El concepto de función

El concepto de función
1
El concepto de función
Las correspondencias entre conjuntos
Una correspondencia entre dos conjuntos es una relación entre ambos conjuntos, que hace corresponder a
elementos del primer conjunto, elementos del segundo.
Los conjuntos se representan mediante diagramas de Venn.
Las correspondencias se representan mediante dos diagramas de Venn, relacionados mediante
flechas. Por ejemplo,
R
A
2
B
1
8
41
3
6
6
5
4
En este caso:
La correspondencia se denomina R.
El conjunto de partida es A = {2,4,6,8,41}.
El conjunto de llegada es B = {1,3,5,6}.
El dominio de R es {2,4,6,8}.
La imagen de R es {1,5,6}.
La imagen del elemento 2 es el elemento 1.
La imagen del elemento 4 son los elementos 5 y 6.
La antiimagen del elemento 6 es el elemento 4.
La antiimagen del elemento 1 son los elementos 2 y 6.
Las aplicaciones y las funciones
Cuando cada elemento del dominio solamente tiene una única imagen, entonces la correspondencia se
denomina aplicación.
Tipos de aplicaciones:
• Exhaustivas: aquellas en las que su imagen coincide con el conjunto de llegada. Por ejemplo:
F
A
2
B
8
41
1
3
6
6
5
4
• Inyectivas: aquellas en las que cada elemento de la imagen sólo tiene una única antiimagen. Por
ejemplo:
G
C
2
D
1
8
3
7
6
6
4
2
5
•
Biyectivas: aquellas que son exhaustivas e inyectivas al mismo tiempo. Por ejemplo:
T
A
E
2
1
8
6
3
9
4
1
6
4
5
Una función es una aplicación entre conjuntos numéricos.
Dom F
Im F
La tabla de una función
2
1
Una tabla de una función es una tabla con dos columnas; la primera
4
6
contiene valores del dominio de la función y la segunda, los valores
6
3
correspondientes de su imagen. Por ejemplo, la tabla de la función F
8
1
es:
41
5
La expresión de una función
La expresión de una función es una expresión algebraica con una variable que permite encontrar la
imagen de cualquier elemento del dominio de la función. Para conseguirlo, se debe sustituir la variable de
la expresión por el valor del dominio. Por ejemplo, si la función g le hace corresponder a un número el
mismo número al cuadrado, su expresión debe ser:
g(x) = x2
La gráfica de una función
La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos
del plano cartesiano cuyas coordenadas coinciden con valores
de dicha función, siendo la coordenada x un valor del
dominio, y la coordenada y un valor de la imagen. Para
dibujar la gráfica de una función, se deben dibujar todos los
puntos contenidos en la tabla de la función. Por ejemplo, la
gráfica de la función f(x) = 2x cuyo dominio es el intervalo
[–3,4] es:
Operaciones con funciones
Si f y g son dos funciones
• La suma de las funciones f(x) y g(x) se designa como f + g, se calcula de la siguiente manera:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
y puede calcularse siempre que x se encuentre en el dominio de ambas funciones f y g.
• El producto de las funciones f(x) y g(x) se designa como f × g, se calcula de la siguiente manera:
(f × g)(x) = f(x) × g(x)
y puede calcularse siempre que x se encuentre en el dominio de ambas funciones f y g.
• El cociente de las funciones f(x) y g(x) se designa como f/g, se calcula de la siguiente manera:
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
y puede calcularse siempre que x se encuentre en el dominio de ambas funciones f y g y que, además, g(x)
no sea 0.
• La potenciación de las funciones f(x) y g(x) se designa como f g , se calcula de la siguiente manera:
( f ) ( x) = ( f ( x) )
g
g ( x)
y puede calcularse siempre que x se encuentre en el dominio de ambas funciones f y g y que, además, f(x)
y g(x) no sean 0.
3
La historia del concepto de función
El concepto de función se estableció hacia el siglo XVIII, aunque ya anteriormente algunos matemáticos
trabajaban con él de manera intuitiva. En la obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler
intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: “Una función
de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y
por números o cantidades constantes”. Esta definición difiere de la que actualmente se conoce, tal como
se verá, pues siete años después, en el prólogo de las Instituciones del calculo diferencial, afirmó:
“Algunas cantidades en verdad dependen de otras; si al ser combinadas las últimas, las primeras también
sufren cambio, entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es bastante
natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. Así, si x
denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma están
determinadas por x y se les llama funciones de x'”.
El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) es un personaje esencial en el desarrollo de las
funciones porque precisó el concepto de función, realizó un estudio sistemático de todas las funciones
elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con
las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de
la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china.
Antes de Euler, el matemático y filósofo francés Rene Descartes (1596-1650) mostró en sus trabajos de
geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos variable y función, realizando una clasificación
de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se
obtienen resolviendo, de manera simultanea, las ecuaciones que las representan.
¿Qué es una correspondencia entre conjuntos?
Una correspondencia entre dos conjuntos es una relación entre ambos
conjuntos que hace corresponder a elementos del primer conjunto,
elementos del segundo. Una correspondencia puede representarse
gráficamente mediante un diagrama de Venn.
Los conjuntos que se tratan en matemáticas suelen ser conjuntos de números: los
naturales, los enteros, los racionales y los reales. Es sabido que los elementos de
estos conjuntos (números) no pueden escribirse todos en un listado; ahora bien, si un
conjunto de números es finito, entonces, sus elementos pueden expresarse entre
llaves. Por ejemplo, el conjunto formado por los números 1, 2, 3, 4, 6 y 11, puede
denominarse A, y expresarse de esta forma: A = {1,3,4,6,11}. Es decir, los elementos
de un conjunto finito se indican en forma de una lista delimitada por llaves, de
manera que dichos elementos están separados por comas. Otro modo de expresar un
conjunto de números, esta vez de forma gráfica, es utilizando una forma elíptica que
contenga los elementos del conjunto, indicando en la parte exterior el nombre del
conjunto. Esta representación se denomina de diagrama de Venn. Así, por ejemplo,
el anterior conjunto se puede representar de forma gráfica, mediante los diagramas
de Venn:
A
1
3
11
6
4
4
Una correspondencia entre dos conjuntos, A y B, es una relación entre ambos
conjuntos que hace corresponder elementos de A con elementos de B. Este hecho
puede representarse mediante una flecha que tiene su origen en un elemento de A y
su final en un elemento de B; esta flecha indicará que el elemento de A está
relacionado con el elemento de B. Por ejemplo, si A = {2,4,6,8,41} y B = {1,3,5,6},
una correspondencia, denominada R, entre A y B puede ser la siguiente:
R
A
B
2
1
8
3
41
6
6
5
4
En este caso se ha indicado el nombre de la correspondencia, R, para evitar
confusiones con otras correspondencias. Así, por ejemplo, la correspondencia R
relaciona el 2 del conjunto A con el 1 del conjunto B; el 8 del conjunto A, con el 5
del conjunto B; el 4 del conjunto A con el 5 y el 6 del conjunto B; el 6 del conjunto
A con el 1 del conjunto B.
El conjunto A normalmente recibe el nombre de conjunto de partida, mientras que el
conjunto B, conjunto de llegada. Además, el conjunto de todos los elementos del
conjunto de partida de los que sale alguna flecha se denomina dominio de la
correspondencia R y se escribe Dom R; el conjunto de todos los elementos del
conjunto de llegada a los que se dirige alguna flecha se denomina imagen de la
correspondencia R y se escribe Im R. En el ejemplo, el dominio de la
correspondencia es el conjunto Dom R = {2,6,4,8}, mientras que la imagen de la
correspondencia es Im R = {1,5,6}.
Dado un elemento cualquiera del dominio de una correspondencia, se denomina
imagen del elemento al conjunto de todos los elementos de la imagen de la
correspondencia que reciben una flecha de ese elemento. Así, por ejemplo, la imagen
del 2 es {1}, la imagen del 8 es {5}, la imagen del 4 es {5,6} y la imagen del 6 es
{1}. De la misma manera, la antiimagen de un elemento de la imagen de la
correspondencia es el conjunto de todos los elementos del dominio de la
correspondencia cuya imagen incluye este elemento (es decir, todos los elementos de
los cuales parte una flecha hacia este elemento). En el ejemplo, la antiimagen del 1
es {2,6}, la antiimagen del 5 es {4,8} y la antiimagen del 6 es {4}.
¿Qué es una aplicación?
Para que una correspondencia entre conjuntos sea una aplicación, debe
cumplirse que todos los elementos de su dominio tengan un único
elemento en su imagen. Es decir, en la representación de una aplicación,
de cualquier elemento del dominio debe salir una única flecha.
Una aplicación es una correspondencia que cumple esta condición: todos los
elementos de su dominio tienen un único elemento en su imagen. Dicho de otra
manera, en la representación de una aplicación, de cualquier elemento del dominio
debe salir una única flecha. Así pues, en el ejemplo anterior, la correspondencia no
es una aplicación porque del elemento 4 salen dos flechas (es decir, su imagen está
formada por más de un elemento). En cambio, la siguiente correspondencia entre los
mismos conjuntos es una aplicación:
S
A
B
2
1
8
5
6
3
6
5
4
En este caso, el dominio de S también es Dom S = {2,6,4,8}, mientras que la imagen
de la correspondencia es Im S = {1,3,6}. De cualquier elemento del dominio parte
una única flecha, es decir, su imagen consiste en un solo elemento; así pues, se trata
de una aplicación.
Según sea la imagen de una aplicación, ésta puede clasificarse en:
• Exhaustivas: aquellas en las que su imagen coincide con el conjunto de llegada.
Por ejemplo, la aplicación F es exhaustiva.
• Inyectivas: aquellas en las que cada elemento de la imagen sólo tiene una única
antiimagen. Por ejemplo, la aplicación G es inyectiva.
• Biyectivas: aquellas que son exhaustivas e inyectivas al mismo tiempo, es decir,
cada elemento del conjunto de llegada tiene una única antiimagen. Por ejemplo, la
aplicación T es biyectiva.
Puede observarse que esta clasificación no abarca todas las aplicaciones: por
ejemplo, la aplicación S no es ni biyectiva, ni inyectiva (el elemento 1 tiene 2
antiimágenes), ni exhaustiva (el elemento 5 no pertenece a la imagen).
F
A
2
B
8
41
1
3
6
6
5
4
G
C
2
D
1
8
41
6
6
5
4
T
A
E
2
6
3
7
1
8
3
9
4
1
6
5
4
Cuando la aplicación se establece entre conjuntos numéricos, se denomina función.
Muchas situaciones reales pueden explicarse como la relación entre dos magnitudes
en forma de función. Por ejemplo, la temperatura en un lugar concreto y la hora del
día son dos magnitudes relacionadas entre sí; es decir, a cada momento del día le
corresponde una temperatura concreta, o sea, la temperatura es una función del
tiempo. De esta manera, se podrían escribir las horas de un día en un conjunto, y las
temperaturas en otro; una flecha podría unir cada elemento del primer conjunto (las
horas) con un único elemento del segundo conjunto (la temperatura a esa hora).
6
¿Qué es una tabla de una función?
Una tabla de una función es una tabla con dos columnas; la primera
contiene valores del dominio de la función, y la segunda, los valores
correspondientes de su imagen. Cuando el dominio o la imagen son
conjuntos demasiado grandes, una tabla de la función sólo puede contener
algunos de los valores de la función.
Instante
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Una manera sencilla de expresar una función, que no necesita los diagramas de
Venn, consiste en poner los elementos de los conjuntos en una tabla: en la primera
columna el dominio, y en la segunda, las imágenes correspondientes. Por ejemplo, la
función F anterior puede expresarse mediante esta tabla:
Dom F
Im F
2
1
4
6
6
3
8
1
41
5
Evidentemente, no siempre será posible construir toda la tabla de la función: el
dominio y la imagen pueden ser conjuntos demasiado grandes e, incluso, infinitos.
En este caso, se puede construir una tabla con algunos valores del dominio y sus
correspondientes imágenes. Por ejemplo, se considera la función temperatura de un
lugar concreto, que a cada instante de un día, le asocia la temperatura en ese instante.
Los valores posibles para los instantes de un día van desde las 0 hasta las 24
horas, es decir, todo el intervalo de números reales [0,24).
Temperatura
Evidentemente, no pueden tenerse todos los valores del día, por
5º
ello se eligen algunos de representativos; por ejemplo, se
7º
pueden tomar muestras de la temperatura cada minuto, o cada 5
8º
minutos. Para no extendernos demasiado, la tabla sólo da la
12º
temperatura cada 2 horas.
13º
Es evidente que esta correspondencia es una función porque
18º
cada instante de tiempo sólo puede asociarse a una única
23º
temperatura. Además, también es cierto que en la tabla no
25º
pueden ponerse más que algunos valores de esta función, ya que
26º
el dominio y la imagen contienen demasiados valores para
24º
situarlos en una tabla. En este caso, normalmente, se eligen sólo
22º
algunos valores, pero distribuidos de manera uniforme por todo
15º
el dominio, como se ha visto en el ejemplo.
¿Qué es la expresión de una función?
La expresión de una función es una expresión algebraica con una variable
que permite encontrar la imagen de cualquier elemento del dominio de la
función. Para ello, se debe sustituir la variable de la expresión por el valor
del dominio; el valor numérico resultante de esta expresión será valor de la
imagen de ese elemento del dominio.
La función anterior, denominada F, hace corresponder al valor 6 del dominio de la
función, el valor 3 de la imagen. También puede decirse que la imagen del 6, por la
función F, es el 3; o, incluso, que la función evaluada en el 6 da como resultado el 3.
F
A
2
B
8
41
6
6
4
7
1
3
5
Estas maneras de expresarlo son largas e incómodas si pretendemos dar la imagen de
muchos otros valores del dominio. Para evitar este problema, se usa un modo más
breve de dar la imagen de un elemento del dominio: se escribe el nombre de la
función, a continuación y entre paréntesis, el valor del dominio cuya imagen
queremos calcular, el signo igual y, finalmente, el valor de la imagen que le
corresponde. Por ejemplo, en el caso anterior, debe escribirse:
F(6) = 3
que se lee "efe de 6 es igual a 3" y significa, como sabemos, que la imagen del valor
6 del dominio es el valor 3, en el caso de la función F. De la misma manera, si se
observa el diagrama anterior de la función F:
la imagen de 2 es 1, por lo tanto, F(2) = 1;
la imagen de 4 es 6, por lo tanto, F(4) = 6;
la imagen de 8 es 1, por lo tanto, F(8) = 1;
la imagen de 41 es 5, por lo tanto, F(41) = 5.
En muchos casos no puede darse un listado completo de la imagen de todos los
valores del dominio de una función. Por ejemplo, en el caso de la función, que
podemos denominar g, que a cada número real le hace corresponder el mismo
número al cuadrado, no se podrá dar dicho listado completo porque los valores del
dominio son infinitos (todos los números reales). Algunos de ellos tienen las
siguientes imágenes:
g(0) = 02
g(0) = 0;
la imagen de 0 será 02 = 0
2
g(5) = 52
g(5) = 25;
la imagen de 5 será 5 = 25
g(1) = 12
g(–1) = 1;
la imagen de –1 será (–1)2 = 1
g(–2) = (–2)2
g(–2) = 4.
la imagen de –2 será (–2)2 = 4
Como se ha dicho, este listado no terminaría nunca porque no es posible escribir
todos los números reales. Así pues, debe haber otro modo de expresar la función, de
manera que pueda dar la imagen de cualquier número dominio sin deber escribirlos
todos; éste consiste en dar una regla algebraica que permita calcular la imagen para
cualquier elemento del dominio. Por ejemplo, en el caso de la función g:
g(x) = x2
Esta expresión algebraica, denominada expresión algebraica de la función, nos indica
que para cualquier número del dominio, representado por la letra x, el valor de la
función es el cuadrado de este valor x. Es decir, para hallar el valor de la función
para un elemento cualquiera del dominio, debe sustituirse en la expresión algebraica
de la función el valor de la letra x por el valor del número en cuestión; por ejemplo,
si queremos calcular el valor de la función g para el valor 4:
g ( x) = x
↑ ↑
4
4
2
es decir, g(4) = 42 = 16. La imagen del 4 por la función g es igual a 16.
A la letra que se usa para la expresión algebraica de una función se le denomina
variable independiente, o simplemente variable. Muchas veces, los valores de la
función se expresan con otra letra, que suele ser la y, que se denomina variable
dependiente (porque depende del valor de la x, la variable independiente). En el caso
de la función g, la variable dependiente y = g(x), es decir, y = x2.
¿Qué es la gráfica de una función?
La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos del plano
cartesiano cuyas coordenadas coinciden con valores de dicha función (la
coordenada x, un valor del dominio, y la coordenada y, un valor de la
imagen). Para dibujar la gráfica de una función, pues, tan sólo es necesario
dibujar todos los puntos contenidos en la tabla de la función.
8
x
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
t(x)
10
11
13
15
16
18
20
19
18
16
16
15
14
12
10
9
Si f es una función cualquiera, las parejas de números x, f(x) que se encuentran en
una tabla de la función pueden interpretarse como pares ordenados (x,f(x)), es decir,
pueden interpretarse como puntos del plano cartesiano. De este modo, puede
representarse cualquiera de los puntos de una función.
Por ejemplo, supongamos que t es una función que da la temperatura de una ciudad
cada hora, desde las ocho de la mañana hasta las once de la noche. La tabla de esta
función es la siguiente:
De este modo, los puntos correspondientes a la función t, que son de la forma
(x,t(x)), pueden expresarse así: (8,10), (9,11), (10,13), (11,15), (12,16), (13,18),
(14,20),
(15,19),
(16,18),
(17,16),
(18,16),
(19,15),
(20,14),
(21,12), (22,10) y (23,9).
9
La representación de todos estos puntos en el plano cartesiano debe hacerse de la
siguiente forma:
En este caso, no se ha dibujado la parte negativa de los ejes por comodidad, ya que
no había puntos con alguna coordenada negativa.
A la representación de todos los puntos de una función se le denomina gráfica de una
función. Si una función tiene por dominio todo el conjunto de números reales (algo
muy frecuente), es imposible representar toda su gráfica (porque no cabría en una
hoja de papel). En este caso, deberemos conformarnos con representar sólo una parte
de esta gráfica, y es costumbre seguir denominándola gráfica de la función pero
indicando el intervalo del dominio que estamos representando. Por ejemplo, estas
representaciones corresponden a las gráficas de las funciones (que estudiaremos
detenidamente en el próximo tema) f(x) = 2x (izquierda) en los puntos cuyo dominio
se encuentra en el intervalo [–3,3], y g(x) = 4x2 – 4x – 35 en el intervalo [–3,4]. En
estos casos observamos cómo, al representarse todos los puntos de un intervalo
determinado, los puntos de la gráfica están tan próximos que forman una línea
continua, en un caso recta, y en el otro curvada.
En general, todas las funciones cuyo dominio sean los números reales tienen esta
característica: su gráfica aparece como una línea continua, o como varias líneas
continuas. Debe destacarse que la gráfica de una función no puede tener una forma
como las siguientes:
10
ya que en ambos casos existen valores en el eje X cuya imagen no es un solo
número. Esto puede comprobarse trazando cualquier recta vertical en la gráfica; si
dicha recta corta a varios puntos de la gráfica, entonces se puede asegurar que dicha
gráfica no es la gráfica de una función porque, como mínimo, el valor de x
11
determinado por esa recta tiene más de una imagen, algo imposible en una función:
Distintitos valores
para el mismo
elemento del domino
¿Qué operaciones pueden realizarse con funciones?
Las operaciones esenciales con funciones son la suma, la resta, la
multiplicación, la división y la potenciación. En todos los casos, el
dominio de la función resultante es la intersección de los dominios de las
funciones con las que se opera; además, en el caso de la división, no
pertenecen al dominio aquellos puntos que producen la anulación del
denominador, mientras que en el caso de la potenciación, no pertenecen al
dominio aquellos puntos que producen la anulación simultánea de la base
y del exponente.
Entre distintas funciones cualesquiera pueden realizarse estas operaciones:
• La suma de funciones
La suma de las funciones f(x) y g(x) se designa como f + g, se calcula de la siguiente
manera:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
y puede calcularse siempre que x se encuentre en el dominio de ambas funciones f y
g. Por ejemplo, la suma de las funciones f(x) = 3x y g(x) = 4x2 – 1 es:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 3x + 4x2 – 1 = 4x2 + 3x – 1
La suma de funciones tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa, es decir, f + g = g + f
Asociativa, es decir, f + (g + h ) = f + (g + h)
Además, existe un elemento, denominado función cero, que es el elemento neutro de
la suma, es decir, cualquier función sumada con dicho elemento no varía. Dicha
función es, evidentemente, e(x) = 0.
Para cada función f(x) existe, además, su elemento opuesto, –f(x), que sumado a la
función original resulta la función 0.
• El producto de funciones
El producto de las funciones f(x) y g(x) se designa como f × g, se calcula de la
siguiente manera:
(f × g)(x) = f(x) × g(x)
y puede calcularse siempre que x se encuentre en el dominio de ambas funciones f y
g. Por ejemplo, el producto de las funciones f(x) = 3x y g(x) = 4x2 – 1 es:
12
(f × g)(x) = f(x) × g(x) = 3x × (4x2 – 1) = 12x3 – 3x
El producto de funciones tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa, es decir, f × g = g × f
Asociativa, es decir, f × (g × h ) = f × (g × h)
Además, existe un elemento, denominado función unidad, que es el elemento neutro
del producto, es decir, cualquier función multiplicada con dicho elemento no varía.
Dicha función es, evidentemente, u(x) = 1.
13
• El cociente de funciones
El cociente de las funciones f(x) y g(x) se designa como f/g, se calcula de la siguiente
manera:
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
y puede calcularse siempre que x se encuentre en el dominio de ambas funciones f y
g, y que, además, g(x) no sea 0. Por ejemplo, el cociente de las funciones f(x) = 3x y
g(x) = 4x2 – 1 es:
3x
(f/g)(x) = f(x)/g(x) = 3x/(4x2 – 1) =
4x2 − 1
• La potenciación de funciones
La potenciación de las funciones f(x) y g(x) se designa como f g , se calcula de la
siguiente manera:
( f ) ( x) = ( f ( x) )
g
g ( x)
y puede calcularse siempre que x se encuentre en el dominio de ambas funciones f y
g, y que, además, f(x) y g(x) no sean 0. Por ejemplo, el cociente de las funciones
f(x) = 3x y g(x) = 4x2 – 1 es:
=
( f g ) ( x)
f ( x) )
(=
g ( x)
(3 x) 4 x
2
−1
Existe otra importante operación, denominada composición de funciones, que se
estudiará en otro capítulo.
14
Ejercicios
1. Di si estas correspondencias son funciones. En caso afirmativo,
di si son biyectivas, exhaustivas o inyectivas. Finalmente, haz
la tabla de la función:
F
A
2
B
8
2
6
1
5
1
69
3
G
C
2
D
8
1
6
6
5
4
H
A
E
2
6
3
7
1
8
3
9
4
1
6
4
5
2. Da la expresión de una función que tenga esta tabla:
x
-2
0
2
4
5
6
f(x)
5
1
5
17
26
37
3. Encuentra las imágenes de la función f ( x) = 3x 2 − 2 x + 1 para
los valores 0, 1 i -3.
4.
Di si estas gráficas corresponden a una función:
15
a.
b.
16
Soluciones
1. Todas son funciones porque cada elemento del conjunto de
salida solo tiene una imagen. Sus tablas son:
x
1
3
5
8
F(x)
69
6
1
69
x
2
4
6
8
G(x)
5
6
3
1
x
2
4
6
8
41
F no es ni inyectiva ni exhaustiva.
G es inyectiva.
H es inyectiva y exhaustiva, por lo tanto biyectiva.
2.
3.
f ( x=
) x2 + 1
f (0) = 1
f (1) = 2
f (−3) =
16
4. La primera sí, pero la segunda, no, porque hay valores que
tienen más de una antiimagen.
17
H(x)
1
6
3
5
9
18