) < g1(g2(a))}, {g1(X) ≥ g1(g2(a))} ó {g1(X) > g1(g2(a))}, dependiendo de los
miembros de la desigualdad y de cuándo g1 es creciente y decreciente, estrictamente o no.
Sin embargo, en estas situaciones la función g1–1 ó g1 no se suele aplicar en un paso sino en varios pasos
pequeños en los que son fáciles de controlar posibles cambios en el sentido de la desigualdad. Por ejemplo, si
se conoce la distribución de X, pero el suceso está escrito como
X +1
<1 }
{2.325
la función g1(x) es (x+1)/2.325.

En un paso:
y=
x+ 1
→ 2.325 y=x + 1 → 2.325 y−1= x → g −1
1 (x )=2.325 x−1
2.325
Dado que
d −1
–1
g (x )=2.325 > 0 , la función g es estrictamente creciente, por lo que
dx
X +1
<1 } → { g
{2.325
−1

(
X +1
)< g −1 (1)
2.325
} → { X < 2.325⋅1−1 } → { X <1.325}.
En varios pasos:
X +1
<1 }={ X +1< 2.325}={ X < 2.325−1 }={ X <1.325}.
{2.325
Mis notas:
Otros tipos de sucesos
Por definición, la función de distribución Fθ(a) se define sobre los sucesos de la forma {X ≤ a}, para todo a.
Frecuentemente es necesario trabajar con otros tipos de sucesos que pueden expresarse en términos de los
anteriores.
(a) Complemento: Como { X > a }={ X ≤a }c , entonces
P θ ( X > a)=1−P θ ( X ≤a)
(b) Intervalo: Como {a1≤ X ≤a 2 }={ X < a 2 }∖ { X ≤a 1 }={ X ≤a 2 }∩{ X < a1 }c , entonces
P θ (a 1≤ X ≤a 2 )=P θ ( X ≤a 2 )−P θ ( X ≤a 1)
(c) Exclusión de la igualdad: Como { X < a }={ X ≤a }∖ { X =a }, entonces
P θ ( X < a)=P θ ( X ≤a)− Pθ ( X =a)
Para variables continuas, P θ ( X =a)=0 , ∀a
Mis notas:
24
Herramientas básicas de Matemáticas
Formas de buscar soluciones
Operando en la ecuación
Desde un punto de vista teórico:

Cuando la probabilidad p es desconocida, es suficiente evaluar la función de distribución, para los
parámetros θ dados, en el valor de la variable a. Esto implica cálculos con una suma para variables
discretas y con una integral para las continuas:
p = Fθ(a)

Cuando la incógnita es el cuantil a, es necesario invertir la función de distribución. Esto corresponde a
encontrar el valor, para los parámetros θ dados, tal que:
Fθ(a) = p

→
a = Fθ–1(p)
Cuando el parámetro(s) θ es la incógnita, en general no está determinada con unicidad dadas a y p:
por ejemplo, la igualdad de las integrales definidas de dos funciones no implica que las funciones sean
iguales, mientras que θ caracteriza al elemento de la familia. Dado que hay sólo una ecuación, puede
suceder que la distribución sea multiparámetro y todos los parámetros sean conocidos excepto uno,
pero incluso en esta situación puede existir más de una solución si la ecuación es no lineal. Cualquiera
que sea el número de soluciones, es posible resolver el problema sólo cuando puede encontrarse
algebraicamente una expresión (posiblemente multivariante) explícita:
Fθ(a) = p
→
θ = h(a,p)
Nota: El problema de estimar los parámetros de una población a partir de muestras es cualitativamente diferente de éste.
Consultando una tabla
Cuando la variable puede tomar muchos valores (infinitos, con frecuencia), sólo algunos pueden ser tabulados.
De hecho, una tabla es una colección finita de soluciones de la ecuación F θ (a)= p , ordenadas por las
cantidades θ, a y p.
25
Herramientas básicas de Matemáticas
Discreción y acotamiento
Como en una tabla sólo es posible considerar un conjunto discreto de valores de las cantidades continuas,
puede suceder que no esté en la tabla el valor en el que estamos interesados. En estos casos, todavía es posible
usar la información de la tabla para acotar la probabilidad o el cuantil desconocidos. Para una tabla que
proporciona la probabilidad de las colas inferiores, esto es, P θ ( X ≤a )= p , el acotamiento de la
probabilidad sería
a 1< a< a 2 → P θ ( X ≤a 1)< Pθ ( X ≤a)< P θ ( X ≤a 2) → p 1< P θ ( X ≤a)< p 2
donde a1 y a2 están en la tabla; por otro lado, para el cuantil sería
p 1< p< p2 → a 1< a< a 2
donde p1 y p2 están en la tabla. Véanse, por ejemplo, los ejercicios de [1].
Simetría
Las características teóricas de algunas distribuciones nos permiten simplificar sus tablas. Por ejemplo, si la
distribución es simétrica con respecto al cero, pueden considerarse sólo cuantiles positivos, dado que
P θ ( Z ≤−a ) =P θ ( Z ≥a ) =1− Pθ ( Z < a ) =1− Pθ ( X ≤a)+ Pθ ( X =a)
Reescritura de sucesos
El mismo suceso puede expresarse de diferentes formas, y cuál es la más apropiada depende de las tablas
disponibles. Por ejemplo, para calcular la probabilidad P θ (∣ X ∣> a ) , si X tiene distribución simétrica,
(a)
(b)
(c)
2 P θ ( X < −a )=2[1−P θ ( X ≥−a ) ]
2 P θ ( X > + a )=2[1−P θ ( X ≤+ a ) ]
1−P θ (∣ X ∣ ≤+ a )=1−[ P θ ( X ≤+ a ) −Pθ ( X ≤−a ) ]
Tablas de una y dos colas
Si una tabla de una cola proporciona las probabilidades de las colas inferiores
P ( X ≤ a)= p ,
queda una probabilidad de 1–p en la cola superior X > a. Si una tabla de una cola proporciona las
probabilidades de las colas superiores
P ( X > a)= p ,
26
Herramientas básicas de Matemáticas
queda una probabilidad de p en la cola superior X > a. Para una distribución simétrica, las tablas de dos colas
proporcionan usualmente las probabilidades de los intervalos centrados
P (−a< X < + a)= p ,
queda una probabilidad de (1–p)/2 en la cola superior X > a.
Aplicación a intervalos de confianza: Estos intervalos se expresan usualmente en términos del cuantil de
probabilidad de la cola superior tal que P(X > a) = α/2, donde 1–α es el nivel de confianza; entonces, si se
utiliza una tabla de una cola debe considerarse el valor
p=1 – α o p= α
2
2
para encontrar el cuantil (para tablas de probabilidades de colas inferiores y superiores, respectivamente),
mientras que si se utiliza una tabla de dos colas debe considerarse directamente el valor
p=1 – α .
Para consultar las tablas, es aconsejable tener en mente la diferencia entre el nivel de confianza y la
probabilidad.
Utilizando un programa informático
Hay muchas herramientas, desde lenguajes de programación hasta aplicaciones para dispositivos móviles,
para calcular p o a. Estas herramientas también pueden estar insertadas en páginas web para ser utilizadas en
línea.
Mis notas:
Sucesiones de variables aleatorias
Tipos de convergencia
Sea X1, X2, X3,... una sucesión de variables aleatorias definidas sobre un mismo espacio de probabilidad
(Ω,A,P).
Convergencia en distribución (en ley o D-convergencia)
d
Se dice que la sucesión {Xn} converge en distribución a X, débilmente o en ley, X n →
X , si para cualquier
función continua acotada h(x)
E ( h( X n)−h( X ) ) → 0 cuando n → ∞ .
Nota: Algunas veces se utilizan como definición otras condiciones equivalentes.
Convergencia en probabilidad (en medida o P-convergencia)
P
Se dice que la sucesión {Xn} converge en probabilidad a X, X n → X , si
P (∣ X n −X ∣ > ϵ) → 0, ∀ϵ> 0 , cuando n → ∞ .
27
Herramientas básicas de Matemáticas
Convergencia en media de orden p (o Lp-convergencia)
Lp
Se dice que la sucesión {Xn} converge en media de orden p a X, X n → X , si
E (∣ X n − X ∣ p ) → 0 cuando n → ∞ .
Convergencia casi segura (o c.s.-convergencia)
cs
Se dice que la sucesión {Xn} converge casi seguro a X, con probabilidad uno o fuertemente, X n → X , si
P ( X n− X → 0 cuando n → ∞ ) =1
Convergencia completa
c
Se dice que la sucesión {Xn} converge completamente a X, X n → X , si
∞
∑n=1 P ( ∣ X n− X∣ > ϵ) < ∞ , ∀ϵ> 0
Nota: La convergencia en distribución es cualitativamente diferente de las otras, dado que no compara las variables aleatorias Xn y X sino las
distribuciones P{Xn in a} y P{X in a} para todo a∈ A (cualquier posible evento).
Relaciones entre los tipos de convergencia
Las siguientes relaciones son ciertas siempre:
Las opuestas de algunas relaciones pueden cumplirse en casos especiales o bajo condiciones adicionales. Para
estos resultados, véase por ejemplo la sección 7.2 de [2].
Convergencia en Análisis Real
Algunos de estos tipos de convergencia se utilizan también en Análisis matemático:
Probabilidad
Análisis
En distribución
Débil
En probabilidad
En medida
En media de orden p
En media de orden p
Casi segura
Casi en todo punto
Completa
Uniforme
28
Herramientas básicas de Matemáticas
Mis notas:
Algunos resultados teóricos
Teorema del Límite Central
Hay varias versiones del Teorema del Límite Central, dependiendo de las condiciones impuestas a las
variables.
Teorema 1sv
Dadas variables aleatorias independientes (X1,..., Xn) tales que Xi tiene media finita μi y varianza finita
σi2, entonces
X 1+ X 2+ ⋯+ X n
d
→
N ( μ1+ μ 2+ ⋯+ μ n , √ σ1 + σ 2+ ⋯+ σ n )
2
2
2
o, equivalentemente,
( X 1+ X 2 + ⋯+ X n)−(μ1+ μ 2+ ⋯+ μ n )
2
1
2
2
N (0,1)
d
→
√ (σ + σ + ⋯+ σ )
2
n
Aproximación de la distribución binomial a y por la normal o la Poisson
Una de las aplicaciones del Teorema del límite central es la aproximación de las probabilidades de algunas
sumas de variables. Para el caso particular en el que Xi sigue una distribución de Bernoulli, como la suma de
variables sigue un modelo binomial, el teorema se reescribe como
Teorema 2sv
Si Y sigue una distribución binomial, dado que μ=E (Y )=n η y σ 2=Var (Y )=n η(1−η) se cumple,
cuando n crece, que
Y − E(Y )
Y −n η
d
=
N ( 0, 1 ) .
√ Var (Y ) √ n η(1−η) →
Esta versión del Teorema del límite central se utiliza para aproximar la distribución binomial por la normal
estándar. La aproximación es buena cuando n es grande y η es tal que nη es también grande. Cuando η es tan
pequeño que nη es también pequeño incluso para valores grandes de n, la binomial puede aproximarse por la
Poisson:
Teorema 3sv
Si n tiende a infinito y η tiende a cero de tal forma que nη tiende a una constante λ, se cumple que
n−x
lim f ( x ; n , η)=lim n ηn−x (1−η) x
x
()
→
e−λ λ
= f (n−x ; λ )
(n− x)!
para x≤n .
Corrección por continuidad
En el teorema 2sv el cociente sigue una distribución discreta mientras que el límite es continuo. La corrección
por continuidad puede pensarse como el proceso de «hacer continua la distribución discreta», esto es,
extender ficticiamente su función de masa a todos los posibles valores reales. Esto mejora la aproximación y
puede hacerse imaginando barras de anchura uno centradas en los valores enteros a, desde a–0.5 a a+0.5, que
son incluidas cuando el valor a está incluido. Por ejemplo:
(a)
P ( X =a) → P (a−0,5≤X ≤a+0,5)
29
(b)
P ( X ≤a) → P ( X ≤a+0,5)
Herramientas básicas de Matemáticas
(c)
(d)
P ( X <a) → P ( X ≤a−0,5)
P (a< X < b) → P(a+0,5≤X ≤b−0,5)
(c)
P (a≤X ≤b) → P (a−0,5≤X ≤b+0,5)
(e)
Otros casos.
Límites de sucesiones de variables aleatorias
De la sección 7.2 de [2]:
Teorema 4sv
d
P
Si X n → c , donde c es una constante, entonces X n → c
La convergencia en probabilidad implica la convergencia en distribución, pero lo opuesto en general no es
cierto: el anterior teorema muestra una excepción.
Teorema 5sv
d
d
Si X n → X y g :ℝ → ℝ es una función continua, entonces g ( X n ) → g ( X )
El anterior teorema también se cumple para las convergencias casi segura y en probabilidad. Al final de la
misma sección 7.2, en el ejercicio 5:
Theorem 6sv (Slutsky)
d
P
d
(a) Suponga que X n → X y Y n → c , donde c es una constante. Entonces X n⋅Y n → c⋅X y, si c
Xn d X
→ .
es no nula,
Yn
c
d
P
(b) Suponga que X n → 0 y Y n → Y , y sea g :ℝ2 → ℝ tal que g(x,y) es una función continua de
P
y para toda x, y g(x,y) es continua en x = 0 para todo y. Entonces g ( X n ,Y n) → g ( 0 , Y ).
Por otro lado, de la sección 7.3 del mismo libro:
Teorema 7sv
a.s.
a.s.
a.s.
(a) Si X n → X y Y n → Y entonces X n+ Y n →
Lp
Lp
Lp
(b) Si X n → X y Y n → Y entonces X n+ Y n →
P
P
P
(c) Si X n → X y Y n → Y entonces X n+ Y n →
d
(d) En general no es cierto que X n+ Y n → X + Y
X+Y
X+Y
X+Y
d
d
siempre que X n → X y Y n → Y
Momentos
De la sección 2.2 de [3]:
Teorema 8sv
i.
ii.
Teorema 9sv
a.s.
a.s.
mr → μ r
E (mr )=μ r
μ 2r −μ 2r
iii. Var ( mr )=
→ 0
n
i. s r → σr
ii. Se cumple que E (s r )−σ r =⋯ → 0
iii. Se cumple que Var ( s r )=⋯ → 0
Teorema 10sv
( )
2
(1)
d
̄ →
X
N μ ,σ
n
30
Herramientas básicas de Matemáticas
(2)
σ 4−σ 4
S →N σ ,
n
2
d
(
2
)
n−1 2
S , aplicando el teorema
n
4
4
n−1
2 σ 4 −σ
2 σ 4−σ
⋅N σ ,
=N σ ,
.
n
n
n
2
Si s2 es la varianza muestral y S2 es la cuasivarianza muestral, dado que s =
4sv y (a) del teorema 6sv, s 2=
n−1 2 d
S → lim n→ ∞
n
(
) (
)
Mis notas:
Estimaciones puntuales. Estadísticos y Estimadores
El mundo estadístico
Mis notas:
Tipos de consistencia
Un estimador es una sucesión de variables aleatorias: una para cada valor de n. Por tanto, los modos de
convergencia de estos tipos de sucesiones pueden aplicarse. Al mismo tiempo, la consistencia es un concepto
asintótico. Las siguientes definiciones están basadas en las diferentes formas en las que una sucesión de
variables aleatorias puede converger a una cantidad (el parámetro poblacional, en este caso). En general, las
definiciones son difíciles de manejar y usualmente se les pide a los estudiantes que trabajen con condiciones
necesarias o suficientes.
31
Herramientas básicas de Matemáticas
Consistencia en media cuadrática
De la definición de error cuadrático medio (aunque hay otras formas de medir el error), se deduce la
importante propiedad general:
2
̂
̂
̂ 2+ Var ( θ)
̂ ,
MSE ( θ)=E
( [ θ−θ]
) =⋯=[b( θ)]
̂
̂
donde b( θ)=E
( θ)−θ
es el sesgo del estimador. Se dice que un estimador es consistente en media
cuadrática para estimar θ si
̂ → 0 cuando n → ∞ .
MSE ( θ)
̂
Como las tres cantidades MSE ( θ),
̂ son no negativas, se cumple que
̂ 2 y Var ( θ)
[b ( θ)]
̂
lim n →∞ MSE ( θ)=0
↔
̂
lim n →∞ b( θ)=0
̂
lim n →∞ Var ( θ)=0
{
esto es, para la consistencia en media cuadrática de un estimador, es necesaria y suficiente la concurrencia de
insesgadez asintótica y varianza evanescente. Cualquiera de estas dos condiciones, separadamente, es
necesaria pero no suficiente.
Consistencia en media de orden 1
Un estimador de θ se dice que es consistente en media de orden 1 si
̂ ∣ ) → 0 cuando n → ∞ .
E (∣θ−θ
Como la convergencia en media cuadrática implica la convergencia en media de orden 1 en un espacio de
medida finita (debido a la desigualdad de Cauchy-Schwarz), la consistencia en media cuadrática implica la
convergencia en media de orden 1. Entonces, la condición necesaria y suficiente para la convergencia en
media cuadrática se convierte en suficiente —pero no necesaria— para la convergencia en media de orden 1:
{
lim n → ∞ b ( θ̂ )=0
̂
lim n → ∞ Var ( θ)=0
→ θ̂ es un estimador consistente en media de orden 1 de θ.
Consistencia en probabilidad
Un estimador de θ se dice que es consistente en probabilidad si
̂ ∣ > ϵ ) → 0, ∀ϵ> 0 , cuando n → ∞ .
P (∣θ−θ
Como la convergencia en media de orden 1 implica la convergencia en probabilidad (debido a la desigualdad
de Chebyshev), la consistencia en media de orden 1 implica la consistencia en probabilidad. Entonces, la
condición suficiente para la consistencia en media de orden 1 es también suficiente para la consistencia en
probabilidad, por lo que la condición necesaria y suficiente para la consistencia en media cuadrática se
convierte también en suficiente —pero no necesaria— para la consistencia en probabilidad:
{
lim n → ∞ b( θ̂ )=0
̂
lim n → ∞ Var ( θ)=0
→ θ̂ es un estimador consistente en probabilidad de θ.
Mis notas:
32
Herramientas básicas de Matemáticas
Método de los momentos
Momentos: Los momentos poblacionales y muestrales con respecto a cero se definen, respectivamente, como:
μ r (θ)=E ( X r )
y
m r ( X )=
1 n r
x
n ∑ i=1 i
Idea del método: Como mr son buenos estimadores de μr, sus valores están cerca. Entonces, tiene sentido
forzar su igualdad: tantas ecuaciones involucrando las incógnitas como parámetros en θ.
(1) Momentos centrados poblacionales y muestrales: Escribir tanto E(Xr) en función de los parámetros θ como
los momentos muestrales.
(2) Sistema de ecuaciones: Un problema algebraico.
r =1, 2, ...
μ r (θ)=mr (x 1 , ... , x n ) ,
(3) El estimador: Finalmente, en la expresión de las soluciones θ0 =h( x 1 , x 2 , ... , x n) las letras minúsculas xi
(números que representan LA muestra que teníamos) son sustituidos por las letras mayúsculas Xi (variables
aleatorias que representan CUALQUIER posible muestra que podamos tener):
θ̂ M =h( X 1 , X 2 , ... , X n) .
Nota: Si el método de los momentos es utilizado para estimar m parámetros (frecuentemente 1 o 2), las m primeras ecuaciones suelen ser
suficientes; sin embargo, si no todos los parámetros aperecen en los primeros momentos de X, deben considerarse los m momentos más pequeños
para los que aparecen los parámetros. Por ejemplo, si μ1 = 0 o si el interés está directamente en σ2 porque μ es conocido, la ecuación de primer
orden μ1 = μ = E(X) = m1 no involucra a σ y por lo tanto debe considerarse la ecuación de segundo orden μ2 = E(X2) = Var(X)+E(X)2 = σ2+μ2 = m2.
Nota: La función h es multivariante cuando hay más de un parámetro, es decir, θ = (θ1,θ2) y h = (h1,h2), con θ0,1 = h1(x1,...,xn) y θ0,2 = h2(x1,...,xn).
Mis notas:
Método de máxima verosimilitud
Función de verosimilitud: Dado θ, la función de verosimilitud
n
L( x 1 , x 2 , ... , x n ; θ)=∏i =1 f ( x i ; θ)
es un número que proporciona una medida de lo fácil o difícil (lo «probable») que es obtener la muestra
concreta x = (x1, x2,...,xn).
Idea del método: Parece razonable elegir el valor θ = θ0 que maximiza la probabilidad de la muestra obtenida
(esto es equivalente a suponer que el suceso más probable ocurrió al obtener la muestra, y que no sucedió
nada extraño). Para hacer esto, permitiremos a θ que tome todos sus posibles valores, es decir, será
considerado como una variable temporalmente.
(1) Función de verosimilitud: Escribe el producto y junta los términos que son similares.
(2) Problema de optimización: Un problema analítico.
33
Herramientas básicas de Matemáticas
En general, es casi imposible calcular la derivada de un producto de n factores (para cualquier n)
n
L( x 1 , x 2 , ... , x n ; θ)=∏i =1 f ( x i ; θ)
Como L toma valores positivos y la función log(x) convierte productos en sumas y exponentes en factores
multiplicativos a la vez que no cambia la posición de los posibles extremos, se considera en su lugar la
siguiente función:
n
log [ L( x 1, x 2,... , x n ; θ) ] =∑i=1 log [ f ( x i ; θ) ]
Después, el problema de optimización se resuelve como está descrito en la sección Optimización de
funciones: máximos y mínimos locales, esto es, resolviendo las ecuaciones
∂
∂θi log( L (x 1 , ... , x n ; θ))=0
y verificando las condiciones sobre las derivadas de segundo orden.
(3) El estimador: Finalmente, en la expresión de las soluciones θ0 =h( x 1 , x 2 , ... , x n) las letras minúsculas xi
(números que representan LA muestra que teníamos) son sustituidas por letras mayúsculas Xi (variables
aleatorias que representan CUALQUIER posible muestra que podamos tener):
θ̂ ML =h ( X 1 , X 2 , ... , X n) .
Nota: La función h es multivariante cuando hay más de un parámetro, es decir, θ = (θ1,θ2) y h = (h1,h2), con θ0,1 = h1(x1,...,xn) y θ0,2 = h2(x1,...,xn).
Propiedades de θ̂ ML :
Bajo ciertas condiciones de regularidad, el estimador existe y es único.
 En ocasiones es insesgado, y siempre es asintóticamente insesgado.
 Es consistente.
 Cuando existe un estimador eficiente, se obtiene con este método; además, es siempre asintóticamente.
eficiente (la varianza tiende a la cota mínima de Cramér-Rao).
 Si hay estimadores suficientes, es uno de ellos.
 Asintóticamente, es normalmente distribuido.

Mis notas:
34
Herramientas básicas de Matemáticas
Intervalos de confianza
Definición e interpretación
Un par de cantidades aleatorias T1 y T2 tales que
1−α = P (T 1≤θ≤T 2)
forma un intervalo de confianza de probabilidad 1–α para el parámetro θ. (Nótese que para hablar de
probabilidad, alguna de las cantidades T1, θ o T2 debe ser aleatoria, y el parámetro θ lo es.) Los extremos del
intervalo son aleatorios hasta que se sustituye una muestra específica; entonces, este intervalo contendrá o no
contendrá el verdadero valor. En repetidas aplicaciones de las fórmulas del intervalo, el verdadero valor del
parámetro θ estaría contenido en un 100(1–α)% de los intervalos calculados de este modo: por ejemplo, si la
confianza es 95%, más o menos 95 de cada 100 veces el valor real desconocido estaría en el intervalo (en la
práctica, quizá las fórmulas se aplican sólo una vez...).
Nota: Una vez que se obtiene un intervalo para la varianza, P(a1 ≤ σ2 ≤ a2), dado que la raíz cuadrada positiva es una función estrictamente
creciente, un intervalo para la desviación típica está dado por P(√a1 ≤ σ ≤ √a2). (Nótese que a1 > 0 si el intervalo inicial es razonable.)
Mis notas:
Hay varios métodos para construir intervalos de confianza. Uno de los principales es el siguiente.
Método de la cantidad pivotal. Algunos pivotes
(1) Pivote T(X;θ): Selecciónalo de las tablas de estadísticos. Verificará que:
(a) Involucra el parámetro θ
(b) Su distribución es conocida
(c) Es posible hacer T(X;θ) = k → θ = g(X;k) fácilmente
Nota: T(X;θ) es una cantidad aleatoria.
(2) Reescritura del suceso: Hacer los cálculos
1−α = P (a 1≤T ( X ; θ)≤a 2) =⋯ = P (T 1 ( X ; a1, a 2)≤θ≤T 2 ( X ; a 1, a2 ))
(3) El intervalo:
I =[T 1 , T 2 ]1−α
Aplicación: Hay un número infinito de pares tales que P(a ≤ T(X;θ) ≤ b) = 1–α. Criterio: Se consideran los
cuantiles lα/2 y rα/2. Para distribuciones simétricas, esto minimiza la longitud del intervalo.
Nota: Usualmente los estadísticos involucrados en T (como s, S...) y los cuantiles (como a ...) también dependen del tamaño muestral n.
Mis notas:
Margen de error
Debido al método aplicado, para nuestros T simétricos los intervalos tomarán la forma
̂ E,
I =θ∓
35
Herramientas básicas de Matemáticas
donde E > 0 es el margen de error. En este caso, la longitud del intervalo es L = T2 – T1 = 2E y
̂
̂ E)=P (−E≤−θ̂ +θ≤+ E)=P (∣θ−θ
̂ ∣≤E )=P ∣θ̂ −θ∣≤ L
1−α=P ( θ−E≤θ≤
θ+
2
(
)
̂ ∣ como si fuese el error absoluto (distancia sin signa), la ecuación anterior dice que con probabilidad 1– α este error
Nota: Si se piensa en ∣θ−θ
será menor o igual al margen de error (la mitad de la longitud).
Mis notas:
Tamaño muestral mínimo
Un proceso estadístico con «con buen comportamiento» debería verificar que cuanta más información
disponible hay mejor debe ser la inferencia, esto es, que cuanto mayor es el tamaño muestral menor es el error.
̂ ∣ puede ser acotada en probabilidad utilizando el margen de error: dados α y E (ó L),
La distancia ∣θ−θ
cuando ME depende del tamaño muestral n, esta última cantidad puede elegirse para que
̂ ∣≤E) .
1−α=P (∣θ−θ
Método basado en el intervalo de confianza. Para los intervalos que involucran el cuantil de la distribución
normal estándar,
E=r α / 2 σ
√n →
√ n=r α / 2 σ → n= r α/2 σ → Se considera el entero mayor más cercano.
E
( E)
2
Existen tablas con estos valores. Sin embargo, el cuantil depende frecuentemente del tamaño muestral n, por
lo que
S
S
E=r n ,α / 2 n → √ n=r n ,α / 2 n ,
E
√n
donde ambos miembros de la última igualdad depende de n y no es trivial encontrarlo manipulando la
ecuación. Como el objetivo no es resolver la ecuación algebraicamente sino encontrar el menor valor natural n
que la verifica, se pueden probar distintos (es muy útil un computador).
̂
Método basado en la desigualdad de Chebyshev. Para estimadores insesgados, como E ( θ)=θ
una
̂ ∣ consiste en usar la desigualdad de Chebyshev:
posible forma de acotar en probabilidad la distancia ∣θ−θ
̂ ∣≥E )=P (∣θ−E
̂
̂ ∣≥ E)≤
P (∣θ−θ
( θ)
̂
Var ( θ)
≤α.
2
E
Esto puede utilizarse para obtener tanto el intervalo de confianza como el tamaño muestral mínimo necesario.
Por ejemplo, dados α y E, en la expresión de Var ( θ̂ n) puede elegirse el mínimo n para garantizar la última
desigualdad. Esto puede hacerse cuando θ^ es un estimador que involucra una o dos muestras (poblaciones).
36
Herramientas básicas de Matemáticas
Mis notas:
Contrastes de hipótesis
Definición e interpretación
Qué es un contraste de hipótesis. Un proceso estadístico para responder a una pregunta sobre una o más
distribuciones poblacionales, por ejemplo: ¿Es μ igual a 3? ¿Es σ menor que 14? ¿Tienen estas poblaciones la
misma varianza? ¿Sigue X una distribución exponencial?
Cómo se encuentra la respuesta. Utilizando la información muestral X = (X1,...,Xn) a través del estadístico
apropiado y aplicando una de dos metodologías equivalentes. Suponiendo que H0 is verdadera, el valor
muestral T(x;θ) es comparado con toda la distribución muestral de T(X;θ).
Decisiones incorrectas. Error de tipo I: rechazar H0 cuando es cierta. Error de tipo II: no rechazar H0 cuando es
falsa.
Interpretación. Un contraste: cuando H0 es realmente cierta, después de utilizar la muestra el contraste habrá
fallado o no la decisión correcta: ya no hay ninguna probabilidad involucrada. Varios contrastes: en repetidas
muestras de la población (aplicaciones del proceso de contraste), la regla cometería error de tipo I en 100α%
de los contrastes calculados de esta manera: por ejemplo, si la confianza es 95% (α=0.05), más o menos 95
veces de 100 la decisión sería correcta cuando H0 es cierta.
Proceso de contraste
Metodología 1: Tras seleccionar el estadístico adecuado T(X), se determina bajo H0 la región crítica o de
rechazo: la forma prestando atención a la hipótesis alternativa H1 y los valores críticos aplicado la definición
de error de tipo I α (nivel de significación).
α=P (Error tipo I )=P (Rechazar H 0 ∣ H 0 cierta)= P(T ∈ Rc ∣ θ∈Θ0 )=P (T 0∈R c ).
El estadístico bajo H0 es evaluado con la muestra x = (x1,...,xn) y se rechaza H0 si esta evaluación T0(x)
pertenece a Rc.
Metodología 2: Tras seleccionar el estadístico adecuado T(X), es evaluado bajo H0 con la muestra x =
(x1,...,xn), digamos T0(x). Entonces, se determina el valor p («p-value»)utilizando T0(x) y T0(X)
Vp=P ( X más rechazadora que x ∣ H 0 cierta )
donde la traducción de «más rechazadora que» al lenguaje matemático está determinada por la forma de la
región crítica o de rechazo (determinada por H1): si Rc = {|T0(X;θ)| > a} significa {|T0(X;θ)| > |T0(x;θ)|}; si Rc
= {T0(X;θ) < a} significa {T0(X;θ) < T0(x;θ)}; etcétera. Finalmente, se rechaza H0 si el valor p es pequeño (esta
metodología es equivalente a la otra si «pequeño» significa ser menor que el nivel de significación α).
Valor p pequeño → Bajo H0, una muestra aleatoria X «más rechazadora» es improbable → Bajo H0, x es «extrema» → Confiamos en los datos x y rechazamos H0.
Mis notas:
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Herramientas básicas de Matemáticas
Apéndices
Ecuaciones aleatorias y no aleatorias
Sean b y c cantidades no aleatorias.
(1) Cuando a es también no aleatoria, la desigualdad |a–b| < c es cierta o falsa. Por otro lado, cuando A es
una cantidad aleatoria, la desigualdad |A–b| < c es cierta o falsa con cierta probabilidad desde 0 a 1, lo
p
que se expresa como P(|A–b| < c) = p (una notación alternativa buena sería ∣ A−b∣< c , quizá está
siendo utilizada pero yo no la he visto nunca). Por ejemplo, si p = 0.9 la desigualdad puede
interpretarse de dos formar diferentes y equivalentes: en una escala de 0 a 1, las posibilidades de que la
desigualdad se cumpla son 0.90; alternativamente, cuando muchos valores diferentes de A son
generados aleatoriamente la desigualdad se cumple más o menos el 90% de las veces.
(2) Una vez que se fija un valor para A, la desigualdad deja de ser estocástica; entonces, es cierta o falsa.
(3) Si a denota los valores que A puede tomar, las afirmaciones |a–b| < c para cualquier a y P(|A–b| < c) =
1 no son equivalentes. Hay una importante diferencia cualitativa entre ellas: por ejemplo, para una
variable aleatoria continua, dado que la probabilidad de cualquier valor individual es 0, la segunda
puede cumplirse al tiempo que la primera es falsa.
(4) Las igualdades y cualquier otra ecuación que involucra cantidades aleatorias se interpretan de una
forma similar.
Mis notas:
Alfabeto griego
De la Wikipedia:
Mis notas:
38
Herramientas básicas de Matemáticas
Prefijos métricos
De la Wikipedia:
Mis notas:
Referencias
[1] Casado, D. Solved Exercises and Problems of Statistical Inference,
http://www.casado-d.org/edu/ExercisesProblemsStatisticalInference.pdf
[2] Grimmett, G. and D. Stirzaker. Probability and Random Processes. Oxford University Press.
[3] Serfling, R.J. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. John Wiley & Sons
[4] Wikipedia, http://www.wikipedia.org
Mis notas:
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Herramientas básicas de Matemáticas