M309: Construyendo bloques

M309: Construyendo bloques
A) PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA
A Susana le gusta construir bloques utilizando bloques pequeños como el que
se muestra en el siguiente diagrama:
Cubo pequeño
Susana tiene muchos cubos pequeños como ese. Ella usa pegamento para unir los
cubos y hacer bloques.
Primero, Susana pega 8 cubos para hacer el bloque como el que se muestra en el
diagrama A:
Diagrama A
Después Susana hace los bloques sólidos que se muestran en el Diagrama B y C:
Diagrama B
Diagrama C
B) PREGUNTAS DEL PROBLEMA
Pregunta 1
¿Cuántos cubos pequeños necesita Susana para hacer el bloque que se muestra en el
Diagrama B?
Respuesta: ..................................................cubos.
Pregunta 2
¿Cuántos cubos pequeños necesita Susana para hacer el bloque sólido que se
muestra en el Diagrama C?
Respuesta: ..................................................cubos.
Pregunta 3
Susana se da cuenta que usó mas cubos pequeños de los que realmente necesita
para hacer el bloque como el que se muestra en el Diagrama C. Ella piensa que
puede haber pegado los cubos pequeños para hacerlos ver como el diagrama C, pero
el bloque pudiera estar hueco por dentro.
¿Cuál es el mínimo número de cubos pequeños que necesita usar para hacer un
bloque como el del Diagrama C, pero hueco?
Respuesta: ..................................................cubos.
Pregunta 4
Ahora Susana quiere hacer un bloque que se vea como sólido y que tenga 6 cubos
pequeños de longitud, 5 cubos pequeños de ancho y 4 cubos pequeños de altura.
Ella quiere usar el mínimo número de cubos pequeños, al dejar el hueco más
grande que sea posible en el interior de bloque.
¿Cuál es el mínimo número de cubos que Susana necesita para hacer el bloque?
Respuesta: ..................................................cubos.
C) SOLUCIÓN DIRECTA DEL PROBLEMA
Pregunta 1
En el dibujo podemos ver que la figura tiene 3 bloques de largo, 2 de ancho y 2 de
altura, por lo tanto: (3)(2)(2) = 12 cubos.
Pregunta 2
En el dibujo podemos ver que la figura tiene 3 bloques de longitud, 3 de ancho y 3 de
altura, por lo tanto: (3)(3)(3) = 27 cubos.
Pregunta 3
La figura C tiene 3 cubos por cada lado, la única manera de poder dejar un hueco en
medio es quitando un cubo del interior, por lo tanto: 27 – 1 = 26 cubos
Pregunta 4
La figura tendrá 6 cubos de longitud, 5 de ancho y 4 de altura. La cantidad máxima
de cubos es: (6)(5)(4) = 120. Para calcular la parte del hueco hay que considerar
que la dimensión de menor magnitud (en este caso la altura) determina el número
máximo de cubos que podemos quitar. Sólo podemos quitar dos cubos a la altura
pues de otra manera el bloque no tendría la apariencia de ser solido. Siguiendo
este razonamiento al ancho le podemos quitar dos bloques para quedar con 3
(5 - 2 = 3) y a la longitud le quitamos igualmente 2 para quedar con 4 (6 – 2 = 4).
Un corte a lo largo del bloque daría esto (cuadros amarillos son espacios vacios)
longitud
altura
Un corte a lo ancho al bloque daría esto
ancho
altura
El volumen vacio entonces tiene longitud 4, ancho 3 y altura 2:
Volumen = (4)(3)(2) = 24.
Por lo tanto el mínimo número de cubos que Susana necesita para hacer el bloque
es:
120 – 24 = 96 cubos
D) CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PROBLEMA SEGÚN LOS
ESTÁNDARES DE PISA
INTENCIÓN DE LA PREGUNTA 1
Encontrar el volumen de una figura tridimensional.
Criterio de evaluación para la pregunta 1
Código 1: 12 cubos.
Código 0: Otras respuestas.
Código 9: Sin respuesta.
INTENCIÓN DE LA PREGUNTA 2
Encontrar el volumen de una figura tridimensional.
Criterio de evaluación para la pregunta 2
Código 1: 27 cubos.
Código 0: Otras respuestas.
Código 9: Sin respuesta.
INTENCIÓN DE LA PREGUNTA 3
Analizar el volumen de una figura tridimensional.
Criterio de evaluación para la pregunta 3
Código 1: 26 cubos.
Código 0: Otras respuestas.
Código 9: Sin respuesta.
INTENCIÓN DE LA PREGUNTA 4
Analizar el volumen de una figura tridimensional.
Criterio de evaluación para la pregunta 4
Código 1: 96 cubos.
Código 0: Otras respuestas.
Código 9: Sin respuesta.
E) SOLUCIÓN COMENTADA DEL PROBLEMA SEGÚN EL PROCESO DE
MATEMATIZACIÓN EN EL MARCO PISA.
Identificación de un problema
matemático.
En este problema se plantea una situación en donde se
utilizarán cubos pequeños para formar figuras
tridimensionales.
El problema pertenece al dominio de espacio donde el
estudiante debe ser capaz de encontrar cuántos cubos
se requiere para formar diferentes figuras regulares.
Identificación de los elementos
matemáticos asociados al
problema, reorganización del
problema en términos de las
matemáticas identificadas.
El elemento matemático fundamental es volumen
ocupado por figuras cúbicas iguales.
En el problema se plantea lo siguiente:
A Susana le gusta construir bloques utilizando
bloques pequeños como el que se muestra en el
siguiente diagrama:
Cubo pequeño
Susana tiene muchos cubos pequeños como ese. Ella
usa pegamento para unir los cubos y hacer bloques.
Primero, Susana pega 8 cubos para hacer el bloque
como el que se muestra en el diagrama A:
Diagrama A
Después Susana hace los bloques sólidos que se
muestran en el Diagrama B y C:
Diagrama B
Diagrama C
Se plantean 4 preguntas:
Para la pregunta 1, ¿Cuántos cubos pequeños necesita
Susana para hacer el bloque que se muestra en el
Diagrama B?
En la pregunta 2, ¿Cuántos cubos pequeños necesita
Susana para hacer el bloque sólido que se muestra en el
Diagrama C?
La pregunta 3, Susana se da cuenta que usó mas cubos
pequeños de los que realmente necesita para hacer el
bloque como el que se muestra en el Diagrama C. Ella
piensa que puede haber pegado los cubos pequeños
para hacerlos ver como el diagrama C, pero el bloque
pudiera estar hueco por dentro.
¿Cuál es el mínimo número de cubos pequeños que
necesita usar para hacer un bloque como el del
Diagrama C, pero hueco?
Y la pregunta 4, Ahora Susana quiere hacer un bloque
que se vea como sólido y que tenga 6 cubos pequeños
de longitud, 5 cubos pequeños de ancho y 4 cubos
pequeños de altura. Ella quiere usar el mínimo número
de cubos pequeños, al dejar el hueco más grande que
sea posible en el interior de bloque. ¿Cuál es el mínimo
número de cubos que Susana necesita para hacer el
bloque?
Abstracción matemática
progresiva de la realidad
En la pregunta 1, se analiza la figura en el dibujo:
En el dibujo podemos ver que la figura tiene 3 bloques
de largo, 2 de ancho y 2 de altura. Multiplicando el largo,
ancho y la altura se puede encontrar el total de bloques.
De la misma forma, para la pregunta 2:
En el dibujo podemos ver que la figura tiene 3 bloques
de longitud, 3 de ancho y 3 de altura. En este caso
también podemos multiplicar el largo, ancho y la altura.
En la pregunta 3, se puede observar que la figura C tiene
3 cubos por cada lado, la única manera de poder dejar
un hueco en medio es quitando un cubo del interior.
Resolución del modelo
matemático
En el caso de la pregunta 4, se puede obtener la
cantidad máxima de cubos, ya que la figura tendrá 6
cubos de longitud, 5 de ancho y 4 de altura. Para
calcular la parte del hueco, podemos restar 2 cubos a
cada medida (ya que debe de haber uno en cada
extremo).
En la pregunta 1, se realizan las multiplicaciones y se
obtiene la cantidad total de cubos: (3)(2)(2) = 12 cubos.
De la misma manera para la pregunta 2 se realizan las
multiplicaciones y se obtiene: (3)(3)(3) = 27 cubos.
Para la pregunta 3, como tiene 3 cubos por cada lado, la
única manera de poder dejar un hueco en medio es
quitando un cubo del interior, por lo tanto: 27 – 1 = 26
cubos
En la pregunta 4, la figura tendrá 6 cubos de longitud, 5
de ancho y 4 de altura. La cantidad máxima de cubos
es: (6)(5)(4) = 120. Para calcular la parte del hueco,
podemos restar 2 cubos a cada medida (ya que debe de
haber uno en cada extremo), por lo que restan: (4)(3)(2)
= 24.
Uso de la solución del modelo
matemático como herramienta
para interpretar el mundo real.
Por lo tanto 120 – 24 = 96 cubos.
La formación de diversas figuras geométricas regulares
permite al alumno desarrollar la lógica y percepción
espacial.
F) COMENTARIOS AL CONTEXTO Y DOMINIO DEL PROBLEMA SEGÚN EL
MARCO PISA.
CLASIFICACION
Contexto
Personal/Recreativo: se requiere construir
diferentes bloques con cubos pequeños.
Dominio
Espacio y forma: combinar los cubos
pequeños para formar los bloques
solicitados.
G) COMENTARIOS A LOS PROCESOS MATEMÁTICOS DOMINANTES DEL
PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA.
Se marcan en amarillo las áreas dominantes:
MACRO-PROCESOS
PROCESOS
Reproducción
Conexión
Reflexión
Pensamiento y razonamiento
Argumentación
Comunicación, utilización de
operaciones y lenguaje técnico (formal
y simbólico).
Construcción de modelos
Planteamiento y solución de problemas
Representación
Uso de herramientas de apoyo.
Analizaremos el problema desde el punto de vista de la pregunta 4 solamente, las otras
tres preguntas son convencionales, es decir, principalmente reproductivas.
Con respecto a la pregunta cuatro, si el alumno tuviera un modelo para realizar esto
físicamente con cubos de plástico que se unen los unos a los otros, el problema es
simplemente de prueba y error y tomaría poco esfuerzo dar con el resultado. Sin
embargo esto no es posible y obliga al estudiante a reflexionar profundamente sobre
las dimensiones del espacio vacío del bloque que obviamente sólo puede visualizar en
su mente. Por ello el problema es principalmente reflexivo en la construcción de
modelos y la representación del problema con los cortes a lo largo y a lo ancho según
se mostró. Por otra parte la solución del problema es totalmente reproductiva pues se
limita a aplicar una fórmula para el volumen.
H) CONEXIONES CURRICULARES DEL REACTIVO PISA CON EL
PROGRAMA DE LA SEP.
En el documento “CurrMateSEPMaster” obsérvense las siguientes conexiones
curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión
curricular véase “Programa Mate SEP”
Este problema está relacionado directamente con conocimientos y habilidades:
Forma,
2.2.3 espacio y
medida
Forma,
3.5.2 espacio y
medida
Formas
Cuerpos
geométricas geométricos
Describir las características de diferentes figuras. Construir desarrollos
planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de
un cuerpo geométrico.
Formas
Cuerpos
geométricas geométricos
Anticipar las características de las figuras que se generan al girar o trasladar
figuras.Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y
reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a
un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los diversos
círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos a una esfera o un cono
recto.