Ejercicios del teorema de Tales

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Ejercicios resueltos del Teorema de Tales
1) Dos triángulos rectángulos tienen cada uno un ángulo de 30º ¿Son semejantes?
2) ¿Puedes dibujar dos triángulos equiláteros que no sean semejantes?
3) Dibuja un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 10 cm. Luego dibuja otro cuyos lados sean de 9, 12
y 15 cm. Responde después a estas preguntas:
a) ¿Son proporcionales los lados de los triángulos?
b) ¿Son iguales los ángulos?
c) ¿Puede utilizarse el Teorema de Tales en estos dos triángulos?
4) A determinada hora del día, un árbol proyecta una sombra de 5,5 metros. A esa misma hora, un
hombre de 1,80 metros proyecta una sombra de 90 centímetros. Calcula la altura del árbol.
5) El lado largo de una escuadra mide 23 cm, y su ancho, 14 cm. Si ahora nos fijamos en el pequeño
triángulo interior, vemos que su lado largo mide 13 cm. ¿Cuánto mide su ancho?
6) Con todo lo visto hasta ahora, no debería costarte resolver el mismo problema que se le planteó a
Tales de Mileto cuando le pidieron que calculara la altura de una de las pirámides de Egipto ¡No
vale utilizar metro, aviones, escaleras ni nada parecido!
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Soluciones
1) Dos triángulos rectángulos tienen cada uno un ángulo de 30º ¿Son semejantes?
Repasemos: uno de los criterios para saber si dos triángulos son semejantes es que tengan los tres
ángulos iguales. Por el enunciado ya sabemos que un ángulo lo tienen igual (el de 30º). Pero fíjate
además que si nos indican que los dos son triángulos también nos están diciendo que los dos tienen
un ángulo de 90º. Ahora, si te acuerdas de que los tres ángulos de un triángulo SIEMPRE SUMAN
180º, está claro que el tercer ángulo tiene que ser igual en los dos (concretamente de 60º, para que
30+90+60=180). Así que la respuesta es sí, son semejantes.
2) ¿Puedes dibujar dos triángulos equiláteros que no sean semejantes?
No. Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí. Así de claro, y por dos motivos.
En primer lugar, todos los triángulos equiláteros, por el simple hecho de ser equiláteros, tienen sus
tres lados iguales. Esto quiere decir que dos equiláteros distintos siempre son proporcionales entre
sí. Por ejemplo, imagina que tenemos un triángulo equilátero cuyos lados miden 13,8cm y otro
cuyos lados miden 27,91 cm. Que no se asuste nadie: los números están escogidos “raros” aposta.
Está claro que si yo divido la base de un triángulo entre la base del otro (27,91/13,8) no necesito
hacer la división: sé que me va a dar lo mismo que si divido el lado de la izquierda de uno (que
también mide 27,91) entre el lado de la izquierda del otro (que también mide 13,8).
Pero si este argumento no te ha convencido, piensa lo siguiente: al tener los tres lados iguales, un
equilátero también tiene los tres ángulos iguales (en concreto, de 60º, para que 60+60+60=180).
Como todos los equiláteros tienen sus tres ángulos de 60º, todos los equiláteros son iguales.
3) Dibuja un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 10 cm. Luego dibuja otro cuyos lados sean de 9, 12
y 15 cm. Responde después a estas preguntas:
a) ¿Son proporcionales los lados de los triángulos?
b) ¿Son iguales los ángulos?
c) ¿Puede utilizarse el Teorema de Tales en estos dos triángulos?
Primero hay que dibujar los dos triángulos. Para hacerlo bien, necesitas un compás y una regla. Si
no sabes cómo se hace, aquí va la receta:
- Dibuja como base una línea con una de las longitudes del triángulo (en nuestro caso, dibujaríamos
una línea horizontal de 10cm para el primer triángulo y otra de 15 cm; no es necesario colocar el
lado más largo como base, pero queda más bonito).
- Abre el compás hasta que marque la longitud de otro de los lados (6cm para el primero y 9 para el
segundo). Luego pincha en un extremo de la primera línea (la del paso 1) y traza un arco.
- Haz lo mismo para el tercer lado del triángulo, pinchando en el otro extremo de la base.
- Donde se crucen los dos arcos tienes el vértice superior del triángulo. Únelo con cada uno de los
extremos de la base, y ya tienes tu triángulo (puedes medir los lados, para comprobar que están
bien).
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Vale, ya tenemos los dos triángulos. Si los has dibujado bien, puedes responder a la segunda
pregunta: los ángulos te habrán quedado iguales (puedes medirlos con un transportador si
desconfías).
Para contestar a la primera pregunta, comprobamos las siguientes divisiones:
15/10 = 12/8 = 9/6
Verás que las tres te dan 1,5. Son, por lo tanto, proporcionales. Debes acordarte que cada lado debe
dividirse entre su “gemelo”: el lado mayor de un triángulo entre el lado mayor del otro, y lo mismo
para los lados medianos y los menores.
Tercera pregunta: ¿podemos aplicar Tales en los dos triángulos que has dibujado? Pues claro: en las
dos preguntas anteriores hemos visto que se cumplen los dos criterios para decir que dos triángulos
son semejantes, y por lo tanto, se puede aplicar el Teorema de Tales.
4) A determinada hora del día, un árbol proyecta una sombra de 5,5 metros. A esa misma hora, un
hombre de 1,80 metros proyecta una sombra de 90 centímetros. Calcula la altura del árbol.
Este es un típico problema de Teorema de Tales. Si lo resuelves sin dudas y sin ayuda, tienes casi
todo el tema resuelto, por no decir todo. Empieza dibujando un esquema que represente el árbol y
su sombra por un lado, y el señor y su sombra, por otro. Verás que lo que tienes es claramente dos
triángulos semejantes.
Ahora basta plantear la siguiente regla de tres:
Altura
x
1,80m
Sombra
5,5m
0,90m
x = 1,80·5,5/0,90 = 11m
(Si te fijas, el hombre mide el doble que su sombra - ¿te has acordado de pasar los centímetros a
metros? - por lo que el árbol también debe medir el doble que la suya. Es de lógica).
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5) El lado largo de una escuadra mide 23 cm, y su ancho, 14 cm. Si ahora nos fijamos en el
pequeño triángulo interior, vemos que su lado largo mide 13 cm. ¿Cuánto mide su ancho?
Igual que el anterior, aunque cuente una historia distinta. En una escuadra (esas reglas con forma de
triángulo rectángulo escaleno, alargado) se ven dos triángulos: el de fuera y otro interior. Pero como
sus tres ángulos son iguales, los dos son semejantes, y podemos aplicar Tales en ellos.
Largo
23 cm
13cm
Ancho
14cm
x cm
x = 13·14/23 = 7,91cm
6) Con todo lo visto hasta ahora, no debería costarte resolver el mismo problema que se le planteó
a Tales de Mileto cuando le pidieron que calculara la altura de una de las pirámides de Egipto ¡No
vale utilizar metro, aviones, escaleras ni nada parecido!
Esta historia pudo haber sido verdad, y se dice que es la que hizo que a Tales se le ocurriera la idea
para su famoso teorema. El método es tan sencillo que, cuando la mayoría de la gente sabe de él, se
asombra de que no se les haya ocurrido (como suele pasar con las buenas ideas: no es necesario que
sean complicadas, basta con que se te ocurran).
Tales simplemente esperó al momento del día en que su propia sombra midiera lo mismo que su
estatura. En ese momento, pidió a alguien (posiblemente un esclavo) que clavara una estaca en el
punto hasta donde llegaba la sombra de la pirámide. Luego le bastó con medir cuántos pasos medía
la sombra de la pirámide que, una vez más por lógica, tendría la misma longitud que altura tendría
el objeto que la proyectó ¡ElemenTales, mi querido Watson!
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