Tema 7: Momentos de Variables Aleatorias.

Métodos Estadı́sticos de la Ingenierı́a
Tema 7: Momentos de Variables Aleatorias
Grupo B
Área de Estadı́stica e Investigación Operativa
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Marzo 2010
Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Definición de Momentos
3
Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Esperanza Matemática
5
Esperanza Matemática, Expectation Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Varianza y Desviación
Varianza, Variance .
Desviación Tı́pica . .
Propiedades . . . . . .
Tı́pica
7
...................................................... 8
...................................................... 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Asimetrı́a y Apuntamiento
11
Asimetrı́a y Apuntamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Covarianza y Correlación Lineal
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Covarianza, Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Desigualdades de Markov y Tchebychev
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Desigualdad de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Desigualdad de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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Contenidos
Definición de Momentos.
Esperanza Matemática, Expectation Value.
Varianza y Desviación Tı́pica, Variance and Standard Deviation.
Covarianza y Coeficiente de Correlación Lineal, Covariance and Correlation Coefficient.
Desigualdades de Markov y Tchebychev, Markov and Tchebychev Inequalities.
Podemos construir medidas caracterı́sticas de la distribución de una Variable Aleatoria de
forma equivalente a cómo se hizo en el Tema 3 para distribuciones de frecuencias.
A statistical distribution is not uniquely specified by its moments, although it is by its
characteristic function.
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Definición de Momentos
Momentos
La definición general de un Momento respecto del punto v y de orden r de la variable aleatoria X:
 P
P
r
r

i (xi − v) f (xi ) =
i (xi − v) pi si X es discreta
Mr (v) =
 R∞
r
si X es contı́nua
−∞ (x − v) f (x)dx
Destacar la importancia de ciertos Momentos:
Momentos Respecto al Origen, Raw Moment, v = 0.
Momentos Centrales, Central Moment, v = µ.
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Esperanza Matemática
Esperanza Matemática, Expectation Value
La Esperanza Matemática, µ, de una variable aleatoria X es el Momento respecto al Origen de
orden 1 y se conoce como media o valor esperado de X:
X
µ = E(X) =
xi f (xi ), en el caso discreto.
i
µ = E(X) =
Z
∞
xf (x)dx, en el caso contı́nuo.
−∞
Siendo f (x) la función de probabilidad o de densidad, según el caso.
The Expectation Value of a function f (x) in a variable X is denoted E(X).
Algunas propiedades de la Esperanza:
Si a y b son constantes y X una variable aleatoria con media µ y formamos Y = aX + b
entonces,
E(Y ) = E(aX + b) = aE(X) + b = aµ + b.
El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de una variable aleatoria X, es
la suma o diferencia de los valores esperados de las funciones:
E(g(X) ± h(X)) = E(g(X)) ± E(h(X))
La esperanza del producto de dos variables aleatorias independientes, X e Y , es el producto de
las esperanzas:
E(XY ) = E(X) · E(Y ).
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Varianza y Desviación Tı́pica
Varianza, Variance
La Varianza, σ 2 , de una variable aleatoria X con distribución de probabilidades f (x) y media µ, es el
Momento Central de orden 2:
X
σ 2 = Var(X) = E[(X − µ)2 ] =
(xi − µ)2 f (xi ),
i
en el caso discreto.
2
2
σ = Var(X) = E[(X − µ) ] =
Z
∞
−∞
(x − µ)2 f (x)dx,
en el caso contı́nuo.
Siendo f (x) la función de probabilidad o de densidad.
For a single variate X with known population mean µ, the population Variance σ 2 , is defined as
E[(X − µ)2 ].
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Desviación Tı́pica
Se denomina Desviación Tı́pica de X, a la raı́z cuadrada positiva de la varianza,
√
p
σ = Var(X) = σ 2 .
The Standard Deviation σ of a probability distribution is defined as the square root of the variance
σ2
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Propiedades
Algunas propiedades de la Varianza:
La varianza de una variable aleatoria X puede expresarse
Var(X) = σ 2 = E(X 2 ) − E(X)2 = E(X 2 ) − µ2 .
Si a y b son constantes y X una variable aleatoria con media µ y formamos Y = aX + b
entonces,
Var(Y ) = Var(aX + b) = a2 Var(X) = a2 σ 2 .
Casos particulares de lo anterior son:
Var(b) = 0
Var(X + b) = Var(X)
Var(aX) = a2 Var(X)
Var(aX + b) = a2 Var(X)
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Asimetrı́a y Apuntamiento
Asimetrı́a y Apuntamiento
Asimetrı́a, Skewness:
γ1 =
µ3
,
σ3
siendo µ3 el momento centrado de orden 3.
Apuntamiento, Kurtosis:
γ2 =
µ4
− 3,
σ4
siendo µ4 el momento centrado de orden 4.
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Covarianza y Correlación Lineal
Covarianza, Covariance
Sean X e Y dos variables aleatorias, con distribución de probabilidades conjunta f (x, y), la
Covarianza entre X e Y se define del siguiente modo:
Cov(X, Y ) = σXY = E[(X − µX )(Y − µY )].
Siendo esta expresión:
Cov(XY ) = σXY =
XX
(xi − µX )(yj − µY )f (xi , yj ),
i
j
en el caso discreto.
Cov(XY ) = σXY =
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
(x − µX )(y − µY )f (x, y)dxdy,
en el caso contı́nuo.
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Propiedades
Algunas propiedades de la Covarianza:
La Covarianza puede expresarse:
σXY = E(XY ) − E(X) · E(Y ) = E(XY ) − µX · µY .
Si X e Y son independientes, entonces σXY = 0, ya que en ese caso E(XY ) = E(X) · E(Y ).
El Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson se define como,
ρ=
σXY
.
σX · σY
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Desigualdades de Markov y Tchebychev
Desigualdad de Markov
Esta desigualdad permite establecer una acotación de la probabilidad de una función no negativa de
una variable aleatoria X.
Sea g una función no negativa de la variable aleatoria X y t una constante positiva, se verifica que
P(g(X) ≥ t) ≤
E(g(X))
t
Sea D el dominio en el que g(X) ≥ t:
Z
Z
∞
g(x)f (x)dx ≥
g(x)f (x)dx
E(g(X)) =
−∞
D
Z
Z
≥
tf (x)dx ≥ t
f (x)dx = t · P(g(X) ≥ t)
D
D
Un caso interesante resulta cuando g(x) = X, suponiendo que X > 0,
P(X ≥ t) ≤
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E(X)
t
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Desigualdad de Tchebychev
La Desigualdad de Tchebychev nos permite, conociendo la Esperanza y la Varianza de una variable
aleatoria, acotar la probabilidad P(|X − µ| < kσ).
Sea X una variable aleatoria de media µ y varianza σ 2 entonces, para todo k > 0 se verifica,
P(µ − kσ < X < µ + kσ) = P(|X − µ| < kσ) ≥ 1 −
1
.
k2
Sea Y = g(X) = (X − E(X))2 ,
P(|X − µ| ≥ kσ) = P(Y ≥ k2 σ 2 ) ≤
como g(X) ≥ 0 podemos aplicar la desigualdad de Markov,
≤
E((X − E(X))2 )
σ2
1
E(Y )
=
=
= 2.
2
2
2
2
2
2
k σ
k σ
k σ
k
Tomando el complementario, se verifica:
P(|X − µ| < kσ) ≥ 1 −
1
.
k2
Como ejemplo tendrı́amos que si el número medio de pasos de vuelta de 100 barras roscadas de
longitud 1m, es de 125 y su desviación tı́pica es de 1 entonces el 75%, k = 2, de las barras tienen
entre 123 y 127 pasos de vuelta.
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